?2022-2023學(xué)年江蘇省無(wú)錫市江陰市長(zhǎng)涇片八年級(jí)第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷
一．選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）
1．下面是科學(xué)防控新冠知識(shí)的圖片，圖片上有圖案和文字說(shuō)明，其中的圖案是軸對(duì)稱圖形（　?。?br /> A．打噴嚏，捂口鼻 B．戴口罩，講衛(wèi)生
C．勤洗手，勤通風(fēng) D．噴嚏后，慎揉眼
2．如圖，已知∠ABC＝∠DCB，下列所給條件不能證明△ABC≌△DCB的是（　?。?br />
A．∠A＝∠D B．AC＝BD C．∠ACB＝∠DBC D．AB＝DC
3．已知等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是2和4，則它的周長(zhǎng)是（　?。?br /> A．8 B．8或10 C．10 D．無(wú)法確定
4．如圖，如果把△ABC沿AD折疊，使點(diǎn)C落在邊AB上的點(diǎn)E處，那么折痕（線段AD）是△ABC的（　?。?br />
A．中線
B．角平分線
C．高
D．既是中線，又是角平分線
5．下列說(shuō)法正確的是（　?。?br /> A．形狀相同的兩個(gè)三角形全等
B．角不是軸對(duì)稱圖形
C．全等的兩個(gè)三角形一定成軸對(duì)稱
D．等腰三角形的底角必小于90°
6．如圖，已知△ABC中，∠B＝50°，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線MN分別交AB，BC于點(diǎn)M、N．若M在PA的中垂線上，N在PC的中垂線上，則∠APC的度數(shù)為（　?。?br />
A．100° B．105° C．115° D．120°
7．如圖，兩個(gè)正方形的面積分別為64和49，則AC等于（　?。?br />
A．15 B．17 C．23 D．113
8．如圖，在等邊△ABC中，AD、CE是△ABC的兩條中線，AD＝5，P是AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PB+PE最小值的是（　?。?br />
A．2.5 B．5 C．7.5 D．10
9．如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直線BC或AC上取一點(diǎn)P，使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的P點(diǎn)有（　　）

A．5個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)
10．已知：如圖，△ABC中，BD為△ABC的角平分線，且BD＝BC，E為BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，BE＝BA，過(guò)E作EF⊥AB，F(xiàn)為垂足．下列結(jié)論：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD＝180°；③AD＝AE＝EC；④BA+BC＝2BF．其中正確的是（　?。?br />
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）
11．在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，則∠B＝　 ?。?br /> 12．已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為6、8、10，則最長(zhǎng)邊上的中線長(zhǎng)為　 ?。?br /> 13．在直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，若CD＝4，則點(diǎn)D到斜邊AB的距離為　 ?。?br />
14．如圖，△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝BC，E是AC的中點(diǎn)．若AD＝12，DE＝10，則CD的長(zhǎng)等于 　 ?。?br />
15．如圖，把一個(gè)長(zhǎng)方形的紙片沿EF折疊后，點(diǎn)D、C分別落在點(diǎn)M、N的位置，如果∠EFB＝65°，那么∠AEM等于　 　．

16．如圖，線段AB、BC的垂直平分線l1、l2相交于點(diǎn)O，若∠1＝39°，則∠AOC＝　 ?。?br />
17．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲，如下圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b，若（a+b）2＝21，大正方形的面積為13，則小正方形的面積為　 ?。?br />
18．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，D是線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以BD為邊在△ABC外作等邊△BDE．若F是DE的中點(diǎn)，當(dāng)CF取最小值時(shí)，△BDE的周長(zhǎng)為 　 ?。?br />
三、解答題（本大題有8小題，共66分）
19．已知：如圖，點(diǎn)E、F在線段BD上，BE＝DF，AB∥CD，∠A＝∠C．
求證：AB＝CD．

20．如圖，正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1．
（1）畫出△ABC關(guān)于直線l對(duì)稱的圖形△A1B1C1；
（2）在直線l上找一點(diǎn)P，使PB＝PC；（要求在直線l上標(biāo)出點(diǎn)P的位置）
（3）連接PA、PC，計(jì)算四邊形PABC的面積．

21．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分別以點(diǎn)A、C為圓心，大于AC長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N，連接MN，與AC、BC分別交于點(diǎn)D、E，連接AE．
（1）按要求作出草圖，并求∠ADE＝　 ??；（直接寫出結(jié)果）
（2）當(dāng)AB＝3，AC＝5時(shí)，求△ABE的周長(zhǎng)．

22．如圖，△ABC中，AD是高，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)．
（1）若AB＝10，AC＝8，求四邊形AEDF的周長(zhǎng)；
（2）EF與AD有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

23．如圖，四邊形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．
（1）判斷∠D是否是直角，并說(shuō)明理由．
（2）求四邊形ABCD的面積．

24．定義：如圖，等腰△ABC中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在腰AB，AC上，連結(jié)EF，若AE＝CF，則稱EF為該等腰三角形的逆等線．
（1）如圖1，EF是等腰△ABC的逆等線，若EF⊥AB，AB＝AC＝8，AE＝3，求逆等線EF的長(zhǎng)；
（2）如圖2，若直角三角形△DEF的直角頂點(diǎn)D恰好為等腰直角△ABC底邊BC上的中點(diǎn)，且點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，求證：EF為等腰△ABC的逆等線．

25．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿折線A﹣B﹣C﹣A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．
（1）若點(diǎn)P在BC上且滿足PA＝PB，則此時(shí)t＝　 ?。?br /> （2）若點(diǎn)P恰好在∠ABC的角平分線上，求此時(shí)t的值；
（3）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若△ACP為等腰三角形，則此時(shí)t＝　 ?。?br />
26．過(guò)三角形的頂點(diǎn)作射線與其對(duì)邊相交，將三角形分成兩個(gè)三角形．若得到的兩個(gè)三角形中有等腰三角形，這條射線就叫做原三角形的“友好分割線”．
（1）下列三角形中，不存在“友好分割線”的是 　 ?。ㄖ惶顚懶蛱?hào)）．
①等腰直角三角形；②等邊三角形；③頂角為150°的等腰三角形．
（2）如圖1，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，直接寫出△ABC被“友好分割線”分得的等腰三角形頂角的度數(shù)；
（3）如圖2，△ABC中，∠A＝30°，CD為AB邊上的高，BD＝2，E為AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作直線l交AC于點(diǎn)F，作CM⊥l，DN⊥l，垂足為M，N．若射線CD為△ABC的“友好分割線”，求CM+DN的最大值．



參考答案
一．選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）
1．下面是科學(xué)防控新冠知識(shí)的圖片，圖片上有圖案和文字說(shuō)明，其中的圖案是軸對(duì)稱圖形（　?。?br /> A．打噴嚏，捂口鼻 B．戴口罩，講衛(wèi)生
C．勤洗手，勤通風(fēng) D．噴嚏后，慎揉眼
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解．如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸．
解：A．不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
B．是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
C．不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
D．不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念：軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合．
2．如圖，已知∠ABC＝∠DCB，下列所給條件不能證明△ABC≌△DCB的是（　?。?br />
A．∠A＝∠D B．AC＝BD C．∠ACB＝∠DBC D．AB＝DC
【分析】利用SSS、SAS、ASA、AAS、HL進(jìn)行分析即可．
解：A、添加∠A＝∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、添加AC＝BD不能判定△ABC≌△DCB，故此選項(xiàng)正確；
C、添加∠ACB＝∠DBC可利用ASA判定△ABC≌△DCB，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、添加AB＝CD可利用SAS判定△ABC≌△DCB，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．
3．已知等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是2和4，則它的周長(zhǎng)是（　?。?br /> A．8 B．8或10 C．10 D．無(wú)法確定
【分析】根據(jù)2和4可分別作等腰三角形的腰，結(jié)合三邊關(guān)系定理，分別討論求解．
解：當(dāng)2為腰時(shí)，三邊為2，2，4，由三角形三邊關(guān)系定理可知，不能構(gòu)成三角形，
當(dāng)4為腰時(shí)，三邊為4，4，2，符合三角形三邊關(guān)系定理，周長(zhǎng)為：4+4+2＝10．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系定理．關(guān)鍵是根據(jù)2，4，分別作為腰，由三邊關(guān)系定理，分類討論．
4．如圖，如果把△ABC沿AD折疊，使點(diǎn)C落在邊AB上的點(diǎn)E處，那么折痕（線段AD）是△ABC的（　?。?br />
A．中線
B．角平分線
C．高
D．既是中線，又是角平分線
【分析】根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得對(duì)應(yīng)的角相等，進(jìn)而得出AD是角平分線．
解：由翻折變換的性質(zhì)得，∠CAD＝∠EAD，
∴AD平分∠BAC，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查翻折變換，掌握翻折的性質(zhì)，即對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
5．下列說(shuō)法正確的是（　?。?br /> A．形狀相同的兩個(gè)三角形全等
B．角不是軸對(duì)稱圖形
C．全等的兩個(gè)三角形一定成軸對(duì)稱
D．等腰三角形的底角必小于90°
【分析】選項(xiàng)A根據(jù)全等三角形的定義判斷即可；選項(xiàng)B根據(jù)角的性質(zhì)以及軸對(duì)稱圖形的定義判斷即可；選項(xiàng)C根據(jù)全等三角形的定義判斷即可；選項(xiàng)D根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理判斷即可．
解：A．形狀和大小相同的兩個(gè)三角形全等，原說(shuō)法錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)不合題意；
B．角是軸對(duì)稱圖形，原說(shuō)法錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)不合題意；
C．全等的兩個(gè)三角形不一定成軸對(duì)稱，原說(shuō)法錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)不合題意；
D．等腰三角形的底角必小于90°，說(shuō)法正確，故本選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形，等腰三角形的性質(zhì)以及軸對(duì)稱圖形的定義，判斷是不是軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是找出對(duì)稱軸，看圖形沿對(duì)稱軸對(duì)折后兩部分能否完全重合．
6．如圖，已知△ABC中，∠B＝50°，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線MN分別交AB，BC于點(diǎn)M、N．若M在PA的中垂線上，N在PC的中垂線上，則∠APC的度數(shù)為（　?。?br />
A．100° B．105° C．115° D．120°
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠BAC+∠ACB＝130°，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到AM＝PM，PN＝CN，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠MAP＝∠APM，∠CPN＝∠PCN，進(jìn)而得出∠MAP+∠PCN＝∠PAC+∠ACP＝×130°＝65°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．
解：∵∠ABC＝50°，
∴∠BAC+∠ACB＝130°，
∵M(jìn)在PA的中垂線上，N在PC的中垂線上，
∴AM＝PM，PN＝CN，
∴∠MAP＝∠APM，∠CPN＝∠PCN，
∵∠APC＝180°﹣∠APM﹣∠CPN＝180°﹣∠PAC﹣∠ACP，
∴∠MAP+∠PCN＝∠PAC+∠ACP＝×130°＝65°，
∴∠APC＝115°，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．如圖，兩個(gè)正方形的面積分別為64和49，則AC等于（　?。?br />
A．15 B．17 C．23 D．113
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)求出AB、BD、DC的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)即可．
解：∵兩個(gè)正方形的面積分別是64和49，
∴AB＝BD＝8，DC＝7，
根據(jù)勾股定理得：AC＝＝17．
故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，求出AB、BC的長(zhǎng)并熟悉勾股定理是解題的關(guān)鍵．
8．如圖，在等邊△ABC中，AD、CE是△ABC的兩條中線，AD＝5，P是AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PB+PE最小值的是（　?。?br />
A．2.5 B．5 C．7.5 D．10
【分析】如圖連接PC，只要證明PB＝PC，即可推出PB+PE＝PC+PE，由PE+PC≥CE，推出P、C、E共線時(shí)，PB+PE的值最小，最小值為AD的長(zhǎng)度．
解：如圖連接PC，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴PB＝PC，
∴PB+PE＝PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共線時(shí)，PB+PE的值最小，
最小值為CE的長(zhǎng)度，即為AD的長(zhǎng)為5．
故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃虇?wèn)題，等腰三角形的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
9．如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直線BC或AC上取一點(diǎn)P，使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的P點(diǎn)有（　?。?br />
A．5個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)
【分析】根據(jù)等腰三角形的判定定理，結(jié)合圖形即可得到結(jié)論．
解：如圖，第1個(gè)點(diǎn)在CA延長(zhǎng)線上，取一點(diǎn)P，使BA＝AP；
第2個(gè)點(diǎn)在CB延長(zhǎng)線上，取一點(diǎn)P，使AB＝PB；
第3個(gè)點(diǎn)在AC延長(zhǎng)線上，取一點(diǎn)P，使AB＝PB；
第4個(gè)點(diǎn)在BC延長(zhǎng)線上，取一點(diǎn)P，使AB＝PA；
第5個(gè)點(diǎn)在AC延長(zhǎng)線上，取一點(diǎn)P，使AB＝AP；
第6個(gè)點(diǎn)在AC上，取一點(diǎn)P，使∠PBA＝∠PAB；
∴符合條件的點(diǎn)P有6個(gè)點(diǎn)．
故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，其關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實(shí)際條件的圖形，再利用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)求解．
10．已知：如圖，△ABC中，BD為△ABC的角平分線，且BD＝BC，E為BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，BE＝BA，過(guò)E作EF⊥AB，F(xiàn)為垂足．下列結(jié)論：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD＝180°；③AD＝AE＝EC；④BA+BC＝2BF．其中正確的是（　?。?br />
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【分析】易證△ABD≌△EBC，可得∠BCE＝∠BDA，AD＝EC可得①②正確，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得∠DAE＝∠DCE，即③正確，根據(jù)③可求得④正確．
解：
①∵BD為△ABC的角平分線，∴∠ABD＝∠CBD，
∴在△ABD和△EBC中，，
∴△ABD≌△EBC（SAS），…①正確；
②∵BD為△ABC的角平分線，BD＝BC，BE＝BA，
∴∠BCD＝∠BDC＝∠BAE＝∠BEA，
∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE＝∠BDA，
∴∠BCE+∠BCD＝∠BDA+∠BDC＝180°，…②正確；
③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∠BDA＝∠DAE+∠BEA，∠BCD＝∠BEA，
∴∠DCE＝∠DAE，
∴△ACE為等腰三角形，
∴AE＝EC，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD＝EC，
∴AD＝AE＝EC．…③正確；
④過(guò)E作EG⊥BC于G點(diǎn)，

∵E是∠ABC的角平分線BD上的點(diǎn)，且EF⊥AB，
∴EF＝EG（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等），
∵在Rt△BEG和Rt△BEF中，，
∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），
∴BG＝BF，
∵在Rt△CEG和Rt△AFE中，，
∴Rt△CEG≌Rt△AEF（HL），
∴AF＝CG，
∴BA+BC＝BF+FA+BG﹣CG＝BF+BG＝2BF．…④正確．
故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中熟練求證三角形全等和熟練運(yùn)用全等三角形對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊相等性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）
11．在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，則∠B＝　30°?。?br /> 【分析】題中沒(méi)有指明這個(gè)角是底角還是頂角，故應(yīng)該分兩種情況時(shí)行分析，從而求解．
解：當(dāng)∠A是頂角時(shí)，∠B＝（180°﹣120°）÷2＝30°；
當(dāng)∠A是底角時(shí)，則另一個(gè)底角也是120°，因?yàn)?20°+120°＞180°，所以不符合三角形內(nèi)角和定理，故舍去；
故答案為：30°．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理的綜合運(yùn)用．
12．已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為6、8、10，則最長(zhǎng)邊上的中線長(zhǎng)為　5?。?br /> 【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理得到這個(gè)三角形是直角三角形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．
解：∵62+82＝100，
102＝100，
∴62+82＝102，
∴這個(gè)三角形是直角三角形，
∴最長(zhǎng)邊上的中線長(zhǎng)為5，
故答案為：5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理的應(yīng)用，掌握直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．
13．在直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，若CD＝4，則點(diǎn)D到斜邊AB的距離為　4?。?br />
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理，解答出即可；
解：如右圖，過(guò)D點(diǎn)作DE⊥AB于點(diǎn)E，則DE即為所求，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，
∴CD＝DE（角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等），
∵CD＝4，
∴DE＝4．
故答案為：4．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．
14．如圖，△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝BC，E是AC的中點(diǎn)．若AD＝12，DE＝10，則CD的長(zhǎng)等于 　16?。?br />
【分析】先利用等腰三角形的性質(zhì)得到AD＝BD＝12，即D為AB的中點(diǎn)，則判斷DE為△ABC的中位線，則BC＝2DE＝20，然后利用勾股定理計(jì)算CD的長(zhǎng)．
解：∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴AD＝BD＝12，即D為AB的中點(diǎn)，
∵E是AC的中點(diǎn)，
∴DE為△ABC的中位線，
∴DE＝BC，
∴BC＝2DE＝20，
在Rt△BCD中，CD＝＝＝16．
故答案為：16．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理．
15．如圖，把一個(gè)長(zhǎng)方形的紙片沿EF折疊后，點(diǎn)D、C分別落在點(diǎn)M、N的位置，如果∠EFB＝65°，那么∠AEM等于　50°?。?br />
【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠DEF＝∠EFB，再根據(jù)翻折的性質(zhì)和平角等于180°列式計(jì)算即可得解．
解：∵矩形對(duì)邊AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB＝65°，
∵沿EF折疊后，點(diǎn)D、C分別落在點(diǎn)M、N的位置，
∴∠DEF＝∠MEF，
∴∠AEM＝180°﹣65°×2＝50°．
故答案為：50°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
16．如圖，線段AB、BC的垂直平分線l1、l2相交于點(diǎn)O，若∠1＝39°，則∠AOC＝　78°?。?br />
【分析】解法一：連接BO，并延長(zhǎng)BO到P，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得AO＝OB＝OC和∠BDO＝∠BEO＝90°，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°得∠DOE+∠ABC＝180°，根據(jù)外角的性質(zhì)得∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，相加可得結(jié)論．
解法二：連接OB，同理得AO＝OB＝OC，由等腰三角形三線合一得∠AOD＝∠BOD，∠BOE＝∠COE，由平角的定義得∠BOD+∠BOE＝141°，最后由周角的定義可得結(jié)論．
解：解法一：連接BO，并延長(zhǎng)BO到P，

∵線段AB、BC的垂直平分線l1、l2相交于點(diǎn)O，
∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，
∴∠DOE+∠ABC＝180°，
∵∠DOE+∠1＝180°，
∴∠ABC＝∠1＝39°，
∵OA＝OB＝OC，
∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，
∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，
∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×39°＝78°；
解法二：
連接OB，

∵線段AB、BC的垂直平分線l1、l2相交于點(diǎn)O，
∴AO＝OB＝OC，
∴∠AOD＝∠BOD，∠BOE＝∠COE，
∵∠DOE+∠1＝180°，∠1＝39°，
∴∠DOE＝141°，即∠BOD+∠BOE＝141°，
∴∠AOD+∠COE＝141°，
∴∠AOC＝360°﹣（∠BOD+∠BOE）﹣（∠AOD+∠COE）＝78°；
故答案為：78°．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．
17．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲，如下圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b，若（a+b）2＝21，大正方形的面積為13，則小正方形的面積為　5?。?br />
【分析】觀察圖形可知，小正方形的面積＝大正方形的面積﹣4個(gè)直角三角形的面積，利用已知（a+b）2＝21，大正方形的面積為13，可以得出直角三角形的面積，進(jìn)而求出答案．
解：如圖所示：
∵（a+b）2＝21，
∴a2+2ab+b2＝21，
∵大正方形的面積為13，
2ab＝21﹣13＝8，
∴小正方形的面積為13﹣8＝5，
故答案為：5

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵．
18．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，D是線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以BD為邊在△ABC外作等邊△BDE．若F是DE的中點(diǎn)，當(dāng)CF取最小值時(shí)，△BDE的周長(zhǎng)為 　18?。?br />
【分析】連接BF，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BF．交BF的延長(zhǎng)線于H，由等邊三角形的性質(zhì)可知∠ABF＝30°，則點(diǎn)F在射線BF上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)H重合時(shí)，CF最小，從而解決問(wèn)題．
解：連接BF，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BF．交BF的延長(zhǎng)線于H，

∵△BDE是等邊三角形，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，
∴∠ABF＝30°，
∴點(diǎn)F在射線BF上運(yùn)動(dòng)，
當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)H重合時(shí)，CF最小，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠A＝60°，AB＝2AC＝12，
∵∠ABF＝30°，
∴∠BD'H＝∠AD'C＝60°，
∴△ACD'是等邊三角形，
∴AD'＝AC＝6，
∴BD'＝AB﹣AD'＝12﹣6＝6，
∴△BDE的周長(zhǎng)為：18，
故答案為：18．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，確定點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題有8小題，共66分）
19．已知：如圖，點(diǎn)E、F在線段BD上，BE＝DF，AB∥CD，∠A＝∠C．
求證：AB＝CD．

【分析】利用AAS證明△ABF≌△CDE，即可解決問(wèn)題．
【解答】證明：∵BE＝DF，
∴BE+EF＝DF+EF，
∴BF＝DE，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠D，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴AB＝CD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到△ABF≌△CDE．
20．如圖，正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1．
（1）畫出△ABC關(guān)于直線l對(duì)稱的圖形△A1B1C1；
（2）在直線l上找一點(diǎn)P，使PB＝PC；（要求在直線l上標(biāo)出點(diǎn)P的位置）
（3）連接PA、PC，計(jì)算四邊形PABC的面積．

【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)A、B、C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A1、B1、C1的位置，然后順次連接即可；
（2）根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等，過(guò)BC中點(diǎn)D作DP⊥BC交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求；
（3）根據(jù)S四邊形PABC＝S△ABC+S△APC列式計(jì)算即可得解．
解：（1）△A1B1C1如圖所示；

（2）如圖所示，過(guò)BC中點(diǎn)D作DP⊥BC交直線l于點(diǎn)P，此時(shí)PB＝PC；

（3）S四邊形PABC＝S△ABC+S△APC＝×5×2+×5×1＝．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用軸對(duì)稱變換作圖，線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．
21．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分別以點(diǎn)A、C為圓心，大于AC長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N，連接MN，與AC、BC分別交于點(diǎn)D、E，連接AE．
（1）按要求作出草圖，并求∠ADE＝　90°?。唬ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)果）
（2）當(dāng)AB＝3，AC＝5時(shí)，求△ABE的周長(zhǎng)．

【分析】（1）根據(jù)題意作出圖形；根據(jù)題意可知MN是線段AC的垂直平分線，由此可得出結(jié)論；
（2）先根據(jù)勾股定理求出BC的長(zhǎng)，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
解：（1）如圖所示．
∵由題意可知MN是線段AC的垂直平分線，
∴∠ADE＝90°．
故答案是：90°；

（2）∵M(jìn)N是線段AC的中垂線，
∴EA＝EC，
在Rt△ABC中，BC＝，
∴C△ABE＝AB+BE+EA＝AB+BE+EC＝AB+BC＝3+4＝7．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是作圖﹣基本作圖，勾股定理，熟知垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．
22．如圖，△ABC中，AD是高，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)．
（1）若AB＝10，AC＝8，求四邊形AEDF的周長(zhǎng)；
（2）EF與AD有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

【分析】（1）根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)計(jì)算；
（2）根據(jù)線段垂直平分線的判定定理得到E、F在線段AD的垂直平分線上，得到答案．
解：（1）∵E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，
∴AE＝AB＝5，AF＝AC＝4，
∵AD是高，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，
∴DE＝AB＝5，DF＝AC＝4，
∴四邊形AEDF的周長(zhǎng)＝AE+ED+DF+FA＝18；
（2）EF垂直平分AD．
證明：∵AD是ABC的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵E是AB的中點(diǎn)，
∴DE＝AE，
同理：DF＝AF，
∴E、F在線段AD的垂直平分線上，
∴EF垂直平分AD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理、線段垂直平分線的判定，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．
23．如圖，四邊形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．
（1）判斷∠D是否是直角，并說(shuō)明理由．
（2）求四邊形ABCD的面積．

【分析】（1）連接AC，根據(jù)勾股定理可知AC2＝BA2+BC2，再根據(jù)AC2＝DA2+DC2即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ADC即可得出結(jié)論．
解：（1）∠D是直角．
理由：連接AC，
∵∠B＝90°，
∴AC2＝BA2+BC2＝400+225＝625，
∵DA2+CD2＝242+72＝625，
∴AC2＝DA2+DC2，
∴△ADC是直角三角形，即∠D是直角；
（2）∵S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ADC，
∴S四邊形ABCD＝AB?BC+AD?CD
＝×20×15+×24×7
＝234．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．
24．定義：如圖，等腰△ABC中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在腰AB，AC上，連結(jié)EF，若AE＝CF，則稱EF為該等腰三角形的逆等線．
（1）如圖1，EF是等腰△ABC的逆等線，若EF⊥AB，AB＝AC＝8，AE＝3，求逆等線EF的長(zhǎng)；
（2）如圖2，若直角三角形△DEF的直角頂點(diǎn)D恰好為等腰直角△ABC底邊BC上的中點(diǎn)，且點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，求證：EF為等腰△ABC的逆等線．

【分析】（1）由等腰三角形的逆等線的定義可得CF＝AE＝3，由勾股定理可求解；
（2）由“ASA”可證△EDA≌△FDC，可得AE＝CF，可得結(jié)論．
【解答】（1）解：∵EF是等腰△ABC的逆等線，
∴CF＝AE＝3，
又∵AB＝AC＝8，
∴AF＝5，
∵EF⊥AB，
∴EF＝＝＝4；
（2）證明：連接AD，

在等腰Rt△ABC中，點(diǎn)D為底邊上中點(diǎn)，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∠BAD＝∠C＝45°
又∵∠EDF＝90°，
∴∠EDA＝90°﹣∠ADF＝∠FDC，
在△EDA和△FDC中，
，
∴△EDA≌△FDC（ASA），
∴AE＝CF，
∴EF為等腰△ABC的逆等線．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，理解等腰三角形的逆等線定義是解題的關(guān)鍵．
25．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿折線A﹣B﹣C﹣A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．
（1）若點(diǎn)P在BC上且滿足PA＝PB，則此時(shí)t＝　?。?br /> （2）若點(diǎn)P恰好在∠ABC的角平分線上，求此時(shí)t的值；
（3）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若△ACP為等腰三角形，則此時(shí)t＝　或或或3?。?br />
【分析】（1）設(shè)PB＝PA＝x，則PC＝4﹣x，在Rt△ACP中，依據(jù)AC2+PC2＝AP2，列方程求解即可得到t的值．
（2）設(shè)PD＝PC＝y(tǒng)，則AP＝3﹣y，在Rt△ADP中，依據(jù)AD2+PD2＝AP2，列方程求解即可得到t的值．
（3）分四種情況：當(dāng)P在AB上且AP＝CP時(shí)，當(dāng)P在AB上且AP＝CA＝3時(shí)，當(dāng)P在AB上且AC＝PC時(shí)，當(dāng)P在BC上且AC＝PC＝3時(shí)，分別依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到t的值．
解：（1）如圖，設(shè)PB＝PA＝x，則PC＝4﹣x，

∵∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，
∴AC＝3cm，
在Rt△ACP中，AC2+PC2＝AP2，
∴32+（4﹣x）2＝x2，
解得x＝，
∴BP＝，
∴t＝＝＝．
故答案為：．
（2）如圖，過(guò)P作PD⊥AB于D，

∵BP平分∠ABC，∠C＝90°，
∴PD＝PC，BC＝BD＝4，
∴AD＝5﹣4＝1，
設(shè)PD＝PC＝y(tǒng)，則AP＝3﹣y，
在Rt△ADP中，AD2+PD2＝AP2，
∴12+y2＝（3﹣y）2，
解得y＝，
∴CP＝，
∴t＝＝＝，
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)P也在∠ABC的角平分線上，
此時(shí)，t＝＝．
綜上所述，點(diǎn)P恰好在∠ABC的角平分線上，t的值為或．

（3）分四種情況：
①如圖，當(dāng)P在AB上且AP＝CP時(shí)，

∠A＝∠ACP，而∠A+∠B＝90°，∠ACP+∠BCP＝90°，
∴∠B＝∠BCP，
∴CP＝BP，
∴P是AB的中點(diǎn)，即AP＝AB＝，
∴t＝＝．
②如圖，當(dāng)P在AB上且AP＝CA＝3時(shí)，

t＝＝．
③如圖，當(dāng)P在AB上且AC＝PC時(shí)，過(guò)C作CD⊥AB于D，則CD＝＝，

∴Rt△ACD中，AD＝，
∴AP＝2AD＝，
∴t＝＝．
④如圖，當(dāng)P在BC上且AC＝PC＝3時(shí)，BP＝4﹣3＝1，

∴t＝＝＝3．
綜上所述，當(dāng)t＝或或或3時(shí)，△ACP為等腰三角形．
故答案為：或或或3．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于三角形綜合題，考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定以及勾股定理的綜合運(yùn)用．畫出圖形，利用分類討論的思想是解第（3）題的關(guān)鍵．
26．過(guò)三角形的頂點(diǎn)作射線與其對(duì)邊相交，將三角形分成兩個(gè)三角形．若得到的兩個(gè)三角形中有等腰三角形，這條射線就叫做原三角形的“友好分割線”．
（1）下列三角形中，不存在“友好分割線”的是 ?、凇。ㄖ惶顚懶蛱?hào)）．
①等腰直角三角形；②等邊三角形；③頂角為150°的等腰三角形．
（2）如圖1，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，直接寫出△ABC被“友好分割線”分得的等腰三角形頂角的度數(shù)；
（3）如圖2，△ABC中，∠A＝30°，CD為AB邊上的高，BD＝2，E為AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作直線l交AC于點(diǎn)F，作CM⊥l，DN⊥l，垂足為M，N．若射線CD為△ABC的“友好分割線”，求CM+DN的最大值．

【分析】（1）根據(jù)“友好分割線”的定義判斷即可；
（2）分三種情形：當(dāng)“友好分割線”經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，當(dāng)“友好分割線”經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，當(dāng)“友好分割線”經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，分別畫出圖形求解即可；
（3）證明△DNE≌△AGE（ASA），推出DN＝AG．在Rt△AGF和Rt△CMF中，∠CMF＝∠AGF＝90°推出CM≤CF，AG≤AF，推出CM+AG≤CF+AF，即CM+AG≤AC，由此可得結(jié)論．
解：（1）根據(jù)“友好分割線”的定義可知，等腰直角三角形，頂角為150°的等腰三角形存在“友好分割線”．等邊三角形不存在“友好分割線”．
故答案為：②；

（2）如圖3﹣1中，當(dāng)EC＝EA時(shí)，∠AEC＝60°，
當(dāng)FC＝FB時(shí)，∠BFC＝100°，
當(dāng)BC＝BG時(shí)，∠B＝40°．
如圖3﹣2中，當(dāng)AC＝AR時(shí)，∠CAR＝20°，
當(dāng)CA＝CW時(shí)，∠C＝80°，
如圖3﹣3中，BC＝BQ時(shí)，∠CBQ＝20°
，
綜上所述，滿足條件的等腰三角形的頂角的度數(shù)為：20°，40°，60°，80°或100°；

（3）解：如圖2中，作AG⊥l于點(diǎn)G．

∵CD為AB邊上的高，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°．
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝60°．
∴△CDA不是等腰三角形．
∵CD為△ABC的“友好分割線”，
∴△CDB和△CDA中至少有一個(gè)是等腰三角形．
∴△CDB是等腰三角形，且CD＝BD＝2．
∵∠A＝30°，
∴AC＝2CD＝4．
∵DN⊥l于N，
∴∠DNE＝∠AGE＝90°．
∵E為AD的中點(diǎn)，
∴BE＝AE．
在△DNE和△AGE中，

∴△DNE≌△AGE（ASA），
∴DN＝AG．
在Rt△AGF和Rt△CMF中，∠CMF＝∠AGF＝90°，
∴CM≤CF，AG≤AF，
∴CM+AG≤CF+AF，
即CM+AG≤AC，
∴CM+DN≤4，
∴CM+DN的最大值為4．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．

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2021-2022學(xué)年江蘇省無(wú)錫市江陰市長(zhǎng)涇片七年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
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