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；
．本小題分
如圖，在邊長為個單位長度的小正方形網(wǎng)格中，
畫出向上平移個單位，再向右平移個單位后的；
以點為位似中心，將放大為原來的倍，得到，請在網(wǎng)格中畫出；
直接寫出的面積，及，的坐標．
本小題分
用一條長厘米的繩子圍成一個矩形，設其一邊長為厘米．
若矩形的面積為平方厘米，求的值；
矩形的面積是否可以為平方厘米？如果能，請求的值；如果不能，請說明理由．本小題分
如圖，?中，：：，交于，
求與周長之比；
如果的面積為，求四邊形的面積．
本小題分
周末，王老師布置了一項綜合實踐作業(yè)，要求利用所學知識測量一棟樓的高度．小希站在自家陽臺上，看對面一棟樓頂部的仰角為，看這棟樓底部的俯角為，已知兩樓之間的水平距離為，求這棟樓的高度．
參考數(shù)據(jù)：，，
本小題分
定義：關于的一元二次方程其中，，是常數(shù)，且是關于的一元二次方程其中，，是常數(shù)，且的“友好”方程．例如：是的“友好”方程．
【概念感知】
的“友好”方程是______；
【問題探究】
若關于的一元二次方程其中，，是常數(shù)，且的一個解為，請判斷是否為該方程的“友好”方程的一個解？若是，請證明；若不是，請說明理由．
【拓展提升】
關于的一元二次方程其中，，是常數(shù)，且的解為，，且，也是其“友好”方程的解，求，之間的數(shù)量關系．本小題分
【基礎鞏固】
如圖，在中，，，分別為，，上的點，，，交于點，求證：．
【嘗試應用】
如圖，在的條件下，連結，若，，，求的值．
【拓展提高】
如圖，在?中，，與交于點，為上一點，交于點，交于點若，平分，，求的長．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、，故此選項錯誤；
B、，故此選項錯誤；
C、，正確；
D、，故此選項錯誤；
故選：．
直接利用二次根式的性質分別判斷得出答案．
此題主要考查了二次根式的性質與化簡以及立方根，正確掌握相關性質是解題關鍵．
2.【答案】 【解析】解：在中，、分別為線段、的中點，
為的中位線，
，，
∽，
，
，
即，
故選：．
根據(jù)三角形的中位線定理，相似三角形的面積比等于相似比的平方解答即可．
本題主要考查了三角形的中位線定理和相似三角形的性質與判定，熟練掌握這些性質和定理是解決本題的關鍵．
3.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
故選：．
利用三角函數(shù)求出，在中，利用勾股定理可得的長．
本題主要考查了解直角三角形，勾股定理等知識，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．
4.【答案】 【解析】解：設該快遞店攬件日平均增長率為，
根據(jù)題意，可列方程：，
故選：．
設該快遞店攬件日平均增長率為，關系式為：第三天攬件數(shù)第一天攬件數(shù)攬件日平均增長率，把相關數(shù)值代入即可．
本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找到關鍵描述語，就能找到等量關系，是解決問題的關鍵．同時要注意增長率問題的一般規(guī)律．
5.【答案】 【解析】解：過點作于點，如圖，
它是一個軸對稱圖形，
，
，
，
在中，
，
．
房頂離地面的高度，
故選：．
過點作于點，利用直角三角形的邊角關系定理求得，用即可表示出房頂離地面的高度．
本題主要考查了解直角三角形的意義，軸對稱的性質，等腰三角形的三線合一，利用直角三角形的邊角關系定理求得的長是解題的關鍵．
6.【答案】 【解析】解：，
，
，
．
，
，解得，
故選：．
把常數(shù)項移項后，在左右兩邊同時加上一次項系數(shù)的一半的平方得，可得，解方程即可得的值．
此題考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步驟：把常數(shù)項移到等號的右邊；把二次項的系數(shù)化為；等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．
7.【答案】 【解析】解：原點為位似中心，將放大為原來的倍，點的坐標為，
點的對應點的坐標為或，即或，
故選：．
根據(jù)位似變換的性質解答即可．
本題考查的是位似變換，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為，那么位似圖形對應點的坐標的比等于或．
8.【答案】 【解析】解：四邊形是矩形，
，，，，
，
由折疊的性質可得，
，
，
設，則，，
在中，，
，
，
故選：．
利用矩形和折疊的性質可得，設，則，，在中利用勾股定理列方程，即可求出的值，進而可得．
本題主要考查矩形的性質、解直角三角形、折疊的性質、勾股定理等，解題關鍵是利用矩形和折疊的性質得到．
9.【答案】 【解析】解：關于的一元二次方程無實數(shù)解，
，
解得：，
故選：．
根據(jù)一元二次方程判別式得到，然后求出不等式的解集即可．
本題考查了一元二次方程的根的判別式：當，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當，方程有兩個相等的實數(shù)根；當，方程沒有實數(shù)根．
10.【答案】 【解析】解：為的黃金分割點，的長度為，
，
，
故選：．
先利用黃金分割的定義求出，再計算即可得到的長度．
本題考查了黃金分割，掌握黃金分割的定義是解決問題的關鍵．
11.【答案】 【解析】解：原式
，
故答案為：．
根據(jù)平方差公式即可求出答案．
本題考查平方差公式與二次根式的混合運算，解題的關鍵是熟練運用平方差公式，本題屬于基礎題型．
12.【答案】： 【解析】解：與相似，且相似比為：，
與的面積比為：：．
故答案為：：．
直接利用相似三角形的性質得出面積比等于相似比的平方，進而得出答案．
此題主要考查了相似三角形的性質，正確掌握相關性質是解題關鍵．
13.【答案】 【解析】解：由題意可知：且，
，
，
原式
．
根據(jù)二次根式有意義的條件可求出與的值，然后代入原式即可求出答案．
本題考查二次根式有意義的條件，解題的關鍵是正確求出與的值，本題屬于基礎題型．
14.【答案】 【解析】解：、是方程的兩個根，
，．
，
．
故答案為：．
由根與系數(shù)的關系可得，，結合可得出關于的一元一次方程，解之即可得出結論．
本題考查了根與系數(shù)的關系，將根與系數(shù)的關系與代數(shù)式變形相結合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．一元二次方程的根與系數(shù)的關系為：，．
15.【答案】 【解析】解：由已知可得，
大正方形的面積為，
設直角三角形的長直角邊為，短直角邊為，
則，，
解得，或，不合題意，舍去，
，
故答案為：．
根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以先求出大正方形的面積，然后設出小直角三角形的兩條直角邊，再根據(jù)勾股定理和兩直角邊的關系可求得直角三角形的兩條直角邊的長，然后即可求得的值．
本題考查勾股定理的證明、解直角三角形，解答本題的關鍵是求出直角三角形的兩條直角邊長．
16.【答案】解：
；
． 【解析】先化簡各式，然后再進行計算即可解答；
先計算二次根式的乘法，再算加減法，即可解答．
本題考查了二次根式的混合運算，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．
17.【答案】解：，
，
，
或，
所以，；
，
，
，，，
，
，
所以，． 【解析】先移項得到，再利用因式分解法把方程轉化為或，然后解一次方程即可；
先把方程化為一般式，再計算出根的判別式的值，然后利用求根公式得到方程的解．
本題考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．
18.【答案】解：如圖，為所作；
如圖，為所作；
的面積；
的坐標為；的坐標為． 【解析】利用點平移的坐標變換規(guī)律寫出、、的坐標，然后描點即可；
延長到使，延長到使，從而得到；
利用三角形面積公式的面積，然后利用、中所畫圖形寫出，的坐標．
本題考查了作圖位似變換：畫位似圖形的一般步驟為：先確定位似中心；再分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關鍵點；接著根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關鍵點；然后順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形．也考查了平移變換．
19.【答案】解：根據(jù)題意得：，
解得：或，
答：的值為或；
矩形的面積不能為平方厘米，理由如下：
假設矩形的面積可以為平方厘米，
則，
整理得：，
，
此方程無解，
矩形的面積不能為平方厘米． 【解析】根據(jù)矩形的面積為平方厘米列出方程，求出方程的解即可；
假設矩形的面積可以為平方厘米，得出方程，再判斷方程是否有解即可．
本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解此題的關鍵．
20.【答案】解：四邊形是平行四邊形，
，，
，，
∽，
，
：：，
，
；
∽，
，
，
的面積為，
，
，
． 【解析】根據(jù)兩對應角相等，兩三角形是相似三角形，可判斷與是相似三角形，根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比即可求解；
根據(jù)∽，于是得到，，求得，于是得到．
本題考查相似三角形的判定和性質，平行四邊形的性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．
21.【答案】解：如圖，過點作于，則，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
答：這棟樓的高度大約為． 【解析】通過作垂線構造直角三角形，在兩個直角三角形中，由銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可．
本題考查解直角三角形的應用，掌握直角三角形的邊角關系是正確解答的前提．
22.【答案】 【解析】解：的“友好”方程是；
故答案為：；
是．
理由如下：
把代入方程得，
即，
關于的一元二次方程的“友好”方程為，
把代入得，
即，
所以是方程的一個解；
方程的解為，，
，
，是方程的解，
，
，
解得，
即，之間的數(shù)量關系為．
根據(jù)“友好”方程的定義求解；
先把代入方程得到，再寫出關于的一元二次方程的“友好”方程為，再把代入得，然后根據(jù)一元二次方程解的定義可判斷是方程的一個解；
利用根與系數(shù)的關系得到，，則，從而得到，之間的數(shù)量關系．
本題考查了根與系數(shù)的關系：若，是一元二次方程的兩根時，，也考查了一元二次方程解的定義．
23.【答案】證明：，
∽，∽，
，，
，
，
；
解：，，
，
，
∽，
；
解：延長交于，連接，過點作于，
四邊形為平行四邊形，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
平分，
，
，，
，
，
，
，
，
，
． 【解析】證明∽，∽，根據(jù)相似三角形的性質得到，進而證明結論；
根據(jù)線段垂直平分線的性質求出，根據(jù)相似三角形的性質計算，得到答案；
延長交于，連接，過點作于，根據(jù)直角三角形的性質求出，求出，根據(jù)直角三角形的性質、勾股定理計算即可．
本題考查的是相似三角形的判定和性質、平行四邊形的性質、直角三角形的性質，掌握相似三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．
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