1. 理解垂線、垂線段、點(diǎn)到直線的距離等相關(guān)概念；2. 掌握垂線公理，且能通過直尺、三角尺過一點(diǎn)畫已知直線的垂線；3．能在實(shí)際問題中應(yīng)用垂線段性質(zhì)、會進(jìn)行與垂線有關(guān)的角度計算..
重點(diǎn)：垂線與垂線段的概念和性質(zhì)；難點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離，垂線的畫法.
觀察下面圖片，你能找出其中相交的直線嗎？它們有什么特殊的位置關(guān)系？
在相交線的模型中,固定木條a,轉(zhuǎn)動木條b,在木條 b 的轉(zhuǎn)動過程中，什么量也隨之發(fā)生改變？
當(dāng)α =90°時,a與b垂直.
a、b所成的角α?xí)l(fā)生變化.
當(dāng)α ≠90°時,a與b不垂直，叫斜交.
當(dāng)兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫垂足.
例如: 如圖，a、b互相垂直,O叫垂足. a叫b的垂線，b也叫a的垂線.
從垂直的定義可知，判斷兩條直線互相垂直的關(guān)鍵： 只要找到兩條直線相交時四個交角中一個角是直角即可.
a、b互相垂直符號表示為：a⊥b或b⊥a. “⊥” 讀作：“垂直于”.
如圖，當(dāng)直線AB與CD相交于O點(diǎn)，∠AOC=90°時，AB⊥CD，垂足為O.
1. 垂直的判定書寫形式 ∵∠AOC=90°（已知）∴AB⊥CD（垂直的定義）
反之，若直線AB與CD垂直，垂足為O，那么，∠AOC=90.
2. 垂直的性質(zhì)書寫形式 ∵ AB⊥CD （已知）∴ ∠AOC=90°（垂直的定義） ∠AOD=∠BOD=∠BOC=90°
日常生活中,兩條直線互相垂直的情形很常見,除了引例中互相垂直的情況.你能再舉出其他例子嗎？
1. 兩條直線相交所成的四個角中，下列條件中能斷定兩條直線垂直的是（ ） （A）有一個角為90° （B）有兩個角相等 （C） 有三個角相等 （D）有四個角相等 （E）有四對鄰補(bǔ)角 （F）有一對對頂角互補(bǔ)（G）有一對鄰補(bǔ)角相等 （H）有兩組角相等
A C D F G
2. 如圖，已知直線AB、CD都經(jīng)過O點(diǎn)，OE為射線，若∠1＝35°，∠2＝55°，則OE與AB的位置關(guān)系是__________.
例1. 如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB，∠1=55°，求∠EOD的度數(shù).
∵ AB⊥OE （已知）
∴ ∠EOB=90°(垂直的定義)
∵ ∠BOD= ∠1=55°
∴ ∠ EOD= ∠ EOB+ ∠ BOD =90°+55° =145°
1. 直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠EOD=60°， ∠BOC=150°，請判斷的位置關(guān)系，并說明理由.
解：AB⊥OE，理由如下： ∵∠BOC=∠AOD（對頂角相等） ∴ ∠AOD=∠BOC=150° ∴ ∠AOE=150°- ∠EOD =150°- 60° =90° 即射線OE與直線AB的位置關(guān)系為垂直.
2. 如圖，AO⊥BO，O為垂足，且∠BOD=2 ∠AOC，求∠BOD的度數(shù).
解：∵ AO⊥BO ∴ ∠AOB=90° ∠AOC+∠BOD=90° 又∵ ∠BOD=2∠AOC ∴ ∠AOC+ 2∠AOC=90° ∴ ∠AOC=30° ∠BOD=2∠AOC=60°.
問題：這樣畫l的垂線可以畫幾條？
工具：直尺、三角板，如圖，已知直線l ,作l的垂線.
如圖，已知直線 l 和l 上的一點(diǎn)A ,作l 的垂線.
4.畫線:沿著三角板的另一直角邊畫出垂線.
1.放:放直尺,直尺的一邊要與已知直線重合;
3.移:移動三角板到已知點(diǎn);
2.靠:靠三角板,把三角板的一直角邊靠在直尺上;
則所畫直線AB是過點(diǎn)A的直線 l 的垂線.
如圖，已知直線l和l外的一點(diǎn)A ,作l 的垂線.
4畫線:沿著三角板的另一直角邊畫出垂線.
1放:放直尺,直尺的一邊要與已知直線重合;
3移:移動三角板到已知點(diǎn);
2靠:靠三角板,把三角板的一直角邊靠在直尺上;
則所畫直線AB是過直線l外的點(diǎn)A與直線l垂直的直線.
在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.
注意：“過一點(diǎn)”中的點(diǎn)， 可以在已知直線上， 也可以在已知直線外.
例題2. 如圖，已知∠AOB為鈍角，點(diǎn)D在射線OB上．(1)畫直線DE⊥OB；(2)畫直線DF⊥OA，垂足為F.
解：(1)如圖所示；(2)如圖所示．
例題3. 如圖所示，王師傅為了檢驗(yàn)門框AB是否垂直于地面，在門框AB的上端A處用細(xì)線懸掛一鉛錘，看門框AB是否與鉛錘線重合．若門框AB垂直于地面，則AB會重合于AE，否則AB與AE 不重合．請你用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識說明道理？_________________________________________________.
在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直
1.過點(diǎn)P向線段AB所在直線引垂線，正確的是（ ）
2. 過一條線段外一點(diǎn)，畫出這條線段的垂線，垂足在( )A.這條線段上 B．這條線段的端點(diǎn)C.這條線段的延長線上 D．以上都有可能
3. 如圖，經(jīng)過直線l外一點(diǎn)畫l的垂線，能畫出（ ）
A.1條 B．2條 C.3條 D．4條
分析：由垂線的性質(zhì)可知，在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.故選A.
4. 畫一條直線或射線的垂線，就是他們所在直線的垂線. 如圖，請你過點(diǎn)P畫射線AB或線段AB的垂線.
思考：如圖，在鐵路旁邊有一張莊，現(xiàn)在要建一火車站，為了使張莊人乘火車最方便（即距離最近），請你在鐵路上選一點(diǎn)來建火車站，并說明理由.
一、垂線段最短 連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.簡單說成：垂線段最短．
二、點(diǎn)到直線的距離 直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離.
例4. 如圖，AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，DE⊥BC于E．試比較四條線段AC，CD，DE和AB的大小.
解：∵ AC⊥BC于C，(已知) ∴ AC＜AB．(垂線段最短) 又∵ CD⊥AD于D，(已知) ∴ CD＜AC．(垂線段最短) ∵ DE⊥CE于E，(已知) ∴ DE＜CD．(垂線段最短) ∴ AB＞AC＞CD＞DE．
例題5. 如圖，已知AD＜AE ＜AC＜AB，能說AD的長是A到BC的距離嗎？
解：不能．∵點(diǎn)到直線的距離指的是直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度.題中AD與BC未告知為垂直關(guān)系，∴不能說AD的長是A到BC的距離.
1. 如圖, AC⊥BC, ∠CDB = 90° ,線段AC、BC、CD中最短的是 ( )A. AC B. BC C. CD D. 不能確定
2.如圖，下列說法正確的是（ ） A.線段AB 叫做點(diǎn)B 到直線AC 的距離 B.線段AB 的長度叫作點(diǎn)A 到直線AC 的距離 C.線段BD 的長度叫作點(diǎn)D 到直線BC 的距離 D.線段BD 的長度叫作點(diǎn)B 到直線AC 的距離
主要學(xué)習(xí)了： 1.垂直的定義 2.垂線的畫法 3.垂線的性質(zhì) 4.垂線段最短 5.點(diǎn)到直線的距離

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初中數(shù)學(xué)人教版七年級下冊電子課本 舊教材

5.1.2 垂線

版本： 人教版

年級： 七年級下冊

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