?湖北省黃岡市蘄春縣九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
　
一、填空題（每小題3分，共30分）．
1．（3分）已知1是關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+n=0的一個根，那么m+n=　?。?br /> 2．（3分）平面直角坐標(biāo)系中，一點P（﹣2，3）關(guān)于原點的對稱點P′的坐標(biāo)是　?。?br /> 3．（3分）拋物線y=2x2﹣3x+4與y軸的交點坐標(biāo)是　?。?br /> 4．（3分）若分式的值為0，則x=　?。?br /> 5．（3分）已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A，B兩點，若點A的坐標(biāo)為（﹣2，0），拋物線的對稱軸為直線x=2，則線段AB的長為　?。?br /> 6．（3分）如圖，有正方形ABCD，把△ADE順時針旋轉(zhuǎn)到△ABF的位置．其中AD=4，AE=5，則BF=　?。?br />
7．（3分）如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于點C，若AB=4cm，OC=2cm，則⊙O的半徑長是　?。?br />
8．（3分）劉謙的魔術(shù)表演風(fēng)靡全國，小明也學(xué)起了劉謙發(fā)明了一個魔術(shù)盒，當(dāng)任意實數(shù)對（a，b）進(jìn)入其中時，會得到一個新的實數(shù)：a2+b﹣1，例如把（3，﹣2）放入其中，就會得到32+（﹣2）﹣1=6．現(xiàn)將實數(shù)對（m，﹣2m）放入其中，得到實數(shù)2，則m=　?。?br /> 9．（3分）已知二次函數(shù)y1=ax2+bx+c與一次函數(shù)y2=kx+m（k≠0）的圖象相交于點A（﹣2，4），B（8，2）．如圖所示，則能使y1＞y2成立的x的取值范圍是　?。?br />
10．（3分）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，△OA1B1是邊長為2的等邊三角形，作△B2A2B1與△OA1B1關(guān)于點B1成中心對稱，再作△B2A3B3與△B2A2B1關(guān)于點B2成中心對稱，…，如此作下去，則△B2015A2016B2016的頂點A2016的坐標(biāo)是　?。?br />
　
二、選擇題（每小題3分，共30分）
11．（3分）下列圖形是我國國產(chǎn)品牌汽車的標(biāo)識，在這些汽車標(biāo)識中，是中心對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
12．（3分）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+2k=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是（　?。?br /> A． B． C． D．
13．（3分）已知函數(shù) y=（m+2）是二次函數(shù)，則m等于（　?。?br /> A．±2 B．2 C．﹣2 D．±1
14．（3分）如圖，將△ABC繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90o得到△A'B'C'，則點P的坐標(biāo)是（　?。?br />
A．（1，1） B．（1，2） C．（1，3） D．（1，4）
15．（3分）拋物線y=3x2先向上平移2個單位，再向右平移3個單位，所得的拋物線為（　　）
A．y=3（x+3）2﹣2 B．y=3（x+3）2+2 C．y=3（x﹣3）2﹣2 D．y=3（x﹣3）2+2
16．（3分）如圖，A、B、C是⊙O上的三點，已知∠O=60°，則∠C=（　　）

A．20° B．25° C．30° D．45°
17．（3分）如圖，在半徑為5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的兩條弦，垂足為P，且AB=CD=8，則OP的長為（　?。?br />
A．3 B．4 C．3 D．4
18．（3分）已知關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的一個根是﹣a（a≠0），則a﹣b值為（　?。?br /> A．﹣1 B．0 C．1 D．2
19．（3分）給出下列四個函數(shù)：①y=﹣x；②y=x；③y=﹣x2；④y=x2．當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而減小的函數(shù)有（　?。?br /> A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
20．（3分）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，對稱軸是直線x=﹣1，下列結(jié)論：
①abc＜0；②2a+b=0；③a﹣b+c＞0；④4a﹣2b+c＜0
其中正確的是（　?。?br />
A．①② B．只有① C．③④ D．①④
　
三、解答題．（共60分）
21．（8分）解下列方程：
（1）x（x﹣3）+x﹣3=0
（2）x2﹣4x+1=0．
22．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，1），B（﹣3，5），C（﹣3，1）．
（1）在圖中畫出△ABC以A為旋轉(zhuǎn)中心，沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90o后的圖形△AB1C1，并寫出B1、C1兩點的坐標(biāo)；
（2）在圖中畫出與△ABC關(guān)于原點對稱的圖形△A2B2C2，并寫出B2、C2兩點的坐標(biāo)．

23．（7分）已知二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為（1，4），且其圖象經(jīng)過點（﹣2，﹣5），求此二次函數(shù)的解析式．
24．（9分）已知關(guān)于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分別為△ABC三邊的長．
（1）如果x=﹣1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）如果方程有兩個相等的實數(shù)根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（3）如果△ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根．
25．（8分）如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，延長BC至點D，使DC=CB，延長DA與⊙O的另一個交點為E，連接AC，CE．
（1）求證：∠B=∠D；
（2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的長．

26．（10分）某水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價不變的情況下，若每千克漲價一元，日銷售量將減少20千克．
（1）現(xiàn)要保證每天盈利6000元，同時又要讓顧客得到實惠，那么每千克應(yīng)漲價多少元？
（2）若該商場單純從經(jīng)濟(jì)角度看，那么每千克應(yīng)漲價多少元，能使商場獲利最多．
27．（12分）如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于點A（﹣3，0）和點B，交y軸于點C（0，3）．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點P在拋物線上，且S△AOP=4SBOC，求點P的坐標(biāo)；
（3）如圖b，設(shè)點Q是線段AC上的一動點，作DQ⊥x軸，交拋物線于點D，求線段DQ長度的最大值．
　

湖北省黃岡市蘄春縣九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
　
一、填空題（每小題3分，共30分）．
1．（3分）（2016秋?蘄春縣期中）已知1是關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+n=0的一個根，那么m+n=　﹣1?。?br /> 【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，將x=1代入關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+n=0即可求得m+n的值．
【解答】解：∵1是關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+n=0的一個根，
∴x=1滿足關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+n=0，
∴1+m+n=0，
解得m+n=﹣1．
故答案是：﹣1．
【點評】此題主要考查了方程解的定義．此類題型的特點是，利用方程解的定義找到相等關(guān)系，再把所求的代數(shù)式化簡后整理出所找到的相等關(guān)系的形式，再把此相等關(guān)系整體代入所求代數(shù)式，即可求出代數(shù)式的值．
　
2．（3分）（2015?武漢校級二模）平面直角坐標(biāo)系中，一點P（﹣2，3）關(guān)于原點的對稱點P′的坐標(biāo)是　（2，﹣3）　．
【分析】平面直角坐標(biāo)系中任意一點P（x，y），關(guān)于原點的對稱點是（﹣x，﹣y），從而可得出答案．
【解答】解：根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，得點P（﹣2，﹣3）關(guān)于原點對稱點P′的坐標(biāo)是（2，﹣3）．
故答案為：（2，﹣3）．
【點評】本題考查關(guān)于原點對稱的點坐標(biāo)的關(guān)系，是需要識記的基本問題．記憶方法是結(jié)合平面直角坐標(biāo)系的圖形記憶．
　
3．（3分）（2008?浦東新區(qū)二模）拋物線y=2x2﹣3x+4與y軸的交點坐標(biāo)是?。?，4）?。?br /> 【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，將x=0代入函數(shù)解析式，求得y值．
【解答】解：根據(jù)題意，得
當(dāng)x=0時，y=0﹣0+4=4，
即y=4，
∴該函數(shù)與y軸的交點坐標(biāo)是（0，4）．
故答案是：（0，4）．
【點評】本題考查的是二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征．二次函數(shù)圖象上的點都在該函數(shù)的圖象上．
　
4．（3分）（2016春?嵊州市校級期末）若分式的值為0，則x=　1　．
【分析】分式的值為0的條件是：（1）分子為0；（2）分母不為0．兩個條件需同時具備，缺一不可．據(jù)此可以解答本題．
【解答】解：分式的值為0，得
x2﹣1=0且x+1≠0．解得x=1，
故答案為：1．
【點評】此題主要考查了分式值為零的條件，關(guān)鍵是掌握分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不為零”這個條件不能少．
　
5．（3分）（2014?河南）已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A，B兩點，若點A的坐標(biāo)為（﹣2，0），拋物線的對稱軸為直線x=2，則線段AB的長為　8?。?br /> 【分析】由拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為直線x=2，交x軸于A、B兩點，其中A點的坐標(biāo)為（﹣2，0），根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，求得B點的坐標(biāo)，再求出AB的長度．
【解答】解：∵對稱軸為直線x=2的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A、B兩點，
∴A、B兩點關(guān)于直線x=2對稱，
∵點A的坐標(biāo)為（﹣2，0），
∴點B的坐標(biāo)為（6，0），
AB=6﹣（﹣2）=8．
故答案為：8．
【點評】此題考查了拋物線與x軸的交點．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是求出B點的坐標(biāo)．
　
6．（3分）（2016秋?蘄春縣期中）如圖，有正方形ABCD，把△ADE順時針旋轉(zhuǎn)到△ABF的位置．其中AD=4，AE=5，則BF=　3?。?br />
【分析】據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB=AD=4，∠DAB=90°，由于△ADE旋轉(zhuǎn)到△ABF的位置，即AD旋轉(zhuǎn)到AB，旋轉(zhuǎn)角為90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AF=AE，∠FAE=∠DAB=90°，勾股定理可計算出BF的長．
【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD=4，
∵△ADE旋轉(zhuǎn)到△ABF的位置，即AD旋轉(zhuǎn)到AB，
∴AF=AE=5，∠ABF=∠D=90°，
∴BF==3，
故答案為：3．
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，即對應(yīng)角相等，對應(yīng)線段相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．
　
7．（3分）（2016秋?蘄春縣期中）如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于點C，若AB=4cm，OC=2cm，則⊙O的半徑長是　2cm?。?br />
【分析】根據(jù)垂徑定理得AC=2cm，根據(jù)勾股定理即可求得圓的半徑．
【解答】解：連接OA，如圖所示，
∵OC⊥AB于點C，
∴AC=AB=2cm．
根據(jù)勾股定理，得
OA==2（cm）．
故答案為：2cm．

【點評】此題綜合運用了垂徑定理和勾股定理；熟練掌握垂徑定理是解決問題的關(guān)鍵．
　
8．（3分）（2009?深圳）劉謙的魔術(shù)表演風(fēng)靡全國，小明也學(xué)起了劉謙發(fā)明了一個魔術(shù)盒，當(dāng)任意實數(shù)對（a，b）進(jìn)入其中時，會得到一個新的實數(shù)：a2+b﹣1，例如把（3，﹣2）放入其中，就會得到32+（﹣2）﹣1=6．現(xiàn)將實數(shù)對（m，﹣2m）放入其中，得到實數(shù)2，則m=　3或﹣1?。?br /> 【分析】根據(jù)題意，把實數(shù)對（m，﹣2m）代入a2+b﹣1=2中，得到一個一元二次方程，利用因式分解法可求出m的值．
【解答】解：把實數(shù)對（m，﹣2m）代入a2+b﹣1=2中得m2﹣2m﹣1=2
移項得m2﹣2m﹣3=0
因式分解得（m﹣3）（m+1）=0
解得m=3或﹣1．
故答案為：3或﹣1．
【點評】根據(jù)題意，把實數(shù)對（m，﹣2m）代入a2+b﹣1=2中，并進(jìn)行因式分解，再利用積為0的特點解出方程的根．
　
9．（3分）（2016秋?蘄春縣期中）已知二次函數(shù)y1=ax2+bx+c與一次函數(shù)y2=kx+m（k≠0）的圖象相交于點A（﹣2，4），B（8，2）．如圖所示，則能使y1＞y2成立的x的取值范圍是　x＜﹣2或x＞8?。?br />
【分析】直接根據(jù)函數(shù)的圖象即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵由函數(shù)圖象可知，當(dāng)x＜﹣2或x＞8時，一次函數(shù)的圖象在二次函數(shù)的上方，
∴能使y1＞y2成立的x的取值范圍是x＜﹣2或x＞8．
故答案為：x＜﹣2或x＞8．
【點評】本題考查的是二次函數(shù)與不等式，能利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．
　
10．（3分）（2016秋?蘄春縣期中）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，△OA1B1是邊長為2的等邊三角形，作△B2A2B1與△OA1B1關(guān)于點B1成中心對稱，再作△B2A3B3與△B2A2B1關(guān)于點B2成中心對稱，…，如此作下去，則△B2015A2016B2016的頂點A2016的坐標(biāo)是?。?031，﹣）　．

【分析】首先根據(jù)△OA1B1是邊長為2的等邊三角形，可得A1的坐標(biāo)為（1，），B1的坐標(biāo)為（2，0）；然后根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，分別求出點A2、A3、A4的坐標(biāo)各是多少；最后總結(jié)出An的坐標(biāo)的規(guī)律，求出A2016的坐標(biāo)是多少即可．
【解答】解：∵△OA1B1是邊長為2的等邊三角形，
∴A1的坐標(biāo)為（1，），B1的坐標(biāo)為（2，0），
∵△B2A2B1與△OA1B1關(guān)于點B1成中心對稱，
∴點A2與點A1關(guān)于點B1成中心對稱，
∵2×2﹣1=3，2×0﹣=﹣，
∴點A2的坐標(biāo)是（3，﹣），
∵△B2A3B3與△B2A2B1關(guān)于點B2成中心對稱，
∴點A3與點A2關(guān)于點B2成中心對稱，
∵2×4﹣3=5，2×0﹣（﹣）=，
∴點A3的坐標(biāo)是（5，），
∵△B3A4B4與△B3A3B2關(guān)于點B3成中心對稱，
∴點A4與點A3關(guān)于點B3成中心對稱，
∵2×6﹣5=7，2×0﹣=﹣，
∴點A4的坐標(biāo)是（7，﹣），
…，
∵1=2×1﹣1，3=2×2﹣1，5=2×3﹣1，7=2×3﹣1，…，
∴An的橫坐標(biāo)是2n﹣1，
當(dāng)n為奇數(shù)時，An的縱坐標(biāo)是，當(dāng)n為偶數(shù)時，An的縱坐標(biāo)是﹣，
∴△B2015A2016B2016的頂點A2016的坐標(biāo)是（4031，﹣），
故答案為：（4031，﹣）．
【點評】此題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)問題，要熟練掌握中心對稱的兩點坐標(biāo)變化規(guī)律，解答此題的關(guān)鍵是分別判斷出An的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)各是多少．
　
二、選擇題（每小題3分，共30分）
11．（3分）（2015?重慶）下列圖形是我國國產(chǎn)品牌汽車的標(biāo)識，在這些汽車標(biāo)識中，是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義和圖形的特點即可求解．
【解答】解：由中心對稱圖形的定義知，繞一個點旋轉(zhuǎn)180°后能與原圖重合，只有選項B是中心對稱圖形．
故選：B．
【點評】本題考查了中心對稱圖形的概念：如果一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后能夠與自身重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心．
　
12．（3分）（2010?濰坊）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+2k=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+2k=0有兩個不相等的實數(shù)根，即判別式△=b2﹣4ac＞0，即可確定k的取值范圍．
【解答】解：∵一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，
∴△=b2﹣4ac＞0，即（﹣6）2﹣4×2k＞0，
解得k＜，故選B．
【點評】總結(jié)：一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；
（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．
　
13．（3分）（2010?淮北模擬）已知函數(shù) y=（m+2）是二次函數(shù)，則m等于（　　）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．±1
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，令m2﹣2=2，且m+2≠0，即可求出m的取值范圍．
【解答】解：∵y=（m+2）是二次函數(shù)，
∴m2﹣2=2，且m+2≠0，
∴m=2，
故選B．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的定義，要注意，二次項系數(shù)不能為0．
　
14．（3分）（2016秋?蘄春縣期中）如圖，將△ABC繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90o得到△A'B'C'，則點P的坐標(biāo)是（　?。?br />
A．（1，1） B．（1，2） C．（1，3） D．（1，4）
【分析】利用網(wǎng)格特點，作CC′和AA′的垂直平分線，它們的交點為P點，然后寫出P點坐標(biāo)．
【解答】解：如圖，P點坐標(biāo)為（1，2）．

【點評】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)：圖形或點旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求出旋轉(zhuǎn)后的點的坐標(biāo)．常見的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
　
15．（3分）（2015秋?浦城縣期末）拋物線y=3x2先向上平移2個單位，再向右平移3個單位，所得的拋物線為（　?。?br /> A．y=3（x+3）2﹣2 B．y=3（x+3）2+2 C．y=3（x﹣3）2﹣2 D．y=3（x﹣3）2+2
【分析】先得到拋物線y=3x2的頂點坐標(biāo)為（0，0），然后分別確定每次平移后得頂點坐標(biāo)，再根據(jù)頂點式寫出最后拋物線的解析式．
【解答】解：拋物線y=3x2的頂點坐標(biāo)為（0，0），拋物線y=3x2向上平移2個單位，再向右平移3個單位后頂點坐標(biāo)為（3，2），此時解析式為y=3（x﹣3）2+2．
故選：D．
【點評】主要考查的是函數(shù)圖象的平移，用平移規(guī)律“左加右減，上加下減”直接代入函數(shù)解析式求得平移后的函數(shù)解析式．
　
16．（3分）（2010?嘉興）如圖，A、B、C是⊙O上的三點，已知∠O=60°，則∠C=（　?。?br />
A．20° B．25° C．30° D．45°
【分析】欲求∠C，又已知一圓心角，可利用圓周角與圓心角的關(guān)系求解．
【解答】解：∵∠C和∠O是同弧所對的圓周角和圓心角；
∴∠C=∠O=30°；
故選C．
【點評】此題主要考查的圓周角定理：同弧所對的圓周角是圓心角的一半．
　
17．（3分）（2012?陜西）如圖，在半徑為5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的兩條弦，垂足為P，且AB=CD=8，則OP的長為（　?。?br />
A．3 B．4 C．3 D．4
【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，連接OB，OD，首先利用勾股定理求得OM的長，然后判定四邊形OMPN是正方形，求得正方形的對角線的長即可求得OM的長．
【解答】解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，連接OB，OD，
由垂徑定理、勾股定理得：OM=ON==3，
∵弦AB、CD互相垂直，
∴∠DPB=90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP=∠ONP=90°
∴四邊形MONP是矩形，
∵OM=ON，
∴四邊形MONP是正方形，
∴OP=3
故選：C．

【點評】本題考查了垂徑定理及勾股定理的知識，解題的關(guān)鍵是正確地作出輔助線．
　
18．（3分）（2011?濟(jì)寧）已知關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的一個根是﹣a（a≠0），則a﹣b值為（　?。?br /> A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系x1?x2=、以及已知條件求出方程的另一根是﹣1，然后將﹣1代入原方程，求a﹣b的值即可．
【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的一個根是﹣a（a≠0），
∴x1?（﹣a）=a，即x1=﹣1，
∴1﹣b+a=0，
∴a﹣b=﹣1．
故選A．
【點評】本題主要考查了一元二次方程的解．解答該題時，還借用了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系x1?x2=．
　
19．（3分）（2016秋?蘄春縣期中）給出下列四個函數(shù)：①y=﹣x；②y=x；③y=﹣x2；④y=x2．當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而減小的函數(shù)有（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【分析】由正比例函數(shù)的解析式可判斷①、②，由拋物線解析式可分別判斷其開口方向，結(jié)合增減性可求得答案．
【解答】解：
在y=﹣x中，k=﹣1，y隨x的增大而減小，
在y=x中，k=1，y隨x的增大而增大，
在y=﹣x2中，拋物線開口向下，當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而增大，
在y=x2中，拋物線開口向上，當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而減小的函數(shù)有①④，
故選B．
【點評】本題主要考查正比例函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．
　
20．（3分）（2015?巴中）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，對稱軸是直線x=﹣1，下列結(jié)論：
①abc＜0；②2a+b=0；③a﹣b+c＞0；④4a﹣2b+c＜0
其中正確的是（　?。?br />
A．①② B．只有① C．③④ D．①④
【分析】根據(jù)開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點，確定a、b、c的符號，根據(jù)對稱軸和圖象確定y＞0或y＜0時，x的范圍，確定代數(shù)式的符號．
【解答】解：∵拋物線的開口向上，
∴a＞0，
∵﹣＜0，
∴b＞0，
∵拋物線與y軸交于負(fù)半軸，
∴c＜0，
∴abc＜0，①正確；
∵對稱軸為直線x=﹣1，
∴﹣=﹣1，即2a﹣b=0，②錯誤；
∴x=﹣1時，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，③錯誤；
∴x=﹣2時，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，④正確；
故選D．
【點評】本題考查的是二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、靈活運用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵，解答時，要熟練運用拋物線的對稱性和拋物線上的點的坐標(biāo)滿足拋物線的解析式．
　
三、解答題．（共60分）
21．（8分）（2016秋?蘄春縣期中）解下列方程：
（1）x（x﹣3）+x﹣3=0
（2）x2﹣4x+1=0．
【分析】（1）首先提取公因式（x﹣3）得到（x﹣3）（x+1）=0，然后解一元一次方程即可；
（2）先移項，再配方得到（x﹣2）2=3，然后開方解方程即可．
【解答】解：（1）∵x（x﹣3）+x﹣3=0，
∴（x﹣3）（x+1）=0，
∴x﹣3=0或x+1=0，
∴x1=3，x2=﹣1．

（2）∵x2﹣4x+1=0，
∴（x﹣2）2=3，
∴x﹣2=，
∴x1=2+，x2=2﹣．
【點評】本題主要考查了因式分解法和配方法解一元二次方程的知識，解答本題的關(guān)鍵是掌握因式分解法解一元二次方程的步驟以及配方的步驟，此題難度不大．
　
22．（6分）（2016秋?蘄春縣期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，1），B（﹣3，5），C（﹣3，1）．
（1）在圖中畫出△ABC以A為旋轉(zhuǎn)中心，沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90o后的圖形△AB1C1，并寫出B1、C1兩點的坐標(biāo)；
（2）在圖中畫出與△ABC關(guān)于原點對稱的圖形△A2B2C2，并寫出B2、C2兩點的坐標(biāo)．

【分析】（1）首先確定B、C兩點以A為旋轉(zhuǎn)中心，沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90o后的位置，然后再確定坐標(biāo)；
（2）首先根據(jù)△ABC的位置確定A、B、C三點位置，然后再確定三點關(guān)于原點對稱的對稱點位置，再連接即可．
【解答】解：（1）如圖所示：
B1（4，4），C1（0，4）；

（2）如圖所示：
B2（3，﹣5），C2（3，﹣1）．

【點評】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)作圖，關(guān)鍵是掌握找到對應(yīng)點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．
　
23．（7分）（2014秋?靜寧縣期末）已知二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為（1，4），且其圖象經(jīng)過點（﹣2，﹣5），求此二次函數(shù)的解析式．
【分析】已知二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為（1，4），設(shè)拋物線的頂點式為y=a（x﹣1）2+4（a≠0），將點（﹣2，﹣5）代入求a即可．
【解答】解：設(shè)此二次函數(shù)的解析式為y=a（x﹣1）2+4（a≠0）．
∵其圖象經(jīng)過點（﹣2，﹣5），
∴a（﹣2﹣1）2+4=﹣5，
∴a=﹣1，
∴y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3．
【點評】本題考查了用頂點式求拋物線解析式的一般方法，必須熟練掌握拋物線解析式的幾種形式．
　
24．（9分）（2014?株洲）已知關(guān)于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分別為△ABC三邊的長．
（1）如果x=﹣1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）如果方程有兩個相等的實數(shù)根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（3）如果△ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根．
【分析】（1）直接將x=﹣1代入得出關(guān)于a，b的等式，進(jìn)而得出a=b，即可判斷△ABC的形狀；
（2）利用根的判別式進(jìn)而得出關(guān)于a，b，c的等式，進(jìn)而判斷△ABC的形狀；
（3）利用△ABC是等邊三角形，則a=b=c，進(jìn)而代入方程求出即可．
【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：∵x=﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，
∴a+c﹣2b+a﹣c=0，
∴a﹣b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；

（2）∵方程有兩個相等的實數(shù)根，
∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，
∴4b2﹣4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；

（3）當(dāng)△ABC是等邊三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理為：
2ax2+2ax=0，
∴x2+x=0，
解得：x1=0，x2=﹣1．
【點評】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用以及根的判別式和勾股定理逆定理等知識，正確由已知獲取等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．
　
25．（8分）（2013?溫州）如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，延長BC至點D，使DC=CB，延長DA與⊙O的另一個交點為E，連接AC，CE．
（1）求證：∠B=∠D；
（2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的長．

【分析】（1）由AB為⊙O的直徑，易證得AC⊥BD，又由DC=CB，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可證得AD=AB，即可得：∠B=∠D；
（2）首先設(shè)BC=x，則AC=x﹣2，由在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，可得方程：（x﹣2）2+x2=42，解此方程即可求得CB的長，繼而求得CE的長．
【解答】（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
又∵DC=CB，
∴AD=AB，
∴∠B=∠D；

（2）解：設(shè)BC=x，則AC=x﹣2，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
∴（x﹣2）2+x2=42，
解得：x1=1+，x2=1﹣（舍去），
∵∠B=∠E，∠B=∠D，
∴∠D=∠E，
∴CD=CE，
∵CD=CB，
∴CE=CB=1+．

【點評】此題考查了圓周角定理、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識．此題難度適中，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
　
26．（10分）（2016秋?蘄春縣期中）某水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價不變的情況下，若每千克漲價一元，日銷售量將減少20千克．
（1）現(xiàn)要保證每天盈利6000元，同時又要讓顧客得到實惠，那么每千克應(yīng)漲價多少元？
（2）若該商場單純從經(jīng)濟(jì)角度看，那么每千克應(yīng)漲價多少元，能使商場獲利最多．
【分析】（1）設(shè)每千克應(yīng)漲價x元，則每千克盈利（10+x）元，每天可售出（500﹣20x）千克，根據(jù)利潤=每千克盈利×日銷售量，列方程解出即可，根據(jù)要讓顧客得到實惠，所以漲價要選擇最小的，即每千克應(yīng)漲價為5元；
（2）設(shè)每千克應(yīng)漲價x元，利潤為w元，根據(jù)（1）的等量關(guān)系列函數(shù)解析式，配方求最值即可．
【解答】解：（1）設(shè)每千克應(yīng)漲價x元，
根據(jù)題意得：（10+x）（500﹣20x）=6000，
解得：x1=10，x2=5，
∵要讓顧客得到實惠，
∴x=10舍去，即x=5，
答：每千克應(yīng)漲價為5元；
（2）設(shè)每千克應(yīng)漲價x元，利潤為w元，
根據(jù)題意得：w=（10+x）（500﹣20x）=﹣20x2+300x+5000，
w=﹣20（x﹣7.5）2+6125，
∵﹣20＜0，
∴w有最大值，
即當(dāng)x=7.5時，w有最大利潤為6125元，
答：若該商場單純從經(jīng)濟(jì)角度看，每千克應(yīng)漲價7.5元，商場獲利最多為6125元．
【點評】本題考查了一元二次方程和二次函數(shù)的應(yīng)用，屬于銷售利潤問題，明確利潤=每千克盈利×日銷售量是本題的關(guān)鍵，重點理解“每千克漲價一元，日銷售量將減少20千克”根據(jù)所設(shè)的未知數(shù)表示此時的銷售量，與二次函數(shù)的最值結(jié)合，求出結(jié)論．
　
27．（12分）（2015?阜新）如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于點A（﹣3，0）和點B，交y軸于點C（0，3）．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點P在拋物線上，且S△AOP=4SBOC，求點P的坐標(biāo)；
（3）如圖b，設(shè)點Q是線段AC上的一動點，作DQ⊥x軸，交拋物線于點D，求線段DQ長度的最大值．
【分析】（1）把點A、C的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式，列出關(guān)于系數(shù)的方程組，通過解方程組求得系數(shù)的值；
（2）設(shè)P點坐標(biāo)為（x，﹣x2﹣2x+3），根據(jù)S△AOP=4S△BOC列出關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，進(jìn)而得到點P的坐標(biāo)；
（3）先運用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=x+3，再設(shè)Q點坐標(biāo)為（x，x+3），則D點坐標(biāo)為（x，x2+2x﹣3），然后用含x的代數(shù)式表示QD，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出線段QD長度的最大值．
【解答】解：（1）把A（﹣3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得
，
解得．
故該拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣2x+3．


（2）由（1）知，該拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3，則易得B（1，0）．
∵S△AOP=4S△BOC，
∴×3×|﹣x2﹣2x+3|=4××1×3．
整理，得（x+1）2=0或x2+2x﹣7=0，
解得x=﹣1或x=﹣1±2．
則符合條件的點P的坐標(biāo)為：（﹣1，4）或（﹣1+2，﹣4）或（﹣1﹣2，﹣4）；

（3）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+t，將A（﹣3，0），C（0，3）代入，
得，
解得．
即直線AC的解析式為y=x+3．
設(shè)Q點坐標(biāo)為（x，x+3），（﹣3≤x≤0），則D點坐標(biāo)為（x，﹣x2﹣2x+3），
QD=（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，
∴當(dāng)x=﹣時，QD有最大值．
【點評】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角形面積、線段長度問題．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是運用方程思想與數(shù)形結(jié)合思想．
　

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