1．下列方程中，屬于一元二次方程的是（ ）
A．x﹣y＝6B．x2﹣2x﹣6＝0C．xy﹣2＝8D．
2．如圖，已知AB∥CD∥EF，若，則的值為（ ）
A．B．C．2D．
3．某射擊運動員在同一條件下射擊，結果如表所示：
根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，這名運動員射擊一次擊中靶心的概率約是（ ）
A．0.78B．0.79C．0.8D．0.85
4．如圖，如果∠B＝∠D，那么添加下列一個條件后（ ）
A．∠C＝∠AEDB．∠BAC＝∠DAEC．D．∠BAD＝∠CAE
5．某產品經過兩次連續(xù)漲價，銷售單價由原來的28元上升到40元，若該產品平均每次漲價的百分率為x，下列方程正確的是（ ）
A．28（1+x）＝40B．28（1+x）2＝40
C．28（1+x2）＝40D．28[（1+x）+（1+x）2]＝40
6．一元二次方程x2﹣x+5＝0的根的情況是（ ）
A．有兩個不相等的實數(shù)根
B．有兩個相等的實數(shù)根
C．沒有實數(shù)根
D．無法確定
7．如圖的兩個四邊形相似，則∠a的度數(shù)是（ ）
A．120°B．87°C．75°D．60°
8．下列說法正確的是（ ）
A．對角線互相垂直的四邊形是菱形
B．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形
C．一組對邊平行另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形
D．對角線相等的平行四邊形是矩形
9．如圖，菱形ABCD的邊長為2，對角線AC，OA＝1，則菱形ABCD的面積為（ ）
A．B．C．D．4
10．如圖，正方形ABCD的邊長為1，P是對角線BD上一點，PF⊥CD于點F，連接EF，給出下列五個結論：①∠PFE＝∠BAP；②AP＝EF；④EF的最小值為；⑤．其中正確的結論是（ ）
A．①②④⑤B．②③④C．①②④D．①③④⑤
二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）
11．若四條線段a、b、c、d是成比例線段，其中a＝3cm，b＝2cm，則d＝ cm．
12．如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，點A，B，C，線段AB與CD相交于點E，則的值為 ．
13．符合黃金分割比例形式的圖形很容易使人產生視覺上的美感．在如圖所示的五角星中，，且C，則CD的長為 ．
14．如圖，這是一個質地均勻的轉盤，轉盤中四個扇形的面積都相等，轉盤停止轉動后，若指針指在分割線上，直到指針指向某一扇形為止，則指針指向的數(shù)字為偶數(shù)的概率為 ．
15．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，AF＝4，BF的垂直平分線交BC的延長線于點E，連接EF交CD于點H，若H是CD的中點 ．
三、解答題（本大題共8個小題，共75分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
16．（1）解方程：x2﹣4x﹣21＝0；
（2）解方程：x2﹣3x﹣1＝0（用公式法）．
17．如圖，AC是矩形ABCD的對角線．
（1）作AC的垂直平分線MN，MN交AD于點E，交BC于點F（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明）；
（2）在（1）所作的圖形中，連接AF，求證：四邊形AECF是菱形．
18．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，D、E分別為BC、AC邊上的點，∠ADE＝∠B，求EC的長．
19．某校將舉辦“國學經典”的演講比賽，九年級通過預賽確定出三名男生和兩名女生，共5名同學作為推薦人選．
（1）若從中隨機選一名同學參加學校比賽，則選中女生的概率為 ．
（2）若從中隨機選兩名同學組成一組選手參加比賽，請用樹狀圖（或列表法）求出恰好選中一名男生和一名女生的概率．
20．如圖，在平行四邊形ABCD中，BD⊥AB，使BE＝AB，連接EC．
（1）求證：四邊形BECD是矩形．
（2）連接AC，若AD＝3，CD＝2
21．某水果店經銷一種進口水果，其進價為每千克40元，按每千克60元的價格出售，市場調查發(fā)現(xiàn)，當售價每千克降低1元時
（1）當售價為50元時，每天銷售這種水果 千克，每天獲得利潤 元．
（2）若要使每天的利潤為9750元，同時又要盡快減少庫存，則每千克這種水果應降價多少元？
22．如圖1，在Rt△ABC紙片中，∠ACB＝90°，BC＝6，D，E分別是BC，且BE＝BD，連接DE，點B落在點F的位置，連接AF．
（1）如圖2，當點F在AC邊上時，求BE的長．
（2）如圖3，點D，E在運動過程中，求AF的長．
23．綜合與實踐
問題情境
在綜合實踐課上，老師組織興趣小組開展數(shù)學活動，探究正方形的旋轉問題．在正方形ABCD和正方形AEFG中，A，B在一條直線上，連接DG（如圖1）
操作發(fā)現(xiàn)
（1）圖1中線段DG和BE的數(shù)量關系是 ，位置關系是 ．
（2）在圖1的基礎上，將正方形AEFG繞著點A沿順時針方向旋轉，如圖2所示，（1）
類比探究
（3）如圖3，若將圖2中的正方形ABCD和正方形AEFG中都變?yōu)榫匦?，且AD＝，AG＝AE
拓展探索
（4）在（3）的條件下，若AD＝6，矩形AEFG在順時針旋轉過程中，當點D，E，請直接寫出BE的值
2022-2023學年山西省運城市萬榮縣九年級第一學期期中數(shù)學試卷
參考答案
一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分.在每個小題給出的四個選項
1．下列方程中，屬于一元二次方程的是（ ）
A．x﹣y＝6B．x2﹣2x﹣6＝0C．xy﹣2＝8D．
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義逐個判斷即可．
解：A．x﹣y＝6是二元一次方程，故本選項不符合題意；
B．x2﹣6x﹣6＝0是一元二次方程，故本選項符合題意；
C．xy﹣7＝8，不是一元二次方程；
D．＝4是分式方程，故本選項不符合題意．
故選：B．
【點評】本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元二次方程的定義是解此題的關鍵，只有一個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程，叫一元二次方程．
2．如圖，已知AB∥CD∥EF，若，則的值為（ ）
A．B．C．2D．
【分析】利用平行線分線段成比例定理求解即可．
解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，
∵＝，
∴＝．
故選：A．
【點評】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關鍵是掌握平行線分線段成比例定理，屬于中考?？碱}型．
3．某射擊運動員在同一條件下射擊，結果如表所示：
根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，這名運動員射擊一次擊中靶心的概率約是（ ）
A．0.78B．0.79C．0.8D．0.85
【分析】利用頻率估計概率求解即可．
解：根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計這名運動員射擊一次時擊中靶心的概率約是0.78，
故選：A．
【點評】本題主要考查利用頻率估計概率，大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，理解這個固定的近似值就是這個事件的概率是解題的關鍵．
4．如圖，如果∠B＝∠D，那么添加下列一個條件后（ ）
A．∠C＝∠AEDB．∠BAC＝∠DAEC．D．∠BAD＝∠CAE
【分析】結合相似三角形的判定定理對各個選項進行分析，從而即可選擇．
解：添加A選項后，兩個三角形的兩個對應角相等，故A不符合題意；
添加B選項后，兩個三角形的兩個對應角相等，故B不符合題意；
添加C選項后，兩邊對應成比例，不能證明△ABC∽△ADE；
添加D選項后，∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠BAE＝∠CAE+∠BAE，即∠DAE＝∠BAC，
∴兩個三角形的兩個對應角相等，可證明△ABC∽△ADE．
故選：C．
【點評】本題考查相似三角形的判定．解題的關鍵是熟練掌握三角形相似的判定定理：如果兩個三角形的兩條對應邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；如果兩個三角形的兩個對應角相等，那么這兩個三角形相似；如果兩個三角形的三條對應邊成比例，那么這兩個三角形相似．
5．某產品經過兩次連續(xù)漲價，銷售單價由原來的28元上升到40元，若該產品平均每次漲價的百分率為x，下列方程正確的是（ ）
A．28（1+x）＝40B．28（1+x）2＝40
C．28（1+x2）＝40D．28[（1+x）+（1+x）2]＝40
【分析】可先表示出第一次漲價后的價格，那么第一次漲價后的價格×（1+漲價的百分率）＝40，把相應數(shù)值代入即可求解．
解：設平均每次漲價的百分率為x元，
第一次漲價后的價格為28（1+x）元，
連續(xù)兩次漲價后售價在第一次漲價后的價格的基礎上提高x，為28（1+x）×（6+x）元，
則列出的方程是28（1+x）2＝40．
故選：B．
【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，關鍵是掌握平均變化率的方法，若設變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經過兩次變化后的數(shù)量關系為a（1±x）2＝b．
6．一元二次方程x2﹣x+5＝0的根的情況是（ ）
A．有兩個不相等的實數(shù)根
B．有兩個相等的實數(shù)根
C．沒有實數(shù)根
D．無法確定
【分析】根據(jù)題意求出Δ的值，進而可得出結論．
解：∵一元二次方程x2﹣x+5＝3中，a＝1，c＝5，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4×3×5＝1﹣20＝﹣19＜6，
∴方程沒有實數(shù)根．
故選：C．
【點評】本題考查的是一元二次方程根的判別式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac的關系是解題的關鍵．
7．如圖的兩個四邊形相似，則∠a的度數(shù)是（ ）
A．120°B．87°C．75°D．60°
【分析】根據(jù)相似多邊形的對應角相等求出∠1的度數(shù)，根據(jù)四邊形內角和等于360°計算即可．
解：∵兩個四邊形相似，
∴∠1＝138°，
∵四邊形的內角和等于360°，
∴∠α＝360°﹣60°﹣75°﹣138°＝87°，
故選：B．
【點評】本題考查的是相似多邊形的性質，掌握相似多邊形的對應角相等、對應邊相等是解題的關鍵．
8．下列說法正確的是（ ）
A．對角線互相垂直的四邊形是菱形
B．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形
C．一組對邊平行另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形
D．對角線相等的平行四邊形是矩形
【分析】根據(jù)菱形、正方形、平行四邊形、矩形的判定，逐個進行驗證，即可得出正確選項．
解：A、對角線互相垂直平分的平行四邊形時菱形．
對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，錯誤．
C、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故C不符合題意．
D、對角線相等的平行四邊形是矩形，故D符合題意．
故選：D．
【點評】本題是考查菱形、正方形、平行四邊形、矩形的判定．就每一個選項來說都是單一知識點，是比較基礎的知識，而把四個選項置于一個試題之中，它涉及到四個知識點和四種圖形的聯(lián)系和區(qū)別，要求學生的思維必須縝密、全面．
9．如圖，菱形ABCD的邊長為2，對角線AC，OA＝1，則菱形ABCD的面積為（ ）
A．B．C．D．4
【分析】由菱形的性質得AC＝2OA＝2，OB＝OD，AB＝2，AC⊥BD，再由勾股定理得OB＝，則BD＝2OB＝2，即可解決問題．
解：∵菱形ABCD的邊長為2，對角線AC，OA＝1，
∴AC＝5OA＝2，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∴OB＝＝＝，
∴BD＝5OB＝2，
∴S菱形ABCD＝AC?BD＝＝2，
故選：B．
【點評】本題考查了菱形的性質以及勾股定理等知識，熟練掌握菱形的性質是解題的關鍵．
10．如圖，正方形ABCD的邊長為1，P是對角線BD上一點，PF⊥CD于點F，連接EF，給出下列五個結論：①∠PFE＝∠BAP；②AP＝EF；④EF的最小值為；⑤．其中正確的結論是（ ）
A．①②④⑤B．②③④C．①②④D．①③④⑤
【分析】根據(jù)正方形的性質，全等三角形的判定和性質，矩形的判定和性質即可得到結論．
解：連接PC，延長AP交EF于點H
在正方形ABCD中，AD＝CD，PD＝PD，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴AP＝CP，∠PAD＝∠PCD，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴∠PFC＝∠PEC＝90°，
∵∠BCD＝90°，
∴四邊形PECF是矩形，
∴EF＝PC，
∴AP＝EF，故②正確；
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝45°，
而∠BAP≠45°，
∴∠ABP≠∠BAP，
∴AP≠BP，故③選項錯誤；
在矩形PECF中，∠PFE＝∠PCE，
∵△ADP≌△CDP，
∴∠DAP＝∠DCP，
∴∠BAP＝∠PCB，
∴∠BAP＝∠PFE，
故①選項正確；
∵AB＝AD＝1，
根據(jù)勾股定理得BD＝，
當AP⊥BD時，AP最小，
此時AP最小值為BD＝，
∵AP＝EF，
∴EF的最小值為，
故④選項正確；
根據(jù)勾股定理，得PB5＝2PE2，PD6＝2PF2，
∴PB3+PD2＝2（PE5+PF2）＝2EF3＝2PA2，
∴．
故⑤選項符合題意；
綜上，正確的選項有①②④⑤，
故選：A．
【點評】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，矩形的判定，垂線段最短，勾股定理等，構造全等三角形是解題的關鍵，本題綜合性較強，難度較大．
二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）
11．若四條線段a、b、c、d是成比例線段，其中a＝3cm，b＝2cm，則d＝ 6 cm．
【分析】根據(jù)成比例線段的定義ad＝cb，將a，b及c的值代入即可求得d．
解：已知a，b，c，d是成比例線段，
根據(jù)比例線段的定義得a：b＝c：d，即ad＝cb，
代入a＝3cm、b＝2cm，
得8d＝2×9，
解得：d＝6（cm）．
故答案為：6．
【點評】本題考查了比例線段，掌握成比例線段的定義是解決問題的關鍵．
12．如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，點A，B，C，線段AB與CD相交于點E，則的值為 ．
【分析】A、G、C、F四點均為格點，連接AF，則點G、點C均在AF上，連接DG、BF，可證明△ADG∽△CBF，得∠GAD＝∠FCB，＝＝，所以AD∥BC，則△ADE∽△BCE，所以＝＝，于是得到問題的答案．
解：如圖，A、G、C、F四點均為格點，則點G，連接DG，
∵AG＝1，DG＝CF＝2，
∴＝＝，
∵∠AGD＝∠CFB＝90°，
∴△ADG∽△CBF，
∴∠GAD＝∠FCB，＝＝，
∴AD∥BC，
∴△ADE∽△BCE，
∴＝＝，
故答案為：．
【點評】此題重點考查平行線的判定、相似三角形的判定與性質等知識，證明△ADE∽△BCE是解題的關鍵．
13．符合黃金分割比例形式的圖形很容易使人產生視覺上的美感．在如圖所示的五角星中，，且C，則CD的長為 1 ．
【分析】根據(jù)黃金分割的定義得到，繼而將，代入得：，解之即可求解．
解：∵C，D兩點都是的黃金分割點，
∴，
∵AB＝AD+CD+BC，，
∴，
將，代入，
得：，
∴，
整理得：，
∴CD＝1，
故答案為：1．
【點評】本題考查黃金分割比例：把線段AB分成兩條線段AC和BC，（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即）叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，其中，并且線段AB的黃金分割點有兩個，解題的關鍵是熟練掌握黃金分割比例．
14．如圖，這是一個質地均勻的轉盤，轉盤中四個扇形的面積都相等，轉盤停止轉動后，若指針指在分割線上，直到指針指向某一扇形為止，則指針指向的數(shù)字為偶數(shù)的概率為 ．
【分析】根據(jù)題意先得出偶數(shù)的個數(shù)，再根據(jù)概率公式即可得出答案．
解：∵轉盤中四個扇形的面積都相等，其中偶數(shù)有2個扇形面，
∴指針指向的數(shù)字為偶數(shù)的概率為＝．
故答案為：．
【點評】本題考查了概率公式，用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
15．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，AF＝4，BF的垂直平分線交BC的延長線于點E，連接EF交CD于點H，若H是CD的中點 7 ．
【分析】根據(jù)線段中點的定義可得CH＝DH，然后利用“角邊角”證明△DFG和△CEG全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得DF＝CE，F(xiàn)H＝EH，設DF＝x，表示出BF，再利用勾股定理列式求FG，然后表示出EF，再根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得BF＝EF，然后列出方程求出x的值，從而求出AD，再根據(jù)矩形的對邊相等可得BC＝AD．
解：∵矩形ABCD中，G是CD的中點，
∴CG＝DG＝×8＝4，
在△DFH和△CEH中，
，
∴△DFH≌△CEH（ASA），
∴DF＝CE，F(xiàn)G＝EG，
設DF＝x，
則BE＝BC+CE＝AD+CE＝4+x+x＝8+2x，
在Rt△DEG中，F(xiàn)G＝＝，
∴EF＝2，
∵EH垂直平分BF，
∴BE＝EF，
∴4+2x＝4，
解得x＝3，
∴AD＝AF+DF＝8+3＝7，
∴BC＝AD＝2．
故答案為：7．
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，矩形的性質，線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等的性質，勾股定理，熟記各性質并利用勾股定理列出方程是解題的關鍵．
三、解答題（本大題共8個小題，共75分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
16．（1）解方程：x2﹣4x﹣21＝0；
（2）解方程：x2﹣3x﹣1＝0（用公式法）．
【分析】（1）用因式分解法解方程即可；
（2）用公式法解方程即可．
解：（1）∵x2﹣4x﹣21＝6，
∴（x﹣7）（x+3）＝5，
∴x﹣7＝0或x+7＝0，
∴x1＝5，x2＝﹣3；
（2）x7﹣3x﹣1＝7，
Δ＝（﹣3）2﹣5×1×（﹣1）＝13＞4，
∴x＝，
∴x4＝，x6＝．
【點評】本題考查解一元二次方程，解題的關鍵是掌握公式法和因式分解法解一元二次方程．
17．如圖，AC是矩形ABCD的對角線．
（1）作AC的垂直平分線MN，MN交AD于點E，交BC于點F（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明）；
（2）在（1）所作的圖形中，連接AF，求證：四邊形AECF是菱形．
【分析】（1）利用尺規(guī)作出線段AC的垂直平分線MN；
（2）設AC與EF相交于點O，證得△AOE≌△COF得到OE＝OF，進而證得四邊形AECF為平行四邊形，根據(jù)對角線垂直的平行四邊形是菱形即可證得結論．
【解答】（1）解：如圖，直線MN即為所求；
（2）證明：設AC與EF相交于點O，
∵EF是AC的垂直平分，
∴EF⊥AC，且AO＝CO，
∴∠AOE＝∠COF＝90°，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴四邊形AECF為平行四邊形，
又∵EF⊥AC，
∴四邊形AECF是菱形．
【點評】本題考查作圖﹣復雜作圖，矩形的性質，菱形的判定和性質，線段的垂直平分線的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
18．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，D、E分別為BC、AC邊上的點，∠ADE＝∠B，求EC的長．
【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質，得到∠B＝∠C，再利用三角形內角和定理，得到∠BAD＝∠EDC，進而證明△ABD△DCE得到，即可求出EC的長．
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，∠ADE+∠EDC+∠ADB＝180°，
∴∠BAD＝∠EDC，
∴△ABD∽△DCE，
∴，
∵AB＝4，BC＝5，
∴，
∴．
【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，三角形內角和定理，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題關鍵．
19．某校將舉辦“國學經典”的演講比賽，九年級通過預賽確定出三名男生和兩名女生，共5名同學作為推薦人選．
（1）若從中隨機選一名同學參加學校比賽，則選中女生的概率為 ．
（2）若從中隨機選兩名同學組成一組選手參加比賽，請用樹狀圖（或列表法）求出恰好選中一名男生和一名女生的概率．
【分析】（1）根據(jù)概率的定義直接進行計算即可；
（2）用列表法表示所有等可能出現(xiàn)的結果，再概率概率的定義進行計算即可．
解：（1）一共有5名學生，其中女由2名，則選中女生的概率為，
故答案為：；
（2）用列表法表示所有等可能出現(xiàn)的結果如下：
共有20種等可能出現(xiàn)的結果，其中恰好選中一名男生和一名女生的有12種，
所以恰好選中一名男生和一名女生的概率為＝．
【點評】本題考查列表法或樹狀圖法，用列表法表示所有等可能出現(xiàn)的結果是正確解答的前提．
20．如圖，在平行四邊形ABCD中，BD⊥AB，使BE＝AB，連接EC．
（1）求證：四邊形BECD是矩形．
（2）連接AC，若AD＝3，CD＝2
【分析】（1）由平行四邊形的性質得出CD＝AB，CD∥AB，再證四邊形BECD是平行四邊形，然后證∠DBE＝90°，即可得出結論；
（2）由矩形的性質得∠E＝90°，BE＝CD＝2，則AE＝AB+BE＝4，再由勾股定理得CE＝，即可解決問題．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
又∵AB＝BE，
∴BE＝DC，BE∥CD，
∴四邊形BECD為平行四邊形，
∵BD⊥AB，
∴∠ABD＝∠DBE＝90°，
∴平行四邊形BECD是矩形；
（2）解：如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC＝AD＝3，AB＝CD＝2，
由（1）可知，四邊形BECD是矩形，
∴∠E＝90°，BE＝CD＝2，
∴AE＝AB+BE＝4，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE＝＝＝，
∴AC＝＝＝，
即AC的長為．
【點評】本題考查了矩形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質以及勾股定理等知識；熟練掌握矩形的判定與性質是解題的關鍵．
21．某水果店經銷一種進口水果，其進價為每千克40元，按每千克60元的價格出售，市場調查發(fā)現(xiàn)，當售價每千克降低1元時
（1）當售價為50元時，每天銷售這種水果 900 千克，每天獲得利潤 9000 元．
（2）若要使每天的利潤為9750元，同時又要盡快減少庫存，則每千克這種水果應降價多少元？
【分析】（1）由題意即可得出結論；
（2）設每千克這種水果應降價x元，由題意：使每天的利潤為9750元，列出一元二次方程，解方程即可．
解：（1）售價為50元時，每天銷售這種水果為：400+50×（60﹣50）＝900（千克），
故答案為：900，9000；
（2）設每千克這種水果應降價x元，
根據(jù)題意得：（60﹣40﹣x）（400+50x）＝9750，
整理得：x2﹣12x+35＝0，
解得：x＝8或x＝7，
∵要盡快減少庫存，
∴x＝7，
答：每千克這種水果應降價8元．
【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
22．如圖1，在Rt△ABC紙片中，∠ACB＝90°，BC＝6，D，E分別是BC，且BE＝BD，連接DE，點B落在點F的位置，連接AF．
（1）如圖2，當點F在AC邊上時，求BE的長．
（2）如圖3，點D，E在運動過程中，求AF的長．
【分析】（1）由翻折的性質證明四邊形BEFD是菱形，在Rt△DFC中，F(xiàn)C＝AC﹣AF＝8﹣BE，DF＝BE，DC＝BC﹣BD＝6﹣BE，根據(jù)勾股定理得DF2＝FC2+DC2，進而可以求出BE的長；
（2）過點E作EG⊥BD于點G，證明四邊形AEDF是平行四邊，可得AF＝DE，DF＝AE，然后利用勾股定理即可解決問題．
解：（1）在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，AC＝8，
∴AB＝＝10，
由翻折可知：BE＝FE，BD＝FD，
∵BE＝BD，
∴BE＝FE＝BD＝FD，
∴四邊形BEFD是菱形，
∴AB∥DF，
∴＝，
∴＝，
解得BE＝；
∴BE的長為；
（2）如圖，過點E作EG⊥BD于點G，
∵∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，
∵四邊形BEFD是菱形，
∴EF∥BD，
∵AF∥DE，
∴四邊形AEDF是平行四邊，
∴AF＝DE，DF＝AE，
∴BE＝AE＝6，
∴csB＝＝＝，
∴BG＝5，
∴EG＝＝4，
∵DG＝BD﹣BG＝BE﹣BG＝5﹣3＝3，
∴DE＝＝＝2，
∴AF＝7．
【點評】本題主要考查了翻折變換，勾股定理，直角三角形的性質，菱形的判定與性質，熟練掌握翻折性質是解題的關鍵．
23．綜合與實踐
問題情境
在綜合實踐課上，老師組織興趣小組開展數(shù)學活動，探究正方形的旋轉問題．在正方形ABCD和正方形AEFG中，A，B在一條直線上，連接DG（如圖1）
操作發(fā)現(xiàn)
（1）圖1中線段DG和BE的數(shù)量關系是 BE＝DG ，位置關系是 BE⊥GD ．
（2）在圖1的基礎上，將正方形AEFG繞著點A沿順時針方向旋轉，如圖2所示，（1）
類比探究
（3）如圖3，若將圖2中的正方形ABCD和正方形AEFG中都變?yōu)榫匦危褹D＝，AG＝AE
拓展探索
（4）在（3）的條件下，若AD＝6，矩形AEFG在順時針旋轉過程中，當點D，E，請直接寫出BE的值
【分析】（1）延長BE交DG于點H，證明△AGD≌△AEB，得出BE＝DG，∠AEB＝∠AGD，求出∠BHG＝90°，即可證明結論；
（2）延長BE交DG于點H，交AD于點T，證明△AGD≌△AEB，得出BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，求出∠DHT＝90°，即可證明結論；
（3）延長BE交DG于點H，交AD于點T，證明△ADG∽△ABE，得出，求出即可；
（4）分兩種情況討論，當F在線段DE上時，當E在線段DF上時，分別畫出圖形，根據(jù)勾股定理，求出結果即可．
解：（1）延長BE交DG于點H，如圖1所示：
∵四邊形ABCD和AEFG都是正方形，
∴AG＝AE，∠EAG＝∠BAE＝90°，
∴△AGD≌△AEB（SAS），
∴BE＝DG，∠AEB＝∠AGD，
∵∠ABE+∠AEB＝90°，
∴∠ABH+∠BGH＝90°，
∴∠BHG＝90°，
∴BE⊥GD．
故答案為：BE＝DG；BE⊥GD．
（2）成立；理由如下：
延長BE交DG于點H，交AD于點T
∵四邊形ABCD和AEFG都是正方形，
∴AG＝AE，AD＝AB，
∴∠DAG+∠DAE＝∠DAE+∠EAB＝90°，
∴∠DAG＝∠BAE，
∴△AGD≌△AEB（SAS），
∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，
∵∠ABE+∠ATB＝90°，∠ATB＝∠DTH，
∴∠DTH+∠ADG＝90°，
∴∠DHT＝90°，
∴BE⊥GD．
故答案為：BE＝DG；BE⊥GD．
（3）延長BE交DG于點H，交AD于點T
∵四邊形ABCD和AEFG都是矩形，
∴∠EAG＝∠BAD＝90°，
∴∠DAG+∠DAE＝∠DAE+∠EAB＝90°，
∴∠DAG＝∠BAE，
∵，，
∴，
∴△ADG∽△ABE，
∴，
即．
（4）當F在線段DE上時，如圖4所示：
∵四邊形AEFG為矩形，
∴∠AEF＝∠GFE＝90°，GF＝AE＝2，
∴∠DFG＝90°，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
根據(jù)解析（3）可知，，
∴；
當E在線段DF上時，如圖5所示：
∵四邊形AEFG為矩形，
∴∠AEF＝∠GFE＝90°，GF＝AE＝2，，
∴∠AED＝90°，
∴，
∴，
∴，
根據(jù)解析（3）可知，，
∴；
綜上分析可知，或．
【點評】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，矩形的性質，正方形的性質，三角形相似的判定和性質，勾股定理，余角的性質，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形全等和三角形相似的判定方法，注意進行分類討論．射擊總次數(shù)n
10
20
50
100
200
500
1000
擊中靶心的次數(shù)m
8
17
40
79
158
390
780
擊中靶心的頻率
0.8
0.85
0.8
0.79
0.79
0.78
0.78
射擊總次數(shù)n
10
20
50
100
200
500
1000
擊中靶心的次數(shù)m
8
17
40
79
158
390
780
擊中靶心的頻率
0.8
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0.8
0.79
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