?2.2整式的加減



同類項(xiàng)
定義：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相等的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)．幾個常數(shù)項(xiàng)也是同類項(xiàng)．
注意：
(1)判斷是否同類項(xiàng)的兩個條件：①所含字母相同；②相同字母的指數(shù)分別相等，同時(shí)具備這兩個條件的項(xiàng)是同類項(xiàng)，缺一不可．
(2)同類項(xiàng)與系數(shù)無關(guān)，與字母的排列順序無關(guān)．
(3)一個項(xiàng)的同類項(xiàng)有無數(shù)個，其本身也是它的同類項(xiàng)．
題型1：同類項(xiàng)的定義
1.下列各組單項(xiàng)式中，是同類項(xiàng)的是（　?。?
A．5a，3a B．-2x2y，3xy C．4x2，3x D．3ab，- 5ab2
【答案】A
【解析】【解答】解：A、 5a 和 3a 是同類項(xiàng)，故本選項(xiàng)符合題意；
B、 -2x2y 和 3xy 不是同類項(xiàng)，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、 4x2 和 3x 不是同類項(xiàng)，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、 3ab 和 -5ab2 不是同類項(xiàng)，故本選項(xiàng)不符合題意.
故答案為：A.
【分析】如果兩個單項(xiàng)式，他們所含的字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同，那么就稱這兩個單項(xiàng)式為同類項(xiàng)，據(jù)此判斷.
【變式1-1】下列各選項(xiàng)的式子中，與-6ab3是同類項(xiàng)的是（　　）
A．3ab6 B．6a3b C．﹣6a2b2 D．﹣ 16 ab3
【答案】D
【解析】【解答】解：A、b的指數(shù)不相等，不是同類項(xiàng)，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、a、b的指數(shù)都不相等，不是同類項(xiàng)，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、a、b的指數(shù)都不相等，不是同類項(xiàng)，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、是同類項(xiàng)，故本選項(xiàng)符合題意；
故答案為：D.
【分析】如果兩個單項(xiàng)式，他們所含的字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同，那么就稱這兩個單項(xiàng)式為同類項(xiàng)，據(jù)此判斷.

【變式1-2】下列各組代數(shù)式中，不是同類項(xiàng)的是（　?。?
A．2與-2 B．-5x2y與3xy2 C．-3t與20t D．2a2b與-a2b
【答案】B
【解析】【解答】解：A.是兩個常數(shù)項(xiàng)，是同類項(xiàng)；
B.中兩項(xiàng)所含字母相同但相同字母的指數(shù)不同，不是同類項(xiàng)；
C.所含字母相同且字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)，是同類項(xiàng)；
D.所含字母相同且字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)，是同類項(xiàng).
故答案為：B.
【分析】如果兩個單項(xiàng)式，他們所含的字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同，那么就稱這兩個單項(xiàng)式為同類項(xiàng)，據(jù)此判斷.
題型2：利用同類項(xiàng)的定義求字母的值
2.若-2anb5與5a3b2m+n的差仍是單項(xiàng)式，則m+n的值是（　?。?br /> A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】【解答】解：∵-2anb5與5a3b2m+n的差仍是單項(xiàng)式，
∴n＝3，2m＋n＝5，
∴n＝3，m＝1，
∴m＋n＝1＋3＝4，
故答案為：C．

【分析】根據(jù)同類項(xiàng)的定義可得n＝3，2m＋n＝5，求出m、n的值，再將m、n的值代入m+n計(jì)算即可。
【變式2-1】已知單項(xiàng)式 -2x2my7 與單項(xiàng)式 -5x6yn+8 是同類項(xiàng)，求 -m2-n2021 的值.
【答案】解：由題意得： 2m=6 ， n+8=7 ，
解得： m=3 ， n=-1 ；
當(dāng) m=3 ， n=-1 時(shí)，
-m2-n2021 ，
=-32-(-1)2021 ，
=-9+1 ，
=-8 .
【解析】【分析】根據(jù)同類項(xiàng)的概念可得2m=6，n+8=7，求出m、n的值，然后代入待求式中進(jìn)行計(jì)算即可.

【變式2-2】已知2x2ya與 -xby32 的和是單項(xiàng)式，求代數(shù)式a﹣2b的值．
【答案】解：2x2ya與 -xby32 的和是單項(xiàng)式，
由題意，得a=3，b=2．
∴a-2b=3-2×2=-1 .
【解析】【分析】根據(jù)同類項(xiàng)的定義，所含字母相同且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)是同類項(xiàng)，可得答案．注意同類項(xiàng)與字母的順序無關(guān)，與系數(shù)無關(guān)．

合并同類項(xiàng)
1. 概念：把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng)．
2．法則：合并同類項(xiàng)后，所得項(xiàng)的系數(shù)是合并前各同類項(xiàng)的系數(shù)的和，且字母部分不變．
注意：合并同類項(xiàng)的根據(jù)是乘法分配律的逆運(yùn)用，運(yùn)用時(shí)應(yīng)注意：
(1)不是同類項(xiàng)的不能合并，無同類項(xiàng)的項(xiàng)不能遺漏,在每步運(yùn)算中都含有．
(2) 合并同類項(xiàng)，只把系數(shù)相加減，字母、指數(shù)不作運(yùn)算.
題型3：合并同類項(xiàng)
3.合并同類項(xiàng)
（1）3x2-1-2x-5+3x-x2
（2）23a2-12ab+34a2+ab-b2
【答案】（1）解：3x2-1-2x-5+3x-x2=2x2+x-6
（2）解： 23a2-12ab+34a2+ab-b2=1712a2+12ab-b2
【解析】【分析】（1）先找出多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)，再根據(jù)合并同類項(xiàng)的法則求解；（2）先找出多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)，再根據(jù)合并同類項(xiàng)的法則求解.
【變式3-1】合并同類項(xiàng)
（1）﹣x+2x2+5﹣3+4x2﹣6x
（2）-2a2b-a2+3ba2-ab2+a2+4b2a
【答案】（1）解： -x+2x2+5-3+4x2-6x
=(2x2+4x2)+(-x-6x)+(5-3)
=6x2-7x+2 ；
（2）解： -2a2b-a2+3ba2-ab2+a2+4b2a
=(-2a2b+3ba2)+(a2-a2)+(4b2a-ab2)
=a2b+3ab2 ；
【解析】【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)的法則，即可對（1）（2）進(jìn)行化簡計(jì)算，從而得到答案.
去括號法則
如果括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項(xiàng)的符號與原來的符號相同；
如果括號外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項(xiàng)的符號與原來的符號相反．
添括號法則
添括號后，括號前面是“+”號，括到括號里的各項(xiàng)都不變符號；
添括號后，括號前面是“-”號，括到括號里的各項(xiàng)都要改變符號．
整式的加減運(yùn)算法則
一般地，幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并同類項(xiàng)．
注意：
整式加減的最后結(jié)果中：①不能含有同類項(xiàng)，即要合并到不能再合并為止；②一般按照某一字母的降冪或升冪排列；③不能出現(xiàn)帶分?jǐn)?shù)，帶分?jǐn)?shù)要化成假分?jǐn)?shù)．
題型4：整式的去括號法則
4.把式子 (m-n)-(m-2) 去括號后正確的是（　?。?
A．m-n-m-2 B．m+n-m+2 C．m-n-m+2 D．m+n-m-2
【答案】C
【解析】【解答】解： (m-n)-(m-2)=m-n-m+2 ，
故答案為：C.
【分析】去括號法則：括號前是"+"，把括號和它前面的"+"去掉后，原括號里各項(xiàng)的符號都不改變；
括號前是"-"，把括號和它前面的"-"去掉后，原括號里各項(xiàng)的符號都要改變.

【變式4-1】去括號：
（1）－(3a2－4b－5ab＋2b2)；
（2）－3(2m－3n－m2)；
（3）3x＋[4y－(7z＋3)]．
【答案】（1）解：原式＝－3a2＋4b＋5ab－2b2.
（2）解：原式＝－6m＋9n＋3m2.
（3）解：原式＝3x＋(4y－7z－3)，
＝3x＋4y－7z－3.
【解析】【分析】（1）去括號法則：括號外是負(fù)號，括號里的每一項(xiàng)都要改變符號；依此去括號即可.
（2）去括號法則：括號外是負(fù)號，括號里的每一項(xiàng)都要改變符號；再由單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式去括號即可.
（3）去括號法則：括號外是負(fù)號，括號里的每一項(xiàng)都要改變符號；括號外是正號，括號里的每一項(xiàng)都不改變符號，先去小括號，再去中括號即可.

題型5：去括號合并同類項(xiàng)
5.先去括號，再合并同類項(xiàng)
（1）2（2b﹣3a）+3（2a﹣3b）
（2）4a2+2（3ab﹣2a2）﹣（7ab﹣1）
【答案】（1）解：2（2b﹣3a）+3（2a﹣3b）=4b﹣6a+6a﹣9b=﹣5b
（2）解：4a2+2（3ab﹣2a2）﹣（7ab﹣1）=4a2+6ab﹣4a2﹣7ab+1=﹣ab+1
【解析】【分析】（1）根據(jù)括號前是正號去括號不變號，括號前是負(fù)號去掉括號要變號，可去掉括號，根據(jù)合并同類項(xiàng)，可得答案；（2）根據(jù)括號前是正號去括號不變號，括號前是負(fù)號去掉括號要變號，可去掉括號，根據(jù)合并同類項(xiàng)，可得答案；
【變式5-1】先去括號，再合并同類項(xiàng)；
（1）（3x2+4﹣5x3）﹣（x3﹣3+3x2）
（2）（3x2﹣xy﹣2y2）﹣2（x2+xy﹣2y2）
（3）2x﹣[2（x+3y）﹣3（x﹣2y）]
（4）（a+b）2﹣ 72 （a+b）﹣ 54 （a+b）2+（﹣3）2（a+b）．
【答案】（1）解：原式=3x2+4﹣5x3﹣x3+3﹣3x2
=﹣6x3+7
（2）解：原式=3x2﹣xy﹣2y2﹣2x2﹣2xy+4y2
=x2﹣3xy+2y2
（3）解：原式=2x﹣2x﹣6y+3x﹣6y
=3x﹣12y
（4）解：原式=﹣ 72 （a+b）﹣ 14 （a+b）2+9（a+b）
=﹣ 14 （a+b）2+ 112 （a+b）
【解析】【分析】（1）先去括號，然后合并同類項(xiàng)可得結(jié)果；
（2）利用乘法分配律和去括號法則化簡，然后合并同類項(xiàng)可得結(jié)果；
（3）先去中括號中的小括號，然后再去括號，最后合并同類項(xiàng)可得結(jié)果；
（4）先計(jì)算乘方，然后利用整體思想進(jìn)行合并同類項(xiàng)即可.

【變式5-2】將下列各式去括號，并合并同類項(xiàng)．
（1）（7y﹣2x）﹣（7x﹣4y）
（2）（﹣b+3a）﹣（a﹣b）
（3）（2x﹣5y）﹣（3x﹣5y+1）
（4）2（2﹣7x）﹣3（6x+5）
（5）（﹣8x2+6x）﹣5（x2﹣ 45 x+ 15 ）
（6）（3a2+2a﹣1）﹣2（a2﹣3a﹣5）
【答案】（1）解：原式=7y﹣2x﹣7x+4y=11y﹣9x
（2）解：原式=﹣b+3a﹣a+b=2a
（3）解：原式=2x﹣5y﹣3x+5y﹣1=﹣x﹣1
（4）解：原式=4﹣14x﹣18x﹣15=﹣32x﹣11
（5）解：原式=﹣8x2+6x﹣5x2+4x﹣1=﹣13x2+10x﹣1
（6）解：原式=3a2+2a﹣1﹣2a2+6a+10=a2+8a+9
【解析】【分析】根據(jù)去括號法則：括號前面是加號時(shí)，去掉括號，括號內(nèi)的各式不變。括號前面是減號時(shí)，去掉括號，括號內(nèi)加號變減號，減號變加號進(jìn)行，先去括號，然后利用合并同類項(xiàng)可得結(jié)果。

題型6：去括號化簡再求值
6.先化簡，再求值：
（1）(3a2－ab＋7)－(5ab－4a2＋7)，其中，a＝2，b＝ 13 ；
（2）3(ab－5b2＋2a2)－(7ab＋16a2－25b2)，其中|a－1|＋(b＋1)2＝0.
【答案】（1）解：原式＝3a2－ab＋7－5ab＋4a2－7＝7a2－6ab.
當(dāng)a＝2，b＝ 13 時(shí)，原式＝28－4＝24
（2）解：因?yàn)閨a－1|＋(b＋1)2＝0，而|a－1|≥0，(b＋1)2≥0，
所以a－1＝0，b＋1＝0，即a＝1，b＝－1.
原式＝3ab－15b2＋6a2－7ab－16a2＋25b2＝－10a2＋10b2－4ab.
當(dāng)a＝1，b＝－1時(shí)，原式＝－10×12＋10×(－1)2－4×1×(－1)＝－10＋10＋4＝4
【解析】【分析】（1）小題按去括號，合并同類項(xiàng)的法則進(jìn)行化簡，然后將a與b的值代入化簡后的代數(shù)式即可求值；
（2）小題同樣按去括號，合并同類項(xiàng)的法則進(jìn)行化簡，然后再按照絕對值的非負(fù)性和偶次冪的非負(fù)性求出a與b的值，然后代入化簡后的代數(shù)式即可求值。

【變式6-1】已知代數(shù)式3（ 23 a2﹣ 23 ab+2b2）﹣2（a2﹣3ab+3b2）.
（1）化簡這個代數(shù)式；
（2）當(dāng)a＝﹣ 12 ，b＝ 32 時(shí)，求代數(shù)式的值.
【答案】（1）解：原式＝2a2﹣2ab+6b2﹣2a2+6ab﹣6b2
＝4ab
（2）解：當(dāng)a＝﹣ 12 ，b＝ 32 時(shí)，
原式＝4×（﹣ 12 ）× 32
＝﹣3
【解析】【分析】（1）先去括號（括號前的數(shù)要與括號里的每一項(xiàng)相乘，不能漏乘；括號前是負(fù)號，去掉括號和負(fù)號，括號里的每一項(xiàng)都要變號），再合并同類項(xiàng)（同類項(xiàng)才能合并）.
（2）將a、b的值代入化簡后的代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算，可求出結(jié)果.
【變式6-2】先化簡再求值：
（1）3x2﹣[x2﹣2（3x﹣x2）]，其中x＝﹣7.
（2）2（a2﹣ab）﹣3（23a2﹣ab﹣1），其中a＝﹣2，b＝3.
【答案】（1）解：）3x2-[x2-2(3x-x2)]
=3x2-(x2-6x+2x2)
=3x2-x2+6x-2x2
=6x ，
當(dāng)x＝﹣7時(shí)，原式=6×(-7)=-42 ；
（2）解：2（a2﹣ab）﹣3（23a2﹣ab﹣1）
=2a2-2ab-2a2+3ab+3
=ab+3 ，
當(dāng)a＝﹣2，b＝3時(shí)，原式=(-2)×3+3=-3 .
【解析】【分析】（1）首先去括號，然后合并同類項(xiàng)即可對原式進(jìn)行化簡，接下來將x=-7代入進(jìn)行計(jì)算；
（2）首先去括號，然后合并同類項(xiàng)即可對原式進(jìn)行化簡，接下來將a、b的值代入進(jìn)行計(jì)算.
題型7：指定整式的加減運(yùn)算
7.已知關(guān)于x的整式A＝2x2﹣mx＋4，B＝mx2＋5x﹣m，其中m為常數(shù)．
（1）若m＝﹣7，化簡A﹣B，并求當(dāng)x＝﹣1時(shí)的值；
（2）若A＋B的結(jié)果中不含一次項(xiàng)，求m的值．
【答案】（1）解：A﹣B= (2x2﹣mx+4)-(mx2+5x﹣m)
=2x2﹣mx+4-mx2-5x+m
=(2-m)x2-(m+5)x+4+m ，
當(dāng) m＝﹣7 時(shí)，A﹣B= 9x2+2x-3
當(dāng) x＝﹣1 時(shí)， A-B=9×(-1)2+2×(-1)-3=9-2-3=4 ．
（2）解： A+B=(2x2﹣mx+4)+(mx2+5x﹣m)
=2x2﹣mx+4+mx2+5x-m
=(2+m)x2+(5-m)x+4-m ，
∵A+B 的結(jié)果中不含一次項(xiàng)，
∴5-m=0
解得： m=5 ，
【解析】【分析】（1）先利用整式的加減運(yùn)算計(jì)算A-B，再將m=-7，x=-1代入計(jì)算即可；
（2）先利用整式的加減運(yùn)算計(jì)算A-B，再根據(jù)“結(jié)果中不含一次項(xiàng)”，令一次項(xiàng)的系數(shù)為0求解即可。
【變式7-1】已知代數(shù)式A＝x2＋xy＋2y－12 ，B＝2x2－2xy－1，
（1）求2A－B；
（2）當(dāng)x＝－1，y＝－2時(shí)，求2A－B的值；
（3）若2A－B的值與x的取值無關(guān)，求y的值.
【答案】（1）解：2A-B=2（x2+xy+2y- 12 ）-（2x2-2xy -1）
=4xy+4y；
（2）解：當(dāng)x=-1，y=-2時(shí)，
2A-B=4xy+4y=4×（-1）×（-2）+4×（-2）=0
（3）解：由（1）可知2A-B=4xy+4y =4yx+4y，
若2A-B的值與x的取值無關(guān)，則4y=0，
解得：y=0.
【解析】【分析】（1）先把2A-B表示出來，再進(jìn)行整式的減法運(yùn)算，即可得出結(jié)果；
（2）把 x=-1，y=-2代入（1）的結(jié)果計(jì)算，即可得出結(jié)果；
（3）利用（1）的結(jié)果，由于2A－B的值與x的取值無關(guān)，則含x項(xiàng)的系數(shù)之和為0，依此建立關(guān)于y的一元一次方程，即可解答.

【變式7-2】小剛同學(xué)由于粗心，把“A+B看成了“A﹣B”，算出A﹣B的結(jié)果為﹣7x2+10x+12，其中B＝4x2﹣5x﹣6．
（1）求A+B的符合題意結(jié)果；
（2）若x＝﹣2，求2A﹣B的值．
【答案】（1）解：∵ A﹣B的結(jié)果為﹣7x2+10x+12，B＝4x2﹣5x﹣6．
∴A=-7x2+10x+12+4x2-5x-6
=-3x2+5x+6，
∴A+B=-3x2+5x+6+4x2-5x-6
=x2
（2）解：∵A=-3x2+5x+6，B=4x2-5x-6，
∴2A-B=2(-3x2+5x+6)-(4x2-5x-6)
=-6x2+10x+12-4x2+5x+6
=-10x2+15x+18
當(dāng)x=-2時(shí)，
原式=-10×(-2)2+15×(-2)+18
=-40-30+18=-52
【解析】【分析】（1）直接根據(jù)題意移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得出A，進(jìn)而利用整式的加減運(yùn)算法則計(jì)算得出答案；
（2）利用（1）中所求得出2A-B，進(jìn)而得出整式的加減運(yùn)算則化簡，再把x的之代入計(jì)算得出答案。
題型8：整式加減與抄錯問題
8.一個多項(xiàng)式 3(x2+5x+3)-A, 小明將A前面的“－”抄成了“＋”，化簡結(jié)果是 -x2+3x-7, 求多項(xiàng)式A.
【答案】解： A=-x2+3x-7-3(x2+5x+3)
=-x2+3x-7-3x2-15x-9
=-4x2-12x-16 .
【解析】【分析】由題意：和減去一個加數(shù)等于另一個加數(shù)求出多項(xiàng)式A，列式去括號合并即可得到結(jié)果.

【變式8-1】有一道題“先化簡，再求值：17x2-（8x2+5x）-（4x2+x-3）+（-5x2+6x-1）-3，其中x=2021”.小明做題時(shí)把“x=2021”錯抄成了“x=-2021”但他計(jì)算的結(jié)果卻是正確的，請你說明這是什么原因.
【答案】解：原式=17x2-8x2-5x-4x2-x+3-5x2+6x-1-3
=-1
因?yàn)榛喓蟮慕Y(jié)果與x無關(guān)，
所以x抄錯，計(jì)算結(jié)果仍然正確.
【解析】【分析】對代數(shù)式進(jìn)行去括號并合并同類項(xiàng)可得原式=-1，可知化簡后的結(jié)果與x無關(guān)，據(jù)此解答.

【變式8-2】在計(jì)算代數(shù)式 (2x3-3x2y-2xy2)-(x3-2xy2+y3)+(-x3+3x2y-y3) 的值，其中 x=0.5 ， y=-1 時(shí)，甲同學(xué)把 x=0.5 錯抄成 x=-0.5 ，但他計(jì)算的結(jié)果是正確的.試說明理由，并求出這個結(jié)果.
【答案】解：原式 =2x3-3x2y-2xy2-x3+2xy2-y3-x3+3x2y-y3
=(2x3-x3-x3)+(-3x2y+3x2y)+(-2xy2+2xy2)+(-y3-y3)
=-2y3
∵化簡后的結(jié)果中不含x，
∴甲同學(xué)把 x=0.5 錯抄成 x=-0.5 ，計(jì)算結(jié)果仍是正確的.
【解析】【分析】根據(jù)去括號法則"括號前面是“+”號，去掉括號不變號；括號前面是“-”號，去掉括號全變號."和合并同類項(xiàng)法則"合并同類項(xiàng)的時(shí)候，把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變"對代數(shù)式進(jìn)行化簡可得-2y3，可知 化簡后的結(jié)果中不含x ，即代數(shù)式的值與x的值無關(guān)，據(jù)此解答.

題型9：整式加減與面積問題
9.長方形窗戶上的裝飾物如圖所示，它是由半徑均為b的兩個四分之一圓組成，則能射進(jìn)陽光部分的面積是(　　)

A．2a2－πb2 B．2a2－ π2 b2
C．2ab－πb2 D．2ab－ π2 b2
【答案】D
【解析】【解答】
能射進(jìn)陽光部分的面積是：2b?a- 14 πb2×2=2ab－ π2 b2，
故答案為：D.
【分析】根據(jù)題意可知能射進(jìn)陽光部分的面積是長方形的面積減去兩個四分之一圓的面積，然后根據(jù)長方形的面積計(jì)算方法及四分之一圓的面積計(jì)算方法即可算出答案。
【變式9-1】圖中表示陰影部分面積的代數(shù)式是（　?。?

A．a(chǎn)d+bc B．c（b﹣d）+d（a﹣c）
C．a(chǎn)d+c（b﹣d） D．a(chǎn)b﹣cd
【答案】C
【解析】【解答】解：把圖形補(bǔ)成一個大矩形，則陰影部分面積=ab﹣（a﹣c）（b﹣d）=ab﹣[ab﹣ad﹣c（b﹣d）]=ab﹣ab+ad+c（b﹣d）=ad+c（b﹣d）．
故選C．
【分析】把圖形補(bǔ)成一個大矩形，則很容易表達(dá)出陰影部分面積．

【變式9-2】方方和圓圓的房間的窗簾的裝飾物分別如圖①②所示,它們分別由兩個四分之一圓和四個半圓組成(半徑都分別相同),它們的窗戶能照進(jìn)陽光的面積分別是多少(窗框面積不計(jì))?誰的窗戶照進(jìn)陽光的面積大?

【答案】解：方方房間的窗戶能照進(jìn)陽光的面積為ab- π8 b2.
圓圓房間的窗戶能照進(jìn)陽光的面積為ab- π32 b2.
顯然,ab- π8 b2

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