1．什么是二元一次方程？
2．足球比賽規(guī)定：勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分．勇士隊(duì)參加了10場(chǎng)比賽，共得18分．已知勇士隊(duì)在比賽中勝的場(chǎng)數(shù)正好等于平與負(fù)的場(chǎng)數(shù)之和，那么勇士隊(duì)勝、平、負(fù)各幾場(chǎng)？
答：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程．
【情境1】 暑假里，《新晚報(bào)》組織了“我們的小世界杯”足球邀請(qǐng)賽.比賽規(guī)定：勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分.勇士隊(duì)在第一輪比賽中賽了9場(chǎng)，只負(fù)了2場(chǎng)，共得17分.那么這個(gè)隊(duì)勝了幾場(chǎng)？又平了幾場(chǎng)呢？
所以這個(gè)隊(duì)勝了5場(chǎng)，又平了2場(chǎng).
【情境2】在第二輪比賽中，勇士隊(duì)參加了10場(chǎng)比賽，按同樣的計(jì)分規(guī)則，共得18分.已知勇士隊(duì)在比賽中勝的場(chǎng)數(shù)正好等于平與負(fù)的場(chǎng)數(shù)之和，那么勇士隊(duì)在第二輪比賽中，勝、負(fù)、平的場(chǎng)數(shù)各是多少？這時(shí)我們可以設(shè)幾個(gè)未知數(shù)解決問(wèn)題？列出方程后你有什么發(fā)現(xiàn)，你能說(shuō)出你的發(fā)現(xiàn)嗎？如何解決你所列的方程呢？
解：設(shè)三個(gè)未知數(shù)，設(shè)勇士隊(duì)勝了x場(chǎng)，平了y場(chǎng)，負(fù)了z場(chǎng)，則可得方程為：
這種由三個(gè)一次方程組成的含三個(gè)未知數(shù)的方程組，叫做三元一次方程組.
通過(guò)消元，把解三元一次方程組的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成解二元一次方程組的問(wèn)題.
由⑥-⑦得z=2,把z=2代入④得2y+4=10,即y=3,
通過(guò)消元，把解二元一次方程組的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成解一元一次方程組的問(wèn)題.
解 先用加減消元法消去x：②+①×2，得y+5z=3 ④③-①，得y-6z=-8 ⑤下面解由④⑤聯(lián)立成的二元一次方程組：④-⑤，得11z=11, ⑥
所以z=1. ⑦將⑦代入④，得 y=-2.將y,z的值代入①，得x=3.
下列方程組是三元一次方程組的是(　 　)
例2 解《九章算術(shù)》第八章第一題的方程組
解：先用加減法消去z：
①-②, ②×3-③,得
①+②，得 3x+4y=10 ④②+③，得 5x+2y=12 ⑤⑤×2-④，得 7x=14所以x=2 ⑥
將⑥代入⑤，得 y=1.將x,y的值代入①得z=3.
①×2+③，得8x+11z=6 ④②×4- ④ ，得 -3z=18 所以z=-6 ⑤將⑤代入②，得 x=9.
例3 幼兒營(yíng)養(yǎng)標(biāo)準(zhǔn)中要求一個(gè)幼兒每天所需的營(yíng)養(yǎng)量中應(yīng)包含35單位的鐵、70單位的鈣和35單位的維生素?，F(xiàn)有一營(yíng)養(yǎng)師根據(jù)上面的標(biāo)準(zhǔn)給幼兒園小朋友們配餐，其中包含A,B,C三種食物，下表給出的是每份（50g）食物A,B,C分別所含的鐵、鈣和維生素的量（單位）
（2）解該三元一次方程組，求出滿足要求的A,B,C的份數(shù).
（1）如果設(shè)食譜中A, B, C三種食物各為x, y, z三份，請(qǐng)列出方程組，使得A,B,C三種食物中所含的營(yíng)養(yǎng)量剛好滿足幼兒營(yíng)養(yǎng)標(biāo)準(zhǔn)中的要求.
解：（1）設(shè)食譜中A,B,C,三中食物各為x、y、z份，由該食譜中包含35單位的鐵、70單位的鈣和35單位的維生素，得方程組
（2）②-①×4，③-①，得
再通過(guò)回代，解得 z=2,y=1,x=2.
答：該食譜包含A種食物2份，B種食物1份，C種食物2份.
解：③－①，得x－2y＝－8.④
把x＝10，y＝9代入①，得z＝7，
已知關(guān)于x的代數(shù)式ax2＋bx＋c，且x＝－1時(shí)，代數(shù)式的值為－1；x＝0時(shí)，代數(shù)式的值為2；x＝1時(shí)，代數(shù)式的值為3.則a、b、c的值為(　 　)A．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝2　　　　　　B．a(chǎn)＝1，b＝－2，c＝－2C．a(chǎn)＝－1，b＝2，c＝2 D．a(chǎn)＝－1，b＝－2，c＝2
(1)一賓館有二人間、三人間、四人間三種客房供游客租住，某旅行團(tuán)20人準(zhǔn)備同時(shí)租用這三種客房共7間，如果每個(gè)房間都住滿，租房方案有(　 　)A．4種　　　　　 B．3種　　　　　C．2種　　　　　 D．1種
2.在等式y(tǒng)=ax +bx+c中，當(dāng)x =-1時(shí), y=0； 當(dāng)x =2時(shí)，y=3；當(dāng)x =5時(shí)，y=60。 求的a、b、c的值。
解：根據(jù)題意，得三元一次方程組
②－①， 得 a＋b=1 ④
③－①，得 4a＋b=10 ⑤
答：a=3, b=-2, c=-5.
3.甲、乙、丙三數(shù)的和是26，甲數(shù)比乙數(shù)大1，甲數(shù)的兩倍與丙數(shù)的和比乙數(shù)大18，求這三個(gè)數(shù)．
解：設(shè)甲為x，乙為y，丙為z，根據(jù)題意，組成以下方程組：
答：甲為10，乙為9，丙為7.

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3.5 三元一次方程組及其解法

版本： 滬科版（2024）

年級(jí)： 七年級(jí)上冊(cè)

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