2022-2023學(xué)年山西省臨汾市九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷  第I卷（選擇題） 一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）計算的結(jié)果為(    )A.  B.  C.  D. 下列四條線段成比例的是(    )A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，，我們在解一元二次方程時，先將等號左邊利用平方差公式進(jìn)行因式分解，得到，再把它轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程或，進(jìn)而解得，，這種解方程的過程體現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)思想是(    )A. 抽象的思想 B. 數(shù)形結(jié)合的思想 C. 公理化的思想 D. 轉(zhuǎn)化的思想若，則(    )A.  B.  C.  D. 下列計算正確的是(    )A.  B.
C.  D. 圖是伸縮折疊不銹鋼晾衣架的實物圖，圖是它的側(cè)面示意圖，和相交于點，點，之間的距離為米，，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可得點，之間的距離為(    )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米用配方法解方程配方后的方程是(    )A.  B.  C.  D. 如圖，是?的邊的延長線上的一點，連接，交邊于點若，則與的周長之比為(    )
 A.  B.  C.  D. 關(guān)于一元二次方程為常數(shù)的根的情況，下列說法正確的是(    )A. 有兩個不相等的實數(shù)根 B. 有兩個相等的實數(shù)根
C. 沒有實數(shù)根 D. 不能確定根的情況如圖，在四邊形中，，，，分別是，的中點，連接，，，點為邊上一點，過點作，交于點，若，則的長為(    )A.
B.
C.
D. 第II卷（非選擇題） 二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）化為最簡二次根式是______．蝴蝶標(biāo)本可以近似地看作軸對稱圖形．如圖，將一只蝴蝶標(biāo)本放在平面直角坐標(biāo)系中，如果圖中點的坐標(biāo)為，則其關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)為______．
如圖，在中，是上一點，，，垂足為，是的中點，，則的長為______．
 如圖，在某小區(qū)內(nèi)拐角處的一段道路上，有一兒童在處玩耍，一輛汽車從被樓房遮擋的拐角另一側(cè)的處駛來與相交于點，已知米，米，米，米，則汽車從處前行的距離______米時，才能發(fā)現(xiàn)處的兒童．
如圖，在中，，，平分，若，則的長為______．
   三、解答題（本大題共8小題，共75.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）本小題分
計算：；
解方程：．本小題分
如圖，在中，，是邊上一點，且，過點作的垂線，交的延長線于點，求證：∽．
本小題分
某超市以每箱元的進(jìn)價購進(jìn)一批水果，當(dāng)該水果售價為元箱時，六月銷售箱，七、八月該水果十分暢銷，銷量持續(xù)上漲，在售價不變的基礎(chǔ)上，八月的銷量達(dá)到箱．
求七，八兩月的月平均增長率；
九月該超市為了減少庫存，開始降價促銷，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該水果每箱降價元，月銷量在八月銷量的基礎(chǔ)上增加箱，當(dāng)該水果每箱降價多少元時，超市九月獲利元？本小題分
如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，三個頂點的坐標(biāo)分別為，，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為，以點為位似中心，畫出的位似圖形，相似比為．
請在第一象限內(nèi)畫出；
若以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出滿足條件的點的坐標(biāo)．
本小題分
閱讀與思考
閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：
法國數(shù)學(xué)家愛德華盧卡斯以研究斐波那契數(shù)列而著名，他曾給出了求斐波那契數(shù)列第項的表達(dá)式，創(chuàng)造出了檢驗素數(shù)的方法，還發(fā)明了漢諾塔問題．
“盧卡斯數(shù)列”是以盧卡斯命名的一個整數(shù)數(shù)列，在股市中有廣泛的應(yīng)用．盧卡斯數(shù)列中的第個數(shù)可以表示為，其中說明：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列
任務(wù)：
盧卡斯數(shù)列中的第個數(shù)______，第個數(shù)______；
盧卡斯數(shù)列有一個重要特征：當(dāng)時，滿足--請根據(jù)這一規(guī)律寫出盧卡斯數(shù)列中的第個數(shù)．本小題分
如圖為幸福小區(qū)入口處安裝的汽車出入道閘示意圖．如圖，道閘關(guān)閉時，四邊形是矩形．如圖，在道閘打開的過程中，邊固定，直線，連桿、分別繞點、轉(zhuǎn)動，且邊始終與邊平行，為上的一點不與點，重合，過點作直線，，垂足分別為，，即四邊形是矩形，過點作，垂足為，延長與相交于點．

與相似嗎？請判斷并說明理由．
若道閘長米，寬米，點距地面米，米，米，米．
求點到地面的距離；
求的長．本小題分
綜合與實踐
問題情境：如圖，在中，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，連接并延長交于點．
猜想驗證：試猜想與是否相似？并證明你的猜想．
探究證明：如圖，連接交于點，與相交于點，是否成立？并說明理由．
拓展延伸：若，直接寫出的值．
本小題分
綜合與探究
如圖，在中，，點從點開始沿邊向點以的速度運(yùn)動，點從點開始沿邊向點以的速度運(yùn)動，當(dāng)點到達(dá)點時，點，同時停止運(yùn)動．若，的長是的兩根其中，單位：．
求，的長；
如果點，分別從點，同時出發(fā)，那么幾秒后，的面積為？
如果點，分別從點，同時出發(fā)，是否能和相似？如果能，請求出運(yùn)動的時間；如果不能，請說明理由．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：原式，
故選：．
根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求出答案．
本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．
 2.【答案】 【解析】解：、，故選項不符合題意；
B、，故選項符合題意；
C、，故選項不符合題意；
D、，故選項不符合題意．
故選：．
對于四條線段、、、，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，我們就說這四條線段是成比例線段，根據(jù)定義判斷即可．
本題考查了比例線段，判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時，要先統(tǒng)一線段的長度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無關(guān)系．
 3.【答案】 【解析】解：我們在解一元二次方程時，先將等號左邊利用平方差公式進(jìn)行因式分解，得到，再把它轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程或，進(jìn)而解得，，
這種解法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想，
故選：．
上述解題過程利用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．
此題考查了解一元二次方程因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．
 4.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
故選：．
利用比例的性質(zhì)，進(jìn)行計算即可解答．
本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】解：、與不屬于同類二次根式，不能運(yùn)算，故A不符合題意；
B、，故B不符合題意；
C、，故C不符合題意；
D、，故D符合題意；
故選：．
利用二次根式的加減法的法則，二次根式的化簡及乘法的法則對各項進(jìn)行運(yùn)算即可．
本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．
 6.【答案】 【解析】解：，
∽，
，
，
，
答：點，之間的距離為米，
故選：．
根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．
本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
 7.【答案】 【解析】解：方程移項得：，
配方得：，即．
故選：．
方程移項后，利用完全平方公式配方得到結(jié)果，即可作出判斷．
此題考查了解一元二次方程配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，
故選：．
由四邊形是平行四邊形，得，則，可推導(dǎo)出，由，得∽，則．
此題重點考查平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)“平行于三角形一邊的直線和其它兩邊或兩邊的延長線相交所構(gòu)成的三角形與原三角形相似”證明∽是解題的關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：，，，
，
所以方程有兩個不相等的實數(shù)根．
故選：．
計算出方程的根的判別式，只要得到根的判別式的符號，即可作出判斷．
此題考查了根的判別式，總結(jié)：一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：方程有兩個不相等的實數(shù)根；方程有兩個相等的實數(shù)根；方程沒有實數(shù)根．
 10.【答案】 【解析】解：連接，，
，，
，
，分別是，的中點，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
的長為，
故選：．
連接、，由，，根據(jù)勾股定理求得，由三角形的中位線定理求得，再證明∽，則，即可求得，得到問題的答案．
此題重點考查相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的中位線定理等知識，根據(jù)三角形的中位線定理求出的長并且證明∽是解題的關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】解：，
故答案為：．
根據(jù)二次根式的性質(zhì)計算即可．
本題考查的是最簡二次根式，二次根式的化簡，熟記二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：由題意知，圖中點的坐標(biāo)為，其關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)為，
故答案為：．
根據(jù)關(guān)于軸的對稱點的坐標(biāo)特點：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變，進(jìn)而得出答案．
此題主要考查了關(guān)于軸對稱點的性質(zhì)，正確掌握點的坐標(biāo)特點是解題關(guān)鍵．
 13.【答案】 【解析】解：，，
，
，
是的中位線，
，
故答案為：．
根據(jù)等腰三角形的三線合一得到，再根據(jù)三角形中位線定理解答即可．
本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)，熟記三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．
 14.【答案】 【解析】解：在中，，，
，
，，
∽，
，
，
，
在中，米，
，
，
汽車從處前行米，才能發(fā)現(xiàn)處的兒童，
故答案為：．
先在中，利用勾股定理求出的長，再證明字模型相似三角形∽，從而利用相似三角形的性質(zhì)可得，然后在中，根據(jù)勾股定理求出的長，進(jìn)行計算即可解答．
本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 15.【答案】 【解析】解：，，
，，
平分，
，
，，
．
故答案為：．
依據(jù)，即可得到可得答案．
本題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及等腰直角三角形，掌握等腰三角形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 16.【答案】解：原式
；
，
，
，即，
，
，． 【解析】利用平方差公式和二次公式的乘法法則計算乘法后，再合并同類二次根式即可；
利用配方法求解即可．
本題主要考查實數(shù)的運(yùn)算，解一元二次方程，能熟練地運(yùn)用配方法解一元二次方程是解此題的關(guān)鍵．
 17.【答案】解：，
，
，
，，
，
∽． 【解析】根據(jù)證得，根據(jù)對頂角相等，再根據(jù)可證得∽．
本題考查了相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法．平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；三邊法：三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似；兩邊及其夾角法：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；兩角法：有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．
 18.【答案】解：設(shè)七，八兩月的月平均增長率為，
依題意得：，
解得：，不符合題意，舍去．
答：七，八兩月的月平均增長率為．
設(shè)該水果每箱降價元，則每箱盈利元，月銷售量為箱，
依題意得：，
整理得：，
解得：，不符合題意，舍去．
答：當(dāng)該水果每箱降價元時，超市九月獲利元． 【解析】設(shè)七，八兩月的月平均增長率為，利用八月的銷售量六月的銷售量七，八兩月的月平均增長率，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；
設(shè)該水果每箱降價元，則每箱盈利元，月銷售量為箱，利用總利潤每箱的銷售利潤月銷售量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．
本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
 19.【答案】解：如圖，為所作；

點的坐標(biāo)為或或． 【解析】把、、點的橫縱坐標(biāo)都乘以得到點、、的坐標(biāo)，然后描點即可；
把平移使點與點重合，則點的對應(yīng)點為點；把平移使點與點重合，則點的對應(yīng)點為點；把平移使點與點重合，則點的對應(yīng)點為點．
本題考查了作圖位似變換：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于或也考查了平行四邊形的判定．
 20.【答案】   【解析】解：，第個數(shù)．
故答案為：；；
，
；
，
，
．
根據(jù)，將，分別代入計算即可求解；
根據(jù)當(dāng)時，滿足，先求出，，再進(jìn)一步求出．
本題考查了二次根式的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握“盧卡斯數(shù)列”．
 21.【答案】解：相似．
理由：四邊形是矩形，
，．
，
，
．
，，，
，
，
∽；
延長交直線于點，則點到地面的距離即為線段的長．
四邊形是矩形，
，，，
，，
，
，
四邊形是矩形，
，
米，米，米，
米．
故點到地面的距離為米；
道閘長米，
設(shè)米，則米，
由知，∽，
，
點距地面米，米，米，
米，
，
解得，
在中，米，米，
米．
米．
故的長大約為米． 【解析】根據(jù)四邊形是矩形可知，，再由可知，故可得出，進(jìn)而可得出結(jié)論；
設(shè)，則，再由中∽求出的值，根據(jù)勾股定理即可得出的長，進(jìn)而可得出結(jié)論；
同可得出的長，由即可得出結(jié)論．
本題考查了相似三角形的應(yīng)用，利用相似三角形的性質(zhì)和解直角三角形的知識是解題的關(guān)鍵．
 22.【答案】解：與相似，
將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，
，，，
，
，
∽；
成立，
理由：由知∽，
，
，
∽，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
∽，
；
由知，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
的值為． 【解析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，，根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
由知∽，求得，推出∽，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，推出∽，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，推出∽，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．
此題是相似形的綜合題，考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
 23.【答案】解：解方程得，
，，
，的長是的兩根，
，，
設(shè)秒后，的面積為，
根據(jù)題意得，，
解得或，
答：秒或秒后，的面積為；
能和相似，
設(shè)秒后，和相似，
，
當(dāng)和相似時，
或，
或，
解得或，
答：能和相似，運(yùn)動的時間為或 【解析】解方程即可得到結(jié)論，
設(shè)秒后，的面積為，根據(jù)題意得列方程，解方程即可得到結(jié)論；
根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程即可得到結(jié)論．
本題是相似形的綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，一元二次方程的解法，三角形面積的計算，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
 

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