?湖南省長沙市雨花區(qū)雅禮十五中2022-2023學(xué)年八年級上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷（解析版）
一、單選題（每小題3分，共36分）
1．用數(shù)學(xué)的眼光觀察下面的網(wǎng)絡(luò)圖標(biāo)，其中可以抽象成軸對稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
2．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（﹣2，1）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（　?。?br /> A．（2，1） B．（1，﹣2） C．（﹣2，﹣1） D．（2，﹣1）
3．截止到北京時(shí)間2022年6月11日全球新冠肺炎確診病例超過5.32億例，5.32億用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．5.32×108 B．53.2×107 C．0.532×109 D．5.32×107
4．若a＜b，則下列不等式中正確的是（　?。?br /> A．a(chǎn)﹣2＜b﹣2 B．a(chǎn)﹣b＞0 C． D．﹣3a＜﹣3b
5．若如圖中的兩個(gè)三角形全等，圖中的字母表示三角形的邊長，則∠1的度數(shù)為（　?。?br />
A．40° B．50° C．60° D．70°
6．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝6，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，△BCD的周長為（　　）

A．26 B．20 C．16 D．14
7．如圖，已知∠ABC＝∠DCB，下列所給條件不能證明△ABC≌△DCB的是（　　）

A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD
8．如圖，把長方形ABCD沿EF對折，若∠1＝50°，則∠AEF的度數(shù)為（　?。?br />
A．110° B．115° C．120° D．130°
9．一個(gè)角的度數(shù)比它的余角的度數(shù)大20°，則這個(gè)角的度數(shù)是（　　）
A．35° B．45° C．55° D．65°
10．下列說法錯(cuò)誤的是（　?。?br /> A．有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形
B．如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊相等
C．等腰三角形的角平分線，中線，高相互重合
D．三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．
11．如圖，在暑假期間，某學(xué)校對其校內(nèi)的高中樓（圖中的點(diǎn)A），臨建樓（圖中的點(diǎn)B）和圖書館（圖中的點(diǎn)C）進(jìn)行裝修，裝修工人小明需要放置一批裝修物資，使得裝修物資到點(diǎn)A，點(diǎn)B和點(diǎn)C的距離相等，則裝修物資應(yīng)該放置在（　?。?br />
A．AC、BC兩邊高線的交點(diǎn)處
B．在AC、BC兩邊中線的交點(diǎn)處
C．在∠A、∠B兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處
D．在AC、BC兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處
12．我國古代《孫子算經(jīng)》記載“多人共車”問題：“今有三人共車，二車空；二人共車，九人步問人與車各幾何？”意思是說“每三人共乘一輛車，最終剩余2輛車；每2人共乘一輛車，最終有9人無車可乘．問人和車的數(shù)量各是多少？”若設(shè)有x個(gè)人，則可列方程是（　?。?br /> A．3（x+2）＝2x﹣9 B．3（x﹣2）＝2x+9
C．+2＝ D．﹣2＝
二、填空題（每小題3分，共12分）
13．比較大?。骸? 　7．（用“＞”或“＜”連接）
14．如圖，在一次暴風(fēng)災(zāi)害中，一棵大樹在離地面2米處折斷，樹的另一部分倒地后與地面成30°角，那么這棵樹折斷之前的高度是　 　米．

15．如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝11，則線段MN的長為　 ?。?br />
16．已知不等式的解集是x＜2，則a的取值范圍是 　 　．
三、解答題（共72分）
17．（6分）計(jì)算：|﹣5|﹣+（﹣2）2+4÷（﹣）．
18．（6分）解不等式組：．
19．（6分）人教版初中數(shù)學(xué)教科書八年級上冊第48頁告訴我們一種作已知角的平分線的方法：
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分線．
作法：（1）以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N．
（2）分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)C．
（3）畫射線OC，射線OC即為所求（如圖）．
請你根據(jù)提供的材料完成下面問題．
（1）這種作已知角的平分線的方法的依據(jù)是 　 ?。ㄌ钚蛱枺?br /> ①SSS
②SAS
③AAS
④ASA
（2）請你證明OC為∠AOB的平分線．

20．（8分）某校為提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，準(zhǔn)備開設(shè)“泥塑”“繪畫”“書法”“街舞”四門校本課程，為了解學(xué)生對這四門課程的選擇情況（要求每名學(xué)生只能選擇其中一門課程），學(xué)校從七年級學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請你依據(jù)圖中信息解答下列問題：

（1）參加此次問卷調(diào)查的學(xué)生人數(shù)是 　 　人；
（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，選擇“泥塑”的學(xué)生所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)是 　 ??；
（3）通過計(jì)算將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；
（4）若該校七年級共有800名學(xué)生，請估計(jì)七年級學(xué)生中選擇“書法”課程的約有多少人？

21．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分線BE交AC的延長線于點(diǎn)E，點(diǎn)F為AC延長線上的一點(diǎn)，連接DF．
（1）求∠CBE的度數(shù)；
（2）若∠F＝25°，求證：BE∥DF．

22．（9分）倡導(dǎo)健康生活，推進(jìn)全民健身，某社區(qū)要整套購進(jìn)A，B兩種型號的健身器材．若購買A型號10套，B型號8套，恰好支出4600元，已知購買一套B型號健身器材比購買一套A型號健身器材要多花80元．
（1）求每套A，B型號健身器材的單價(jià)各是多少元？
（2）若購買A，B兩種型號的健身器材共40套，且支出不超過11000元，求A種型號健身器材至少要購買多少套？
23．（9分）已知，如圖，△ABC為等邊三角形，AE＝CD，AD、BE相交于點(diǎn)P．
（1）求證：△AEB≌△CDA；
（2）求∠EPQ的度數(shù)；
（3）若BQ⊥AD于Q，PQ＝7，PE＝3，求BE的長．

24．（10分）新定義：頂角相等且頂角頂點(diǎn)重合的兩個(gè)等腰三角形互為“雅系三角形”．

（1）如圖①，若△ABC和△ADE互為“雅系三角形”，連接BD、CE．求證：BD＝CE；
（2）如圖②，在（1）的條件下，若BD、CE交于點(diǎn)M，連接AM，求證：AM平分∠BME；
（3）如圖③，若AB＝AC，∠BAC＝∠ADC＝60°，試探究∠B和∠C的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

25．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（a，0），B（b，﹣4），且a，b滿足|a+b﹣12|+＝0．
（1）求出a，b的值；
（2）在x軸上是否存在點(diǎn)C，使△ABC的面積為8？如果存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由；
（3）如圖，已知M（m，0），N（n，﹣4）（點(diǎn)M在線段OA上），且實(shí)數(shù)m、n、s滿足，連接MN交OB于點(diǎn)D，點(diǎn)P是線段AB上的一點(diǎn)，連接PM，PD，AD，有，求點(diǎn)D的縱坐標(biāo)．


參考答案與試題解析
一、單選題（每小題3分，共36分）
1．用數(shù)學(xué)的眼光觀察下面的網(wǎng)絡(luò)圖標(biāo)，其中可以抽象成軸對稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】利用軸對稱圖形的概念求解．
【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
B、不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
D、不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評】此題主要考查了軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
2．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（﹣2，1）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（　?。?br /> A．（2，1） B．（1，﹣2） C．（﹣2，﹣1） D．（2，﹣1）
【分析】直接利用關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，得出答案．
【解答】解：點(diǎn)P（﹣2，1）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣2，﹣1）．
故選：C．
【點(diǎn)評】此題主要考查了關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的性質(zhì)，正確掌握橫縱坐標(biāo)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．
3．截止到北京時(shí)間2022年6月11日全球新冠肺炎確診病例超過5.32億例，5.32億用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．5.32×108 B．53.2×107 C．0.532×109 D．5.32×107
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．
【解答】解：5.32億＝532000000＝5.32×108，
故選：A．
【點(diǎn)評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
4．若a＜b，則下列不等式中正確的是（　?。?br /> A．a(chǎn)﹣2＜b﹣2 B．a(chǎn)﹣b＞0 C． D．﹣3a＜﹣3b
【分析】依據(jù)不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．
【解答】解：若a＜b，則a﹣2＜b﹣2，故A選項(xiàng)正確；
若a＜b，則a﹣b＜0，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
若a＜b，則a＜b，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
若a＜b，則﹣3a＞﹣3b，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：A．
【點(diǎn)評】本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)，在不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，一定要改變不等號的方向．
5．若如圖中的兩個(gè)三角形全等，圖中的字母表示三角形的邊長，則∠1的度數(shù)為（　?。?br />
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】在左圖中，先利用三角形內(nèi)角和計(jì)算出邊a所對的角為50°，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠1的度數(shù)．
【解答】解：在左圖中，邊a所對的角為180°﹣60°﹣70°＝50°，
因?yàn)閳D中的兩個(gè)三角形全等，
所以∠1的度數(shù)為50°．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等；全等三角形的對應(yīng)角相等．
6．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝6，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，△BCD的周長為（　?。?br />
A．26 B．20 C．16 D．14
【分析】由尺規(guī)作圖痕跡可知，所作直線為線段AC的垂直平分線，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AD＝CD，進(jìn)而可得CD+BD＝10，從而可得出答案．
【解答】解：由尺規(guī)作圖痕跡可知，所作直線為線段AC的垂直平分線，
∴AD＝CD，
∴AB＝AD+BD＝CD+BD＝10，
∵BC＝6，
∴△BCD的周長為CD+BD+BC＝10+6＝16．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查尺規(guī)作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)以及作圖方法是解答本題的關(guān)鍵．
7．如圖，已知∠ABC＝∠DCB，下列所給條件不能證明△ABC≌△DCB的是（　　）

A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD
【分析】根據(jù)題目所給條件∠ABC＝∠DCB，再加上公共邊BC＝BC，然后再結(jié)合判定定理分別進(jìn)行分析即可．
【解答】解：A、添加∠A＝∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此選項(xiàng)不合題意；
B、添加AB＝DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此選項(xiàng)不合題意；
C、添加∠ACB＝∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此選項(xiàng)不合題意；
D、添加AC＝BD不能判定△ABC≌△DCB，故此選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．
8．如圖，把長方形ABCD沿EF對折，若∠1＝50°，則∠AEF的度數(shù)為（　?。?br />
A．110° B．115° C．120° D．130°
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)及∠1＝50°可求出∠BFE的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)即可得到∠AEF的度數(shù)．
【解答】解：根據(jù)折疊以及∠1＝50°，得
∠BFE＝∠BFG＝（180°﹣∠1）＝65°．
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝180°﹣∠BFE＝115°．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查的是平行線的性質(zhì)及圖形翻折變換的性質(zhì)，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．
9．一個(gè)角的度數(shù)比它的余角的度數(shù)大20°，則這個(gè)角的度數(shù)是（　?。?br /> A．35° B．45° C．55° D．65°
【分析】設(shè)這個(gè)角為x，則它的余角為90°﹣x，根據(jù)題意列出方程可得出x的值．
【解答】解：設(shè)這個(gè)角為x，則它的余角為90°﹣x，由題意得
x﹣（90°﹣x）＝20°，
解得：x＝55°．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了余角和補(bǔ)角的知識，屬于基礎(chǔ)題，注意掌握互為余角的兩角之和為90°．
10．下列說法錯(cuò)誤的是（　?。?br /> A．有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形
B．如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊相等
C．等腰三角形的角平分線，中線，高相互重合
D．三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)和判定逐個(gè)進(jìn)行分析判斷，即可得到答案．
【解答】解：A．有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形，故本選項(xiàng)不合題意；
B．如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊相等，故本選項(xiàng)不合題意；
C．等腰三角形頂角的角平分線，底邊的中線，高相互重合，說法錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)符合題意；
D．三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形，故本選項(xiàng)不合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
11．如圖，在暑假期間，某學(xué)校對其校內(nèi)的高中樓（圖中的點(diǎn)A），臨建樓（圖中的點(diǎn)B）和圖書館（圖中的點(diǎn)C）進(jìn)行裝修，裝修工人小明需要放置一批裝修物資，使得裝修物資到點(diǎn)A，點(diǎn)B和點(diǎn)C的距離相等，則裝修物資應(yīng)該放置在（　?。?br />
A．AC、BC兩邊高線的交點(diǎn)處
B．在AC、BC兩邊中線的交點(diǎn)處
C．在∠A、∠B兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處
D．在AC、BC兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)判斷即可，
【解答】解：作AC、BC兩邊的垂直平分線，它們的交點(diǎn)是P，
由線段的垂直平分線的性質(zhì)，PA＝PB＝PC，
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12．我國古代《孫子算經(jīng)》記載“多人共車”問題：“今有三人共車，二車空；二人共車，九人步問人與車各幾何？”意思是說“每三人共乘一輛車，最終剩余2輛車；每2人共乘一輛車，最終有9人無車可乘．問人和車的數(shù)量各是多少？”若設(shè)有x個(gè)人，則可列方程是（　?。?br /> A．3（x+2）＝2x﹣9 B．3（x﹣2）＝2x+9
C．+2＝ D．﹣2＝
【分析】設(shè)有x個(gè)人，由每三人共乘一輛車，最終剩余2輛車；每2人共乘一輛車，最終有9人無車可乘，根據(jù)車的數(shù)量不變列出方程即可．
【解答】解：設(shè)有x個(gè)人，則可列方程：
+2＝．
故選：C．
【點(diǎn)評】此題主要考查了由實(shí)際問題抽象出一元一次方程，正確表示車的數(shù)量是解題關(guān)鍵．
二、填空題（每小題3分，共12分）
13．比較大?。骸。肌?．（用“＞”或“＜”連接）
【分析】兩個(gè)正實(shí)數(shù)，平方大的，這個(gè)正實(shí)數(shù)也大，據(jù)此判斷出、7的大小關(guān)系即可．
【解答】解：＝47，72＝49，
∵47＜49，
∴＜7．
故答案為：＜．
【點(diǎn)評】此題主要考查了實(shí)數(shù)大小比較的方法，解答此題的關(guān)鍵是要明確：正實(shí)數(shù)＞0＞負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)正實(shí)數(shù)，平方大的，這個(gè)正實(shí)數(shù)也大．
14．如圖，在一次暴風(fēng)災(zāi)害中，一棵大樹在離地面2米處折斷，樹的另一部分倒地后與地面成30°角，那么這棵樹折斷之前的高度是　6　米．

【分析】由題意得，在直角三角形中，知道了短直角邊和一銳角為30度，運(yùn)用直角三角形30度角的性質(zhì)，從而得出這棵樹折斷之前的高度．
【解答】解：∵一棵大樹在離地面2米處折斷，樹的另一部分倒地后與地面成30°角，

如圖，可知：∠ACB＝90°，AC＝2米，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝4米，
∴折斷前高度為2+4＝6（米）．
故答案為6．
【點(diǎn)評】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生對勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用能力．
15．如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝11，則線段MN的長為　11?。?br />
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠MEB＝∠EBC，∠NEC＝∠ECB，根據(jù)角平分線定義得出∠MBE＝∠EBC，∠NCE＝∠ECB，求出∠MEB＝∠MBE，∠NEC＝∠NCE，推出ME＝BM，EN＝CN即可．
【解答】解：∵M(jìn)N∥BC，
∴∠MEB＝∠EBC，∠NEC＝∠ECB，
∵∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)E，
∴∠MBE＝∠EBC，∠NCE＝∠ECB，
∴∠MEB＝∠MBE，∠NEC＝∠NCE，
∴ME＝BM，EN＝CN，
∵BM+CN＝11，
∴EM+EN＝11，
即MN＝11，
故答案為：11．
【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的判定、平行線的性質(zhì)、角平分線定義等知識點(diǎn)，能求出ME＝BM和EN＝CN是解此題的關(guān)鍵．
16．已知不等式的解集是x＜2，則a的取值范圍是 　a≥2　．
【分析】根據(jù)不等式組的求解規(guī)律：大大取較大，小小取較小，大小小大中間找，大大小小無解，探究a的取值范圍即可．
【解答】解：由不等式組的解集是x＜2，
因此a的取值范圍是a≥2．
故答案為：a≥2．
【點(diǎn)評】本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
三、解答題（共72分）
17．（6分）計(jì)算：|﹣5|﹣+（﹣2）2+4÷（﹣）．
【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)、立方根的性質(zhì)以及實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則化簡計(jì)算即可；
【解答】解：原式＝5﹣3+4﹣6＝0
【點(diǎn)評】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是：掌握先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運(yùn)算中要從左到右依次運(yùn)算，無論何種運(yùn)算，都要注意先定符號后運(yùn)算．
18．（6分）解不等式組：．
【分析】按照解一元一次不等式組的步驟，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞﹣2，
解不等式②得：x≤4，
∴原不等式組的解集為：﹣2＜x≤4．
【點(diǎn)評】本題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握解一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．
19．（6分）人教版初中數(shù)學(xué)教科書八年級上冊第48頁告訴我們一種作已知角的平分線的方法：
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分線．
作法：（1）以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N．
（2）分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)C．
（3）畫射線OC，射線OC即為所求（如圖）．
請你根據(jù)提供的材料完成下面問題．
（1）這種作已知角的平分線的方法的依據(jù)是 ?、佟。ㄌ钚蛱枺?br /> ①SSS
②SAS
③AAS
④ASA
（2）請你證明OC為∠AOB的平分線．

【分析】（1）直接利用角平分線的作法得出基本依據(jù)；
（2）直接利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出答案．
【解答】解：（1）這種作已知角的平分線的方法的依據(jù)是①SSS．
故答案為：①

（2）由基本作圖方法可得：OM＝ON，OC＝OC，MC＝NC，
則在△OMC和△ONC中，
，
∴△OMC≌△ONC（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC，
即OC為∠AOB的平分線．

【點(diǎn)評】此題主要考查了應(yīng)用設(shè)計(jì)與作圖，正確掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．
20．（8分）某校為提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，準(zhǔn)備開設(shè)“泥塑”“繪畫”“書法”“街舞”四門校本課程，為了解學(xué)生對這四門課程的選擇情況（要求每名學(xué)生只能選擇其中一門課程），學(xué)校從七年級學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請你依據(jù)圖中信息解答下列問題：

（1）參加此次問卷調(diào)查的學(xué)生人數(shù)是 　50　人；
（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，選擇“泥塑”的學(xué)生所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)是 　64.8°　；
（3）通過計(jì)算將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；
（4）若該校七年級共有800名學(xué)生，請估計(jì)七年級學(xué)生中選擇“書法”課程的約有多少人？

【分析】（1）根據(jù)“街舞”的人數(shù)和所占的百分比，求出調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)；
（2）用選擇“泥塑”課程的學(xué)生數(shù)除以總?cè)藬?shù)，再乘以360°即可得出選擇“泥塑”的學(xué)生所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)；
（3）用總?cè)藬?shù)減去其它課程的人數(shù)，求出“繪畫”的人數(shù)，從而補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖；
（4）用樣本估計(jì)總體即可．
【解答】解：（1）參加此次問卷調(diào)查的學(xué)生人數(shù)是：7÷14%＝50（人）；
故答案為：50；
（2）選擇“泥塑”的學(xué)生所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)是：360°×＝64.8°．
故答案為：64.8°；
（3）“繪畫”的人數(shù)為：50﹣9﹣18﹣7＝16（人），
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示．

（4）800×＝288（人）．
答：估計(jì)七年級學(xué)生中選擇“書法”課程的約有288人．
【點(diǎn)評】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、用樣本估計(jì)總體，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
21．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分線BE交AC的延長線于點(diǎn)E，點(diǎn)F為AC延長線上的一點(diǎn)，連接DF．
（1）求∠CBE的度數(shù)；
（2）若∠F＝25°，求證：BE∥DF．

【分析】（1）先根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，由鄰補(bǔ)角定義得出∠CBD＝130°．再根據(jù)角平分線定義即可求出∠CBE＝65°；
（2）先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠CEB＝90°﹣65°＝25°，再根據(jù)∠F＝25°，即可得出BE∥DF．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，
∴∠CBD＝130°．
∵BE是∠CBD的平分線，
∴∠CBE＝∠CBD＝65°；

（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，
∴∠CEB＝90°﹣65°＝25°．
又∵∠F＝25°，
∴∠F＝∠CEB＝25°，
∴DF∥BE．

【點(diǎn)評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角定義，角平分線定義．掌握各定義與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
22．（9分）倡導(dǎo)健康生活，推進(jìn)全民健身，某社區(qū)要整套購進(jìn)A，B兩種型號的健身器材．若購買A型號10套，B型號8套，恰好支出4600元，已知購買一套B型號健身器材比購買一套A型號健身器材要多花80元．
（1）求每套A，B型號健身器材的單價(jià)各是多少元？
（2）若購買A，B兩種型號的健身器材共40套，且支出不超過11000元，求A種型號健身器材至少要購買多少套？
【分析】（1）設(shè)每套A型號健身器材的單價(jià)是x元，每套B型號健身器材的單價(jià)是y元，根據(jù)“購買A型號10套，B型號8套，恰好支出4600元，購買一套B型號健身器材比購買一套A型號健身器材要多花80元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)A型號健身器材購買m套，則B型號健身器材購買（40﹣m）套，利用總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，結(jié)合總價(jià)不超過11000元，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍，再取其中的最小整數(shù)值即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)每套A型號健身器材的單價(jià)是x元，每套B型號健身器材的單價(jià)是y元，
依題意得：，
解得：．
答：每套A型號健身器材的單價(jià)是220元，每套B型號健身器材的單價(jià)是300元．
（2）設(shè)A型號健身器材購買m套，則B型號健身器材購買（40﹣m）套，
依題意得：220m+300（40﹣m）≤11000，
解得：m≥，
又∵m為正整數(shù)，
∴m的最小值為13．
答：A型號健身器材至少要購買13套．
【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．
23．（9分）已知，如圖，△ABC為等邊三角形，AE＝CD，AD、BE相交于點(diǎn)P．
（1）求證：△AEB≌△CDA；
（2）求∠EPQ的度數(shù)；
（3）若BQ⊥AD于Q，PQ＝7，PE＝3，求BE的長．

【分析】（1）由△ABC是等邊三角形，得AB＝CA，∠BAE＝∠C＝60°，即可根據(jù)全等三角形的判定定理“SAS”證明△AEB≌△CDA；
（2）由△AEB≌△CDA，得∠ABE＝∠CAD，則∠BPQ＝∠BAD+∠ABE＝∠BAD+∠CAD＝60°，所以∠EPQ＝180°﹣∠BPQ＝120°；
（3）由∠PQB＝90°，∠BPQ＝60°，得∠PBQ＝30°，而PQ＝7，PE＝3，所以BP＝2PQ＝14，BE＝BP+PE＝17．
【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝CA，∠BAE＝∠C＝60°，
在△AEB和△CDA中，
，
∴△AEB≌△CDA（SAS）．
（2）解：∵△AEB≌△CDA，
∴∠ABE＝∠CAD，
∴∠BPQ＝∠BAD+∠ABE＝∠BAD+∠CAD＝∠BAC＝60°，
∴∠EPQ＝180°﹣∠BPQ＝120°，
∴∠EPQ的度數(shù)是120°．
（3）解：∵BQ⊥AD于Q，PQ＝7，PE＝3，
∴∠PQB＝90°，
∴∠BPQ＝60°，
∴∠PBQ＝30°，
∴BP＝2PQ＝2×7＝14，
∴BE＝BP+PE＝14+3＝17，
∴BE的長是17．
【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和、直角三角形的兩個(gè)銳角互余、直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半等知識，正確地找到全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角是解題的關(guān)鍵．
24．（10分）新定義：頂角相等且頂角頂點(diǎn)重合的兩個(gè)等腰三角形互為“雅系三角形”．

（1）如圖①，若△ABC和△ADE互為“雅系三角形”，連接BD、CE．求證：BD＝CE；
（2）如圖②，在（1）的條件下，若BD、CE交于點(diǎn)M，連接AM，求證：AM平分∠BME；
（3）如圖③，若AB＝AC，∠BAC＝∠ADC＝60°，試探究∠B和∠C的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

【分析】（1）根據(jù)“雅系三角形”的定義得到∠BAC＝∠DAE，進(jìn)而得到∠CAE＝∠BAD，證明△BAD≌△CAE（SAS），即可解決問題；
（2）過點(diǎn)A作AG⊥DM于G，AH⊥EM于H，證明△BAD≌△CAE，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)高相等得到AG＝AH，根據(jù)角平分線的判定定理證明結(jié)論；
（3）延長DC至點(diǎn)P，使DP＝AD，證明△BAD≌△CAP，得到∠B＝∠ACP，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義證明即可．
【解答】（1）證明：∵△ABC和△ADE互為“雅系三角形”，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠CAE＝∠BAD，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；

（2）證明：如圖②，過點(diǎn)A作AG⊥DM于G，AH⊥EM于H，
∵△ABC和△ADE互為“雅系三角形”．
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠CAE＝∠BAD，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∵AG⊥DM，AH⊥EM，
∴AG＝AH，
∵AG⊥DM，AH⊥EM，
∴AM平分∠BME；

（3）解：結(jié)論：∠B+∠C＝180°，
理由：如圖③，延長DC至點(diǎn)P，使DP＝AD，連接AP，
∵∠ADP＝60°，
∴△ADP為等邊三角形，
∴AD＝AP，∠DAP＝60°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAP，
在△BAD和△CAP中，
，
∴△BAD≌△CAP（SAS），
∴∠B＝∠ACP，
∵∠ACD+∠ACP＝180°，
∴∠B+∠ACD＝180°．


【點(diǎn)評】本題屬于三角形綜合題，考查了“雅系三角形”的定義，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．
25．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（a，0），B（b，﹣4），且a，b滿足|a+b﹣12|+＝0．
（1）求出a，b的值；
（2）在x軸上是否存在點(diǎn)C，使△ABC的面積為8？如果存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由；
（3）如圖，已知M（m，0），N（n，﹣4）（點(diǎn)M在線段OA上），且實(shí)數(shù)m、n、s滿足，連接MN交OB于點(diǎn)D，點(diǎn)P是線段AB上的一點(diǎn)，連接PM，PD，AD，有，求點(diǎn)D的縱坐標(biāo)．

【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出方程組，解方程組求出a、b，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算求出S△AOB的面積；
（2）設(shè)C（m，0），根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算；
（3）作DQ⊥x軸于點(diǎn)Q，作BS⊥x軸于點(diǎn)S，解方程組用s表示出m、n，得到AB∥MN，根據(jù)三角形的面積公式求出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)即可．
【解答】解：（1）∵|a+b﹣12|+＝0，
又∵|a+b﹣12|≥0，≥0．
∴，
∴；

（2）存在．設(shè)C（m，0），
∵A（7，0），B（5，﹣4），△ABC的面積為8，
∴×|7﹣m|×4＝8，
∴m＝3或﹣11，
∴C（3，0）或（﹣11，0）；

（3）設(shè)D（x，y）．
，
解得，，
∵M(jìn)（7﹣s，0），N（5﹣s，﹣4），A（7，0），B（5，﹣4），
∴AB∥MN，
∴＝＝，
∴＝，
解答，|y|＝，
∵點(diǎn)D在第四象限，
∴y＝﹣，
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為﹣．
【點(diǎn)評】本題屬于三角形綜合題，考查了三角形的面積，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，等高模型等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．


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