?2022-2023學(xué)年湖北省黃岡市浠水縣英才學(xué)校九年級(jí)第一學(xué)期入學(xué)數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）
1．關(guān)于x的方程（m﹣3）x﹣x＝5是一元二次方程，則m的值為（　?。?br /> A．3 B．﹣3 C．±3 D．不存在
2．將一元二次方程3x2+1＝6x化成一般形式后，二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)分別是（　?。?br /> A．3，1 B．3，6 C．﹣3，6 D．3，﹣6
3．已知x＝2是一元二次方程x2﹣2mx+4＝0的一個(gè)解，則m的值為（　?。?br /> A．2 B．0 C．0或2 D．0或﹣2
4．方程2x2＝3x的解為（　?。?br /> A．x＝0 B．x＝ C．x＝﹣ D．x1＝0，x2＝
5．對(duì)于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，則該方程根的情況為（　?。?br /> A．沒有實(shí)數(shù)根 B．兩根之和是3
C．兩根之積是﹣2 D．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
6．參加足球聯(lián)賽的每?jī)芍蜿?duì)之間都要進(jìn)行兩場(chǎng)比賽，共要比賽110場(chǎng)，設(shè)參加比賽的球隊(duì)有x支，根據(jù)題意，下面列出的方程正確的是（　?。?br /> A．x（x+1）＝110 B．x（x﹣1）＝110
C．x（x+1）＝110 D．x（x﹣1）＝110
7．把方程x2﹣10x﹣3＝0配方成（x+m）2＝n的形式，則m、n的值分別為（　?。?br /> A．﹣5、25 B．5、25 C．5、﹣28 D．﹣5、28
8．在解一元二次方程2x2+px+q＝0時(shí)，小紅看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)q，得到方程的兩個(gè)根是﹣3，1．小明看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)p，得到方程的兩個(gè)根是3，﹣2，則原來的方程是（　　）
A．2x2﹣4x﹣6＝0 B．2x2﹣2x﹣6＝0
C．2x2+4x﹣12＝0 D．2x2+2x﹣6＝0
9．已知4是關(guān)于x的方程x2﹣5mx+12m＝0的一個(gè)根，且這個(gè)方程的兩個(gè)根恰好是等腰三角形ABC的兩條邊長(zhǎng)，則△ABC的周長(zhǎng)為（　?。?br /> A．14 B．16 C．12或14 D．14或16
10．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知P（m，n），m、n滿足（m2+1+n2）（m2+3+n2）＝8，則OP的長(zhǎng)（　?。?br /> A． B．1 C．5 D．或1
二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）
11．一元二次方程﹣x2+3x+1＝0的根的判別式的值是　 ?。?br /> 12．方程x2+5x+4c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則c＝　 ?。?br /> 13．已知x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的兩個(gè)根，則x12﹣x1+x2＝　 ?。?br /> 14．已知實(shí)數(shù)x、y滿足（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝15，則x2+y2＝　 ?。?br /> 15．如圖，用籬笆靠墻圍成矩形花圃ABCD，墻可利用的最大長(zhǎng)度為15m，一面利用舊墻，其余三面用籬笆圍，籬笆長(zhǎng)為24m，若圍成的花圃面積為40m2時(shí)，平行于墻的BC邊長(zhǎng)為　 　m．

16．定義新運(yùn)算“※”：對(duì)于實(shí)數(shù)m，n，p，q．有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，其中等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22．若關(guān)于x的方程[x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是 　 ?。?br /> 三、解答題（共8題，共72分）
17．解一元二次方程：
（1）x2﹣2x﹣2＝0；
（2）3x2﹣4x﹣15＝0．
18．已知x＝1是一元二次方程（m+1）x2﹣m2x﹣2m﹣1＝0的一個(gè)根．求m的值，并寫出此時(shí)的一元二次方程的一般形式．
19．已知代數(shù)式x2﹣5x+7，先用配方法說明，不論x取何值，這個(gè)代數(shù)式的值總是正數(shù)；再求出當(dāng)x取何值時(shí)，這個(gè)代數(shù)式的值最小，最小值是多少？
20．新農(nóng)村建設(shè)有效促進(jìn)了鄉(xiāng)村旅游業(yè)的發(fā)展，某鎮(zhèn)2018年實(shí)現(xiàn)旅游收入1500萬元，到2020年該項(xiàng)收入達(dá)到2160萬元，且從2018年到2020年，每年旅游收入的年增長(zhǎng)率相同．
（1）求旅游收入的年增長(zhǎng)率；
（2）若該鎮(zhèn)旅游收入的年增長(zhǎng)率保持不變，預(yù)計(jì)2021年旅游收入達(dá)到多少萬元？
21．關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2．
（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）若方程的兩實(shí)數(shù)根x1，x2滿足|x1|+|x2|＝x1?x2，求k的值．
22．如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根比另一個(gè)根大2，那么稱這樣的方程為“好根方程”．例如，一元二次方程x2+2x＝0的兩個(gè)根是x1＝0，x2＝﹣2，則方程x2+2x＝0是“好根方程”．
（1）通過計(jì)算，判斷方程4x2﹣4x+1＝0是否是“好根方程”？
（2）已知關(guān)于x的方程x2﹣mx﹣m﹣1＝0（m是常數(shù)）是“好根方程”，求m的值．
23．小琴的父母承包了一塊荒山地種植一批梨樹，今年收獲一批金溪蜜梨，小琴的父母打算以m元/斤的零售價(jià)銷售5000斤蜜梨；剩余的5000（m+1）斤蜜犁以比零售價(jià)低1元的批發(fā)價(jià)批給外地客商，預(yù)計(jì)總共可賺得55000元的毛利潤(rùn)．
（1）小琴的父母今年共收獲金溪蜜梨多少斤？
（2）若零售金溪蜜梨平均每天可售出200斤，每斤盈利2元．為了加快銷售和獲得較好的售價(jià)，采取了降價(jià)措施，發(fā)現(xiàn)銷售單價(jià)每降低0.1元，平均每天可多售出40斤，應(yīng)降價(jià)多少元使得每天銷售利潤(rùn)為600元？
24．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．
（1）點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘后，△PBQ的面積為8cm2？
（2）如果點(diǎn)P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P在AB邊上沿A→B→A的路線以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q在BC邊上沿B→C→B的路線以2cm/s的速度移動(dòng)，且其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止移動(dòng)，連接CP，求經(jīng)過幾秒鐘后，△PCQ的面積為8cm2？



參考答案
一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）
1．關(guān)于x的方程（m﹣3）x﹣x＝5是一元二次方程，則m的值為（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．不存在
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．據(jù)此即可得到m﹣3≠0，且m2﹣7＝0，即可求得m的值．
解：由題意得m2﹣7＝2，
∴m＝±3，
∵m﹣3≠0，
∴m＝﹣3時(shí)，原方程是一元二次方程．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，注意考慮二次項(xiàng)系數(shù)不為0．
2．將一元二次方程3x2+1＝6x化成一般形式后，二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)分別是（　　）
A．3，1 B．3，6 C．﹣3，6 D．3，﹣6
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)即可．
解：∵3x2+1＝6x，
∴3x2﹣6x+1＝0，
∴二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)分別是3和﹣6，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的一般形式，能化成一元二次方程的一般形式是解此題的關(guān)鍵，注意：找各項(xiàng)系數(shù)時(shí)，要帶著前面的符號(hào)．
3．已知x＝2是一元二次方程x2﹣2mx+4＝0的一個(gè)解，則m的值為（　?。?br /> A．2 B．0 C．0或2 D．0或﹣2
【分析】直接把x＝2代入已知方程就得到關(guān)于m的方程，再解此方程即可．
解：∵x＝2是一元二次方程x2﹣2mx+4＝0的一個(gè)解，
∴4﹣4m+4＝0，
∴m＝2．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義．把求未知系數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為方程求解的問題．
4．方程2x2＝3x的解為（　?。?br /> A．x＝0 B．x＝ C．x＝﹣ D．x1＝0，x2＝
【分析】首先將原方程移項(xiàng)，再提取公因式x，得到兩個(gè)一次式的積為0，進(jìn)而得到兩個(gè)一次方程；然后再解這兩個(gè)一次方程，即可求出一元二次方程的解．
解：2x2＝3x，
2x2﹣3x＝0，
x（2x﹣3）＝0，
x1＝0，x2＝．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是利用因式分解法解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的一般方法是解題的關(guān)鍵．
5．對(duì)于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，則該方程根的情況為（　　）
A．沒有實(shí)數(shù)根 B．兩根之和是3
C．兩根之積是﹣2 D．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式Δ＝b2﹣4ac，即可求出Δ＝﹣23＜0，進(jìn)而可得出該方程沒有實(shí)數(shù)根（若方程有實(shí)數(shù)根，再利用根與系數(shù)的關(guān)系去驗(yàn)證B，C兩個(gè)選項(xiàng)）．
解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝4，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×4＝﹣23＜0，
∴一元二次方程2x2﹣3x+4＝0沒有實(shí)數(shù)根．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，牢記“當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．
6．參加足球聯(lián)賽的每?jī)芍蜿?duì)之間都要進(jìn)行兩場(chǎng)比賽，共要比賽110場(chǎng)，設(shè)參加比賽的球隊(duì)有x支，根據(jù)題意，下面列出的方程正確的是（　　）
A．x（x+1）＝110 B．x（x﹣1）＝110
C．x（x+1）＝110 D．x（x﹣1）＝110
【分析】設(shè)有x個(gè)隊(duì)參賽，根據(jù)參加一次足球聯(lián)賽的每?jī)申?duì)之間都進(jìn)行兩場(chǎng)比賽，共要比賽110場(chǎng)，可列出方程．
解：設(shè)有x個(gè)隊(duì)參賽，則
x（x﹣1）＝110．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，關(guān)鍵是根據(jù)總比賽場(chǎng)數(shù)作為等量關(guān)系列方程求解．
7．把方程x2﹣10x﹣3＝0配方成（x+m）2＝n的形式，則m、n的值分別為（　　）
A．﹣5、25 B．5、25 C．5、﹣28 D．﹣5、28
【分析】先移項(xiàng)，再配方，變形后即可求出m、n的值．
解：x2﹣10x﹣3＝0，
移項(xiàng)，得x2﹣10x＝3，
配方，得x2﹣10x+25＝3+25，
即（x﹣5）2＝28，
所以m＝﹣5，n＝28，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用配方法解一元二次方程，能正確配方是解此題的關(guān)鍵．
8．在解一元二次方程2x2+px+q＝0時(shí)，小紅看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)q，得到方程的兩個(gè)根是﹣3，1．小明看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)p，得到方程的兩個(gè)根是3，﹣2，則原來的方程是（　?。?br /> A．2x2﹣4x﹣6＝0 B．2x2﹣2x﹣6＝0
C．2x2+4x﹣12＝0 D．2x2+2x﹣6＝0
【分析】先設(shè)這個(gè)方程的兩根是α、β，根據(jù)兩個(gè)根是﹣4，2和兩個(gè)根是1，﹣3，α+β＝﹣＝﹣2，αβ＝＝﹣6，從而得出符合題意的方程．
解：設(shè)此方程的兩個(gè)根是α、β，根據(jù)題意得：α+β＝﹣＝﹣2，αβ＝＝﹣6，
則以α、β為根的一元二次方程是x2+4x﹣6＝0．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2＝﹣，x1?x2＝．
9．已知4是關(guān)于x的方程x2﹣5mx+12m＝0的一個(gè)根，且這個(gè)方程的兩個(gè)根恰好是等腰三角形ABC的兩條邊長(zhǎng)，則△ABC的周長(zhǎng)為（　?。?br /> A．14 B．16 C．12或14 D．14或16
【分析】先把x＝4代入方程x2﹣5mx+12m＝0得m＝2，則方程為x2﹣10x+24＝0，利用因式分解法解方程得到x1＝4，x2＝6，再利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形三邊的關(guān)系確定三角形三邊長(zhǎng)，然后計(jì)算對(duì)應(yīng)的三角形周長(zhǎng)．
解：把x＝4代入方程x2﹣5mx+12m＝0得16﹣20m+12m＝0，解得m＝2，
則方程為x2﹣10x+24＝0，
（x﹣4）（x﹣6）＝0，
所以x1＝4，x2＝6，
因?yàn)檫@個(gè)方程的兩個(gè)根恰好是等腰三角形ABC的兩條邊長(zhǎng)，
所以這個(gè)等腰三角形三邊分別為4、4、6；4、6、6，
所以△ABC的周長(zhǎng)為14或16．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．也考查了三角形三邊的關(guān)系．
10．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知P（m，n），m、n滿足（m2+1+n2）（m2+3+n2）＝8，則OP的長(zhǎng)（　?。?br /> A． B．1 C．5 D．或1
【分析】OP＝m2+n2．設(shè)t＝m2+n2．則用t代替方程中的m2+n2，將原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的新方程，通過解新方程求得t即m2+n2的值即可．
解：設(shè)t＝m2+n2．則由原方程，得
（1+t）（3+t）＝8，
整理，得
t2+4t﹣5＝0，即（t+5）（t﹣1）＝0，
解得 t＝﹣5（舍去）或t＝1．
∵P（m，n），
∴OP＝m2+n2＝1．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了換元法，即把某個(gè)式子看作一個(gè)整體，用一個(gè)字母去代替它，實(shí)行等量替換．
二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）
11．一元二次方程﹣x2+3x+1＝0的根的判別式的值是　13　．
【分析】根據(jù)Δ＝b2﹣4ac計(jì)算可得答案．
解：在一元二次方程﹣x2+3x+1＝0中，a＝﹣1，b＝3，c＝1，
∴Δ＝32﹣4×（﹣1）×1＝13，
故答案為：13．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式，熟記一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式的公式為Δ＝b2﹣4ac．
12．方程x2+5x+4c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則c＝　?。?br /> 【分析】由方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根可得到其判別式等于0，解方程可求得c的值．
解：∵方程x2+5x+4c＝0有相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝0，
即52﹣4×1×4c＝0，
解得c＝，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查根的判別式，掌握一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
13．已知x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的兩個(gè)根，則x12﹣x1+x2＝　3?。?br /> 【分析】先利用一元二次方程根的定義得到x12＝2x1+1，則原式可變形為x1+x2+1，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2＝2，然后利用整體代入的方法計(jì)算．
解：∵x1是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，
∴x12﹣2x1﹣1＝0，
∴x12＝2x1+1，
∴x12﹣x1+x2＝2x1+1﹣x1+x2＝x1+x2+1，
∵x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的兩個(gè)根，
∴x1+x2＝2，
∴x12﹣x1+x2＝2+1＝3．
故答案為3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
14．已知實(shí)數(shù)x、y滿足（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝15，則x2+y2＝　2　．
【分析】根據(jù)換元法，可得一元二次方程，根據(jù)解一元二次方程，可得答案．
解：設(shè)x2+y2＝z，原方程化為（z+1）（z+3）＝15，即z2+4z﹣12＝0．
解得z＝2，z＝﹣6（不符合題意，舍），
所以x2+y2＝2，
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了換元法解一元一次方程，利用x2+y2＝z得出關(guān)于z的一元二次方程是解題關(guān)鍵，注意平方都是非負(fù)數(shù)．
15．如圖，用籬笆靠墻圍成矩形花圃ABCD，墻可利用的最大長(zhǎng)度為15m，一面利用舊墻，其余三面用籬笆圍，籬笆長(zhǎng)為24m，若圍成的花圃面積為40m2時(shí)，平行于墻的BC邊長(zhǎng)為　4　m．

【分析】由于籬笆總長(zhǎng)為24m，設(shè)平行于墻的BC邊長(zhǎng)為xm，由此得到AB＝m，接著根據(jù)題意列出方程?x＝40，解方程即可求出BC的長(zhǎng)．
解：（1）依題意可知：AB＝m，則：?x＝40．
解得：x1＝20，x2＝4．
∵墻可利用的最大長(zhǎng)度為15m，
∴x1＝20舍去．
∴BC的長(zhǎng)為4m．
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，同時(shí)也利用了矩形的性質(zhì)，解題時(shí)首先正確了解題意，然后根據(jù)題意列出方程即可解決問題．
16．定義新運(yùn)算“※”：對(duì)于實(shí)數(shù)m，n，p，q．有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，其中等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22．若關(guān)于x的方程[x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是 　k≤且k≠0?。?br /> 【分析】已知方程利用題中的新定義化簡(jiǎn)，根據(jù)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根確定出k的范圍即可．
解：由題中的新定義化簡(jiǎn)得：k（x2+1）+（5﹣2k）x＝0，
整理得：kx2+（5﹣2k）x+k＝0，
∵方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴k≠0，b2﹣4ac＝（5﹣2k）2﹣4k2≥0，
解得：k≤且k≠0．
故答案為：k≤且k≠0．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，根的判別式，以及一元二次方程的定義，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．
三、解答題（共8題，共72分）
17．解一元二次方程：
（1）x2﹣2x﹣2＝0；
（2）3x2﹣4x﹣15＝0．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
解：（1）x2﹣2x﹣2＝0，
x2﹣2x＝2，
x2﹣2x+1＝2+1，即（x﹣1）2＝3，
∴x﹣1＝或x﹣1＝﹣，
∴x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）3x2﹣4x﹣15＝0，
（3x+5）（x﹣3）＝0，
∴3x+5＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝﹣，x2＝3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解一元二次方程，掌握因式分解法、配方法是解題的關(guān)鍵．
18．已知x＝1是一元二次方程（m+1）x2﹣m2x﹣2m﹣1＝0的一個(gè)根．求m的值，并寫出此時(shí)的一元二次方程的一般形式．
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，即用這個(gè)數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立．
解：把x＝1代入原方程得：m+1﹣m2﹣2m﹣1＝0，
解得m＝0或﹣1，
又∵m+1≠0
∴m≠﹣1，
∴m＝0，
∴方程的一般形式是：x2﹣1＝0．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義．
19．已知代數(shù)式x2﹣5x+7，先用配方法說明，不論x取何值，這個(gè)代數(shù)式的值總是正數(shù)；再求出當(dāng)x取何值時(shí)，這個(gè)代數(shù)式的值最小，最小值是多少？
【分析】首先將原式變形為（x﹣）2+，根據(jù)非負(fù)數(shù)的意義就可以得出代數(shù)式的值總是整數(shù)，設(shè)代數(shù)式的值為M，就有M＝x2﹣5x+7，根據(jù)二次函數(shù)的意義化為頂點(diǎn)式就可以求出最值．
解：由題意，得x2﹣5x+7＝（x﹣）2+，
∵（x﹣）2≥0，
∴（x﹣）2+≥，
∴（x﹣）2+＞0
∴這個(gè)代數(shù)式的值總是正數(shù)．
設(shè)代數(shù)式的值為M，則有
M＝x2﹣5x+7，
∴M＝（x﹣）2+，
∴當(dāng)x＝時(shí)，這個(gè)代數(shù)式的值最小為．
【點(diǎn)評(píng)】本題是一道有關(guān)代數(shù)式的值的題目，考查了在代數(shù)式中配方法的運(yùn)用，式子的轉(zhuǎn)化，拋物線的最值的運(yùn)用．
20．新農(nóng)村建設(shè)有效促進(jìn)了鄉(xiāng)村旅游業(yè)的發(fā)展，某鎮(zhèn)2018年實(shí)現(xiàn)旅游收入1500萬元，到2020年該項(xiàng)收入達(dá)到2160萬元，且從2018年到2020年，每年旅游收入的年增長(zhǎng)率相同．
（1）求旅游收入的年增長(zhǎng)率；
（2）若該鎮(zhèn)旅游收入的年增長(zhǎng)率保持不變，預(yù)計(jì)2021年旅游收入達(dá)到多少萬元？
【分析】（1）設(shè)旅游收入的年增長(zhǎng)率為x，利用2020年旅游收入金額＝2018年旅游收入金額×（1+年增長(zhǎng)率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出旅游收入的年增長(zhǎng)率；
（2）利用預(yù)計(jì)2021年旅游收入金額＝2020年旅游收入金額×（1+年增長(zhǎng)率），即可預(yù)計(jì)出2021年旅游收入金額．
解：（1）設(shè)旅游收入的年增長(zhǎng)率為x，
依題意得：1500（1+x）2＝2160，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．
答：旅游收入的年增長(zhǎng)率為20%．
（2）2160×（1+20%）＝2592（萬元）．
答：預(yù)計(jì)2021年旅游收入達(dá)到2592萬元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
21．關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2．
（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）若方程的兩實(shí)數(shù)根x1，x2滿足|x1|+|x2|＝x1?x2，求k的值．
【分析】（1）利用判別式的意義得到Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2+1）＞0，然后解不等式即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2+1，則判斷x1＜0，x2＜0，則由|x1|+|x2|＝x1?x2得到﹣（x1+x2）＝x1?x2，所以﹣（2k﹣1）＝k2+1，然后解關(guān)于k的方程即可得到滿足條件的k的值．
解：（1）根據(jù)題意得Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2+1）＞0，
解得k＜﹣；
（2）x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2+1，
∵k＜﹣，
∴x1+x2＝2k﹣1＜0，
而x1x2＝k2+1＞0，
∴x1＜0，x2＜0，
∵|x1|+|x2|＝x1?x2，
∴﹣（x1+x2）＝x1?x2，即﹣（2k﹣1）＝k2+1，
整理得k2+2k＝0，解得k1＝0，k2＝﹣2，
而k＜﹣，
∴k＝﹣2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了判別式的值．
22．如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根比另一個(gè)根大2，那么稱這樣的方程為“好根方程”．例如，一元二次方程x2+2x＝0的兩個(gè)根是x1＝0，x2＝﹣2，則方程x2+2x＝0是“好根方程”．
（1）通過計(jì)算，判斷方程4x2﹣4x+1＝0是否是“好根方程”？
（2）已知關(guān)于x的方程x2﹣mx﹣m﹣1＝0（m是常數(shù)）是“好根方程”，求m的值．
【分析】（1）利用求根公式解方程得到x1＝，x2＝，然后利用新定義進(jìn)行判斷；
（2）利用因式分解法得到x1＝m+1，x2＝﹣1，根據(jù)“好根方程”的定義得到m+1﹣（﹣1）＝2或﹣1﹣（m+1）＝2，然后解關(guān)于m的方程即可．
解：（1）∵△＝（﹣4）2﹣4×4＝64＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝，
∵x1﹣x2＝2，
∴方程4x2﹣4x+1＝0是“好根方程”；
（2）∵[（x﹣（m+1）]（x+1）＝0，
x﹣（m+1）＝0或x+1＝0，
∴x1＝m+1，x2＝﹣1，
∵方程x2﹣mx﹣m﹣1＝0（m是常數(shù)）是“好根方程，
∴m+1﹣（﹣1）＝2或﹣1﹣（m+1）＝2，
∴m＝0或m＝﹣4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
23．小琴的父母承包了一塊荒山地種植一批梨樹，今年收獲一批金溪蜜梨，小琴的父母打算以m元/斤的零售價(jià)銷售5000斤蜜梨；剩余的5000（m+1）斤蜜犁以比零售價(jià)低1元的批發(fā)價(jià)批給外地客商，預(yù)計(jì)總共可賺得55000元的毛利潤(rùn)．
（1）小琴的父母今年共收獲金溪蜜梨多少斤？
（2）若零售金溪蜜梨平均每天可售出200斤，每斤盈利2元．為了加快銷售和獲得較好的售價(jià)，采取了降價(jià)措施，發(fā)現(xiàn)銷售單價(jià)每降低0.1元，平均每天可多售出40斤，應(yīng)降價(jià)多少元使得每天銷售利潤(rùn)為600元？
【分析】（1）根據(jù)銷售毛利潤(rùn)與單價(jià)、數(shù)量之間的關(guān)系可列方程，求出m的值，進(jìn)而求出總產(chǎn)量．
（2）由于降價(jià)，日銷售量增加，用含有x的代數(shù)式表示每斤的銷售利潤(rùn)，和日銷售量，根據(jù)日銷售利潤(rùn)可列方程求解即可，注意結(jié)果的合理性．
解：（1）由題意得，
5000m+5000（m+1）（m﹣1）＝55000，
解得：m1＝3，m2＝﹣4（舍去）
當(dāng)m＝3時(shí)，5000+5000（m+1）＝25000斤，
答：小琴的父母今年共收獲金溪蜜梨25000斤．
（2）設(shè)應(yīng)降價(jià)x元，使每天的利潤(rùn)達(dá)到600元，由題意得，
（2﹣x）（200+40×）＝600，
解得，x1＝0.5，x2＝1，
∵加快銷售，獲得較好售價(jià)，x＝1不合題意舍去，
∴x＝0.5，
答：應(yīng)降價(jià)0.5元使得每天銷售利潤(rùn)為600元．
【點(diǎn)評(píng)】考查一元二次方程及其應(yīng)用，列出合理的方程是解決問題的關(guān)鍵，分析數(shù)量關(guān)系則顯得尤為重要，降價(jià)使日銷售量和每斤的銷售利潤(rùn)發(fā)生變化，尤為注意．
24．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．
（1）點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘后，△PBQ的面積為8cm2？
（2）如果點(diǎn)P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P在AB邊上沿A→B→A的路線以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q在BC邊上沿B→C→B的路線以2cm/s的速度移動(dòng)，且其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止移動(dòng)，連接CP，求經(jīng)過幾秒鐘后，△PCQ的面積為8cm2？

【分析】（1）設(shè)經(jīng)過x秒后，根據(jù)△PBQ的面積等于8cm2．得出方程×（6﹣x）×2x＝8，求出方程的解即可；
（2）分三種情況：①當(dāng)0＜x≤4時(shí)，AP＝x，BQ＝2x，則PB＝6﹣x，CQ＝8﹣2x，由題意得出方程，解方程即可；
②當(dāng)4＜x≤6時(shí)，AP＝x，BC+CQ＝2x，則PB＝6﹣x，CQ＝2x﹣8，由題意得出方程，解方程即可；
③當(dāng)6＜x≤8時(shí)，AB+PB＝x，BC+CQ＝2x，則PB＝x﹣6，CQ＝2x﹣8，由題意得出方程，解方程即可．
解：（1）設(shè)經(jīng)過x秒后，△PBQ的面積等于8cm2．
由題意得：×（6﹣x）×2x＝8，
解得：x1＝2，x2＝4，
答：經(jīng)過2秒或4秒后，△PBQ的面積等于8cm2．
（2）設(shè)經(jīng)過x秒后，△PCQ的面積等于8cm2．分三種情況：
①當(dāng)0＜x≤4時(shí)，
AP＝x，BQ＝2x，則PB＝6﹣x，CQ＝8﹣2x，
由題意得：×（8﹣2x）×（6﹣x）＝8，
解得：x＝2，或x＝8（不合題意舍去），
∴x＝2；
②當(dāng)4＜x≤6時(shí)，
AP＝x，BC+CQ＝2x，則PB＝6﹣x，CQ＝2x﹣8，
由題意得：×（2x﹣8）×（6﹣x）＝8，
整理得：x2﹣10x+32＝0，此方程無解；
③當(dāng)6＜x≤8時(shí)，AB+PB＝x，BC+CQ＝2x，
則PB＝x﹣6，CQ＝2x﹣8，
由題意得：×（2x﹣8）×（x﹣6）＝8，
解得：x＝2（不合題意舍去），或x＝8，
∴x＝8；
綜上所述，經(jīng)過2秒或8秒鐘后，△PCQ的面積等于8cm2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、三角形面積以及分類討論；通過分類討論得出方程是解題的關(guān)鍵．

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