2022-2023學(xué)年湖北省黃岡市蘄春縣九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共8小題，每題3分，共24分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）    一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)分別是(    )A. 3， B. 3，1 C. ，1 D. 3，6    下列四幅圖案中，屬于中心對(duì)稱圖形的是(    )A.  B.  C.  D.     下列各數(shù)是一元二次方程的根的是(    )A.  B. 4 C.  D. 3    將拋物線向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，得到的拋物線是(    )A.  B.
C.  D.     如圖，把繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則旋轉(zhuǎn)角是(    )
 A.  B.  C.  D.     如圖，的半徑為5，AB為弦，，垂足為E，如果，那么AB的長是(    )A. 4
B. 8
C. 6
D. 10    二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，則下列說法錯(cuò)誤的是(    )A. 拋物線開口向上 B. 拋物線的對(duì)稱軸是直線
C. 拋物線的頂點(diǎn)是 D. 當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小    二次函數(shù)的圖象如圖所示，以下結(jié)論：①；②；③；④其頂點(diǎn)坐標(biāo)為；⑤當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。虎?/span>；⑦方程有實(shí)數(shù)解，正確的有(    )
 A. 3個(gè) B. 4個(gè) C. 5個(gè) D. 6個(gè)二、填空題（本大題共8小題，每題3分，共24分）    在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是__________.方程的根是______.小云家開了一個(gè)小文具店，今年一月份的利潤是2250元，三月份的利潤是1000元，計(jì)算這個(gè)文具店這兩個(gè)月利潤的平均下降率．設(shè)這兩個(gè)月利潤的平均下降率為x，則可列方程得______.若m、n是方程的兩根，則______.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，其中，則的坐標(biāo)是______.
拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為______ .如圖，的直徑，點(diǎn)C在上，，則AC的長是______ .
 如圖，P是等邊內(nèi)一點(diǎn)，且，，，若繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到，則______
  三、解答題（本大題共8小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）（6分）解下列方程
；
 （8分）已知關(guān)于x的方程
若，求原方程的根；
求證：無論p為何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（8分）某水果商場經(jīng)銷一種高檔水果，原價(jià)每千克50元，連續(xù)兩次降價(jià)后每千克32元，若每次下降的百分率相同
求每次下降的百分率；
若每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，商場決定采取適當(dāng)?shù)臐q價(jià)措施，若每千克漲價(jià)1元，日銷售量將減少20千克，現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，且要盡快減少庫存，那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元？（6分）如圖，AB是的直徑，弦于點(diǎn)H，，，求的半徑的長．
（9分）如圖，半徑為5的與y軸交于點(diǎn)，
求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
將繞點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得，交x軸于B、C，求過A、B、C三個(gè)點(diǎn)的拋物線的解析式．
（10分）某水果商店銷售一種進(jìn)價(jià)為40元/千克的優(yōu)質(zhì)水果，若售價(jià)為50元/千克，則一個(gè)月可售出500千克；若售價(jià)在50元/千克的基礎(chǔ)上每漲價(jià)1元，則月銷售量就減少10千克．
當(dāng)售價(jià)為55元/千克時(shí)，每月銷售水果多少千克？
當(dāng)月利潤為8750元時(shí)，每千克水果售價(jià)為多少元？
當(dāng)每千克水果售價(jià)為多少元時(shí)，獲得的月利潤最大？（12分）在中，，，，，分別交直線AB、AC于點(diǎn)M、

如圖1，當(dāng)時(shí)，求證：；
如圖2，當(dāng)時(shí)，求證：；
當(dāng)時(shí)，旋轉(zhuǎn)至圖3位置，請(qǐng)你直接寫出線段BM、MN、AN之間的數(shù)量關(guān)系．（13分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與直線AB相交于A，B兩點(diǎn)，其中，
求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
點(diǎn)E為直線AB下方拋物線上任意一點(diǎn)，連接AE，BE，求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；
點(diǎn)D為拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)A，B，D為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形時(shí)，直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo).

答案和解析 1.【答案】A 【解析】解：一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)分別是3，
故選  2.【答案】B 【解析】解：A、不是中心對(duì)稱圖形；
B、是中心對(duì)稱圖形；
C、不是中心對(duì)稱圖形；
D、不是中心對(duì)稱圖形．
故選：  3.【答案】D 【解析】解：，
或，所以，
故選：
4.【答案】B 【解析】解：由題意得原拋物線的頂點(diǎn)為，
平移后拋物線的頂點(diǎn)為，
新拋物線解析式為，
故選：
5.【答案】A 【解析】解：如圖，把繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
旋轉(zhuǎn)角是或，
故選：
6.【答案】B 【解析】解：連接OA，
半徑，
，
，，
，
在中，，
，
故選：  7.【答案】D 解：二次函數(shù)，
，
拋物線開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸是直線，
故A，B，C正確，
故選  8.【答案】B 【解析】解：①由圖象開口可知：，
由圖像與y軸交點(diǎn)知：，
，
，
，故①正確；
②由圖象可知：，
，
，故②正確；
③拋物線與x軸交于點(diǎn)，，
拋物線的對(duì)稱軸為：，
，
，
故③正確；
④由圖象可知頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)小于，故④錯(cuò)誤；
⑤由③可知拋物線的對(duì)稱軸為，
由圖象可知：時(shí)，y隨著x的增大而減小，
故⑤正確；
⑥由圖象可知：時(shí)，，
，
故⑥錯(cuò)誤；
⑦由圖象可知，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于，
方程無實(shí)數(shù)解，
故⑦錯(cuò)誤；
故選：  9.【答案】 【解析】解：根據(jù)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱則兩點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，
點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，
故答案為
10.【答案】， 【解析】解：，
或，
解得：，
故答案為，
11.【答案】 【解析】解：設(shè)這兩個(gè)月利潤的平均下降率為x，則可列方程得：

故答案為：
12.【答案】 【解析】解：、n是方程的兩根，
，，

故答案是：  13.【答案】 【解析】解：如圖，觀察圖象可知，

故答案為
14.【答案】 【解析】解：物線，
該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
故答案為：
 15.【答案】2 【解析】解：直徑，
，
點(diǎn)C在上，，
，
故答案為：
 16.【答案】150 【解析】解：如圖，連接，

繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
≌，
，，
旋轉(zhuǎn)角是，
是等邊三角形，
，，
，，
，
是以為直角的直角三角形，

故答案為  17.【答案】解：，
或，
解得，；
，
，
則或，
解得， 18.【答案】解：若，原方程為，
解得：，；
，
，
，
無論p為何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． 19.【答案】解：設(shè)每次下降的百分率為a，根據(jù)題意，得：
，
解得：舍或，
答：每次下降的百分率為；
設(shè)每千克應(yīng)漲價(jià)x元，由題意，得
，
整理，得，
解得：，，
因?yàn)橐M快減少庫存，所以符合題意．
答：該商場要保證每天盈利6000元，那么每千克應(yīng)漲價(jià)5元． 20.【答案】解：連接BC，如圖所示：
是的直徑，弦于H，
，，，
，
，
在中，，
，，
，，
，
即的半徑長是 21.【答案】解：連接PM，PN，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，如圖1所示．
，

點(diǎn)，，
，，，

在中，，，，
，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為
連接OP，OA，AB，設(shè)點(diǎn)B在點(diǎn)C的右邊，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)F，如圖2所示．
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知：，，
點(diǎn)A的坐標(biāo)為
在中，，，，
，

同理：，，
點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為
設(shè)過A，B，C三個(gè)點(diǎn)的拋物線的解析式為，
將，，代入，得：
，解得：，
過A，B，C三個(gè)點(diǎn)的拋物線的解析式為 22.【答案】解：當(dāng)售價(jià)為55元/千克時(shí)，每月銷售水果千克；
設(shè)每千克水果售價(jià)為x元，
由題意可得：，
解得：，，
答：每千克水果售價(jià)為65元或75元；
設(shè)每千克水果售價(jià)為m元，獲得的月利潤為y元，
由題意可得：，
當(dāng)時(shí)，y有最大值為9000元，
答：當(dāng)每千克水果售價(jià)為70元時(shí)，獲得的月利潤最大值為9000元． 23.【答案】證明：如圖1，連接OA，

，，，
，，，
，
，且，，
≌
；

證明：如圖2，在BA上截取，連接GO，AO，

，，，
，，，
，，，
≌，
，，
，
，
，
，
，，
≌，
，
；

，
理由如下：如圖3，過點(diǎn)O作，連接AO，

，，，
，，，
，
，
，
，且，，
≌，
，，
，，，
≌，
，
，
 24.【答案】解：將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)得：，解得，
故拋物線的表達(dá)式為；

由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)得，直線AB的表達(dá)式為，
過點(diǎn)E作y軸的平行線交直線AB于點(diǎn)H，

設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，
則面積，
，故面積有最大值，
當(dāng)時(shí)，面積的最大值為8，此時(shí)點(diǎn)；

由拋物線的表達(dá)式知，其對(duì)稱軸為直線，設(shè)點(diǎn)，
由點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)得：，，，
當(dāng)時(shí)，即，解得；
當(dāng)時(shí)，同理可得：；
當(dāng)時(shí)，同理可得：，
故點(diǎn)D的坐標(biāo)為或或或或 
 

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