課時質(zhì)量評價(十八)A組　全考點鞏固練1．已知f(x)＝e2x－a2x，a>0．(1)若f(x)≥0，求a的取值范圍；(2)若f(x1)＝f(x2)，且x1≠x2，證明：ex1＋ex2>2a．(1)解：由已知f′(x)＝e2x－a2＝(ex－a)(ex＋a)，令f′(x)＝0，解得x＝ln a，所以當x>ln a時，f′(x)>0；當x<ln a時，f′(x)<0．所以f(x)在x＝ln a處取得最小值f(ln a)＝a2≥0，所以ln a≤，即0<a≤．(2)證明：不妨設(shè)x1>x2，由已知f(x1)＝f(x2)得：構(gòu)造函數(shù)g(t)＝(et＋1)t－2(et－1)，所以g′(t)＝tet－et＋1，再令h(t)＝tet－et＋1，所以h′(t)＝tet>0，所以h(t)＝g′(t)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，g′(t)>g′(0)＝0，所以g(t)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以g(t)>g(0)＝0，所以(et＋1)t>2(et－1)，>2，．2．已知函數(shù)f(x)＝ax－，a∈R．(1)設(shè)a＝1時，求曲線y＝f(x)在點(e，f(e))處的切線方程；(2)證明：當a≥時，f(x)≥0．(1)解：當a＝1時，f(x)＝x－，f′(x)＝1－，f′(e)＝1，f(e)＝e－，則曲線y＝f(x)在點(e，f(e))處的切線方程為x－y－＝0．(2)證明：當a≥時，f(x)≥x－．設(shè)g(x)＝x－，g′(x)＝，設(shè)h(x)＝x2＋ln x－1，知其在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且h()＝0，當0<x<時，g′(x)＜0；當x>時，g′(x)＞0．所以函數(shù)g(x)在(0，)上單調(diào)遞減，在(，＋∞)上單調(diào)遞增，g(x)≥g()＝0，即f(x)≥0．B組　新高考培優(yōu)練3．(2021·泰州模擬)已知函數(shù)f(x)＝＋ax，g(x)＝ln x＋．(1)當x＞0，a≤0時，求證：f(x)＜g(x)；(2)當x＞0時，若f(x)＞g(x＋1)，求實數(shù)a的取值范圍．(1)證明：由g(x)＝ln x＋得，g′(x)＝－＝．當x∈(0,1)時，g′(x)＜0，g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減；當x∈(1，＋∞)時，g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以g(x)≥g(1)＝1．由于a≤0，則f(x)＝＋ax在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，故f(x)≤f(0)＝1，當且僅當a＝0，x＝0時取等號，綜上，f(x)＜g(x)．(2)解：令h(x)＝f(x)－g(x＋1)＝＋ax－ln(x＋1)－，x>0．由于ex≥x＋1，所以x＞0時，≤．令φ(x)＝ax－ln(x＋1)，φ′(x)＝a－，當a≤0時，φ′(x)＜0，φ(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則φ(x)＜φ(0)＝0，此時h(x)＝－＋ax－ln(x＋1)<0，不合題意；當0＜a＜1時，令φ′(x)＜0，解得x∈，則φ(x)在上單調(diào)遞減，則φ(x)＜φ(0)＝0，故當x∈時，h(x)＝－＋ax－ln(x＋1)<0，不合題意；當a≥1時，h′(x)＝－＋＋a－>－＋＋1－＝≥0，所以h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則h(x)＞h(0)＝0，即f(x)＞g(x＋1)，符合題意．綜上，實數(shù)a的取值范圍為[1，＋∞)．4．已知函數(shù)f(x)＝ln x－．(1)若a＝1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若a＝0，x∈(0,1)，求證：x2－<．(1)解：當a＝1時，f(x)＝ln x－，x∈(0，＋∞)，f′(x)＝－＝＝．當x∈(0,1)時，f′(x)<0；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)．(2)證明：當a＝0，x∈(0,1)時，x2－<等價于－＋x2－<0．因為當x∈(0,1)時，ex∈(1，e)，－ln x>0，所以<－ln x，所以只需證－ln x＋x2－<0在(0,1)上恒成立．令g(x)＝－ln x＋x2－，x∈(0,1)，所以g′(x)＝－＋2x＋＝>0，則函數(shù)g(x)在(0,1)上是增函數(shù)，于是g(x)<－ln 1＋1－1＝0，所以當x∈(0,1)時，x2－<． 

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