?專題16 相似三角形
一、單選題
1．（2022·甘肅蘭州）已知，，若，則（???????）
A．4 B．6 C．8 D．16
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，代入求解即可．
【詳解】
解：∵，
∴，即，
解得．
故選：A．
【點(diǎn)睛】
此題考查了相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形性質(zhì)．相似三角形性質(zhì)：相似三角形對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等．相似三角形的相似比等于周長比，相似三角形的相似比等于對應(yīng)高，對應(yīng)角平分線，對應(yīng)中線的比，相似三角形的面積比等于相似比的平方．
2．（2022·廣西梧州）如圖，以點(diǎn)O為位似中心，作四邊形的位似圖形﹐已知，若四邊形的面積是2，則四邊形的面積是（???????）

A．4 B．6 C．16 D．18
【答案】D
【解析】
【分析】
兩圖形位似必相似，再由相似的圖形面積比等于相似比的平方即可求解．
【詳解】
解：由題意可知，四邊形與四邊形相似，
由兩圖形相似面積比等于相似比的平方可知：，
又四邊形的面積是2，
∴四邊形的面積為18，
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考察相似多邊形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握相似圖形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
3．（2022·浙江麗水）如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點(diǎn)A，B，C都在橫線上．若線段，則線段的長是（???????）


A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
過點(diǎn)作五條平行橫線的垂線，交第三、四條直線，分別于、，根據(jù)題意得，然后利用平行線分線段成比例定理即可求解．
【詳解】
解：過點(diǎn)作五條平行橫線的垂線，交第三、四條直線，分別于、，
根據(jù)題意得，
∵，
∴，
又∵，
∴


故選：C
【點(diǎn)睛】
本題考查了平行線分線段成比例的應(yīng)用，作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
4．（2021·浙江溫州）如圖，圖形甲與圖形乙是位似圖形，是位似中心，位似比為，點(diǎn)，的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，．若，則的長為（???????）

A．8 B．9 C．10 D．15
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用位似圖形的性質(zhì)得出線段比進(jìn)而得出答案．
【詳解】
解：∵圖形甲與圖形乙是位似圖形，是位似中心，位似比為，
∴，
∵，
∴，
∴
故答案為：B．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了位似變換，正確掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
5．（2020·河北）在如圖所示的網(wǎng)格中，以點(diǎn)為位似中心，四邊形的位似圖形是（???????）

A．四邊形 B．四邊形
C．四邊形 D．四邊形
【答案】A
【解析】
【分析】
以O(shè)為位似中心，作四邊形ABCD的位似圖形，根據(jù)圖像可判斷出答案．
【詳解】
解：如圖所示，四邊形的位似圖形是四邊形．
故選：A

【點(diǎn)睛】
此題考查了位似圖形的作法，畫位似圖形的一般步驟為：①確定位似中心；②分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)；③根據(jù)相似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；順次連接上述各點(diǎn)，確定位似圖形．
6．（2020·甘肅金昌）生活中到處可見黃金分割的美，如圖，在設(shè)計(jì)人體雕像時，使雕像的腰部以下與全身的高度比值接近0．618，可以增加視覺美感，若圖中為2米，則約為（?????）

A．1．24米 B．1．38米 C．1．42米 D．1．62米
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)a:b≈0.618，且b=2即可求解．
【詳解】
解：由題意可知，a:b≈0.618，代入b=2，
∴a≈2×0.618=1.236≈1.24．
故答案為：A
【點(diǎn)睛】
本題考查了黃金分割比的定義，根據(jù)題中所給信息即可求解，本題屬于基礎(chǔ)題．
7．（2020·廣西貴港）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，若，，且，則線段的長為（???????）

A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由∠BCD＝∠A，∠B＝∠B，可判定△BCD∽△BAC，從而可得比例式，再將BC＝3，BD＝2代入，可求得BA的長，然后根據(jù)AD＝BA?BD，可求得答案．
【詳解】
解：∵∠BCD＝∠A，∠B＝∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴，
∵BC＝3，BD＝2，
∴，
∴BA＝，
∴AD＝BA?BD＝?2＝．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．
8．（2020·湖南永州）如圖，在中，，四邊形的面積為21，則的面積是（???????）

A． B．25 C．35 D．63
【答案】B
【解析】
【分析】
在中，，即可判斷，然后由相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可得出結(jié)果．
【詳解】
解：∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，難度不大，注意相似三角形的面積比等于相似比的平方．
9．（2020·四川成都）如圖，直線，直線和被，，所截，，，，則的長為（???????）


A．2 B．3 C．4 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，代入已知線段得長度求解即可．
【詳解】
解：∵直線l1∥l2∥l3，
∴.
∵AB=5，BC=6，EF=4，
∴.
∴DE=.
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查了平行線分線段成比例定理，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此題的關(guān)鍵．
10．（2020·重慶）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，以原點(diǎn)為位似中心，在原點(diǎn)的同側(cè)畫，使與成位似圖形，且相似比為2：1，則線段DF的長度為（???????）

A． B．2 C．4 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
把A、C的橫縱坐標(biāo)都乘以2得到D、F的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算線段DF的長．
【詳解】
解：∵以原點(diǎn)為位似中心，在原點(diǎn)的同側(cè)畫△DEF，使△DEF與△ABC成位似圖形，且相似比為2：1，
而A（1，2），C（3，1），
∴D（2，4），F(xiàn)（6，2），
∴DF＝=，
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查了位似變換：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或?k．
11．（2020·重慶）如圖，△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O為位似中心．已知OA∶OD=1∶2，則△ABC與△DEF的面積比為（　?。?br />
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)位似圖形的性質(zhì)即可得出答案．
【詳解】
由位似變換的性質(zhì)可知，


△ABC與△DEF的相似比為：1∶2
△ABC與△DEF的面積比為：1∶4
故選C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了位似圖形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
12．（2020·浙江嘉興）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△OAB的頂點(diǎn)為O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以點(diǎn)O為位似中心，在第三象限內(nèi)作與△OAB的位似比為的位似圖形△OCD，則點(diǎn)C坐標(biāo)（　　）

A．（﹣1，﹣1） B．（﹣，﹣1） C．（﹣1，﹣） D．（﹣2，﹣1）
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)關(guān)于以原點(diǎn)為位似中心的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，把A點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都乘以即可．
【詳解】
解：∵以點(diǎn)O為位似中心，位似比為，
而A （4，3），
∴A點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，﹣1）．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了位似變換：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k．
13．（2020·貴州遵義）如圖，△ABO的頂點(diǎn)A在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，∠ABO＝90°，過AO邊的三等分點(diǎn)M、N分別作x軸的平行線交AB于點(diǎn)P、Q．若四邊形MNQP的面積為3，則k的值為（　　）

A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】D
【解析】
【分析】
由得到相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)得到三角形之間的面積關(guān)系，利用反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義可得答案．
【詳解】
解：


四邊形MNQP的面積為3，







故選D．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
14．（2021·遼寧沈陽）如圖，與位似，位似中心是點(diǎn)O，若，則與的周長比是（???????）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)位似圖形的概念得到△，，進(jìn)而得出△，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．
【詳解】
解：與△位似，
△，，
△，
，
與△的周長比為，
故選：．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是位似圖形的概念、相似三角形的性質(zhì)，掌握位似圖形是相似圖形、位似圖形的對應(yīng)邊平行是解題的關(guān)鍵．
15．（2021·四川巴中）如圖，ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且，下列結(jié)論正確的是（　?。?br />
A．DE：BC＝1：2
B．ADE與ABC的面積比為1：3
C．ADE與ABC的周長比為1：2
D．DEBC
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行逐一判斷即可．
【詳解】
解：∵，
∴AD：AB=AE：AC=1：3，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴DE：BC=1：3，故A錯誤；
∵△ADE∽△ABC，
∴△ADE與△ABC的面積比為1：9，周長的比為1：3，故B和C錯誤；
∵△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC．故D正確．
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．
16．（2021·湖南湘西）如圖，在中，，于點(diǎn)，，，，則的長是（???????）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由題意易得，，則有，然后可得，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求解．
【詳解】
解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
故選C．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
17．（2021·山東濟(jì)寧）如圖，已知．
（1）以點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)長為半徑畫弧，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N．
（2）分別以M，N為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點(diǎn)P．
（3）作射線交于點(diǎn)D．
（4）分別以A，D為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于G，H兩點(diǎn)．
（5）作直線，交，分別于點(diǎn)E，F(xiàn)．
依據(jù)以上作圖，若，，，則的長是（ ）

A． B．1 C． D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
連接，則，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)果
【詳解】
如圖，連接
垂直平分
,
平分





同理可知
四邊形是平行四邊形
又
平行四邊形是菱形



又


，

解得：

故選C
【點(diǎn)睛】
本題考查了由已知作圖分析角平分線的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，相似三角形，菱形的性質(zhì)與判定，熟知上述各類圖形的判定或性質(zhì)是解題的基礎(chǔ)，尋找未知量與已知量之間的等量關(guān)系是關(guān)鍵．
18．（2022·廣西）已知△ABC與△A1B1C1是位似圖形，位似比是1：3，則△ABC與△A1B1C1的面積比（???????）
A．1 ：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)位似圖形的面積比等于位似比的平方，即可得到答案．
【詳解】
∵△ABC與△A1B1C1是位似圖形，位似比是1：3，
∴△ABC與△A1B1C1的面積比為1：9，
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查位似圖形的性質(zhì)，熟練掌握位似圖形的面積比等于位似比的平方是解題的關(guān)鍵．
19．（2022·黑龍江哈爾濱）如圖，相交于點(diǎn)E，，則的長為（???????）


A． B．4 C． D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊長成比例可求得BE的長，即可求得BD的長．
【詳解】
∵
∴
∴
∵，
∴
∵
∴
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似三角形的對應(yīng)邊長成比例，解題的關(guān)鍵在于找到對應(yīng)邊長．
20．（2022·山東臨沂）如圖，在中，，，若，則（?????）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由，，可得再建立方程即可．
【詳解】
解： ，，

，

解得：經(jīng)檢驗(yàn)符合題意
故選C
【點(diǎn)睛】
本題考查的是平行線分線段成比例，證明“”是解本題的關(guān)鍵．
21．（2022·四川雅安）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB和AC上的點(diǎn)，DE∥BC，若＝，那么＝（　?。?br />
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求解再證明可得
【詳解】
解： ＝，

DE∥BC，


故選D
【點(diǎn)睛】
本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，證明是解本題的關(guān)鍵．
22．（2022·江蘇鹽城）“跳眼法”是指用手指和眼睛估測距離的方法
步驟：
第一步：水平舉起右臂，大拇指緊直向上，大臂與身體垂直；
第二步：閉上左眼，調(diào)整位置，使得右眼、大拇指、被測物體在一條直線上；
第三步：閉上右眼，睜開左眼，此時看到被測物體出現(xiàn)在大拇指左側(cè)，與大拇指指向的位置有一段橫向距離，參照被測物體的大小，估算橫向距離的長度；
第四步：將橫向距離乘以10（人的手臂長度與眼距的比值一般為10），得到的值約為被測物體離觀測，點(diǎn)的距離值．
如圖是用“跳眼法”估測前方一輛汽車到觀測點(diǎn)距離的示意圖，該汽車的長度大約為4米，則汽車到觀測點(diǎn)的距離約為（???????）

A．40米 B．60米 C．80米 D．100米
【答案】C
【解析】
【分析】
參照題目中所給的“跳眼法”的方法估測出距離即可．
【詳解】
由“跳眼法”的步驟可知被測物體與觀測點(diǎn)的距離是橫向距離的10倍．
觀察圖形，橫向距離大約是汽車長度的2倍，為8米，
所以汽車到觀測點(diǎn)的距離約為80米，
故選C．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了測量距離，正確理解“跳眼法”測物距是解答本題的關(guān)鍵．
23．（2022·貴州貴陽）如圖，在中，是邊上的點(diǎn)，，，則與的周長比是（???????）


A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先證明△ACD∽△ABC，即有，則可得，問題得解．
【詳解】
∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴△ADC與△ACB的周長比1:2，
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，證明△ACD∽△ABC是解答本題的關(guān)鍵．
24．（2022·江蘇連云港）如圖，將矩形ABCD沿著GE、EC、GF翻折，使得點(diǎn)A、B、D恰好都落在點(diǎn)O處，且點(diǎn)G、O、C在同一條直線上，同時點(diǎn)E、O、F在另一條直線上．小煒同學(xué)得出以下結(jié)論：①GF∥EC；②AB=AD；③GE=DF；④OC=2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正確的是（???????）

A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④
【答案】B
【解析】
【分析】
由折疊的性質(zhì)知∠FGE=90°，∠GEC=90°，點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，設(shè)AD=BC=2a，AB=CD=2b，在Rt△CDG中，由勾股定理求得b=，然后利用勾股定理再求得DF=FO=，據(jù)此求解即可．
【詳解】
解：根據(jù)折疊的性質(zhì)知∠DGF=∠OGF，∠AGE=∠OGE，
∴∠FGE=∠OGF+∠OGE=(∠DGO+∠AGO) =90°，
同理∠GEC=90°，
∴GF∥EC；故①正確；
根據(jù)折疊的性質(zhì)知DG=GO，GA=GO，
∴DG=GO=GA，即點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)，
同理可得點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，
設(shè)AD=BC=2a，AB=CD=2b，則DG=GO=GA=a，OC=BC=2a，AE=BE=OE=b，
∴GC=3a，
在Rt△CDG中，CG2=DG2+CD2，
即(3a)2=a2+(2b)2，
∴b=，
∴AB=2=AD，故②不正確；
設(shè)DF=FO=x，則FC=2b-x，
在Rt△COF中，CF2=OF2+OC2，
即(2b-x)2=x2+(2a)2，
∴x==，即DF=FO=，
GE=a，
∴，
∴GE=DF；故③正確；
∴，
∴OC=2OF；故④正確；
∵∠FCO與∠GCE不一定相等，
∴△COF∽△CEG不成立，故⑤不正確；
綜上，正確的有①③④，
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了折疊問題，解題時，我們常常設(shè)要求的線段長為x，然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．
25．（2022·重慶）如圖，與位似，點(diǎn)為位似中心，相似比為．若的周長為4，則的周長是（???????）

A．4 B．6 C．9 D．16
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)周長之比等于位似比計(jì)算即可．
【詳解】
設(shè)的周長是x，
∵ 與位似，相似比為，的周長為4，
∴4：x=2：3，
解得：x=6，
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了位似的性質(zhì)，熟練掌握位似圖形的周長之比等于位似比是解題的關(guān)鍵．
26．（2021·山東淄博）如圖，在中，是斜邊上的中線，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．若的面積為5，則的值為（???????）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由題意易得，設(shè)，則有，則有，，然后可得，過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)及勾股定理可求解問題．
【詳解】
解：∵，，
∴，
∴，
∵是斜邊上的中線，
∴，
設(shè)，則有，
∵，
∴由勾股定理可得，
∵的面積為5，
∴，
∵，
∴，即，化簡得：，
解得：或，
當(dāng)時，則AC=2，與題意矛盾，舍去；
∴當(dāng)時，即，過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，如圖所示：

∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故選A．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查三角函數(shù)、相似三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理，熟練掌握三角函數(shù)、相似三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理是解題的關(guān)鍵．
27．（2021·吉林長春）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B在函數(shù)的圖象上，x過點(diǎn)A作x軸的垂線，與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)C，連結(jié)BC交x軸于點(diǎn)D．若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為（???????）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先設(shè)出A的坐標(biāo)，根據(jù)題意得出C的坐標(biāo)，表示出CE的長度，過點(diǎn)B作BF垂直x軸，證明，由題目條件得出相似比，代換出點(diǎn)B的縱坐標(biāo)，即可求出B的橫坐標(biāo)．
【詳解】
設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，設(shè)AC與x軸的交點(diǎn)為E，過點(diǎn)B作BF⊥x軸，垂足為F，如圖：

∵點(diǎn)C在函數(shù)的圖象上，且AC⊥x軸，
∴C的坐標(biāo)為，
∴EC=k，
∵BF⊥x軸，CE⊥x軸，
∴ ,
∴ ,
又∵，
∴ ,
∴，
即,
∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為，代入反比例函數(shù)解析式：
當(dāng)時，，
∴B點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2，
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查反比例函數(shù)及相似三角形，解題關(guān)鍵是將線段比轉(zhuǎn)化為兩個相似三角形的相似比，由相似三角形的對應(yīng)邊得出點(diǎn)的坐標(biāo)．
28．（2021·黑龍江黑龍江）如圖，平行四邊形的對角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接、，若平行四邊形的面積為48，則的面積為（ ）

A．4 B．5 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
由題意易得，進(jìn)而可得，則有，然后根據(jù)相似比與面積比的關(guān)系可求解．
【詳解】
解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，AE=EF，，
∵平行四邊形的面積為48，
∴，
∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵和同高不同底，
∴，
故選C．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)及三角形中位線，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)及三角形中位線是解題的關(guān)鍵．
29．（2021·黑龍江）如圖，在正方形中，對角線與相交于點(diǎn)，點(diǎn)在的延長線上，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，若，．則下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤點(diǎn)D到CF的距離為．其中正確的結(jié)論是（???????）


A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤
【答案】C
【解析】
【分析】
由題意易得，①由三角形中位線可進(jìn)行判斷；②由△DOC是等腰直角三角形可進(jìn)行判斷；③根據(jù)三角函數(shù)可進(jìn)行求解；④根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解；⑤過點(diǎn)D作DH⊥CF，交CF的延長線于點(diǎn)H，然后根據(jù)三角函數(shù)可進(jìn)行求解．
【詳解】
解：∵四邊形是正方形，
∴，，
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴，
∵，，
∴，則，
∵OF∥BE，
∴△DGF∽△DCE，
∴，
∴，故①正確；
∴點(diǎn)G是CD的中點(diǎn)，
∴OG⊥CD，
∵∠ODC=45°，
∴△DOC是等腰直角三角形，
∴，故②正確；
∵CE=4，CD=8，∠DCE=90°，
∴，故③正確；
∵，
∴，
∴，故④錯誤；
過點(diǎn)D作DH⊥CF，交CF的延長線于點(diǎn)H，如圖所示：


∵點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，
∴CF=DF，
∴∠CDE=∠DCF，
∴，
設(shè)，則，
在Rt△DHC中，，
解得：，
∴，故⑤正確；
∴正確的結(jié)論是①②③⑤；
故選C．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)，熟練掌握正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．
30．（2021·海南）如圖，在菱形中，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，連接．若菱形的面積為8，則的面積為（???????）


A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
連接，相交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形中位線定理可得，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，從而可得，最后利用三角形的面積公式即可得．
【詳解】
解：如圖，連接，相交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，


四邊形是菱形，且它的面積為8，
，
點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，
，
，，
，
，
，
則的面積為，
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了菱形的性質(zhì)、三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
31．（2021·廣西來賓）如圖，矩形紙片，，點(diǎn)，分別在，上，把紙片如圖沿折疊，點(diǎn)，的對應(yīng)點(diǎn)分別為，，連接并延長交線段于點(diǎn)，則的值為（???????）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)折疊性質(zhì)則可得出是的垂直平分線，則由直角三角形性質(zhì)及矩形性質(zhì)可得∠AEO=∠AGD，∠FHE＝∠D＝90°，根據(jù)相似三角形判定推出△EFH∽△GAD，再利用矩形判定及性質(zhì)證得FH＝AB，即可求得結(jié)果．
【詳解】
解：如圖，過點(diǎn)F作FH⊥AD于點(diǎn)H，

∵點(diǎn)，的對應(yīng)點(diǎn)分別為，，
∴，，
∴EF是AA＇的垂直平分線．
∴∠AOE=90°．
∵四邊形是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠D＝90°．
∴∠OAE＋∠AEO=∠OAE＋∠AGD，
∴∠AEO=∠AGD．
∵FH⊥AD，
∴∠FHE＝∠D＝90°．
∴△EFH∽△GAD．
∴．
∵∠AHF＝∠BAD＝∠B＝90°，
∴四邊形ABFH是矩形．
∴FH＝AB．
∴；
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查了矩形的折疊問題，掌握折疊的性質(zhì)、矩形及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
32．（2021·江蘇連云港）如圖，中，，、相交于點(diǎn)D，，，，則的面積是（???????）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
過點(diǎn)C作的延長線于點(diǎn)，由等高三角形的面積性質(zhì)得到，再證明，解得，分別求得AE、CE長，最后根據(jù)的面積公式解題．
【詳解】
解：過點(diǎn)C作的延長線于點(diǎn)，

與是等高三角形，












設(shè)



，
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、正切等知識，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
33．（2021·浙江紹興）如圖，中，，，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，以AD為底邊在其右側(cè)作等腰三角形ADE，使，連結(jié)CE，則的值為（?????）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得出，在結(jié)合題意可得，即證明，從而得出，即易證，得出．再由等腰三角形的性質(zhì)可知，，即證明，從而可間接推出．最后由，即可求出的值，即的值．
【詳解】
∵在中，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴在和中，，
∴，
∴，
∵為等腰三角形，
∴，，
∴，
∴，即．
∵，
∴，
∴．
故選D．
【點(diǎn)睛】
本題考查直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，全等三角形與相似三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形．熟練掌握各知識點(diǎn)并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．
二、填空題
34．（2022·湖南邵陽）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，請?zhí)砑右粋€條件_________，使．

【答案】∠ADE=∠B（答案不唯一）．
【解析】
【分析】
已知有一個公共角，則可以再添加一個角從而利用有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似來判定或添加夾此角的兩邊對應(yīng)成比例也可以判定．
【詳解】
解∶∵∠A=∠A，
∴根據(jù)兩角相等的兩個三角形相似，可添加條件∠ADE=∠B或∠AED=∠C證相似；
根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，可添加條件證相似．
故答案為∶∠ADE＝∠B（答案不唯一）．
【點(diǎn)睛】
此題考查了本題考查了相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法．
35．（2021·貴州黔西）如圖，與是位似圖形，點(diǎn)為位似中心，若，則與的面積比為__．

【答案】1：4
【解析】
【分析】
根據(jù)位似圖形的性質(zhì)得出△ABC∽△A'B'C'和相似比的值，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)面積比是相似比比值的平方解答即可．
【詳解】
解：由題意得，△ABC和△A'B'C'是位似圖形，
∴△ABC∽△A'B'C'，AB：A'B'=OA：AA'=1：2，
∴與的面積比為：1：4．
故答案為：1：4．
【點(diǎn)睛】
此題考查的知識點(diǎn)為：位似的概念、三角形相似的性質(zhì)；掌握面積比是相似比比值的平方是解答問題的關(guān)鍵．
36．（2020·遼寧盤錦）三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，以原點(diǎn)為位似中心，相似比為，將縮小，則點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是__________.
【答案】或
【解析】
【分析】
利用以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k，把B點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)分別乘以或即可得到點(diǎn)B′的坐標(biāo)．
【詳解】
解：∵以點(diǎn)為位似中心，相似比為，將縮小，
∴點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)是（2，4）或（-2，-4）．
故答案為：（2，4）或（-2，-4）．


【點(diǎn)睛】
本題考查了位似變換,根據(jù)位似比求得對應(yīng)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，位似變換：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k．
37．（2020·遼寧錦州）如圖，在中，D是中點(diǎn)，，若的周長為6，則的周長為______．

【答案】12
【解析】
【分析】
由，可知，再由D是中點(diǎn)，可得到相似比，即可求出的周長．
【詳解】
解：∵，
∴，
又∵D是中點(diǎn)，
∴，即與的相似比為1:2，
∴與的周長比為1:2，
∵的周長為6，
∴的周長為12，
故答案為：12．
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的相似比等于周長比是解題的關(guān)鍵．
38．（2020·湖南婁底）若，則________．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)比例的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡，代入求職即可．
【詳解】
由可得，，
代入．
故答案為．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了比例的基本性質(zhì)化簡，準(zhǔn)確觀察分析是解題的關(guān)鍵．
39．（2020·湖南湘潭）若，則________．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)比例的基本性質(zhì)變形，代入求職即可；
【詳解】
由可設(shè)，，k是非零整數(shù)，
則．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了比的基本性質(zhì)，準(zhǔn)確利用性質(zhì)變形是解題的關(guān)鍵．
40．（2020·貴州黔東南）如圖，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，E為CD的中點(diǎn)，連接AE、BD交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQ⊥BC于點(diǎn)Q，則PQ＝_____．

【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到DE＝CD＝AB，根據(jù)相似三角形的判定證明△ABP∽△EDP，再利用相識三角形的性質(zhì)和判定即可得到結(jié)論．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90° ，
∵E為CD的中點(diǎn)，
∴DE＝CD＝AB，
∴△ABP∽△EDP，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∵PQ⊥BC，
∴PQ∥CD，
∴△BPQ∽△DBC，
∴＝＝，
∵CD＝2，
∴PQ＝，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，運(yùn)用矩形的性質(zhì)和相似三角形判定和性質(zhì)證明△ABP∽△EDP得到＝是解題的關(guān)鍵．
41．（2021·四川德陽）我們把寬與長的比是的矩形叫做黃金矩形．黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感，世界各國許多著名的建筑，為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計(jì)．已知四邊形ABCD是黃金矩形，邊AB的長度為1，則該矩形的周長為 __________________．
【答案】或4
【解析】
【分析】
分兩種情況：①邊為矩形的長時，則矩形的寬為，求出矩形的周長即可；
②邊為矩形的寬時，則矩形的長為，求出矩形的周長即可．
【詳解】
解：分兩種情況：
①邊為矩形的長時，則矩形的寬為，
矩形的周長為：；
②邊為矩形的寬時，則矩形的長為：，
矩形的周長為；
綜上所述，該矩形的周長為或4，
故答案為：或4．
【點(diǎn)睛】
本題考查了黃金分割，熟記黃金分割的比值是解題的關(guān)鍵．
42．（2021·貴州黔東南）已知在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB的頂點(diǎn)分別為點(diǎn)A（2，1）、點(diǎn)B（2，0）、點(diǎn)O（0，0），若以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，將△AOB放大，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為________．
【答案】（4，2）或（－4，－2）
【解析】
【分析】
根據(jù)位似變換的定義，作出圖形，可得結(jié)論．
【詳解】
解：如圖，觀察圖象可知，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，2）或（-4，-2）．

故答案為：（4，2）或（-4，-2）．
【點(diǎn)睛】
本題考查作圖-位似變換，解題的關(guān)鍵是正確作出點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)E，G，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)F，H．
43．（2021·吉林）如圖，為了測量山坡的護(hù)坡石壩高，把一根長為的竹竿斜靠在石壩旁，量出竿上長為時，它離地面的高度為，則壩高為__________．

【答案】2.7
【解析】
【分析】
根據(jù)，可得，進(jìn)而得出即可．
【詳解】
解：如圖，過作于，則，
∴，即，
解得，
故答案為：2.7

【點(diǎn)睛】
本題考查了相似三角形應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)．
44．（2021·內(nèi)蒙古）如圖，在中，，過點(diǎn)B作，垂足為B，且，連接CD，與AB相交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作，垂足為N．若，則MN的長為__________．

【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)MN⊥BC,AC⊥BC,DB⊥BC，得,可得,因?yàn)?列出關(guān)于MN的方程，即可求出MN的長．
【詳解】
∵M(jìn)N⊥BC，DB⊥BC,
∴AC∥MN∥DB，
∴，
∴
即,
又∵，
∴，
解得,
故填：．
【點(diǎn)睛】
本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意得出兩組相似三角形以及它們對應(yīng)邊之比的等量關(guān)系．
45．（2022·廣西）古希臘數(shù)學(xué)家泰勒斯曾利用立桿測影的方法，在金字塔影子的頂部直立一根木桿，借助太陽光測金字塔的高度．如圖，木桿EF長2米，它的影長FD是4米，同一時刻測得OA是268米，則金字塔的高度BO是________米．

【答案】134
【解析】
【分析】
在同一時刻物高和影子成正比，即在同一時刻的兩個物體，影子，經(jīng)過物體頂部的太陽光線三者構(gòu)成的兩個直角三角形相似，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得．
【詳解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：134．
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是了解：同一時刻物高和影長成正比．
46．（2022·浙江杭州）某項(xiàng)目學(xué)習(xí)小組為了測量直立在水平地面上的旗桿AB的高度，把標(biāo)桿DE直立在同一水平地面上（如圖）．同一時刻測得旗桿和標(biāo)桿在太陽光下的影長分別是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F(xiàn)在同一直線上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，則AB=_________m．

【答案】9.88
【解析】
【分析】
根據(jù)平行投影得AC∥DE，可得∠ACB=∠DFE，證明Rt△ABC∽△Rt△DEF，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】
解：∵同一時刻測得旗桿和標(biāo)桿在太陽光下的影長分別是BC=8.72m，EF=2.18m．
∴AC∥DE，
∴∠ACB=∠DFE，
∵AB⊥BC，DE⊥EF，
∴∠ABC=∠DEF=90°，
∴Rt△ABC∽△Rt△DEF，
∴，即，
解得AB=9.88，
∴旗桿的高度為9.88m．
故答案為：9.88．
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行投影：由平行光線形成的投影是平行投影，如物體在太陽光的照射下形成的影子就是平行投影．證明Rt△ABC∽△Rt△DEF是解題的關(guān)鍵．
47．（2022·北京）如圖，在矩形中，若，則的長為_______．

【答案】1
【解析】
【分析】
根據(jù)勾股定理求出BC，以及平行線分線段成比例進(jìn)行解答即可．
【詳解】
解：在矩形中：，，
∴，，
∴，
∴，
故答案為：1．
【點(diǎn)睛】
此題考查了勾股定理以及平行線分線段成比例，掌握平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．
48．（2022·上海）如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D為AB中點(diǎn)，E在線段AC上，，則_____．

【答案】或
【解析】
【分析】
由題意可求出，取AC中點(diǎn)E1，連接DE1，則DE1是△ABC的中位線，滿足，進(jìn)而可求此時，然后在AC上取一點(diǎn)E2，使得DE1＝DE2，則，證明△DE1E2是等邊三角形，求出E1E2＝，即可得到，問題得解．
【詳解】
解：∵D為AB中點(diǎn)，
∴，即，
取AC中點(diǎn)E1，連接DE1，則DE1是△ABC的中位線，此時DE1∥BC，，
∴，
在AC上取一點(diǎn)E2，使得DE1＝DE2，則，
∵∠A=30°，∠B=90°，
∴∠C=60°，BC＝，
∵DE1∥BC，
∴∠DE1E2=60°，
∴△DE1E2是等邊三角形，
∴DE1＝DE2＝E1E2＝，
∴E1E2＝，
∵，
∴，即，
綜上，的值為：或，
故答案為：或．

【點(diǎn)睛】
本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，平行線分線段成比例，等邊三角形的判定和性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)等，根據(jù)進(jìn)行分情況求解是解題的關(guān)鍵．
49．（2022·廣西）數(shù)學(xué)興趣小組通過測量旗桿的影長來求旗桿的高度，他們在某一時刻測得高為2米的標(biāo)桿影長為1.2米，此時旗桿影長為7.2米，則旗桿的高度為______米．

【答案】12
【解析】
【分析】
根據(jù)同時、同地物高和影長的比不變，構(gòu)造相似三角形，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答．
【詳解】
解：設(shè)旗桿為AB，如圖所示：


根據(jù)題意得：，
∴
∵米，米，米，
∴
解得：AB=12米．
故答案為：12．
【點(diǎn)睛】
本題考查了中心投影、相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用，解題時關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題．
50．（2022·黑龍江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，……在x軸上且，，，……按此規(guī)律，過點(diǎn)，，，……作x軸的垂線分別與直線交于點(diǎn)，，，……記，，，……的面積分別為，，，……，則______．

【答案】
【解析】
【分析】
先求出，可得，再根據(jù)題意可得，從而得到∽∽∽∽……∽，再利用相似三角形的性質(zhì)，可得∶∶∶∶……∶= ，即可求解．
【詳解】
解：當(dāng)x=1時，，
∴點(diǎn)，
∴，
∴，
∵根據(jù)題意得：，
∴∽∽∽∽……∽，
∴∶∶∶：……∶= OA12∶OA22∶OA32∶……∶OAn2，
∵，，，，……，
∴，，，……，，
∴∶∶∶∶……∶= ，
∴，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了圖形與坐標(biāo)的規(guī)律題，相似三角形的判定和性質(zhì)，明確題意，準(zhǔn)確得到規(guī)律，是解題的關(guān)鍵．
51．（2022·湖北鄂州）如圖，在邊長為6的等邊△ABC中，D、E分別為邊BC、AC上的點(diǎn)，AD與BE相交于點(diǎn)P，若BD=CE=2，則△ABP的周長為 _____．

【答案】
【解析】
【分析】
如圖所示，過點(diǎn)E作EF⊥AB于F，先解直角三角形求出AF，EF，從而求出BF，利用勾股定理求出BE的長，證明△ABD≌△BCE得到∠BAD=∠CBE，AD=BE，再證明△BDP∽△ADB，得到，即可求出BP，PD，從而求出AP，由此即可得到答案．
【詳解】
解：如圖所示，過點(diǎn)E作EF⊥AB于F，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠BAC=∠BCE=60°，
∵CE=BD=2，AB=AC=6，
∴AE=4，
∴，
∴BF=4，
∴，
又∵BD=CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，AD=BE，
又∵∠BDP=∠ADB，
∴△BDP∽△ADB，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴△ABP的周長，
故答案為：．


【點(diǎn)睛】
本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
52．（2022·遼寧沈陽）如圖，將矩形紙片ABCD折疊，折痕為MN，點(diǎn)M，N分別在邊AD，BC上，點(diǎn)C，D的對應(yīng)點(diǎn)分別在E，F(xiàn)且點(diǎn)F在矩形內(nèi)部，MF的延長線交BC與點(diǎn)G，EF交邊BC于點(diǎn)H．，，當(dāng)點(diǎn)H為GN三等分點(diǎn)時，MD的長為______．

【答案】或4
【解析】
【分析】
由折疊得，∠DMN=∠GMN，EF=CD==4，CN=EN=2，∠EFM=∠D=90°，證明得，再分兩種情況討論求解即可．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD//BC，CD=AB=4，∠D=∠C=90°，
∴∠DMN=∠GNM，
由折疊得，∠DMN=∠GMN，EF=CD==4，CN=EN=2，∠EFM=∠D=90°，
∴∠GMN=∠GNM，∠GFH=∠NEH，
∴GM=GN，
又∠GHE=∠NHE，
∴，
∴，
∵點(diǎn)H是GN的三等分點(diǎn)，則有兩種情況：
①若時，則有：
∴EH=，GF=2NE=4，
由勾股定理得，,
∴GH=2NH=
∴GM=GN=GH+NH=，
∴MD=MF=GM-GF=；
②若時，則有：
∴EH=，GF=NE=1，
由勾股定理得，,
∴GH=NH=
∴GM=GN=GH+NH=5；
∴MD=MF=GM-GF=
綜上，MD的值為或4．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，進(jìn)行分類討論是解答本題的關(guān)鍵．
53．（2022·湖南常德）如圖，已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，若的面積為2，，，則的面積是________．

【答案】12
【解析】
【分析】
延長EF、DF分布交AC于點(diǎn)M、N，可以得到相似三角形并利用相似三角形分別求出AM、MN、CN之間的關(guān)系，從而得到三角形的面積關(guān)系即可求解．
【詳解】
解：如圖所示：延長EF、DF分布交AC于點(diǎn)M、N，


，，，，
，
，
令，則，
，
，
，
，
，
設(shè)，
，
，
，
求出,
，
故答案為：12．
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似三角形中的A型，也可以利用平行線分線段成比例知識，具有一定的難度，不斷的利用相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)線段成比例進(jìn)行求解線段的長度；利用相似三角形的面積之比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．
54．（2021·四川內(nèi)江）如圖，矩形中，，，對角線的垂直平分線交于點(diǎn)、交于點(diǎn)，則線段的長為 __．

【答案】##7.5
【解析】
【分析】
根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理求出BD，證明△BOF∽△BCD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，求出EF即可．
【詳解】
解：如圖：

四邊形是矩形，
，又，，
，
是的垂直平分線，
，，又，
，
，
，
解得，，
四邊形是矩形，
，，
，
是的垂直平分線，
，，
在和中，
，
，
，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是矩形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，掌握矩形的四個角是直角、對邊相等以及線段垂直平分線的定義是解題的關(guān)鍵．
55．（2021·甘肅蘭州）如圖，在矩形中，，．①以點(diǎn)為圓心，以不大于長為半徑作弧，分別交邊，于點(diǎn)，，再分別以點(diǎn)，為圓心，以大于長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線分別交，于點(diǎn)，；②分別以點(diǎn)，為圓心，以大于長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，，作直線交于點(diǎn)，則長為______．

【答案】
【解析】
【分析】
由作圖步驟可知AG是的角平分線，MN是CQ的垂直平分線，則BQ=AB=1，利用勾股定理可得AQ=QG=，因?yàn)锳D∥BQ，所以，則，即，解得OQ=，所以O(shè)G=OQ+QG=．
【詳解】
由題意可知：AG是的角平分線，MN是CQ的垂直平分線，
=45°，
BQ=AB=1，
在中，，
AD∥BQ，

，即，解得OQ=，
OG=OQ+QG=．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了角平分線、垂直平分線的作圖方法，相似三角形判定，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線、垂直平分線的作圖方法以及找準(zhǔn)相似三角形進(jìn)行線段計(jì)算．
56．（2021·遼寧營口）如圖，矩形中，，，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，，連接，點(diǎn)F是延長線上一點(diǎn)，連接，且，則_________．

【答案】6
【解析】
【分析】
過點(diǎn)D作DM⊥AF，可證明∠NDM=∠GDM，從而得，DN=DG，設(shè)DN=DG=x，列出比例式，求出x的值，進(jìn)而即可求解．
【詳解】
解：過點(diǎn)D作DM⊥AF，則∠MAD+∠ADM=90°，

∵在矩形中，∠ADM+∠CDM=90°，
∴∠MAD=∠CDM，
∵AD∥BF，
∴∠F=∠MAD，
∵，
∴∠MAD=，
∴∠CDM=，
∴∠NDM=∠GDM，
∵∠NMD=∠GMD=90°，DM=DM，
∴，
∴DN=DG，
∵，，
∴，
設(shè)DN=DG=x，
∵AB∥CD，
∴，
∴，即：，解得：x=2，
∴DN=DG=2，
∵AD∥BF，
∴，
∴，即：，解得：CF=6，
故答案是：6．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線，證明，是解題的關(guān)鍵．
57．（2021·江蘇無錫）如圖，在中，，，，點(diǎn)E在線段上，且，D是線段上的一點(diǎn)，連接，將四邊形沿直線翻折，得到四邊形，當(dāng)點(diǎn)G恰好落在線段上時，________．

【答案】
【解析】
【分析】
過點(diǎn)F作FM⊥AC于點(diǎn)M，由折疊的性質(zhì)得FG=，∠EFG=，EF=AE=1，再證明，得，，進(jìn)而即可求解．
【詳解】
解：過點(diǎn)F作FM⊥AC于點(diǎn)M，


∵將四邊形沿直線翻折，得到四邊形，當(dāng)點(diǎn)G恰好落在線段上，
∴FG=，∠EFG=，EF=AE=1，
∴EG=，
∵∠FEM=∠GEF，∠FME=∠GFE=90°，
∴，
∴，
∴=，，
∴AM=AE+EM=，
∴．
故答案是：．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查折疊的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造”母子相似三角形“是解題的關(guān)鍵．
58．（2020·四川眉山）如圖，等腰中，，邊的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若的周長為，則的長為________．

【答案】
【解析】
【分析】
過點(diǎn)A作AF⊥BC于F，先根據(jù)垂直平分線已知條件得出BC=16，再根據(jù)等腰三角形的三線合一和勾股定理得出AF=6，再根據(jù)即可得出結(jié)論
【詳解】
解：∵DE是AC的垂直平分線，
∴AD=CD，∠DEC=90°，AE=5
∵的周長為，
∴AB+BD+AD=26
∴AB+BD+DC=AB+BC=26
∵AB=10，∴BC=16，
過點(diǎn)A作AF⊥BC于F，

∵AB=AC=10
∴CF=8，
∵∠DEC=∠AFC= 90°，∠C=∠C
∴
∴
∴
∴DE=
故答案為：
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)的性質(zhì)．
59．（2020·四川宜賓）在直角三角形ABC中，是AB的中點(diǎn)，BE平分交AC于點(diǎn)E連接CD交BE于點(diǎn)O，若，則OE的長是________．

【答案】
【解析】
【分析】
過E點(diǎn)作EG⊥AB于G點(diǎn)，根據(jù)三角形面積公式求出CE=EG=3，延長CD交過B作BF⊥BC于F，可得△ACD≌△BFD，得到BF=8,再根據(jù)△CEO∽△FBO，找到比例關(guān)系得到EO=BE，再求出BE即可求解．
【詳解】
過E點(diǎn)作EG⊥AB于G點(diǎn)，
∵BE平分
∴CE=EG,
設(shè)CE=EG=x,
∵,
∴AB=
∵S△ABC= S△ABE+S△BCE，
故
即
解得x=3
∴CE=3,
延長CD交過B作BF⊥BC于F，
∵D是AB中點(diǎn)
∴AD=BD
又AC∥BF
∴∠A=∠DBF,由∠ADC=∠DBF
∴△ACD≌△BFD，
∴BF=AC=8,
∵AC∥BF
∴△CEO∽△FBO，
∴
∴EO=BE=×=，
故答案為：．

【點(diǎn)睛】
此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定、角平分線的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)．
60．（2020·山東濰坊）如圖，矩形中，點(diǎn)G，E分別在邊上，連接，將和分別沿折疊，使點(diǎn)B，C恰好落在上的同一點(diǎn)，記為點(diǎn)F．若，則_______．

【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)折疊的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求得GE，BC=AD=8，證得Rt△EGFRt△EAG，求得，再利用勾股定理得到DE的長，即可求解．
【詳解】
矩形中，GC=4，CE =3，∠C=90，
∴GE=，

根據(jù)折疊的性質(zhì)：BG=GF，GF=GC=4，CE=EF=3，∠AGB=∠AGF，∠EGC=∠EGF，∠GFE =∠C=90，
∴BG=GF=GC=4，
∴BC=AD=8，
∵∠AGB+∠AGF+∠EGC+∠EGF=180，
∴∠AGE=90，
∴Rt△EGFRt△EAG，
∴，即，
∴，
∴DE=，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)的知識等，利用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)求線段的長度是本題的關(guān)鍵．
三、解答題
61．（2021·江蘇南通）如圖，利用標(biāo)桿測量樓高，點(diǎn)A，D，B在同一直線上，，，垂足分別為E，C．若測得，，，樓高是多少？

【答案】樓高是9米．
【解析】
【分析】
先求出AC的長度，由∥，得到，即可求出BC的長度．
【詳解】
解：∵，，
∴m，
∵，，
∴∥，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴樓高是9米．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
62．（2021·廣西貴港）尺規(guī)作圖（只保留作圖痕跡，不要求寫出作法），如圖，已知ABC，且AB＞AC．
（1）在AB邊上求作點(diǎn)D，使DB＝DC；
（2）在AC邊上求作點(diǎn)E，使ADE∽ACB．

【答案】（1）見解析；（2）見解析
【解析】
【分析】
（1）作線段的垂直平分線交于點(diǎn)，連接即可．
（2）作，射線交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求．
【詳解】
解：（1）如圖，點(diǎn)即為所求．
（2）如圖，點(diǎn)即為所求．

【點(diǎn)睛】
本題考查作圖相似變換，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．
63．（2021·廣西玉林）如圖，在中，在上，，．

（1）求證：∽；
（2）若，求的值．
【答案】（1）見詳解；（2）
【解析】
【分析】
（1）由題意易得，然后問題可求證；
（2）由（1）及題意易得，然后根據(jù)相似三角形的面積比與相似比的關(guān)系可得，然后問題可求解．
【詳解】
（1）證明：∵，，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
64．（2021·湖北黃岡）如圖，在和中，，．

（1）求證：；
（2）若，，求的長．
【答案】（1）證明見解析；（2）9．
【解析】
【分析】
（1）先根據(jù)角的和差可得，再根據(jù)相似三角形的判定即可得證；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得．
【詳解】
證明：（1），
，即，
在和中，，
；
（2）由（1）已證：，
，
，，
，
解得或（不符題意，舍去），
則的長為9．
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
65．（2020·湖北省直轄縣級單位）在平行四邊形中，E為的中點(diǎn)，請僅用無刻度的直尺完成下列畫圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡．
??????????
（1）如圖1，在上找出一點(diǎn)M，使點(diǎn)M是的中點(diǎn)；
（2）如圖2，在上找出一點(diǎn)N，使點(diǎn)N是的一個三等分點(diǎn)．
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【解析】
【分析】
（1）連接對角線AC,BD，再連接E與對角線的交點(diǎn)，與BC的交點(diǎn)即為M點(diǎn)；
（2）連接CE交BD即為N點(diǎn)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得,于是DN=BD．
【詳解】
解：（1）如圖1，點(diǎn)M即為所求；???????????????????????????????????
（2）如圖2，點(diǎn)N即為所求．??????????????????????????????

【點(diǎn)睛】
此題主要考查平行四邊形與相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知平行四邊形的特點(diǎn)．
66．（2022·上海）如圖所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，點(diǎn)E，F(xiàn)在線段BC上，點(diǎn)Q在線段AB上，且CF=BE，AE2=AQ·AB求證：

(1)∠CAE=∠BAF；
(2)CF·FQ=AF·BQ
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【解析】
【分析】
（1）利用SAS證明△ACE≌△ABF即可；
（2）先證△ACE∽△AFQ可得∠AEC=∠AQF，求出∠BQF=∠AFE，再證△CAF∽△BFQ，利用相似三角形的性質(zhì)得出結(jié)論．
(1)
證明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵CF=BE，
∴CE=BF，
在△ACE和△ABF中，，
∴△ACE≌△ABF（SAS），
∴∠CAE=∠BAF；
(2)
證明：∵△ACE≌△ABF，
∴AE＝AF，∠CAE=∠BAF，
∵AE2=AQ·AB，AC＝AB，
∴，即，
∴△ACE∽△AFQ，
∴∠AEC=∠AQF，
∴∠AEF=∠BQF，
∵AE＝AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴∠BQF=∠AFE，
∵∠B=∠C，
∴△CAF∽△BFQ，
∴，即CF·FQ=AF·BQ．
【點(diǎn)睛】
本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
67．（2022·吉林長春）如圖①、圖②、圖③均是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，其頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求作圖，保留作圖痕跡．

(1)網(wǎng)格中的形狀是________；
(2)在圖①中確定一點(diǎn)D，連結(jié)、，使與全等：
(3)在圖②中的邊上確定一點(diǎn)E，連結(jié)，使：
(4)在圖③中的邊上確定一點(diǎn)P，在邊BC上確定一點(diǎn)Q，連結(jié)，使，且相似比為1：2．
【答案】(1)直角三角形
(2)見解析（答案不唯一）
(3)見解析
(4)翙解析
【解析】
【分析】
（1）運(yùn)用勾股定理分別計(jì)算出AB，AC，BC的長，再運(yùn)用勾股定理逆定理進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論；
（2）作出點(diǎn)A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)D，連接BD，CD即可得出與全等：
（3）過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，則可知：
（4）作出以AB為斜邊的等腰直角三角形，作出斜邊上的高，交AB于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)Q，則點(diǎn)P，Q即為所求．
(1)
∵
∴,
∴是直角三角形，
故答案為：直角三角形；
(2)
如圖，點(diǎn)D即為所求作，使與全等：

(3)
如圖所示，點(diǎn)E即為所作，且使：

(4)
如圖，點(diǎn)P，Q即為所求，使得，且相似比為1：2．

【點(diǎn)睛】
本題主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，相似三角形的判定，熟練掌握相關(guān)定理是解答本題的關(guān)鍵．
68．（2022·湖南常德）在四邊形中，的平分線交于，延長到使，是的中點(diǎn)，交于，連接．

(1)當(dāng)四邊形是矩形時，如圖，求證：①；②．
(2)當(dāng)四邊形是平行四邊形時，如圖，（1）中的結(jié)論都成立，請給出結(jié)論②的證明．
【答案】(1)證明見詳解
(2)證明見詳解
【解析】
【分析】
（1）①證明即可；②連接BG，CG，證明，即可證明；
（2）①的結(jié)論和（1）中證明一樣，證明即可；②的結(jié)論，作，證明即可．
(1)
證明：①證明過程：
四邊形ABCD為矩形，

平分

為等腰直角三角形






②證明：連接BG，CG，

G為AF的中點(diǎn)，四邊形ABCD為矩形，


平分，










(2)
作，如圖所示


由（1）同理可證：

四邊形ABCD為平行四邊形



G為AF的中點(diǎn)，由平行線分線段成比例可得
，






【點(diǎn)睛】
本題考查了以矩形與平行四邊形為橋梁，涉及全等三角形的證明，相似三角形的證明，正確作出輔助線并由此得到相應(yīng)的全等三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵．
69．（2022·湖北黃岡）問題背景：
一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動課上，小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的一個結(jié)論．如圖1，已知AD是△ABC的角平分線，可證＝．小慧的證明思路是：如圖2，過點(diǎn)C作CE∥AB，交AD的延長線于點(diǎn)E，構(gòu)造相似三角形來證明＝．

(1)嘗試證明：請參照小慧提供的思路，利用圖2證明＝；
(2)應(yīng)用拓展：如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是邊BC上一點(diǎn)．連接AD，將△ACD沿AD所在直線折疊，點(diǎn)C恰好落在邊AB上的E點(diǎn)處．
①若AC＝1，AB＝2，求DE的長；
②若BC＝m，∠AED＝，求DE的長（用含m，的式子表示）．
【答案】(1)詳見解析
(2)①DE=；②
【解析】
【分析】
（1）利用AB∥CE，可證得，即，由AD平分∠BAC，可知AC=EC，即可證得結(jié)果；
（2）利用（1）中的結(jié)論進(jìn)行求解表示即可．
(1)
解：∵AB∥CE，
∴∠BAD=∠DEC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠DEC，
∴AC=EC，
∵∠BDA=∠CDE，
∴，
∴，
即，
∴；
(2)
①由折疊可知，AD平分∠BAC，CD=DE，
由（1）得，，
∵AC＝1，AB＝2，
∴，
∴，
解得：CD=，
∴DE= CD=；
②由折疊可知∠AED＝∠C=，
∴，
由①可知，
∴，
∴，
即：．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查的是相似三角形的綜合運(yùn)用，靈活轉(zhuǎn)化比例關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
70．（2022·山東泰安）如圖，矩形中，點(diǎn)E在上，，與相交于點(diǎn)O．與相交于點(diǎn)F．


(1)若平分，求證：；
(2)找出圖中與相似的三角形，并說明理由;
(3)若，，求的長度．
【答案】(1)證明見解析
(2)，與相似，理由見解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和角平分線的定義即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)判定兩個三角形相似的判定定理，找到相應(yīng)的角度相等即可得出；
（3）根據(jù)得出，根據(jù)得出，聯(lián)立方程組求解即可．
(1)
證明：如圖所示：


四邊形為矩形，
，
，
，
，
又平分，
，
，
又與互余，
與互余，
；
(2)
解：，與相似．
理由如下：
，，
，
又，???
，
，，
；
(3)
解：，
，
，
，
在矩形中對角線相互平分，圖中，
①，
，
，
，
在矩形中，
②，
由①②，得（負(fù)值舍去），
．
【點(diǎn)睛】
本題考查矩形綜合問題，涉及到矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、角度的互余關(guān)系、兩個三角形相似的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握兩個三角形相似的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
71．（2022·四川自貢）如圖，用四根木條釘成矩形框，把邊固定在地面上，向右推動矩形框，矩形框的形狀會發(fā)生改變（四邊形具有不穩(wěn)定性）．

(1)通過觀察分析，我們發(fā)現(xiàn)圖中線段存在等量關(guān)系，如線段由旋轉(zhuǎn)得到，所以．我們還可以得到＝ ， ＝ ；
(2)進(jìn)一步觀察，我們還會發(fā)現(xiàn)∥，請證明這一結(jié)論；
(3)已知，若 恰好經(jīng)過原矩形邊的中點(diǎn) ，求與之間的距離．
【答案】(1)CD，AD；
(2)見解析；
(3)EF于BC之間的距離為64cm．
【解析】
【分析】
（1）由推動矩形框時，矩形ABCD的各邊的長度沒有改變，可求解；
（2）通過證明四邊形BEFC是平行四邊形，可得結(jié)論；
（3）由勾股定理可求BH的長，再證明△BCH∽△BGE，得到，代入數(shù)值求解EG，即可得到答案．
(1)
解：∵ 把邊固定在地面上，向右推動矩形框，矩形框的形狀會發(fā)生改變（四邊形具有不穩(wěn)定性）．
∴由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知矩形ABCD的各邊的長度沒有改變，
∴AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，
故答案為：CD，AD；
(2)
解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴ADBC，AB＝CD，AD＝BC，
∵AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，
∴BE＝CF，EF＝BC，
∴四邊形BEFC是平行四邊形，
∴EFBC，
∴EFAD；
(3)
解：如圖，過點(diǎn)E作EG⊥BC于點(diǎn)G，

∵DC＝AB＝BE＝80cm，點(diǎn)H是CD的中點(diǎn)，
∴ CH＝DH＝40cm，
在Rt△BHC中，∠BCH＝90°，
BH＝（cm），
∵ EG⊥BC，
∴∠EGB＝∠BCH＝90°，
∴CHEG，
∴ △BCH∽△BGE，
∴，
∴，
∴EG＝64，
∵ EFBC，
∴EF與BC之間的距離為64cm．
【點(diǎn)睛】
此題考查了矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
72．（2021·四川雅安）如圖，為等腰直角三角形，延長至點(diǎn)B使，其對角線，交于點(diǎn)E．

（1）求證：；
（2）求的值．
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）通過是等腰直角三角形可知，再由，即可證明；
（2）設(shè)，則，，再根據(jù)即可得到用含的表達(dá)式表示的DF，進(jìn)而即可求得的值．
【詳解】
（1）證明：∵四邊形是矩形
∴E為BD中點(diǎn)
∵
∴
∴
又∵為等腰直角三角形
∴，
∴
∴
∵
∴
在與中

∴；
（2）解：設(shè)
∵為等腰直角三角形
∴，，
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
∵，
∴
∵E是DB中點(diǎn)
∴
∴
∴
∴．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了三角形全等的判定，三角形相似的性質(zhì)與判定，還涉及了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三線合一，矩形的性質(zhì)等相關(guān)內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)幾何證明方法是解決本題的關(guān)鍵．
73．（2021·廣西賀州）如圖，在中，，是上的一點(diǎn)，以為直徑的與相切于點(diǎn)，連接，．
（1）求證：平分；
（2）若，求的值．

【答案】（1）見解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）連接OE，根據(jù)切線的定義可得，結(jié)合∠C=90°，可得，即，進(jìn)而說明即可證明結(jié)論；
（2）先證可得，再得，最后運(yùn)用三角函數(shù)解答即可．
【詳解】
（1）證明：連接，

∵是的切線，
∴，即 ，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴平分．
（2）∵是的直徑，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
又∵，，
∴．
∴．
又∵，
∴，即．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)的定義等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識點(diǎn)成為解答本題的關(guān)鍵．
74．（2021·湖南永州）如圖1，是的直徑，點(diǎn)E是上一動點(diǎn)，且不與A，B兩點(diǎn)重合，的平分線交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作，交的延長線于點(diǎn)D．

（1）求證：是的切線；
（2）求證：；
（3）如圖2，原有條件不變，連接，延長至點(diǎn)M，的平分線交的延長線于點(diǎn)P，的平分線交的平分線于點(diǎn)Q．求證：無論點(diǎn)E如何運(yùn)動，總有．
【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）見詳解
【解析】
【分析】
（1）連接OC，先證明∠EAC=∠OCA，可得CO∥AE，進(jìn)而即可求證；
（2）連接BC，可證，進(jìn)而即可得到結(jié)論；
（3）由三角形外角的性質(zhì)可得∠QBM-∠QAM=∠Q，∠CBM-∠CAM=∠ACB，結(jié)合角平分線的定義，可得∠ACB=2∠Q，同理：∠AEB=2∠P，進(jìn)而即可得到結(jié)論．
【詳解】
（1）證明：連接OC，

∵的平分線交于點(diǎn)C，
∴∠EAC=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠EAC=∠OCA，
∴CO∥AE，
∵，
∴CO⊥CD，
∴是的切線；
（2）連接BC，

∵是的直徑，
∴∠ACB =90°，
∵，
∴∠D=90°，即：∠ACB=∠D，
∵∠DAC=∠CAB，
∴，
∴，即：，
∵AB=2AO，
∴；
（3）證明：∵∠QBM是的一個外角，
∴∠QBM-∠QAM=∠Q，
同理：∠CBM-∠CAM=∠ACB，
∵的平分線交的平分線于點(diǎn)Q，
∴∠CBM=2∠QBM，∠CAM=2∠QAM，
∴∠ACB=2∠Q，
同理：∠AEB=2∠P，
∵∠ACB和∠AEB都是直徑所對的圓周角，
∴∠ACB=∠AEB=90°，
∴，即：無論點(diǎn)E如何運(yùn)動，總有．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查圓的基本性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，切線的判定定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理及其推論，切線的判定定理，是解題的關(guān)鍵．
75．（2021·湖南益陽）如圖，在等腰銳角三角形中，，過點(diǎn)B作于D，延長交的外接圓于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作于F，的延長線交于點(diǎn)G．

（1）判斷是否平分，并說明理由；
（2）求證：①；②．
【答案】（1）平分，理由見解析；（2）①證明見解析；②證明見解析．
【解析】
【分析】
（1）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)圓周角定理可得，從而可得，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得，從而可得，由此即可得出結(jié)論；
（2）①先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，再根據(jù)直角三角形全等的判定定理與性質(zhì)即可得證；
②先根據(jù)直角三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得，根據(jù)等量代換可得，然后根據(jù)相似三角形的判定可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，最后根據(jù)，即可得證．
【詳解】
解：（1）平分，理由如下：
，
，
由圓周角定理得：，
，
由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得：，
，
，
，
平分；
（2）①平分，，，
，
在和中，，
，
；
②在和，，
，
，
由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得：，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
，，
，
，
即．
【點(diǎn)睛】
本題考查了圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、直角三角形全等的判定定理與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，較難的是題（2）②，正確找出兩個相似三角形是解題關(guān)鍵．
76．（2021·黑龍江綏化）如圖所示，四邊形為正方形，在中，的延長線與的延長線交于點(diǎn)，點(diǎn)在同一條直線上．


（1）求證：；
（2）當(dāng)時，求的值；
（3）當(dāng)時，求的值．
【答案】（1）見解析；（2）；（3）．
【解析】
【分析】
（1）已知正方形和，用“邊角邊”證明兩三角形全等即可；
（2）方法一：過作交于點(diǎn)，過作交于點(diǎn)，則，從而求的，
方法二：連接交于，交于，構(gòu)造相似三角形，從而求得；
（3）不在直角三角形中，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，求得結(jié)果．
【詳解】
（1）∵四邊形為正方形





在和中

．
（2）方法一：

，
為正方形對角線


???????????????????????????

設(shè)，則



在三角形中
過作交于點(diǎn)，過作交于點(diǎn)


是等腰直角三角形


∴，
．
方法二：
連接交于，交于


∵正方形
，，





，
∴，
，，


為中點(diǎn)
，
設(shè)




（3）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)

，




，
為等腰直角三角形


，
，

，
在中
．


【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的證明，相似三角形的判定及性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，按要求作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．
77．（2021·山西）閱讀與思考，請閱讀下列科普材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．
圖算法
圖算法也叫諾模圖，是根據(jù)幾何原理，將某一已知函數(shù)關(guān)系式中的各變量，分別編成有刻度的直線（或曲線），并把它們按一定的規(guī)律排列在一起的一種圖形，可以用來解函數(shù)式中的未知量．比如想知道10攝氏度相當(dāng)于多少華氏度，我們可根據(jù)攝氏溫度與華氏溫度之間的關(guān)系：得出，當(dāng)時，．但是如果你的溫度計(jì)上有華氏溫標(biāo)刻度，就可以從溫度計(jì)上直接讀出答案，這種利用特制的線條進(jìn)行計(jì)算的方法就是圖算法．

再看一個例子：設(shè)有兩只電阻，分別為5千歐和7.5千歐，問并聯(lián)后的電阻值是多少？

我們可以利用公式求得的值，也可以設(shè)計(jì)一種圖算法直接得出結(jié)果：我們先來畫出一個的角，再畫一條角平分線，在角的兩邊及角平分線上用同樣的單位長度進(jìn)行刻度，這樣就制好了一張算圖．我們只要把角的兩邊刻著7.5和5的兩點(diǎn)連成一條直線，這條直線與角平分線的交點(diǎn)的刻度值就是并聯(lián)后的電阻值．
圖算法得出的數(shù)據(jù)大多是近似值，但在大多數(shù)情況下是夠用的，那些需要用同一類公式進(jìn)行計(jì)算的測量制圖人員，往往更能體會到它的優(yōu)越性．

任務(wù)：
（1）請根據(jù)以上材料簡要說明圖算法的優(yōu)越性；
（2）請用以下兩種方法驗(yàn)證第二個例子中圖算法的正確性：
①用公式計(jì)算：當(dāng)，時，的值為多少；
②如圖，在中，，是的角平分線，，，用你所學(xué)的幾何知識求線段的長．

【答案】（1）圖算法方便；直觀；或不用公式計(jì)算即可得出結(jié)果等；（2）①；②
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解問題；
（2）①利用公式可直接把，代入求解即可；②過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，由題意易得，則有，，然后可得為等邊三角形，則，所以可得，最后利用相似三角形的性質(zhì)可求解．
【詳解】
（1）解：答案不唯一，如：圖算法方便；直觀；或不用公式計(jì)算即可得出結(jié)果等．
（2）①解：當(dāng)，時，，
∴．
②解：過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，如圖所示：

∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴為等邊三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定及等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定及等邊三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
78．（2022·遼寧大連）綜合與實(shí)踐
問題情境：
數(shù)學(xué)活動課上，王老師出示了一個問題：如圖1，在中，D是上一點(diǎn)，．求證．
獨(dú)立思考：
（1）請解答王老師提出的問題．
實(shí)踐探究：
（2）在原有問題條件不變的情況下，王老師增加下面的條件，并提出新問題，請你解答．“如圖2，延長至點(diǎn)E，使，與的延長線相交于點(diǎn)F，點(diǎn)G，H分別在上，，．在圖中找出與相等的線段，并證明．”
問題解決：
（3）數(shù)學(xué)活動小組河學(xué)時上述問題進(jìn)行特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時，若給出中任意兩邊長，則圖3中所有已經(jīng)用字母標(biāo)記的線段長均可求，該小組提出下面的問題，請你解答．“如圖3，在（2）的條件下，若，，，求的長．”

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）利用三角形的內(nèi)角和定理可得答案；
（2）如圖，在BC上截取 證明 再證明 證明 可得 從而可得結(jié)論；
（3）如圖，在BC上截取 同理可得： 利用勾股定理先求解 證明 可得 可得 證明 可得 而 可得 再利用勾股定理求解BE，即可得到答案．
【詳解】
證明：（1）
而

（2） 理由如下：
如圖，在BC上截取




，

∵
∴
∴
∵
∴


（3）如圖，在BC上截取
同理可得：












而



而


【點(diǎn)睛】
本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，作出適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)建全等三角形是解本題的關(guān)鍵．
79．（2022·廣東深圳）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①所示，在正方形中，為邊上一點(diǎn)，將沿翻折到處，延長交邊于點(diǎn)．求證：

（2）【類比遷移】如圖②，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，且將沿翻折到處，延長交邊于點(diǎn)延長交邊于點(diǎn)且求的長．

（3）【拓展應(yīng)用】如圖③，在菱形中，為邊上的三等分點(diǎn)，將沿翻折得到，直線交于點(diǎn)求的長．

【答案】（1）見解析；（2）；（3）的長為或
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)將沿翻折到處，四邊形是正方形，得，，即得，可證；
（2）延長，交于，設(shè)，在中，有，得，，由，得，，，而，，可得，即，，設(shè)，則，因，有，即解得的長為；
（3）分兩種情況：（Ⅰ）當(dāng)時，延長交于，過作于，設(shè)，，則，，由是的角平分線，有①，在中，②，可解得，；
（Ⅱ）當(dāng)時，延長交延長線于，過作交延長線于，同理解得，．
【詳解】
證明：（1）將沿翻折到處，四邊形是正方形，
，，
，
，，
；
（2）解：延長，交于，如圖：

設(shè)，
在中，，
，
解得，
，
，，
，
，即，
，，
，，
，，
，即，
，
設(shè)，則，
，
，
，即，
解得，
的長為；
（3）（Ⅰ）當(dāng)時，延長交于，過作于，如圖：

設(shè)，，則，
，
，
，
，
沿翻折得到，
，，，
是的角平分線，
，即①，
，
，，，
在中，，
②，
聯(lián)立①②可解得，
；
（Ⅱ）當(dāng)時，延長交延長線于，過作交延長線于，如圖：

同理，
，即，
由得：，
可解得，
，
綜上所述，的長為或．
【點(diǎn)睛】
本題考查四邊形的綜合應(yīng)用，涉及全等三角形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形角平分線的性質(zhì)，勾股定理及應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是方程思想的應(yīng)用．
80．（2022·山東煙臺）
(1)【問題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．
(2)【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請直接寫出的值．
(3)【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．連接BD，CE．
①求的值；
②延長CE交BD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G．求sin∠BFC的值．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)①；②
【解析】
【分析】
（1）證明△BAD≌△CAE，從而得出結(jié)論；
（2）證明△BAD∽△CAE，進(jìn)而得出結(jié)果；
（3）①先證明△ABC∽△ADE，再證得△CAE∽△BAD，進(jìn)而得出結(jié)果；
②在①的基礎(chǔ)上得出∠ACE＝∠ABD，進(jìn)而∠BFC＝∠BAC，進(jìn)一步得出結(jié)果．
(1)
證明：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
(2)
解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
；
(3)
解：①，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
；
②由①得：△CAE∽△BAD，
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠AGC＝∠BGF，
∴∠BFC＝∠BAC，
∴sin∠BFC．
【點(diǎn)睛】
本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握“手拉手”模型及其變形．

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