3.4 實(shí)際問題與一元一次方程（第2課時(shí)） 教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容本節(jié)課是人教版《義務(wù)教育教科書?數(shù)學(xué)》七年級上冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第三章“一元一次方程”3.4實(shí)際問題與一元一次方程第2課時(shí)，內(nèi)容包括利用一元一次方程分析與解決“銷售中的盈虧”問題.2.內(nèi)容解析“銷售中的盈虧”問題是實(shí)際生活中的常見問題，也是可借助方程模型解決的典型問題之一，并具有一定的代表性.“增長率問題”“溶液配比問題”等相關(guān)問題均與其具有類似的數(shù)量特征．這類問題的背景和表達(dá)都更貼近實(shí)際，其中的有些數(shù)量關(guān)系也比較隱蔽．對這一問題的探究可以使學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)一元一次方程與實(shí)際的密切聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)建模思想，培養(yǎng)運(yùn)用一元一次方程分析和解決實(shí)際問題的能力.在“銷售中的盈虧”的探究中，解決問題的關(guān)鍵有以下兩點(diǎn):（1）理解和生活緊密相關(guān)的“成本”“售價(jià)”“盈利”“虧損”“利潤率”等相關(guān)概念；（2）“利潤率”“虧損率”都是比值，要找準(zhǔn)這一比值所對應(yīng)的參照量.基于以上分析，可以確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：“銷售中的盈虧”問題的探究過程．二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)（1）理解“銷售中的盈虧”問題中的相關(guān)概念及它們之間的數(shù)量關(guān)系．（2）能適時(shí)的利用“一元一次方程”這一工具解決問題（3）經(jīng)歷探究解題的過程，增強(qiáng)探究解決綜合性問題的能力．2.目標(biāo)解析（1）理解問題相關(guān)的“成本”“售價(jià)”“盈利”“虧損”“利潤率”等相關(guān)概念；理解“利潤＝售價(jià)－成本”“利潤率＝”等數(shù)量關(guān)系．（2）能找解決問題所需的關(guān)鍵量，如“盈利衣服的盈利額”“虧損衣服的虧損額”，并利用一元一次方程將之求出．（3）經(jīng)歷“估算猜想—探究驗(yàn)證”的問題探究過程，積累探究綜合性問題的經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)探究解決綜合性問題的能力．三、教學(xué)問題診斷分析學(xué)生通過之前的學(xué)習(xí)，對應(yīng)用一元一次方程解決簡單實(shí)際問題具備了一定的基礎(chǔ)，對建立方程模型解決問題的基本過程也有基本的認(rèn)識．但在這些問題中建立方程的目的就是為求得問題中某一變量的值，所以設(shè)未知數(shù)和列方程的指向性比較明顯．而本課中，以探究問題為代表的系列問題均以“判斷決策”為最終目標(biāo)，沒有明確要求建立方程以及為何建立方程，這一過程中就需要學(xué)生自行分析并發(fā)現(xiàn)影響決策的關(guān)鍵變量，并自覺建立方程來求得．學(xué)生在這種自行選擇探究方向和探究方法的問題中缺乏經(jīng)驗(yàn)，為幫助學(xué)生克服這一困難，教學(xué)過程中教師應(yīng)加強(qiáng)引領(lǐng)和示范，突出將“判斷決策”的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為“比較數(shù)字大小”的數(shù)學(xué)問題的過程，及一元一次方程的工具性.基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：在探究過程中適時(shí)建立一元一次方程解決問題．四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）回顧舊知1. 商品原價(jià)200元，九折出售，售價(jià)是    180     元.2. 商品進(jìn)價(jià)是150元，售價(jià)是180元，則利潤是   30   元，利潤率是    20%     .　3. 某商品原來每件零售價(jià)是 a 元，現(xiàn)在每件降價(jià)10%，降價(jià)后每件零售價(jià)是 0.9a元.4. 某種品牌的彩電降價(jià)20%以后，每臺售價(jià)為a元，則該品牌彩電每臺原價(jià)應(yīng)為　        1.25a 元.5. 某商品按定價(jià)的八折出售，售價(jià)是12.8元，則原定售價(jià)是　16  元.　師生活動：學(xué)生回顧，組內(nèi)完成后，教師提出思考：（1）以上問題中有哪些量？（2）這些量有何關(guān)系？（二）問題的初探一商店在某一時(shí)間以每件60元的價(jià)格賣出兩件衣服，其中一件盈利25%，另一件虧損25%，賣這兩件衣服總的是盈利還是虧損，或是不盈不虧？問題1：你估計(jì)盈虧情況是怎樣的？（A）盈利．（B）虧損．（C）不盈不虧．師生活動：教師提出問題，學(xué)生通過估算猜想結(jié)論，簡單閘述理由；教師通過學(xué)生回答情況了解學(xué)生對問題的認(rèn)識情況．【設(shè)計(jì)意圖】估算能力是數(shù)學(xué)應(yīng)用過程中的重要能力之一，設(shè)置對結(jié)論的話算環(huán)節(jié)可以培養(yǎng)學(xué)生的估算能力，并通過學(xué)生的估算了解學(xué)生對銷售問題的認(rèn)識水平．問題2：銷售的盈虧決定于什么？師生活動：教師提出問題，學(xué)生思考并回答，得到“總的盈虧決定于總成本和總售價(jià)的比較”這一結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注“兩件衣服的總成本”，學(xué)生回答過程中，教師適時(shí)提問“成本”“售價(jià)”等相關(guān)概念，引領(lǐng)學(xué)生熟悉問題情境．【設(shè)計(jì)意圖】借助問題引導(dǎo)學(xué)生熟悉并理解問題情境及相關(guān)概念，并引領(lǐng)學(xué)生將“總的是盈利還是虧損”的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為“比較總成本與總銷售額大小”的數(shù)學(xué)問題，滲透轉(zhuǎn)化思想．（三）問題的進(jìn)一步探究問題3：兩件衣服的成本各是多少元？這個(gè)結(jié)論與你的猜想一致嗎？解：（1）設(shè)盈利25%的衣服進(jìn)價(jià)是x元，依題意得 x＋0.25 x＝60.解得 x＝48.（2）設(shè)虧損25%的衣服進(jìn)價(jià)是 y元，依題意得  y－0.25y＝60.解得 y＝80.兩件衣服總成本：x+y=48＋80＝128（元）.因?yàn)?/span>120－128＝－8（元）所以賣這兩件衣服共虧損了8元．師生活動：教師提出問題，學(xué)生自行演算，教師巡視指導(dǎo)．在指導(dǎo)過程中，教師應(yīng)關(guān)注：（1）學(xué)生對“利潤率”和“虧損率”這兩個(gè)概念能否正確理解；（2）學(xué)生是否注意在同一問題中出現(xiàn)兩個(gè)未知量，應(yīng)設(shè)不同的未知數(shù)表示．學(xué)生演算完成后提示學(xué)生將演算結(jié)論和之前估算的結(jié)論進(jìn)行比較，并分析原因．在學(xué)生完成之后，選同學(xué)表述解題過程，教師板書并點(diǎn)評．【設(shè)計(jì)意圖】教師通過問題2幫助學(xué)生明確了探究方向之后，讓學(xué)生自主探究這一問題，使學(xué)生經(jīng)歷探究過程，尤其是讓學(xué)生體驗(yàn)“估算猜想—探究驗(yàn)證”的過程，有助于提高學(xué)生的探究能力．（四）針對訓(xùn)練1. 某琴行同時(shí)賣出兩臺鋼琴，每臺售價(jià)為960元．其中一臺盈利20%，另一臺虧損20%. 這次琴行是盈利還是虧損，或是不盈不虧？答案：這次琴行虧本80元．2. 某文具店有兩個(gè)進(jìn)價(jià)不同的計(jì)算器都賣64元，其中一個(gè)盈利60%，另一個(gè)虧本20%. 這次交易中的盈虧情況？答案：這次交易盈利8元.3. 某商品的零售價(jià)是900元，為適應(yīng)競爭，商店按零售價(jià)打 9 折 (即原價(jià)的 90% )，并再讓利 40 元銷售，仍可獲利 10% ，求該商品的進(jìn)價(jià)．解：設(shè)該商品的進(jìn)價(jià)為每件x元，依題意，得 900×0.9－40＝10% x＋x，解得 x＝700.答：該商品的進(jìn)價(jià)為700元．師生活動：教師依次給出練習(xí)，學(xué)生自主練習(xí)，教師巡視，選學(xué)生展示解答過程，學(xué)生點(diǎn)評．【設(shè)計(jì)意圖】在教師引領(lǐng)完成探究問題之后，依次給出練習(xí)，使學(xué)生在探究問題中獲得的解題經(jīng)驗(yàn)得以鞏固，并通過應(yīng)用練習(xí)轉(zhuǎn)化為能力．（五）當(dāng)堂鞏固1. 某種商品的進(jìn)貨檢為每件a元，零售價(jià)為每件90元，若商品按八五折出售，仍可獲利10%，則下列方程正確的是（　D?。?/span>A．85%a=10%×90            B．90×85%×10%=a C．85%(90－a)=10%           D．(1+10%)a=90×85%  2. 兩件商品都賣120元，其中一件贏利25%，另一件虧本20%，則兩件商品賣出后（　D?。?/span>A．盈利16元       B．虧本16元      C．贏利6元        D．虧本6元 3. 某種商品因換季準(zhǔn)備打折出售，如果按原定價(jià)的七五折出售，將賠25元，而按原定價(jià)的九折出售，將賺20元，則這種商品的原價(jià)是（　C　）A．500元           B．400元         C．300元           D．200元 4. 某商場把進(jìn)價(jià)為1980元的商品按標(biāo)價(jià)的八折出售，仍獲利10%，則該商品的標(biāo)價(jià)為     2725    元.5. 我國政府為解決老百姓看病難的問題，決定下調(diào)藥品的價(jià)格，某種藥品在 2019年漲價(jià) 30% 后，2021年又降價(jià) 70% 至 a 元，則這種藥品在2019 年漲價(jià)前的價(jià)格為      元. 6. 某商品的進(jìn)價(jià)是1000元，售價(jià)是1500元，由于銷售情況不好，商店決定降價(jià)出售，但又要保證利潤率不低于5%，那么商店最多可打幾折出售此商品？解：設(shè)商店最多可以打x折出售此商品，根據(jù)題意，得．解得 x = 7.答：商店最多可以打7折出售此商品.【設(shè)計(jì)意圖】考查學(xué)生對銷售問題中“盈利率”等概念的理解情況，以及對建立方程模型解決此類問題的一般方法的掌握．（六）能力提升據(jù)了解個(gè)體商店銷售中售價(jià)只要高出進(jìn)價(jià)的20% 便可盈利，但老板們常以高出進(jìn)價(jià)50%~100%標(biāo)價(jià)，假若你準(zhǔn)備買一雙標(biāo)價(jià)為600元的運(yùn)動鞋，應(yīng)在什么范圍內(nèi)還價(jià)？ 解：如下圖：答：應(yīng)在360元～480元內(nèi)還價(jià).【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步考查學(xué)生對建立方程模型解決此類問題的一般方法的掌握．（七）感受中考1.（5分）（2021?陜西19/26）一家商店在銷售某種服裝（每件的標(biāo)價(jià)相同）時(shí)，按這種服裝每件標(biāo)價(jià)的8折銷售10件的銷售額，與按這種服裝每件的標(biāo)價(jià)降低30元銷售11件的銷售額相等．求這種服裝每件的標(biāo)價(jià)．【解答】解：設(shè)這種服裝每件的標(biāo)價(jià)是x元，根據(jù)題意得，10×0.8x＝11（x－30），解得x＝110，答：這種服裝每件的標(biāo)價(jià)為110元．2.（6分）（2020?山西17/23）2020年5月份，省城太原開展了“活力太原·樂購晉陽”消費(fèi)暖心活動，本次活動中的家電消費(fèi)券單筆交易滿600元立減128元（每次只能使用一張）．某品牌電飯煲按進(jìn)價(jià)提高50%后標(biāo)價(jià)，若按標(biāo)價(jià)的八折銷售，某顧客購買該電飯煲時(shí)，使用一張家電消費(fèi)券后，又付現(xiàn)金568元．求該電飯煲的進(jìn)價(jià)．【解答】解：設(shè)該電飯煲的進(jìn)價(jià)為x元，則標(biāo)價(jià)為(1+50%)x元，售價(jià)為80%×(1+50%)x元，根據(jù)題意，得80%×(1+50%)x－128=568，解得x=580．答：該電飯煲的進(jìn)價(jià)為580元．3.（3分）（2018?通遼8/26）一商店以每件150元的價(jià)格賣出兩件不同的商品，其中一件盈利25%，另一件虧損25%，則商店賣這兩件商品總的盈虧情況是（　?。?/span>A．虧損20元     B．盈利30元    C．虧損50元       D．不盈不虧【解答】解：設(shè)盈利的商品的進(jìn)價(jià)為x元，虧損的商品的進(jìn)價(jià)為y元，根據(jù)題意得：150－x＝25%x，150－y＝－25%y，解得：x＝120，y＝200，所以150+150－120－200＝－20（元）．故選：A．4.（3分）（2018?呼和浩特13/25）文具店銷售某種筆袋，每個(gè)18元，小華去購買這種筆袋，結(jié)賬時(shí)店員說：“如果你再多買一個(gè)就可以打九折，價(jià)錢比現(xiàn)在便宜36元”，小華說：“那就多買一個(gè)吧，謝謝.”根據(jù)兩人的對話可知，小華結(jié)賬時(shí)實(shí)際付款             元．【解答】解：設(shè)小華購買了x個(gè)筆袋，根據(jù)題意得：18(x－1)－18×0.9x＝36，解得：x＝30，所以18×0.9x＝18×0.9×30＝486．答：小華結(jié)賬時(shí)實(shí)際付款486元．故答案為：486．【設(shè)計(jì)意圖】通過對最近幾年的中考真題的訓(xùn)練，使學(xué)生提前感受中考考什么，進(jìn)一步了解考點(diǎn)． （八）課堂小結(jié)教師和學(xué)生共同回顧本節(jié)內(nèi)容，并回答以下問題：（1）這節(jié)課你學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？（2）通過學(xué)習(xí)你有哪些收獲？【設(shè)計(jì)意圖】通過問題引領(lǐng)學(xué)生梳理探究過程，歸納探究方法．（九）布置作業(yè)P106：練習(xí)：第1題.P107：習(xí)題3.4：第11題.五、教學(xué)反思本節(jié)內(nèi)容是學(xué)生進(jìn)入中學(xué)后代數(shù)知識學(xué)習(xí)的又一次重要跨越．在前面，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了有理數(shù)、整式的加減和一元一次方程的解法，對數(shù)的認(rèn)識已經(jīng)由非負(fù)數(shù)有理數(shù)擴(kuò)展到有理數(shù)，知道了用字母可以表示具有一般意義的數(shù)量關(guān)系，掌握了解一元一次方程的一般步驟和基本方法，學(xué)生對代數(shù)知識的學(xué)習(xí)正逐步深入，他們的代數(shù)變形能力正逐步提高．本節(jié)是第三章一元一次方程的最后一節(jié)，是對前面所學(xué)內(nèi)容的綜合運(yùn)用，也是七上教材“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的壓軸內(nèi)容．列方程解決實(shí)際問題是本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，更是貫穿本章前后的一條主線．在前面討論一元一次方程解法時(shí)，也是先給出實(shí)際問題，然后通過設(shè)未知數(shù)列方程再逐步研究和完善解一元一次方程一般步驟的．本節(jié)是直接運(yùn)用解一元一次方程的一般步驟與方法解決實(shí)際問題．這樣設(shè)計(jì)教材，既揭示了學(xué)習(xí)解一元一次方程的必要性，體現(xiàn)了一元一次方程在實(shí)際生活中廣泛的應(yīng)用價(jià)值，也有利于學(xué)生帶著問題（如何解一元一次方程）來學(xué)習(xí)和探究，使得他們的學(xué)習(xí)方向更明確，階段目標(biāo)更具體，也利于分散難點(diǎn)，便于學(xué)生有層次、有梯度地學(xué)習(xí)．列方程就是通過讀題審題理清和尋找題目中相等的數(shù)量關(guān)系，通過設(shè)未知數(shù)將這些相等的數(shù)量關(guān)系表示出來．解一元一次方程就是，通過去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等步驟，將方程向ax=b（a≠0）的方向轉(zhuǎn)化，其中體現(xiàn)了化歸和程序化思想．解方程得到的未知數(shù)的值，是否符合具體問題的實(shí)際意義，是我們學(xué)習(xí)列方程解應(yīng)用題需要關(guān)注的．這既是實(shí)際問題與數(shù)學(xué)問題相互轉(zhuǎn)化過程中需要注意的問題，也有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣和品質(zhì)，讓他們能夠從中進(jìn)一步體會方程的應(yīng)用價(jià)值．學(xué)生在小學(xué)階段及前三小節(jié)對列方程解決實(shí)際問題雖然有所了解，但是本節(jié)教材所涉及的實(shí)際問題的背景和表達(dá)都更加貼近實(shí)際，數(shù)量關(guān)系有的比較隱蔽，有的比較抽象，有的則更為復(fù)雜，需要學(xué)生結(jié)合自己的生活經(jīng)驗(yàn)理清、理解，經(jīng)歷探究用一元一次方程解決實(shí)際問題的基本過程，進(jìn)而逐步提升他們分析問題、解決問題的能力，有效積累探究、交流、反思等數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，體會轉(zhuǎn)化化歸和方程模型思想，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和能力．
 

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3.4 實(shí)際問題與一元一次方程

版本： 人教版

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