1.經(jīng)歷探索三元一次方程組的解法的過程.2.會(huì)解三元一次方程組.3.能利用三元一次方程組解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.
小明手頭有12張面額分別為1元、2元、5元的紙幣，共計(jì)22元，其中1元紙幣的數(shù)量是2元紙幣數(shù)量的4倍.求1元、2元、5元紙幣各多少張.
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解析：（1）這個(gè)問題中包含有 個(gè)相等關(guān)系：1元紙幣張數(shù)＋2元紙幣張數(shù)＋5元紙幣張數(shù)＝12張；1元紙幣的張數(shù)＝2元紙幣的張數(shù)的4倍；1元的金額＋2元的金額＋5元的金額＝22元.（2）這個(gè)問題中包含有 個(gè)未知數(shù):1元、2元、5元紙幣的張數(shù).
設(shè)1元、2元、5元的紙幣分別為x張,y張,z張.
根據(jù)題意，可以得到下面三個(gè)方程：
x+y+z=12x=4yx+2y+5z=22
你能根據(jù)等量關(guān)系列出方程嗎?
觀察方程①、③你能得出什么？
都含有三個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做三元一次方程.
這個(gè)問題的解必須同時(shí)滿足上面的三個(gè)條件，因此，我們把這三個(gè)方程合在一起，寫成
x+y+z=12，x=4y，x+2y+5z=22.
這個(gè)方程組含有三個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有三個(gè)方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組.
如何解三元一次方程組呢？
是不是類似于解二元一次方程組先把三元化為二元，再把二元化為一元呢？
【例】 解三元一次方程組：
3x＋4z=7， ①2x＋3y＋z=9， ②5x－9y＋7z=8. ③
解析：方程①中只含x,z,因此，可以由②③消去y，得到一個(gè)只含x，z的方程，與方程①組成一個(gè)二元一次方程組.
解：②×3＋③ ，得 11x＋10z=35 . ④
把x＝5，z＝-2代入②，得y=
因此，這個(gè)三元一次方程組的解為
3x＋4z=7， ①2x＋3y＋z=9， ②5x－9y＋7z=8. ③
1.在方程5x－2y＋z＝3中，若x＝－1，y＝－2，則z＝_______.
【解析】把 x=-1,y=-2 代入方程5x－2y＋z＝3中，即可求出z的值.
2.解方程組 ,則x＝_____，y＝______，z＝_______.
【解析】通過觀察未知數(shù)的系數(shù)，可采取① +②求出y， ②+ ③求出z，最后再將y與z的值代入任何一個(gè)方程求出x即可.
【答案】6 8 3
3.若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，則x＋y＋z的值為（ ）A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】通過觀察未知數(shù)的系數(shù)，可采取將兩個(gè)方程相加得，5x+5y+5z=25，所以x+y+z=5.
4.在等式 y=ax2＋bx＋c中,當(dāng) x=-1 時(shí),y=0;當(dāng) x=2 時(shí),y =3;當(dāng) x=5 時(shí),y=60. 求a,b,c的值.
解：根據(jù)題意，得三元一次方程組
a－b＋c= 0， ①4a＋2b＋c=3， ②25a＋5b＋c=60. ③
②－①， 得 a＋b=1 . ④
③－①，得 4a＋b=10. ⑤
④與⑤組成二元一次方程組
a＋b=1，4a＋b=10.
把 代入①，得
a=3，b=-2，c=-5.
5.某農(nóng)場(chǎng)300名職工耕種51公頃土地，計(jì)劃種植水稻、棉花和蔬菜，已知種植植物每公頃所需的勞動(dòng)力人數(shù)及投入的資金如下表：
已知農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃投入67萬元，應(yīng)該怎樣安排這三種作物的種植面積，才能使所有職工都有工作，而且投入的資金正好夠用？
解：設(shè)安排x公頃種水稻、y公頃種棉花、z公頃種蔬菜.由題意得
答：安排15公頃種水稻、20公頃種棉花、16公頃種蔬菜才能使所有職工都有工作，而且投入的資金剛好夠用.

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3.5 三元一次方程組及其解法

版本： 滬科版

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