1．（3 分）下列垃圾分類標(biāo)識圖案，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是()
A． B．
C． D．
2．（3 分）已知?O 的直徑是 8，P 點(diǎn)到圓心O 的距離為 6，則 P 點(diǎn)與?O 的位置關(guān)系是()
A．在圓上B．在圓內(nèi)C．在圓外D．無法確定
3．（3 分）已知?ABC∽?DEF 且對應(yīng)中線之比為9 :16 ，則?ABC 與?DEF 的周長之比為(
)
A． 4 : 3B． 3 : 4C．16 : 9D． 9 :16
4．（3 分）如圖， AB 為?O 的直徑， C ， D 為?O 上兩點(diǎn)，若?BCD ? 40? ，則?ABD 的大小為()
A． 60?B． 50?C． 40?D． 20?
5．（3 分）設(shè) x ， x 是一元二次方程 x2 ? 2x ? 1 ? 0 的兩根，則 1 ? 1 ? ()

1
2
12
? 1
2
x1x2
C．2D． ?2
6．（3 分）如圖， ?ODC 是由?OAB 繞點(diǎn)O 順時針旋轉(zhuǎn)32? 后得到的圖形，若點(diǎn) D 恰好落在
AB 上，且?AOC 的度數(shù)為100? ，則?DOB 的度數(shù)是()
A． 32?B． 36?C． 38?D． 40?
7．（3 分）點(diǎn) A(? 2, m) ，B(3, n) 是反比例函數(shù) y ? 6 的圖象上兩點(diǎn)，則 m 、n 大小關(guān)系為()
x
m ? n
m ? n
m ? n
無法確定
8．（3 分）在同一坐標(biāo)系中，一次函數(shù) y ? ax ? k 與二次函數(shù) y ? kx2 ? a 的圖象可能是()
A． B．
C． D．
9．（3 分）已知圓心角為120? 的扇形的弧長為6?，該扇形的面積為()
A．18?B． 27?C． 36?D． 54?
10．（3 分）如圖，?ABC 是等邊三角形，?ABD 是等腰直角三角形，?BAD ? 90? ，AE ? BD
于點(diǎn) E ，連CD 分別交 AE ， AB 于點(diǎn) F ， G ，過點(diǎn) A 作 AH ? CD 交 BD 于點(diǎn) H ，則下列結(jié)論：① ?ADC ? 15? ；② AF ? AG ；③ AH ? DF ；④ ?AFG ~ ?CBG ；⑤ AF ? ( 3 ?1)EF ．其中正確結(jié)論為( )
A．①②③④⑤B．①③④⑤C．①②④⑤D．①②③④
二、填空題（本大題共 6 小題，每小題 3 分，共 18 分）
11．（3 分）若關(guān)于 x 的一元二次方程 mx2 ? nx ?1 ? 0(m ? 0) 的一個解是 x ? 1 ，則 m ? n 的值是．
12．（3 分）一個不透明的袋中裝有若干個紅球和 10 個白球，搖勻后每次隨機(jī)從袋中摸出一
個球，記下顏色后放回袋中，通過大量重復(fù)摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率是 0.4，則袋中紅球約為個．
13．（3 分）在平面直角坐標(biāo)系中，?ABC 的頂點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 A(?4, 2) ，以原點(diǎn)O 為位似中心，
把?ABC 縮小為原來的 1 ，得到△ A?B?C? ，則點(diǎn) A 的對應(yīng)點(diǎn) A? 的坐標(biāo)為．
2
14．（3 分）如圖， ?ABC 為?O 的內(nèi)接三角形， O 為圓心， OD ? AB 于點(diǎn) D ， OE ? AC 于點(diǎn) E ，若 DE ? 2 ，則 BC ?．
15．（3 分）已知二次函數(shù) y ? x2 ? 2ax ? a2 ? 2a ? 4(a 為常數(shù)）的圖象與 x 軸有交點(diǎn)，且當(dāng) x ? 1
時， y 隨 x 的增大而增大，則 a 的取值范圍是．
16．（3 分）如圖，以G(0, 3) 為圓心，半徑為 6 的圓與 x 軸交于 A ， B 兩點(diǎn)，與 y 軸交于C ，
D 兩點(diǎn)，點(diǎn) E 為?G 上一動點(diǎn)， CF ? AE 于 F ，點(diǎn) E 在G 的運(yùn)動過程中，線段 FG 的長度的最小值為．
三、解答題（本題共 9 小題，滿分 72 分，解答題需寫出文字說明，推理過程和演算步驟）
17．（4 分）解方程： x2 ? 2x ? 15 ? 0 ．
18．（4 分）如圖，在?ABC 中，點(diǎn) D 是 AB 邊上的一點(diǎn)．
請用尺規(guī)作圖法，在?ABC 內(nèi)，求作?ADE ，使?ADE ? ?B ， DE 交 AC 于 E ；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）
在（1）的條件下，若 AD ? 2 ，求 AE 的值．
DBEC
19．（6 分）在平面直角坐標(biāo)系中，?AOB 的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 A(1, 0) ，O(0, 0) ，B(2, 2) ．以點(diǎn)O 為旋轉(zhuǎn)中心，將?AOB 逆時針旋轉(zhuǎn)90? ，得到△ A1OB1 ．
畫出△ A1OB1 ，并寫出點(diǎn) A1 和點(diǎn) B1 的坐標(biāo)．
求線段OB 掃過的面積．
20．（6 分）面對新冠疫情，教育人同心戰(zhàn)“疫”．某校疫情期間的教學(xué)方式包括： A ．直播授課、 B ．錄播授課、C ．自主學(xué)習(xí)、 D ．在線答疑等四種形式．為了了解學(xué)生線上學(xué)習(xí)情況，該校隨機(jī)對部分學(xué)生進(jìn)行了“你對哪種教學(xué)方式最感興趣”的調(diào)查（每人只選其中的 一種），并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如圖所示的統(tǒng)計圖．
本次調(diào)查的人數(shù)是 人；
請補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；
明明和強(qiáng)強(qiáng)參加了此次調(diào)查，均選擇了其中一種教學(xué)方式，請用樹狀圖或列表分析及 求明明和強(qiáng)強(qiáng)選擇同一種教學(xué)方式的概率．
21．（8 分）如圖，在Rt?ABC 中， ?A ? 90? ， AB ? 20cm ， AC ? 15cm ，在這個直角三角形內(nèi)有一個內(nèi)接正方形，正方形的一邊 FG 在 BC 上，另兩個頂點(diǎn) E 、H 分別在邊 AB 、AC 上．
求 BC 邊上的高；
求正方形 EFGH 的邊長．
A( , 4), B(3, m)
22．（10 分）如圖，一次函數(shù) y ? kx ? b 的圖象交反比例函數(shù) y ? n 圖象于3兩
x2
點(diǎn)．
求 m ， n 的值；
求直線 AB 的解析式；
請你根據(jù)圖象直接寫出不等式 kx ? b ? n ．
x
23．（10 分）如圖， AB 是?O 的直徑，點(diǎn) D 在 AB 的延長線上， C 、 E 是?O 上的兩點(diǎn)，
CE ? CB ， ?BCD ? ?CAE ，延長 AE 交 BC 的延長線于點(diǎn) F ．
求證： CD 是?O 的切線；
3
若 BD ? 1 ， CD ?，求弦 AC 的長．
24．（12 分）已知：以O(shè) 為圓心的扇形 AOB 中，?AOB ? 90? ，點(diǎn)C 為 ?AB 上一動點(diǎn)，射線 AC
交射線OB 于點(diǎn) D ，過點(diǎn) D 作OD 的垂線交射線OC 于點(diǎn) E ，連接 AE ．
如圖 1，當(dāng)四邊形 AODE 為矩形時，求?ADO 的度數(shù)；
當(dāng)扇形的半徑長為 10，且 AC ? 12 時，求線段 DE 的長；
連接 BC ，試問：在點(diǎn)C 運(yùn)動的過程中， ?BCD 的大小是否確定？若是，請求出它的度數(shù)；若不是，請說明理由．
25．（12 分）已知拋物線 y ? x2 ? (m ? 1)x ? 2m ? 3(m 為常數(shù)），點(diǎn) A(?1, ?1) ， B(3, 7) ．
若拋物線 y ? x2 ? (m ?1)x ? 2m ? 3 經(jīng)過點(diǎn) B(3, 7) 時，求此時拋物線解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
拋物線的頂點(diǎn)隨著 m 的變化而移動．當(dāng)頂點(diǎn)移動到最高處時．
①求拋物線的解析式；
②在直線 AB 下方的拋物線上有一點(diǎn) E ，過點(diǎn) E 作 EF ? x 軸，交直線 AB 于點(diǎn) F ，求線段 EF
取最大值時的 E 點(diǎn)坐標(biāo)．
2022-2023 學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)執(zhí)信中學(xué)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、單選題（本大題共 10 小題，每小題 3 分，共 30 分）
1．（3 分）下列垃圾分類標(biāo)識圖案，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是()
A． B．
C． D．
【解答】解： A 、不是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
B 、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意； C 、既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項符合題意； D 、不是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項不合題意； 故選： C ．
2．（3 分）已知?O 的直徑是 8，P 點(diǎn)到圓心O 的距離為 6，則 P 點(diǎn)與?O 的位置關(guān)系是()
A．在圓上B．在圓內(nèi)C．在圓外D．無法確定
【解答】解：?OP ? 6 ? 4 ，
?點(diǎn) P 與?O 的位置關(guān)系是點(diǎn)在圓外． 故選： C ．
3．（3 分）已知?ABC∽?DEF 且對應(yīng)中線之比為9 :16 ，則?ABC 與?DEF 的周長之比為(
)
A． 4 : 3B． 3 : 4C．16 : 9D． 9 :16
【解答】解：??ABC∽?DEF 且對應(yīng)中線之比為9 :16 ，
??ABC 與?DEF 的相似比為9 :16 ，
??ABC 與?DEF 的周長之比為9 :16 ， 故選： D ．
4．（3 分）如圖， AB 為?O 的直徑， C ， D 為?O 上兩點(diǎn)，若?BCD ? 40? ，則?ABD 的大小為()
A． 60?B． 50?C． 40?D． 20?
【解答】解：連接 AD ，
? AB 為?O 的直徑，
??ADB ? 90? ．
??BCD ? 40? ，
??A ? ?BCD ? 40? ，
??ABD ? 90? ? 40? ? 50? ．
故選： B ．
5．（3 分）設(shè) x ， x 是一元二次方程 x2 ? 2x ? 1 ? 0 的兩根，則 1 ? 1 ? ()

1
2
12
? 1
2
x1x2
C．2D． ?2
【解答】解：? x ， x 是一元二次方程 x2 ? 2x ? 1 ? 0 的兩根，
12
? x1 ? x2 ? 2 ， x1 ? x2 ? ?1 ，
? 1 ? 1
? x1 ? x2 ?
2 ? ?2 ．
x1x2x1 x2?1
故選： D ．
6．（3 分）如圖， ?ODC 是由?OAB 繞點(diǎn)O 順時針旋轉(zhuǎn)32? 后得到的圖形，若點(diǎn) D 恰好落在
AB 上，且?AOC 的度數(shù)為100? ，則?DOB 的度數(shù)是()
A． 32?B． 36?C． 38?D． 40?
【解答】解：由題意得， ?AOD ? 32? ， ?BOC ? 32? ，又?AOC ? 100? ，
??DOB ? 100? ? 32? ? 32? ? 36? ． 故選： B ．
7．（3 分）點(diǎn) A(? 2, m) ，B(3, n) 是反比例函數(shù) y ? 6 的圖象上兩點(diǎn)，則 m 、n 大小關(guān)系為()
x
m ? n
m ? n
m ? n
無法確定
【解答】解：?點(diǎn) A(? 2, m) ， B(3, n) 是反比例函數(shù) y ? 6 的圖象上兩點(diǎn)，
x
? m ?
6 ? ?3 ， n ? 6 ? 2 ，
?23
?m ? n ， 故選： A ．
8．（3 分）在同一坐標(biāo)系中，一次函數(shù) y ? ax ? k 與二次函數(shù) y ? kx2 ? a 的圖象可能是()
A． B．
C． D．
【解答】解：當(dāng) a ? 0 ，k ? 0 時，一次函數(shù) y ? ax ? k 經(jīng)過一、二、三象限，二次函數(shù) y ? kx2 ? a
開口向上，頂點(diǎn)在 y 軸的正半軸， A 、 B 均不符合；
當(dāng) a ? 0 ，k ? 0 時，一次函數(shù) y ? ax ? k 經(jīng)過一、二、四象限，二次函數(shù) y ? kx2 ? a 開口向上， 頂點(diǎn)在 y 軸的負(fù)半軸， C 選項符合；
當(dāng) a ? 0 ，b ? 0 時，一次函數(shù) y ? ax ? k 經(jīng)過二、三、四象限，二次函數(shù) y ? kx2 ? a 開口向下，
頂點(diǎn)在 y 軸的負(fù)半軸， D 選項不符合； 故選： C ．
9．（3 分）已知圓心角為120? 的扇形的弧長為6?，該扇形的面積為()
A．18?B． 27?C． 36?D． 54?
【解答】解：設(shè)扇形的半徑為 r ．
由題意： 120 ??? r ? 6?，
180
? r ? 9 ，
? S扇形 ?
120 ??? 92
360
? 27?，
故選： B ．
10．（3 分）如圖，?ABC 是等邊三角形，?ABD 是等腰直角三角形，?BAD ? 90? ，AE ? BD
于點(diǎn) E ，連CD 分別交 AE ， AB 于點(diǎn) F ， G ，過點(diǎn) A 作 AH ? CD 交 BD 于點(diǎn) H ，則下列結(jié)論：① ?ADC ? 15? ；② AF ? AG ；③ AH ? DF ；④ ?AFG ~ ?CBG ；⑤ AF ? ( 3 ?1)EF ．其中正確結(jié)論為( )
A．①②③④⑤B．①③④⑤C．①②④⑤D．①②③④
【解答】解：??ABC 為等邊三角形， ?ABD 為等腰直角三角形，
??BAC ? 60? 、?BAD ? 90? 、 AC ? AB ? AD ， ?ADB ? ?ABD ? 45? ，
??CAD 是等腰三角形，且頂角?CAD ? 150? ，
??ADC ? 15? ，故①正確；
? AE ? BD ，即?AED ? 90? ，
??DAE ? 45? ，
??AFG ? ?ADC ? ?DAE ? 60? ， ?FAG ? 45? ，
??AGF ? 75? ，
由?AFG ? ?AGF 知 AF ? AG ，故②錯誤；
由?AFG ? 60? 知?FAP ? 30? ， 則?BAH ? ?ADC ? 15? ，
在?ADF 和?BAH 中，
??ADF ? ?BAH
?
?DA ? AB，
?
??DAF ? ?ABH ? 45?
??ADF ? ?BAH (ASA) ，
? DF ? AH ，故③正確；
??AFG ? ?CBG ? 60? ， ?AGF ? ?CGB ，
??AFG∽?CBG ，故④正確；
AF 2 ? PF 2
在Rt?APF 中，設(shè) PF ? x ，則 AF ? 2x 、 AP ?
設(shè) EF ? a ，
??ADF ? ?BAH ，
? BH ? AF ? 2x ，
?ABE 中，??AEB ? 90? 、 ?ABE ? 45? ，
? BE ? AE ? AF ? EF ? a ? 2x ，
? EH ? BE ? BH ? a ? 2x ? 2x ? a ，
??APF ? ?AEH ? 90? ， ?FAP ? ?HAE ，
??PAF∽?EAH ，
? 3x ，
3x
? PF ? AP ，即 x ?，
EHAE
aa ? 2x
3
整理，得： 2x2 ? (?1)ax ，
3
由 x ? 0 得2x ? (
?1)a ，即 AF ? (
? 1)EF ，故⑤正確；
3
故選： B ．
二、填空題（本大題共 6 小題，每小題 3 分，共 18 分）
11．（3 分）若關(guān)于 x 的一元二次方程 mx2 ? nx ?1 ? 0(m ? 0) 的一個解是 x ? 1 ，則 m ? n 的值是 1．
【解答】解：?關(guān)于 x 的一元二次方程 mx2 ? nx ?1 ? 0(m ? 0) 的一個解是 x ? 1 ，
? m ? n ? 1 ? 0 ，
? m ? n ? 1 ， 故答案為：1．
12．（3 分）一個不透明的袋中裝有若干個紅球和 10 個白球，搖勻后每次隨機(jī)從袋中摸出一個球，記下顏色后放回袋中，通過大量重復(fù)摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率是 0.4，則袋中紅球約為 15 個．
【解答】解：?通過大量重復(fù)摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率是 0.4，口袋中有 10 個白球，
假設(shè)有 x 個紅球，
則 10
x ? 10
? 0.4 ，
解得： x ? 15 ，
?口袋中有紅球約為 15 個， 故答案為：15．
13．（3 分）在平面直角坐標(biāo)系中，?ABC 的頂點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 A(?4, 2) ，以原點(diǎn)O 為位似中心，
把 ?ABC 縮小為原來的 1 ， 得到△ A?B?C? ， 則點(diǎn) A 的對應(yīng)點(diǎn) A? 的坐標(biāo)為(?2,1) 或
2
(2, ?1) ．
【解答】解：?以原點(diǎn)O 為位似中心，把 ?ABC 縮小為原來的 1 ，得到△ A?B?C? ， A(?4, 2) ，
2
?點(diǎn) A 的對應(yīng)點(diǎn) A? 的坐標(biāo)為 A(?4 ? 1 ，2 ? 1 ) 或 A(?4 ? (? 1 ) ，2 ? (? 1 )) ，即(?2,1) 或(2, ?1) ，
2222
故答案為： (?2,1) 或(2, ?1) ．
14．（3 分）如圖， ?ABC 為?O 的內(nèi)接三角形， O 為圓心， OD ? AB 于點(diǎn) D ， OE ? AC 于點(diǎn) E ，若 DE ? 2 ，則 BC ? 4．
【解答】解：? OD ? AB ，
? AD ? DB ，
? OE ? AC ，
? AE ? CE ，
? DE 為?ABC 的中位線，
? DE ? 1 BC ，
2
? BC ? 2DE ? 2 ? 2 ? 4 ． 故答案為：4
15．（3 分）已知二次函數(shù) y ? x2 ? 2ax ? a2 ? 2a ? 4(a 為常數(shù)）的圖象與 x 軸有交點(diǎn)，且當(dāng) x ? 1
時， y 隨 x 的增大而增大，則 a 的取值范圍是?2?a?1 ．
【解答】解：?二次函數(shù) y ? x2 ? 2ax ? a2 ? 2a ? 4(a 為常數(shù)）的圖象與 x 軸有交點(diǎn)，
?△ ? (?2a)2 ? 4 ?1? (a2 ? 2a ? 4)?0 ． 解得： a?? 2 ；
?拋物線的對稱軸為直線 x ? ? ?2a ? a ，拋物線開口向上，且當(dāng) x ? 1 時， y 隨 x 的增大而增
2 ?1
大，
?a?1，
?實(shí)數(shù) a 的取值范圍是?2?a?1． 故答案為： ?2?a?1．
16．（3 分）如圖，以G(0, 3) 為圓心，半徑為 6 的圓與 x 軸交于 A ， B 兩點(diǎn)，與 y 軸交于C ，
D 兩點(diǎn)，點(diǎn) E 為?G 上一動點(diǎn)， CF ? AE 于 F ，點(diǎn) E 在G 的運(yùn)動過程中，線段 FG 的長度
3
的最小值為 3? 3 ．
【解答】解：過G 作GM ? AC 于 M ，連接 AG ，如圖所示：
? GO ? AB ，
? OA ? OB ，
? G(0, 3) ，
?OG ? 3 ，
在Rt?AGO 中，? AG ? 6 ， OG ? 3 ，
AG2 ? GO2
3
?OA ?? 3，
3
??GAO ? 30? ， AB ? 2 AO ? 6，
??AGO ? 60? ，
?GC ? GA ? 6 ，
??GCA ? ?GAC ，
??AGO ? ?GCA ? ?GAC ，
??GCA ? ?GAC ? 30? ，
? AC ? 2OA ? 6
??AFC ? 90? ，
， MG ? 1 CG ? 3 ，
3
2
?點(diǎn) F 在以 AC 為直徑的?M 上，
3
? MF ? AC ? 3，
2
3
當(dāng)點(diǎn) F 在 MG 的延長線上時， FG 的長最小，最小值? FM ? MG ? 3? 3 ，
3
故答案為： 3
? 3 ．
三、解答題（本題共 9 小題，滿分 72 分，解答題需寫出文字說明，推理過程和演算步驟）
17．（4 分）解方程： x2 ? 2x ? 15 ? 0 ．
【解答】解： x2 ? 2x ? 15 ? 0 ， 分解因式得： (x ? 5)(x ? 3) ? 0 ，
可得 x ? 5 ? 0 或 x ? 3 ? 0 ， 解得： x1 ? 5 ， x2 ? ?3 ．
18．（4 分）如圖，在?ABC 中，點(diǎn) D 是 AB 邊上的一點(diǎn)．
請用尺規(guī)作圖法，在?ABC 內(nèi)，求作?ADE ，使?ADE ? ?B ， DE 交 AC 于 E ；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）
在（1）的條件下，若 AD ? 2 ，求 AE 的值．
DBEC
【解答】解：（1）如圖， ?ADE 為所作；
（2）??ADE ? ?B
? DE / / BC ，
? AE ? AD ? 2 ．
ECDB
19．（6 分）在平面直角坐標(biāo)系中，?AOB 的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 A(1, 0) ，O(0, 0) ，B(2, 2) ．以點(diǎn)O 為旋轉(zhuǎn)中心，將?AOB 逆時針旋轉(zhuǎn)90? ，得到△ A1OB1 ．
畫出△ A1OB1 ，并寫出點(diǎn) A1 和點(diǎn) B1 的坐標(biāo)．
求線段OB 掃過的面積．
【解答】解：（1）畫出△ A1OB1 ，如圖．
點(diǎn) A1(0,1) ，點(diǎn) B1(?2, 2) ．
（2） OB1
? OB ?
? 2，
22 ? 22
2
90?? (2 2)2
?扇形 BOB1 面積?
360
? 2?，
?線段OB 掃過的面積 2?．
20．（6 分）面對新冠疫情，教育人同心戰(zhàn)“疫”．某校疫情期間的教學(xué)方式包括： A ．直播授課、 B ．錄播授課、C ．自主學(xué)習(xí)、 D ．在線答疑等四種形式．為了了解學(xué)生線上學(xué)習(xí)情況，該校隨機(jī)對部分學(xué)生進(jìn)行了“你對哪種教學(xué)方式最感興趣”的調(diào)查（每人只選其中的 一種），并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如圖所示的統(tǒng)計圖．
本次調(diào)查的人數(shù)是 80 人；
請補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；
明明和強(qiáng)強(qiáng)參加了此次調(diào)查，均選擇了其中一種教學(xué)方式，請用樹狀圖或列表分析及 求明明和強(qiáng)強(qiáng)選擇同一種教學(xué)方式的概率．
【解答】解：（1）本次調(diào)查的人數(shù)有 20 ? 25% ? 80 （人) ，故答案為：80；
（2）自主學(xué)習(xí)的人數(shù)有： 80 ? 35 ? 20 ? 15 ? 10 （人) ，
補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖如下：
（3）把直播授課、錄播授課、自主學(xué)習(xí)、在線答疑四種形式分別記為 A 、 B 、C 、 D ， 畫樹狀圖如下：
共有 16 種等可能情況，其中明明和強(qiáng)強(qiáng)選擇同一種教學(xué)方式的結(jié)果有 4 種，
?明明和強(qiáng)強(qiáng)選擇同一種教學(xué)方式的概率為 4 ? 1 ．
164
21．（8 分）如圖，在Rt?ABC 中， ?A ? 90? ， AB ? 20cm ， AC ? 15cm ，在這個直角三角形內(nèi)有一個內(nèi)接正方形，正方形的一邊 FG 在 BC 上，另兩個頂點(diǎn) E 、H 分別在邊 AB 、AC 上．
求 BC 邊上的高；
求正方形 EFGH 的邊長．
【解答】解：（1）作 AD ? BC 于 D ，交 EH 于O ，如圖所示：
?在Rt?ABC 中， ?A ? 90? ， AB ? 20cm ， AC ? 15cm ，
202 ? 152
? BC ?? 25(cm) ，
? 1 BC ? AD ? 1 AB ? AC ，
22
? AD ? AB ? AC ? 20 ?15 ? 12(cm) ；
BC25
即 BC 邊上的高為12cm ；
（2）設(shè)正方形 EFGH 的邊長為 xcm ，
?四邊形 EFGH 是正方形，
? EH / / BC ，
??AEH ? ?B ， ?AHE ? ?C ，
??AEH∽?ABC ．
? AO ? EH ，即12 ? x ? x ，
ADBC
解得： x ? 300 ，
37
1225
即正方形 EFGH 的邊長為 300 cm ．
37
22．（10 分）如圖，一次函數(shù) y ? kx ? b 的圖象交反比例函數(shù) y ? n 圖象于3兩
A( , 4), B(3, m)
x2
點(diǎn)．
求 m ， n 的值；
求直線 AB 的解析式；
請你根據(jù)圖象直接寫出不等式 kx ? b ? n ．
x
【解答】解：（1）?一次函數(shù) y ? kx ? b 的圖象交反比例函數(shù) y ? n 圖象于 A( 3 ，4) ，B(3, m) ，
x2
? n ? 3 ? 4 ? 6 ，
2
? y ? 6 ，
x
將 B(3, m) 代入 y ? 6 ，
x
得 m ? 6 ? 2 ，
3
? B(3, 2) ；
3
?4 ? 3 k ? b
（2）將 A(
2
， 4) ， B(3, 2) 代入 y ? kx ? b 得， ?2，
??2 ? 3k ? b
?
?
?k ? ? 4
解得?3 ，
??b ? 6
?直線 AB 的解析式為 y ? ? 4 x ? 6 ；
3
（3）? A( 3 ， 4) ， B(3, 2) ，
2
結(jié)合函數(shù)圖象可知：當(dāng) x ? 0 或 2 ? x ? 3 時， kx ? b ? n ，
3x
即不等式 kx ? b ? n 的解集為： x ? 0 或 2 ? x ? 3 ．
x3
23．（10 分）如圖， AB 是?O 的直徑，點(diǎn) D 在 AB 的延長線上， C 、 E 是?O 上的兩點(diǎn)，
CE ? CB ， ?BCD ? ?CAE ，延長 AE 交 BC 的延長線于點(diǎn) F ．
求證： CD 是?O 的切線；
3
若 BD ? 1 ， CD ?，求弦 AC 的長．
【解答】（1）證明：連接OC ，如圖，
? AB 是?O 的直徑，
??ACB ? 90? ，
??CAD ? ?ABC ? 90? ，
? CE ? CB ，
??CAE ? ?CAB ，
??BCD ? ?CAE ，
??CAB ? ?BCD ，
?OB ? OC ，
??OBC ? ?OCB ，
??OCB ? ?BCD ? 90? ，
??OCD ? 90? ，
?CD 是?O 的切線；
（2）解：??BCD ? ?CAE ， ?ADC ? ?CDB ，
??CBD∽?DCA ，
? CD ? AD ? AC ，
BDCDBC
3
? 3 ? AD ，
1
? AD ? 3 ，
? AB ? AD ? BD ? 3 ? 1 ? 2 ，
設(shè) BC ? a ， AC ?
3a ，
根據(jù)勾股定理得， a2 ? ( 3a)2 ? 22 ，
? a ? 1 （負(fù)值舍去），
3
? AC ?．
24．（12 分）已知：以O(shè) 為圓心的扇形 AOB 中，?AOB ? 90? ，點(diǎn)C 為 ?AB 上一動點(diǎn)，射線 AC
交射線OB 于點(diǎn) D ，過點(diǎn) D 作OD 的垂線交射線OC 于點(diǎn) E ，連接 AE ．
如圖 1，當(dāng)四邊形 AODE 為矩形時，求?ADO 的度數(shù)；
當(dāng)扇形的半徑長為 10，且 AC ? 12 時，求線段 DE 的長；
連接 BC ，試問：在點(diǎn)C 運(yùn)動的過程中， ?BCD 的大小是否確定？若是，請求出它的度數(shù)；若不是，請說明理由．
【解答】解：（1）如圖 1 中，
?四邊形 ABCD 是矩形，
? AD ? EO ， AC ? CD ， OC ? CE ， ?AOD ? 90? ，
? AC ? OC ， 又? OA ? OC ，
? AC ? OC ? OA ，
??AOC 是等邊三角形，
??OAD ? 60? ，
??ADO ? 90? ? ?OAD ? 30? ．
如圖 2 中，作OH ? AD 于 H ．
? OA ? OC ， OH ? AC ，
? AH ? HC ? 6 ，
??OAH ? ?OAD ， ?AHO ? ?AOD ，
??AOH∽?ADO ，
? OA ? AH ，即 10
? 6 ? 3 ，
ADAOAD
解得 AD ? 50 ，
3
105
?CD ? AD ? AC ? 50 ? 12 ? 14 ，
33
? DE ? OD ，
??EDO ? 90? ，
??AOD ? ?EDO ? 180? ，
? DE / /OA ，
? DE ? CD ，
OAAC
14
? DE ? 3 ，
1012
? DE ? 35 ．
9
如圖 3 中，結(jié)論： ?BCD 的值是確定的． ?BCD ? 45? ． 理由：連接 AB 、 BC ．
??BCD ? ?BAC ? ?ABC ，
又??BAC ? 1 ?BOC ， ?ABC ? 1 ?AOC ，
22
??BCD ? 1 ?BOC ? 1 ?AOC ? 1 (?BCO ? ?AOC) ? 1 ? 90? ? 45? ．
2222
25．（12 分）已知拋物線 y ? x2 ? (m ? 1)x ? 2m ? 3(m 為常數(shù)），點(diǎn) A(?1, ?1) ， B(3, 7) ．
若拋物線 y ? x2 ? (m ?1)x ? 2m ? 3 經(jīng)過點(diǎn) B(3, 7) 時，求此時拋物線解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
拋物線的頂點(diǎn)隨著 m 的變化而移動．當(dāng)頂點(diǎn)移動到最高處時．
①求拋物線的解析式；
②在直線 AB 下方的拋物線上有一點(diǎn) E ，過點(diǎn) E 作 EF ? x 軸，交直線 AB 于點(diǎn) F ，求線段 EF
取最大值時的 E 點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】解：（1）把 x ? 3 ， y ? 7 代入拋物線得
9 ? (m ? 1) ? 3 ? 2m ? 3 ? 7 ，
? m ? 2 ，
? y ? x2 ? 3x ? 7 ? (x ? 3)2 ? 19 ，
24
?拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)是( 3 ， 19) ；
24
（2）①設(shè)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)是 n ，
4(2m ? 3) ? (m ? 1)21
n ?? ?
(m ? 3)2
? 5 ，
44
?當(dāng) m ? 3 時， n 最大，即頂點(diǎn)在最高點(diǎn)，
? y ? x2 ? 4x ? 9 ；
②設(shè) AB 的解析式是： y ? kx ? b ，
?3k ? b ? 7
? ??k ? b ? ?1 ，
?
?
? ?k ? 2 ，
?b ? 1
? y ? 2x ? 1 ，
設(shè) E(a, a2 ? 4a ? 9) ， F (a, 2a ?1) ，
?點(diǎn) E 在直線 AB 的下方，
? EF ? (2a ? 1) ? (a2 ? 4a ? 9) ? ?a2 ? 6a ? 8 ? ?(a ? 3)2 ? 1，
?當(dāng) a ? 3 時， EF 最大，最大值是 1，
當(dāng) a ? 3 時， a2 ? 4a ? 9 ? 32 ? 4 ? 3 ? 9 ? 6 ，
? E(3, 6) ．

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