?2022-2023學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙一中集團(tuán)九年級(jí)第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（每小題3分，共30分，每題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)）
1．電影《萬(wàn)里歸途》從宏觀主義和細(xì)微的情懷方面揭示了反對(duì)戰(zhàn)爭(zhēng)和熱愛(ài)和平的主題．影片用相當(dāng)篇幅細(xì)致地刻畫了我國(guó)外交人員的工作內(nèi)容、職業(yè)精神以及面臨的困境，讓人真切感受，贏得觀眾的欽佩．根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)顯示，截至10月7日9點(diǎn)44分，《萬(wàn)里歸途》以954000000的票房位居國(guó)慶檔第一．其中，數(shù)字954000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．954×106 B．9.54×107 C．9.54×108 D．9.54×109
2．把一個(gè)平面圖形繞著平面上一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)α度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角．生活中的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形有很多，善于捕捉生活中的這些美麗的圖形，積累素材，可以為今后設(shè)計(jì)圖案打下基礎(chǔ)，下列正多邊形，繞其中心旋轉(zhuǎn)一定角度后與自身重合，其中旋轉(zhuǎn)角度最小的是（　?。?br /> A． B． C． D．
3．已知一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有一個(gè)根為3，則m值為（　　）
A．﹣3 B．2 C．﹣2 D．3
4．2022年國(guó)慶期間長(zhǎng)沙市在外省來(lái)長(zhǎng)人員中發(fā)現(xiàn)2例新冠病毒無(wú)癥狀感染者，長(zhǎng)沙市某醫(yī)院緊急抽調(diào)20位90后醫(yī)護(hù)人員積極參與社區(qū)志愿者工作，充分展示了新時(shí)代青年的責(zé)任擔(dān)當(dāng)，這20位志愿者的年齡統(tǒng)計(jì)如表，則他們年齡的中位數(shù)是（　?。?br /> 年齡（歲）
24
25
26
27
28
人數(shù)
2
5
8
3
2
A．8 B．25 C．26 D．27
5．已知P1（﹣3，y1），P2（2，y2）是一次函數(shù)y＝2x+k的圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，則y1，y2的大小關(guān)系是（　?。?br /> A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y(tǒng)2 D．不能確定
6．如圖，C，D是⊙O上直徑AB兩側(cè)的兩點(diǎn)，設(shè)∠ABC＝30°，則∠BDC＝（　?。?br />
A．30° B．60° C．50° D．70°
7．關(guān)于二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2+5，下列說(shuō)法正確的是（　?。?br /> A．函數(shù)的圖象開(kāi)口向上
B．該函數(shù)有最大值，最大值是 5
C．函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣1，5）
D．當(dāng)x＞1時(shí)，y 隨x的增大而增大
8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'B'C，其中點(diǎn)A'與點(diǎn)A是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)B'與點(diǎn)B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)．若點(diǎn)B'恰好落在AB邊上，則點(diǎn)A到直線A'C的距離等于（　?。?br />
A．1 B． C． D．
9．以半徑為2的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距為三邊作一個(gè)三角形，則該三角形是（　　）
A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
10．如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別切⊙O于點(diǎn) A、B，CD切⊙O于點(diǎn)E，分別交PA、PB于點(diǎn)C、D，若△PCD的周長(zhǎng)為18，則PA的長(zhǎng)度為（　?。?br />
A．7 B．9 C．12 D．14
二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）
11．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（1，﹣2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為　 ?。?br /> 12．大課間以軒軒為首的學(xué)習(xí)小組的幾名同學(xué)在觀察某個(gè)一次函數(shù)圖象，軒軒說(shuō)：“函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1）”蓓蓓說(shuō)：“y隨x的增大而增大”凡凡說(shuō)：“函數(shù)圖象不經(jīng)過(guò)第四象限”．請(qǐng)你根據(jù)他們的敘述，寫出一個(gè)滿足上述性質(zhì)的一次函數(shù)表達(dá)式 　 　．
13．《九章算術(shù)》被尊為古代數(shù)學(xué)“群經(jīng)之首”，凱凱在讀完《九章算術(shù)》卷九勾股定理篇記載的“圓材埋壁”問(wèn)題后，突發(fā)靈感，設(shè)計(jì)了一個(gè)數(shù)學(xué)題如圖，CD為圓O的直徑，弦AB⊥CD于點(diǎn)E，ED＝4，AB＝16，則直徑CD的長(zhǎng)是 　 ?。?br />
14．將拋物線y＝﹣2（x+2）2向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到的拋物線的函數(shù)解析式為 　 ?。?br /> 15．自黨的十六屆五中全會(huì)以來(lái)，國(guó)家大力倡導(dǎo)建設(shè)資源節(jié)約型和環(huán)境友好型的“兩型社會(huì)”，建設(shè)節(jié)約型社會(huì)的核心是節(jié)約資源，作為中學(xué)生，我們可以從“變廢為寶”做起．?dāng)?shù)學(xué)老師發(fā)現(xiàn)家里有一塊直徑是40厘米的圓形廢紙（如圖所示），老師打算在這個(gè)廢紙上剪出一個(gè)圓心角為90°的最大扇形用來(lái)制作教具，如果將剪下來(lái)的扇形圍成一個(gè)圓錐，圓錐的底面圓的半徑是 　 　厘米．
16．素有“千古第一定理”之稱的勾股定理，它是人類第一次將數(shù)與形結(jié)合在一起的偉大發(fā)現(xiàn)，也是人類最早發(fā)現(xiàn)并用于生產(chǎn)、觀天、測(cè)地的第一個(gè)定理，它導(dǎo)致了無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，它使數(shù)學(xué)由測(cè)量計(jì)算轉(zhuǎn)變?yōu)橥评碚撟C．在中國(guó)，也被稱為“商高定理”，西方則稱其為“畢達(dá)哥拉斯定理”．幾千年來(lái)，太多的溢美之詞給了這一定理，由于它迷人的魅力，人們冥思苦索給出了數(shù)百種證明方法，成為了證明方法最多的定理，其中，利用等面積法證明勾股定理最為常見(jiàn)．現(xiàn)有四名網(wǎng)友為證明勾股定理而提供的圖形，其中提供的圖形（可以作輔助線）能證明勾股定理的網(wǎng)友是 　 　（填寫數(shù)字序號(hào)即可）．
三、解答題（本大題共9個(gè)小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題6分，第22、23題每小題6分，第24、25題每小題6分，共72分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
17．計(jì)算：|﹣1|﹣（﹣）﹣1﹣20220．
18．解方程：（1）（x﹣3）2﹣9＝7；
（2）（x﹣3）（x﹣1）＝8．
19．如圖所示的正方形網(wǎng)格中（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是1，小正方形的頂點(diǎn)叫作格點(diǎn)），△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)谒o平面直角坐標(biāo)系中按要求畫圖和解答下列問(wèn)題：
（1）作出△ABC關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱的△A1B1C1；
（2）以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△A2B2C2，畫△A2B2C2；
（3）求在（2）中的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)B經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．

20．已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)D是拋物線上的一點(diǎn)，且與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，直線y＝kx+m（k≠0）經(jīng)過(guò)B，D兩點(diǎn)，求直線BD的函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)圖象直接寫出不等式組kx+m≥ax2+bx+c＞0的解集．

21．2022年3月25日，教育部印發(fā)《義務(wù)教育課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》，優(yōu)化了課程設(shè)置，將勞動(dòng)從綜合實(shí)踐活動(dòng)課程中獨(dú)立出來(lái)．某學(xué)校開(kāi)設(shè)了“烹飪、種菜、家用小電器維修、課桌椅維修”4個(gè)班級(jí)，隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生，并將抽查學(xué)生的課堂參與情況繪制成如圖所示的扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖（均不完整）．請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的信息．

解答下列問(wèn)題：
（1）本次抽查的樣本容量是 　 ??；
（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“課桌椅維修”對(duì)應(yīng)的圓心角為度；
（3）將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；
（4）如果該校初中學(xué)生共有2000名，那么選擇“種菜”的學(xué)生約有多少人？
22．“陽(yáng)光玫瑰葡萄”品種是近幾年來(lái)廣受各地消費(fèi)者青睞的優(yōu)質(zhì)新品種，在云南省廣泛種植．長(zhǎng)沙市某品牌水果經(jīng)銷商計(jì)劃在2023年五一期間進(jìn)行商業(yè)促銷活動(dòng)，經(jīng)過(guò)調(diào)查往年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，云南省批發(fā)“陽(yáng)光玫瑰葡萄”的最低價(jià)格為每斤15元若按每斤30元的價(jià)格到市區(qū)銷售，平均每天可售出60斤若每斤“陽(yáng)光玫瑰葡萄”的售價(jià)每降低1元，那么平均每天的銷售量會(huì)增加10斤，為了盡快減少庫(kù)存，該水果商決定降價(jià)銷售．
（1）若降價(jià)2元，則每天的銷售利潤(rùn)是多少元
（2）若該經(jīng)銷商計(jì)劃銷售“陽(yáng)光玫瑰葡萄”每天盈利1100元，那么每斤“陽(yáng)光玫瑰葡萄”的售價(jià)應(yīng)降至每斤多少元？（其它成本忽略不計(jì)）
（3）將商品的銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，商場(chǎng)每天銷售該商品獲得的利潤(rùn)w最大？最大利潤(rùn)是多少元？
23．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AC為直徑的⊙O，與AB邊相交于點(diǎn)D，與BC邊相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為點(diǎn)F．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）求證：點(diǎn)E是的中點(diǎn)；
（3）若⊙O的直徑為18，BC＝12，求AD的長(zhǎng)．

24．在平面直角坐標(biāo)系中，我們不妨把縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)3倍的點(diǎn)稱為“一中點(diǎn)”，例如點(diǎn)（1，3），（2，6），（﹣1，3﹣3），……都是“一中點(diǎn)”．例如：拋物線y＝x2﹣4上存在兩個(gè)“一中點(diǎn)”P1（4，12），P2（?1，?3）．
（1）在下列函數(shù)中，若函數(shù)圖象上存在“一中點(diǎn)”，請(qǐng)?jiān)谙鄳?yīng)題目后面的括號(hào)中打“√”，若函數(shù)圖象上不存在“一中點(diǎn)”的打“×”．
①y＝2x﹣1 　 ?。虎趛＝x2?1 　 ??；③y＝x2+4 　 　．
（2）若拋物線y＝?x2+（m+3）x?m2﹣m+1上存在“一中點(diǎn)”，且與直線y＝3x相交于點(diǎn)A（x1，y1）和B（x2，y2），令t＝x12+x22，求t的最小值；
（3）若函數(shù)y＝x2+（b﹣c+3）x+a+c﹣2的圖象上存在唯一的一個(gè)“一中點(diǎn)”，且當(dāng)﹣1≤b≤2時(shí)，a的最小值為c，求c的值．
25．圖形變換是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，某興趣學(xué)習(xí)小組的同學(xué)利用所學(xué)知識(shí)，進(jìn)行了一系列的圖形變換操作實(shí)踐活動(dòng)，讓我們一起來(lái)體驗(yàn)他們的探究過(guò)程吧．

（1）軸對(duì)稱：將正方形紙片ABCD折疊，使邊AD、AB都落在對(duì)角線AC上，展開(kāi)得折痕AE、AF，連接EF，如圖1，求∠EAF的大?。?br /> （2）旋轉(zhuǎn)：將圖1中的∠EAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊BC、CD于點(diǎn)H、G，連接GH，如圖2，則線段BH、GH．DG之間存在的數(shù)量關(guān)系為 　 　，并證明你的結(jié)論；
（3）計(jì)算：在圖2中，連接正方形對(duì)角線BD，若∠GAH的兩邊AH、AG分別交對(duì)角線BD于點(diǎn)M、點(diǎn)N．如圖3，若BM＝3，DN＝4，求正方形ABCD的面積．



參考答案
一、選擇題（每小題3分，共30分，每題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)）
1．電影《萬(wàn)里歸途》從宏觀主義和細(xì)微的情懷方面揭示了反對(duì)戰(zhàn)爭(zhēng)和熱愛(ài)和平的主題．影片用相當(dāng)篇幅細(xì)致地刻畫了我國(guó)外交人員的工作內(nèi)容、職業(yè)精神以及面臨的困境，讓人真切感受，贏得觀眾的欽佩．根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)顯示，截至10月7日9點(diǎn)44分，《萬(wàn)里歸途》以954000000的票房位居國(guó)慶檔第一．其中，數(shù)字954000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．954×106 B．9.54×107 C．9.54×108 D．9.54×109
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)整數(shù)．
解：954000000＝9.54×108．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
2．把一個(gè)平面圖形繞著平面上一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)α度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角．生活中的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形有很多，善于捕捉生活中的這些美麗的圖形，積累素材，可以為今后設(shè)計(jì)圖案打下基礎(chǔ)，下列正多邊形，繞其中心旋轉(zhuǎn)一定角度后與自身重合，其中旋轉(zhuǎn)角度最小的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】求出各旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的最小旋轉(zhuǎn)角度，繼而可作出判斷．
解：A、最小旋轉(zhuǎn)角度＝＝120°；
B、最小旋轉(zhuǎn)角度＝＝90°；
C、最小旋轉(zhuǎn)角度＝＝72°；
D、最小旋轉(zhuǎn)角度＝＝60°；
綜上可得：旋轉(zhuǎn)一定角度后，能與原圖形完全重合，且旋轉(zhuǎn)角度最小的是D．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的知識(shí)，求出各圖形的最小旋轉(zhuǎn)角度是解題關(guān)鍵．
3．已知一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有一個(gè)根為3，則m值為（　?。?br /> A．﹣3 B．2 C．﹣2 D．3
【分析】把x＝3代入方程x2﹣4x﹣m＝0中得：32﹣4×3﹣m＝0，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．
解：把x＝3代入方程x2﹣4x﹣m＝0中得：
32﹣4×3﹣m＝0，
9﹣12﹣m＝0，
﹣m＝12﹣9，
﹣m＝3，
m＝﹣3，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解，熟練掌握一元二次方程的解是解題的關(guān)鍵．
4．2022年國(guó)慶期間長(zhǎng)沙市在外省來(lái)長(zhǎng)人員中發(fā)現(xiàn)2例新冠病毒無(wú)癥狀感染者，長(zhǎng)沙市某醫(yī)院緊急抽調(diào)20位90后醫(yī)護(hù)人員積極參與社區(qū)志愿者工作，充分展示了新時(shí)代青年的責(zé)任擔(dān)當(dāng)，這20位志愿者的年齡統(tǒng)計(jì)如表，則他們年齡的中位數(shù)是（　　）
年齡（歲）
24
25
26
27
28
人數(shù)
2
5
8
3
2
A．8 B．25 C．26 D．27
【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義進(jìn)行解答即可．
解：將這20人的年齡從小到大排列，處在中間位置的兩個(gè)數(shù)都是26歲，因此中位數(shù)是26，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查中位數(shù)，理解中位數(shù)的定義是正確解答的前提．
5．已知P1（﹣3，y1），P2（2，y2）是一次函數(shù)y＝2x+k的圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，則y1，y2的大小關(guān)系是（　?。?br /> A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y(tǒng)2 D．不能確定
【分析】由2＞0，利用一次函數(shù)的性質(zhì)可得出y隨x的增大而增大，結(jié)合﹣3＜2，可得出y1＜y2．
解：∵2＞0，
∴y隨x的增大而增大，
又∵P1（﹣3，y1），P2（2，y2）是一次函數(shù)y＝2x+k的圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，且﹣3＜2，
∴y1＜y2．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，牢記“k＞0，y隨x的增大而增大；k＜0，y隨x的增大而減小”是解題的關(guān)鍵．
6．如圖，C，D是⊙O上直徑AB兩側(cè)的兩點(diǎn)，設(shè)∠ABC＝30°，則∠BDC＝（　?。?br />
A．30° B．60° C．50° D．70°
【分析】由AB是⊙O的直徑，可得∠ACB＝90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求出∠A的度數(shù)，再根據(jù)“同弧所得的圓周角相等”可得答案．
解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠A＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BCD＝∠A＝60°，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，掌握“直徑所對(duì)的圓周角是直角”以及“同弧所得的圓周角相等”是正確解答的關(guān)鍵．
7．關(guān)于二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2+5，下列說(shuō)法正確的是（　?。?br /> A．函數(shù)的圖象開(kāi)口向上
B．該函數(shù)有最大值，最大值是 5
C．函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣1，5）
D．當(dāng)x＞1時(shí)，y 隨x的增大而增大
【分析】通過(guò)分析二次函數(shù)頂點(diǎn)式判斷函數(shù)圖象開(kāi)口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)以及增減性即可求解．
解：y＝﹣（x﹣1）2+5中，
a＝﹣＜0，函數(shù)圖象開(kāi)口向下，A錯(cuò)誤；
函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，5），當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)有最大值，最大值是5，B正確，C錯(cuò)誤；
函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x＝1，x＜1時(shí)y隨x的增大而增大；x＞1時(shí)，y隨x的增大而減小，D錯(cuò)誤．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'B'C，其中點(diǎn)A'與點(diǎn)A是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)B'與點(diǎn)B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)．若點(diǎn)B'恰好落在AB邊上，則點(diǎn)A到直線A'C的距離等于（　　）

A．1 B． C． D．
【分析】由直角三角形的性質(zhì)求出AC＝，∠B＝60°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BCB′，證出△CBB′和△CAA′為等邊三角形，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥A'C于點(diǎn)D，由等邊三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)可得出答案
解：連接AA′，如圖，

∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，
∴AC＝BC＝，∠B＝60°，
∵將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C，
∴CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BCB′，
∵CB＝CB′，∠B＝60°，
∴△CBB′為等邊三角形，
∴∠BCB′＝60°，
∴∠ACA′＝60°，
∴△CAA′為等邊三角形，
過(guò)點(diǎn)A作AD⊥A'C于點(diǎn)D，
∴CD＝AC＝，
∴AD＝CD＝＝，
∴點(diǎn)A到直線A'C的距離為，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了直角三角形的性質(zhì)及等邊三角形的判定與性質(zhì)．
9．以半徑為2的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距為三邊作一個(gè)三角形，則該三角形是（　?。?br /> A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
【分析】將圓內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距、邊長(zhǎng)的一半、圓的半徑構(gòu)造直角三角形，根據(jù)勾股定理分別求出邊心距的長(zhǎng)，由勾股定理逆定理判得該三角形是直角三角形，由三角形的面積公式即可求其面積．
解：如圖1，

∵OC＝2，
∴OD＝OC＝1；
如圖2，

∵OB＝2，
∴OE＝BE，
∴OE2+BE2＝2OE2＝OB2＝4，
∴OE＝；
如圖3，

∵OA＝2，
∴AD＝OA＝1，
∴OD＝＝＝，
則該三角形的三邊分別為：1，，，
∵12+（）2＝（）2，
∴該三角形是直角三角形，
故選：D．



【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查多邊形與圓，特殊角的三角函數(shù)，勾股定理的逆定理，將圓內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距、邊長(zhǎng)的一半、圓的半徑構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
10．如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別切⊙O于點(diǎn) A、B，CD切⊙O于點(diǎn)E，分別交PA、PB于點(diǎn)C、D，若△PCD的周長(zhǎng)為18，則PA的長(zhǎng)度為（　?。?br />
A．7 B．9 C．12 D．14
【分析】先根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到PA＝PB，CA＝CE，DE＝DB，再利用△PCD的周長(zhǎng)為18得到PC+CE+DE+PD＝18，然后利用等線段代換得到PA+PB＝18，從而得到PA的長(zhǎng)．
解：∵PA、PB分別切⊙O于點(diǎn) A、B，CD切⊙O于點(diǎn)E，
∴PA＝PB，CA＝CE，DE＝DB，
∵△PCD的周長(zhǎng)為18，
∴PC+CE+DE+PD＝18，
∴PC+CA+DB+PD＝18，
即PA+PB＝18，
∴PA＝9．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：利用運(yùn)用切線長(zhǎng)定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）
11．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（1，﹣2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為　（﹣1，2）?。?br /> 【分析】根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)P（x，y），關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是（﹣x，﹣y），然后直接作答即可．
解：根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)，可知：點(diǎn)P（1，﹣2）關(guān)于原點(diǎn)O中心對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，2）．
故答案是：（﹣1，2）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，是需要熟記的基本問(wèn)題，記憶方法可以結(jié)合平面直角坐標(biāo)系的圖形．
12．大課間以軒軒為首的學(xué)習(xí)小組的幾名同學(xué)在觀察某個(gè)一次函數(shù)圖象，軒軒說(shuō)：“函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1）”蓓蓓說(shuō)：“y隨x的增大而增大”凡凡說(shuō)：“函數(shù)圖象不經(jīng)過(guò)第四象限”．請(qǐng)你根據(jù)他們的敘述，寫出一個(gè)滿足上述性質(zhì)的一次函數(shù)表達(dá)式 　y＝x+1（答案不唯一）?。?br /> 【分析】設(shè)一次函數(shù)解析式為y＝kx+b，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得出b＝1，k＞0，從而確定一次函數(shù)解析式，本題答案不唯一．
解：設(shè)一次函數(shù)解析式為y＝kx+b，
∵函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），
∴b＝1，
∵y隨x的增大而增大，
∴k＞0，取k＝1，
∴y＝x+1，此函數(shù)圖象不經(jīng)過(guò)第四象限，
∴滿足題意的一次函數(shù)解析式為：y＝x+1（答案不唯一）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于開(kāi)放型的題型．
13．《九章算術(shù)》被尊為古代數(shù)學(xué)“群經(jīng)之首”，凱凱在讀完《九章算術(shù)》卷九勾股定理篇記載的“圓材埋壁”問(wèn)題后，突發(fā)靈感，設(shè)計(jì)了一個(gè)數(shù)學(xué)題如圖，CD為圓O的直徑，弦AB⊥CD于點(diǎn)E，ED＝4，AB＝16，則直徑CD的長(zhǎng)是 　20?。?br />
【分析】由垂徑定理，勾股定理，即可求解．
解：連接OA，設(shè)⊙O的半徑是r，

∵OD⊥AB，
∴AE＝BE＝8，
∵OA2＝OE2+AE2，
∴r2＝（r﹣4）2+82，
∴r＝10，
∴CD＝2r＝20，
故答案為：20．
【點(diǎn)評(píng)】.本題考查垂徑定理，勾股定理，關(guān)鍵是應(yīng)用勾股定理列出關(guān)于⊙O的半徑的方程．
14．將拋物線y＝﹣2（x+2）2向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到的拋物線的函數(shù)解析式為 　y＝﹣2（x+1）2　．
【分析】由平移的規(guī)律即可求得答案．
解：將拋物線y＝﹣2（x+2）2向右平移1個(gè)單位，則函數(shù)解析式變?yōu)閥＝﹣2（x+2﹣1）2＝﹣2（x+1）2．
故答案為：y＝﹣2（x+1）2．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的圖象變換，掌握平移的規(guī)律是解題的關(guān)鍵，即“左加右減，上加下減”．
15．自黨的十六屆五中全會(huì)以來(lái)，國(guó)家大力倡導(dǎo)建設(shè)資源節(jié)約型和環(huán)境友好型的“兩型社會(huì)”，建設(shè)節(jié)約型社會(huì)的核心是節(jié)約資源，作為中學(xué)生，我們可以從“變廢為寶”做起．?dāng)?shù)學(xué)老師發(fā)現(xiàn)家里有一塊直徑是40厘米的圓形廢紙（如圖所示），老師打算在這個(gè)廢紙上剪出一個(gè)圓心角為90°的最大扇形用來(lái)制作教具，如果將剪下來(lái)的扇形圍成一個(gè)圓錐，圓錐的底面圓的半徑是 　5　厘米．
【分析】連接BC，如圖，利用圓周角定理得到BC為直徑，BC＝40厘米，則AB＝20厘米，于是可利用扇形的面積公式計(jì)算出被剪掉的部分的面積；設(shè)圓錐的底面圓的半徑為rm，利用弧長(zhǎng)公式得到2πr＝，解方程得到圓錐的底面圓的半徑．
解：連接BC，如圖，
∵∠BAC＝90°，
∴BC為直徑，BC＝40厘米，
∴AB＝20厘米，
設(shè)圓錐的底面圓的半徑為rm，
根據(jù)題意得2πr＝，
解得r＝5，
即圓錐的底面圓的半徑為5厘米．
故答案為：5．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．
16．素有“千古第一定理”之稱的勾股定理，它是人類第一次將數(shù)與形結(jié)合在一起的偉大發(fā)現(xiàn)，也是人類最早發(fā)現(xiàn)并用于生產(chǎn)、觀天、測(cè)地的第一個(gè)定理，它導(dǎo)致了無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，它使數(shù)學(xué)由測(cè)量計(jì)算轉(zhuǎn)變?yōu)橥评碚撟C．在中國(guó)，也被稱為“商高定理”，西方則稱其為“畢達(dá)哥拉斯定理”．幾千年來(lái)，太多的溢美之詞給了這一定理，由于它迷人的魅力，人們冥思苦索給出了數(shù)百種證明方法，成為了證明方法最多的定理，其中，利用等面積法證明勾股定理最為常見(jiàn)．現(xiàn)有四名網(wǎng)友為證明勾股定理而提供的圖形，其中提供的圖形（可以作輔助線）能證明勾股定理的網(wǎng)友是 ?、佗冖邰堋。ㄌ顚憯?shù)字序號(hào)即可）．
【分析】根據(jù)各部分圖形的面積和差系導(dǎo)出a、b、c三者關(guān)系進(jìn)行判斷便可．
解：①由圖形可知，，
整理得a2+b2＝c2，
故①符合題意；
②由圖形可知，，
整理得a2+b2＝c2，
故②符合題意；
③由下圖知，，
整理得a2+b2＝c2，
故③符合題意；

④由下圖知，S△ADE＝S△ABC﹣S△BCE，

即，
∴，
∴DE＝c﹣，
由△ABE的面積公式得，
整理得a2+b2＝c2，
故④符合題意；
故答案為：①②③④．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理的證明，掌握正方形、梯形、直角三角形的面積公式是解決此題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共9個(gè)小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題6分，第22、23題每小題6分，第24、25題每小題6分，共72分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
17．計(jì)算：|﹣1|﹣（﹣）﹣1﹣20220．
【分析】先計(jì)算絕對(duì)值、零次冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和平方根，再計(jì)算加減．
解：|﹣1|﹣（﹣）﹣1﹣20220
＝3+﹣1+2﹣1
＝4．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了絕對(duì)值、零次冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和平方根混合運(yùn)算的能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確確定運(yùn)算順序和方法．
18．解方程：（1）（x﹣3）2﹣9＝7；
（2）（x﹣3）（x﹣1）＝8．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣直接開(kāi)平方法，進(jìn)行計(jì)算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
解：（1）（x﹣3）2﹣9＝7，
（x﹣3）2＝16，
x﹣3＝±4，
x﹣3＝4或x﹣3＝﹣4，
x1＝7，x2＝﹣1；
（2）（x﹣3）（x﹣1）＝8，
x2﹣4x+3﹣8＝0，
x2﹣4x﹣5＝0，
（x﹣5）（x+1）＝0，
x﹣5＝0，x+1＝0，
x1＝5，x2＝﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，直接開(kāi)平方法，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．
19．如圖所示的正方形網(wǎng)格中（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是1，小正方形的頂點(diǎn)叫作格點(diǎn)），△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)谒o平面直角坐標(biāo)系中按要求畫圖和解答下列問(wèn)題：
（1）作出△ABC關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱的△A1B1C1；
（2）以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△A2B2C2，畫△A2B2C2；
（3）求在（2）中的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)B經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．

【分析】（1）利用中心對(duì)稱變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1，B1，C1即可；
（2）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2，B2，C2即可；
（3）利用勾股定理求出OB，再利用弧長(zhǎng)公式求解．
解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；
（2）如圖，△A2B2C2即為所求；
（3）∵OB＝＝
∴點(diǎn)B經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)＝＝π．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．
20．已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)D是拋物線上的一點(diǎn)，且與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，直線y＝kx+m（k≠0）經(jīng)過(guò)B，D兩點(diǎn)，求直線BD的函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)圖象直接寫出不等式組kx+m≥ax2+bx+c＞0的解集．

【分析】（1）直接代入求得函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)求得D點(diǎn)坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求得BD的解析式便可；
（3）根據(jù)函數(shù)圖象得出直線BD不在拋物線下方，且拋物線在x軸上方的x的取值范圍便可．
解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三點(diǎn)，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）拋物線的對(duì)稱軸為：x＝﹣1，
∵點(diǎn)D是拋物線上的一點(diǎn)，且與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴D（﹣2，3），
∵直線y＝kx+m（k≠0）經(jīng)過(guò)B，D兩點(diǎn)，
∴，
解得，
∴直線BD的函數(shù)解析式為y＝﹣x+1；
（3）根據(jù)函數(shù)圖象可知，當(dāng)直線BD不在拋物線下方，且拋物線在x軸上方時(shí)，﹣3＜x≤﹣2，
故不等式組kx+m≥ax2+bx+c＞0的解集為：﹣3＜x≤﹣2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)與不等式組，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．
21．2022年3月25日，教育部印發(fā)《義務(wù)教育課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》，優(yōu)化了課程設(shè)置，將勞動(dòng)從綜合實(shí)踐活動(dòng)課程中獨(dú)立出來(lái)．某學(xué)校開(kāi)設(shè)了“烹飪、種菜、家用小電器維修、課桌椅維修”4個(gè)班級(jí)，隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生，并將抽查學(xué)生的課堂參與情況繪制成如圖所示的扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖（均不完整）．請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的信息．

解答下列問(wèn)題：
（1）本次抽查的樣本容量是 　560　；
（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“課桌椅維修”對(duì)應(yīng)的圓心角為度；
（3）將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；
（4）如果該校初中學(xué)生共有2000名，那么選擇“種菜”的學(xué)生約有多少人？
【分析】（1）用家用小電器維修的人數(shù)除以所占的百分比即可；
（2）用360°乘以課桌椅維修的百分比即可；
（3）用總?cè)藬?shù)減去其它組的人數(shù)求出種菜的人數(shù)即可補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（4）用2000乘以種菜的百分比即可．
解：（1）224÷40%＝560（人），
故答案為：560；
（2）360°×＝108°，
答：在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“課桌椅維修”對(duì)應(yīng)的圓心角為108°；
（3）種菜的有560﹣84﹣168﹣224＝84（人），
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：

（4）2000×＝300（人），
答：選擇“種菜”的學(xué)生約有300人．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的應(yīng)用，正確利用條形統(tǒng)計(jì)圖得出正確信息是解題關(guān)鍵．
22．“陽(yáng)光玫瑰葡萄”品種是近幾年來(lái)廣受各地消費(fèi)者青睞的優(yōu)質(zhì)新品種，在云南省廣泛種植．長(zhǎng)沙市某品牌水果經(jīng)銷商計(jì)劃在2023年五一期間進(jìn)行商業(yè)促銷活動(dòng)，經(jīng)過(guò)調(diào)查往年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，云南省批發(fā)“陽(yáng)光玫瑰葡萄”的最低價(jià)格為每斤15元若按每斤30元的價(jià)格到市區(qū)銷售，平均每天可售出60斤若每斤“陽(yáng)光玫瑰葡萄”的售價(jià)每降低1元，那么平均每天的銷售量會(huì)增加10斤，為了盡快減少庫(kù)存，該水果商決定降價(jià)銷售．
（1）若降價(jià)2元，則每天的銷售利潤(rùn)是多少元
（2）若該經(jīng)銷商計(jì)劃銷售“陽(yáng)光玫瑰葡萄”每天盈利1100元，那么每斤“陽(yáng)光玫瑰葡萄”的售價(jià)應(yīng)降至每斤多少元？（其它成本忽略不計(jì)）
（3）將商品的銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，商場(chǎng)每天銷售該商品獲得的利潤(rùn)w最大？最大利潤(rùn)是多少元？
【分析】（1）根據(jù)題意，每降低1元，那么平均每天的銷售量會(huì)增加10斤，若每斤的價(jià)格降低2元，則可增加20斤，再根據(jù)每斤利潤(rùn)×銷量可得解；
（2）根據(jù)每天盈利1100元列方程，解出x的值即可求解；
（3）設(shè)每天盈利y元，根據(jù)題意建立二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)即可求得．
解：（1）根據(jù)題意，降價(jià)2元?jiǎng)t銷售量為60+2×10＝80（斤），
銷售利潤(rùn)為：（30﹣15﹣2）×80＝1040（元），
答：若降價(jià)2元，則每天的銷售利潤(rùn)是1040元；
（2）設(shè)每斤“陽(yáng)光玫瑰葡萄”應(yīng)降價(jià)x元，
根據(jù)題意得：（30﹣15﹣x）（60+10x）＝1100，
整理得：x2﹣9x+20＝0，
解得x1＝4，x2＝5，
∵為了盡快減少庫(kù)存，
∴x＝5，
此時(shí)30﹣x＝25，
答：每斤“陽(yáng)光玫瑰葡萄”的售價(jià)應(yīng)降至每斤25元；
（3）設(shè)水果商每天獲得的利潤(rùn)為y元，
根據(jù)題意得：w＝（30﹣x﹣15）（60+10x）＝﹣10x2+90x+900＝﹣10（x﹣）2+1102.5，
∵﹣10＜0，
∴當(dāng)x＝時(shí)，y有最大值，最大值為1102.5，
此時(shí)30﹣x＝30﹣4.5＝25.5，
答：將商品的銷售單價(jià)定為25.5元時(shí)，商場(chǎng)每天銷售該商品獲得的利潤(rùn)w最大，最大利潤(rùn)是1102.5元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，根據(jù)等量關(guān)系列方程及二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)求解是解題的關(guān)鍵．
23．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AC為直徑的⊙O，與AB邊相交于點(diǎn)D，與BC邊相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為點(diǎn)F．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）求證：點(diǎn)E是的中點(diǎn)；
（3）若⊙O的直徑為18，BC＝12，求AD的長(zhǎng)．

【分析】（1）連接OE，利用等腰三角形的性質(zhì)，證明OE∥AB即可證明；
（2）利用圓周角定理以及等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可證明；
（3）連接AE、CD，利用直徑所對(duì)的圓周角是直角、等腰三角形三線合一以及證明△ABE∽△CBD，即可解答．
【解答】（1）證明：連接OE，

∵EF⊥AB，
∴∠EFD＝∠EFB＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OC＝OE，
∴∠C＝∠OEC，
∴∠OEC＝∠B，
∴OE∥AB，
∴∠OEF＝∠EFB＝90°，
∵OE是⊙O的半徑，
∴EF是⊙O的切線；
（2）證明：如圖，連接AE，

∵AC是直徑，
∴AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴，
∴點(diǎn)E是的中點(diǎn)；
（3）解：連接AE、CD，

∵AC是⊙O的直徑，AB＝AC，BC＝12，
∴∠CDB＝∠AEC＝∠AEB＝90°，BE＝CE＝6，
∵∠B＝∠B，
∴△ABE∽△CBD，
∴＝，即＝，
解得：BD＝4，
∴AD＝AB﹣BD＝18﹣4＝14，
故AD的長(zhǎng)為14．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
24．在平面直角坐標(biāo)系中，我們不妨把縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)3倍的點(diǎn)稱為“一中點(diǎn)”，例如點(diǎn)（1，3），（2，6），（﹣1，3﹣3），……都是“一中點(diǎn)”．例如：拋物線y＝x2﹣4上存在兩個(gè)“一中點(diǎn)”P1（4，12），P2（?1，?3）．
（1）在下列函數(shù)中，若函數(shù)圖象上存在“一中點(diǎn)”，請(qǐng)?jiān)谙鄳?yīng)題目后面的括號(hào)中打“√”，若函數(shù)圖象上不存在“一中點(diǎn)”的打“×”．
①y＝2x﹣1 　√??；②y＝x2?1 　√　；③y＝x2+4 　×?。?br /> （2）若拋物線y＝?x2+（m+3）x?m2﹣m+1上存在“一中點(diǎn)”，且與直線y＝3x相交于點(diǎn)A（x1，y1）和B（x2，y2），令t＝x12+x22，求t的最小值；
（3）若函數(shù)y＝x2+（b﹣c+3）x+a+c﹣2的圖象上存在唯一的一個(gè)“一中點(diǎn)”，且當(dāng)﹣1≤b≤2時(shí)，a的最小值為c，求c的值．
【分析】（1）根據(jù)定義進(jìn)行判斷即可；
（2）由定義可得3x＝?x2+（m+3）x?m2﹣m+1，再由判別式Δ＝m﹣1≤0，求出m≤1，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得t＝（m﹣）2﹣，當(dāng)m＝1時(shí)，t有最小值；
（3）由定義可得x2+（b﹣c+3）x+a+c﹣2＝3x，由題意可知Δ＝（b﹣c）2﹣a﹣c+2＝0，得到a＝（b﹣c）2﹣c+2，當(dāng)﹣1≤c≤2時(shí)，b＝c時(shí)，a有最小值求出c的值；當(dāng)c≥2時(shí)，當(dāng)b＝2時(shí)，a有最小值求出c的值；當(dāng)c≤﹣1時(shí)，當(dāng)b＝﹣1時(shí)，a有最小值，求出c的值．
解：（1）①當(dāng)3x＝2x﹣1，解得x＝﹣1，
∴點(diǎn)（﹣1，﹣3）在y＝2x﹣1上，
∴y＝2x﹣1存在一中點(diǎn)”（﹣1，﹣3），
故答案為：√；
②當(dāng)3x＝x2?1，解得x＝或x＝，
∴點(diǎn)（，）或（，）在y＝x2?1 上，
∴y＝x2?1 上存在兩個(gè)“一中點(diǎn)”（，）或（，），
故答案為：√；
③當(dāng)3x＝x2+4時(shí)，
∵Δ＝9﹣16＜0，
∴y＝x2+4上不存在“一中點(diǎn)”，
故答案為：×；
（2）∵拋物線y＝?x2+（m+3）x?m2﹣m+1上存在“一中點(diǎn)”，
∴3x＝?x2+（m+3）x?m2﹣m+1，
整理得?x2+mx?m2﹣m+1＝0，
∴Δ＝m﹣1≤0，
∴m≤1，
∵x1+x2＝，x1?x2＝，
∴t＝x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1?x2＝（m﹣）2﹣，
∴當(dāng)m＝1時(shí)，t有最小值；
（3）∵函數(shù)y＝x2+（b﹣c+3）x+a+c﹣2的圖象上有“一中點(diǎn)”，
∴x2+（b﹣c+3）x+a+c﹣2＝3x，
整理得x2+（b﹣c）x+a+c﹣2＝0，
∵函數(shù)的“一中點(diǎn)”是唯一的，
∴Δ＝（b﹣c）2﹣a﹣c+2＝0，
∴a＝（b﹣c）2﹣c+2，
當(dāng)﹣1≤c≤2時(shí)，b＝c時(shí)，a有最小值2﹣c＝c，
∴c＝1；
當(dāng)c≥2時(shí)，（2﹣c）2﹣c+2＝c，
解得c＝3+或c＝3﹣（舍）；
當(dāng)c≤﹣1時(shí)，（﹣1﹣c）2﹣c+2＝c，
整理得c2＝﹣3，
∴c無(wú)解；
綜上所述：c的值為1或3+．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，根與系數(shù)的關(guān)系，弄清定義是解題的關(guān)鍵．
25．圖形變換是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，某興趣學(xué)習(xí)小組的同學(xué)利用所學(xué)知識(shí)，進(jìn)行了一系列的圖形變換操作實(shí)踐活動(dòng)，讓我們一起來(lái)體驗(yàn)他們的探究過(guò)程吧．

（1）軸對(duì)稱：將正方形紙片ABCD折疊，使邊AD、AB都落在對(duì)角線AC上，展開(kāi)得折痕AE、AF，連接EF，如圖1，求∠EAF的大??；
（2）旋轉(zhuǎn)：將圖1中的∠EAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊BC、CD于點(diǎn)H、G，連接GH，如圖2，則線段BH、GH．DG之間存在的數(shù)量關(guān)系為 　BH+DG＝GH　，并證明你的結(jié)論；
（3）計(jì)算：在圖2中，連接正方形對(duì)角線BD，若∠GAH的兩邊AH、AG分別交對(duì)角線BD于點(diǎn)M、點(diǎn)N．如圖3，若BM＝3，DN＝4，求正方形ABCD的面積．

【分析】（1）由四邊形ABCD是正方形，得AB＝CB＝AD＝CD，∠B＝∠D＝90°，則∠BAC＝∠BCA＝45°，∠DAC＝∠DCA＝45°，由折疊得∠CAF＝∠BAC＝22.5°，∠CAE＝∠DAC＝22.5°，則∠EAF＝45°；
（2）將△ADG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABI，則AI＝AG，BI＝DG，∠BAI＝∠DAG，先證明I、B、H三點(diǎn)在同一條直線上，再證明△IAH≌△GAH，得IH＝GH，即可證明BH+DG＝GH；
（3）將△ADN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABJ，連接JH，則AJ＝AN，BJ＝DN＝4，∠BAJ＝∠DAN，可證明△MAJ≌△MAN，則MN＝MJ＝＝5，所以BD＝3+4+5＝12，則2AB2＝AB2+AD2＝BD2＝144，所以S正方形ABCD＝AB2＝72．
【解答】（1）解：如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝CB＝AD＝CD，∠B＝∠D＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∠DAC＝∠DCA＝45°，
由折疊得∠CAF＝∠BAF＝∠BAC＝22.5°，∠CAE＝∠DAE＝∠DAC＝22.5°，
∴∠EAF＝∠CAF+∠CAE＝45°，
∴∠EAF等于45°．
（2）證明：如圖2，將△ADG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABI，
∴AI＝AG，BI＝DG，∠BAI＝∠DAG，
∵∠ABI＝∠D＝90°，
∴∠ABI+∠ABC＝180°，
∴I、B、H三點(diǎn)在同一條直線上，
∵∠BAD＝90°，∠GAH＝45°，
∴∠IAH＝∠BAI+∠BAH＝∠DAG+∠BAH＝45°，
∴∠IAH＝∠GAH，
∵AH＝AH，
∴△IAH≌△GAH（SAS），
∴IH＝GH，
∵IH＝BH+BI＝BH+DG，
∴BH+DG＝GH，
故答案為：BH+DG＝GH．
（3）解：如圖3，將△ADN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABJ，連接JH，
∴AJ＝AN，BJ＝DN＝4，∠BAJ＝∠DAN，
∵AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴∠ABJ＝∠ADN＝45°，
∴∠MBJ＝∠ABJ+∠ABD＝90°，
∵∠BAD＝90°，∠GAH＝45°，
∴∠MAJ＝∠BAJ+∠BAH＝∠DAN+∠BAH＝45°，
∴∠MAJ＝∠MAN，
∵AM＝AM，
∴△MAJ≌△MAN（SAS），
∵BM＝3，
∴MN＝MJ＝＝＝5，
∴BD＝BM+MN+DN＝3+4+5＝12，
∵2AB2＝AB2+AD2＝BD2＝122＝144，
∴AB2＝72，
∴S正方形ABCD＝AB2＝72，
∴正方形ABCD的面積是72．



【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．


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