2022-2023學年湖南省長沙市明德集團九年級（下）期中數學試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  的絕對值是(    )A.  B.  C.  D. 2.  如圖，下列幾何體的左視圖不是矩形的是(    )A.  B.  C.  D. 3.  下列命題是真命題的是(    )A. 平行四邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形
B. 不重合的兩條直線的位置關系是相交或平行
C. 線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等
D. 對角線互相垂直的四邊形是菱形4.  下列運算正確的是(    )A.  B.  C.  D. 5.  點向右平移個單位后，再向上平移個單位得到的點的坐標是(    )A.  B.  C.  D. 6.  “雜交水稻之父”袁隆平培育的超級雜交水稻在全世界推廣種植某種植戶為了考察所種植的雜交水稻苗的長勢，從稻田中隨機抽取株水稻苗，測得苗高單位：分別是：，，，，，，，，，，則這組數據的眾數和中位數分別是(    )A. ， B. ， C. ， D. ，7.  孫子算經中有一道題，原文是：“今有木，不知長短．引繩度之，余繩四足五寸；屈繩量之，不足一尺．木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余尺．將繩子對折再量長木，長木還剩余尺，問木長多少尺，現(xiàn)設繩長尺，木長尺，則可列二元一次方程組為(    )A.  B.  C.  D. 8.  如圖，若，，，則的度數是(    )A.
B.
C.
D. 9.  如圖，、是的切線，、為切點，若半徑為，，則劣弧的長是(    )A.
B.
C.
D.
 10.  已知拋物線，則拋物線的頂點不可能在(    )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）11.  “梨花風起正清明，游子尋春半出城”，不少市民朋友在今年清明節(jié)離開都市，選擇郊游踏青、親近自然，享受春意盎然的樂趣據相關部門發(fā)布的數據，今年清明節(jié)當天全省高速流量高達約次，將這個數用科學記數法表示為______ ．12.  如果反比例函數的圖象位于第一、三象限，那么的取值范圍是______ ．13.  直線過點和點，則關于的方程的解是______ ．14.  若關于的一元二次方程有一個解為，則 ______ ．15.  如圖，和分別是的直徑和弦，且，交于點，若，則 ______ ．
 16.  數學的美無處不在，數學家們研究發(fā)現(xiàn)彈撥琴弦發(fā)出聲音的音調高低取決于弦的長度，如三根弦長之比為：：，把它們繃得一樣緊，用同樣的力度彈撥，它們將分別發(fā)出很調和的樂聲：，，，研究，，這三個數的倒數發(fā)現(xiàn)：，此時我們稱，，為一組調和數，現(xiàn)有三個數：，，，若要組成調和數，則的值為______ ．三、解答題（本大題共9小題，共72.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.  本小題分
計算：．18.  本小題分
先化簡，再求值：，其中．19.  本小題分
在復習菱形的判定方法時，某同學進行了畫圖探究，其作法和圖形如下：
畫線段；
分別以點、為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于
、兩點，作直線交于點；
在直線上取一點不與點重合，連接、；
過點作平行于的直線，交直線于點，連接．
根據以上作法，證明四邊形是菱形，請補全其證明過程．
證明：
根據作法可知：直線是的垂直平分線，
，，，
，
，
在和中，
，
≌，
．
，
與互相平分．
．
四邊形是菱形．
題目中證明與全等的方法的依據是______ 填序號
；；；
20.  本小題分
年月日，“兩會”在北京召開，兩會代表提議加大體育在學校和家庭教育中的權重，讓每個孩子接觸并熟悉兩至三個運動項目某校為了響應兩會精神，倡議學生在課余時間積極參加學校開設的體育課程：乒乓球，花樣籃球，網球，羽毛球，小楊隨機抽取該校部分學生進行了意愿問卷調查，并根據調查結果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖．
求小楊共調查了多少人，并補全條形統(tǒng)計圖；
扇形統(tǒng)計圖中，“羽毛球”項對應的圓心角度數是多少？
為了增強學生對“國球”乒乓球的興趣，現(xiàn)需要從組的四位同學中抽調兩位同學參與到區(qū)屬的乒乓球比賽，已知組共由兩位女生、兩位男生組成，請利用樹狀圖或列表等方法求出恰好抽調到兩位女生的概率．
 21.  本小題分
如圖，點在線段上，，，．
證明：≌；
若，，平分，求線段的長．
22.  本小題分
“文房四寶”是中國獨有的書法繪畫工具，即筆、墨、紙、硯，文房四寶之名，起源于南北朝時期某中學為了落實雙減政策，豐富學生的課后服務活動，開設了書法社團，計劃為學生購買、兩種型號“文房四寶”，經過調查得知：每套型號“文房四寶”的價格比每套型號的價格貴元，買套型號和套型號共用元．
求每套、型號“文房四寶”的價格分別是多少？
若學校需購進、兩種型號“文房四寶”共套，總費用不超過元，并且根據學生需求，要求購進型號“文房四寶的數量必須低于型號“文房四寶”數量的倍，問有幾種購買方案？最低費用是多少？23.  本小題分
如圖，在矩形中，點為邊上一點，以點為圓心，為半徑的與對角線相交于點，與邊相交于點，連接，且．
求證：為的切線；
若當點為的中點時，的半徑為，求陰影部分的面積．
24.  本小題分
如圖，四邊形中，，，且，．
求的度數；
如圖，連接，求；
如圖，四邊形內接于，，上存在點，滿足，連結并延長交的延長線于點，與交于點，連結，若，用含字母的式子表示的周長．
 25.  本小題分
中國象棋棋盤上雙方的分界處也稱為“楚河漢界”，以“楚河漢界”比喻兩軍對壘的分界線，數學中為了對兩個圖形進行分界，在平面直角坐標系中，對“楚河漢界線”給出如下定義：點是圖形上的任意一點，點是圖形上的任意一點，若存在直線：滿足且，則稱直線：是圖形與的“楚河漢界線”．
例如：如圖，直線：是函數的圖象與正方形的一條“楚河漢界線”．
在直線，，，中，是圖函數的圖象與正方形的“楚河漢界線”的有______ 填序號；
如圖，第一象限的等腰直角的兩腰分別與坐標軸平行，直角頂點的坐標是，與的“楚河漢界線”有且只有一條，求出此“楚河漢界線”的表達式；
正方形的一邊在軸上，其他三邊都在軸的右側，點是此正方形的中心，若存在直線是函數的圖象與正方形的“楚河漢界線”，求的取值范圍．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
故選：．
根據絕對值的定義：數軸上某個數與原點的距離叫做這個數的絕對值進行計算即可．
本題考查絕對值，理解絕對值的定義是正確解答的前提．
 2.【答案】 【解析】解：、圓柱的左視圖是矩形，不符合題意；
B、圓錐的左視圖是等腰三角形，符合題意；
C、三棱柱的左視圖是矩形，不符合題意；
D、長方體的左視圖是矩形，不符合題意．
故選：．
根據左視圖是從物體左面看所得到的圖形，分別得出四個幾何體的左視圖，即可解答．
本題主要考查簡單幾何體的三視圖；考查了學生的空間想象能力，屬于基礎題．
 3.【答案】 【解析】解：平行四邊形不一定是軸對稱圖形，它是中心對稱圖形，所以選項不符合題意；
B.在同一平面內，不重合的兩條直線的位置關系是相交或平行，所以選項不符合題意；
C.線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等，所以選項符合題意；
D.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，所以選項不符合題意．
故選：．
根據平行四邊形的性質可判斷平行四邊形是中心對稱圖形，但不一定是軸對稱圖形，從而可對選項進行判斷；根據平面內兩直線的位置關系對選項進行判斷；根據線段垂直平分線的性質對選項進行判斷；根據菱形的判定方法對選項進行判斷．
本題考查了命題與定理：要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．也考查了菱形的判定、軸對稱圖形和中心對稱圖形．
 4.【答案】 【解析】解：，無法合并同類項，故此選項不合題意；
B.，故此選項不合題意；
C.，故此選項符合題意；
D.，故此選項不合題意．
故選：．
直接利用合并同類項法則以及同底數冪的乘除運算法則、積的乘方運算法則分別化簡，進而得出答案．
此題主要考查了合并同類項以及同底數冪的乘除運算、積的乘方運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．
 5.【答案】 【解析】解：點向右平移個單位長度，再向上平移個單位長度，所得到的點的坐標為．
故選：．
根據平移中點的變化規(guī)律橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下移減進行求解．
本題考查了坐標與圖形變化平移：在平面直角坐標系內，把一個圖形各個點的橫坐標都加上或減去一個整數，相應的新圖形就是把原圖形向右或向左平移個單位長度；如果把它各個點的縱坐標都加或減去一個整數，相應的新圖形就是把原圖形向上或向下平移個單位長度．
 6.【答案】 【解析】解：將這組數據從小到大重新排列為，，，，，，，，，，
這組數據的眾數為，中位數為．
故選：．
將這組數據從小到大重新排列，再根據眾數和中位數的定義求解即可．
本題主要考查眾數和中位數，一組數據中出現(xiàn)次數最多的數據叫做眾數，將一組數據按照從小到大或從大到小的順序排列，如果數據的個數是奇數，則處于中間位置的數就是這組數據的中位數．如果這組數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數就是這組數據的中位數．
 7.【答案】 【解析】解：設繩長尺，長木為尺，
依題意得，
故選：．
本題的等量關系是：繩長木長；木長繩長，據此可列方程組求解．
此題考查二元一次方程組問題，關鍵是弄清題意，找準等量關系，列對方程組，求準解．
 8.【答案】 【解析】解：延長交于，
則，
，
，
，
，
，
故選：．
本題主要考查了平行線的性質，注意掌握數形結合是解答此題的關鍵．
本題主要考查了平行線的性質，注意掌握數形結合是解答此題的關鍵．
 9.【答案】 【解析】解：、是的切線，、為切點，
，，
，
，
，
，
劣弧的長為．
故選：．
先根據切線的性質得到，再利用四邊形內角和計算出，然后根據弧長公式解決問題．
本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．也考查了弧長公式．
 10.【答案】 【解析】解：拋物線的頂點的橫坐標為：，
縱坐標為：，
拋物線的頂點橫坐標和縱坐標的關系式為：，
拋物線的頂點經過一二三象限，不經過第四象限，
故選：．
求得頂點坐標，得出頂點的橫坐標和縱坐標的關系式，即可求得．
本題考查了二次函數的性質，得到頂點的橫縱坐標的關系式是解題的關鍵．
 11.【答案】 【解析】解：．
故答案為：．
科學記數法的表示形式為的形式，其中，為整數．確定的值時，要看把原數變成時，小數點移動了多少位，的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值時，是正整數；當原數的絕對值時，是負整數．
此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為的形式，其中，為整數，表示時關鍵要正確確定的值以及的值．
 12.【答案】 【解析】解：反比例函數的圖象位于第一、三象限，
，
，
故答案為：．
根據反比例函數的圖象與系數的關系求解即可．
本題考查了反比例函數的圖象，熟練掌握反比例函數的圖象與系數的關系是解題的關鍵．
 13.【答案】 【解析】解：方程的解，即為函數圖象與軸交點的橫坐標，
直線過，
方程的解是，
故答案為：．
所求方程的解，即為函數圖象與軸交點橫坐標，確定出解即可．
此題考查了一次函數與一元一次方程，任何一元一次方程都可以轉化為為常數，的形式，所以解一元一次方程可以轉化為：當某個一次函數的值為時，求相應的自變量的值．從圖象上看，相當于已知直線確定它與軸的交點的橫坐標的值．
 14.【答案】 【解析】解：把代入方程得：，
解得：，
方程為一元二次方程，
，
，
，
故答案為：．
把代入方程得出，求出，再根據一元二次方程的定義判斷即可．
本題考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定義的應用，關鍵是能根據題意得出方程和．
 15.【答案】 【解析】解：如圖，連接，

在中，，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
故答案為：．
在中，已知了的長和的度數，根據直角三角形的性質可求得的長，也就得到了直徑的值，連接，同理可在中求出的長，由即可得解．
本題主要考查了直角三角形的性質的應用，熟練掌握直角三角形的性質是解題的關鍵．
 16.【答案】或 【解析】解：根據題中的新定義分兩種種情況考慮：
根據題意得：，
去分母得：，
解得：，經檢驗是分式方程的解且符合題意；
根據題意得：，
解得：，
經檢驗是分式方程的解且符合題意，
則的值為或．
故答案為：或．
根據題中的新定義分三種情況考慮，根據的范圍判斷出滿足題意的值即可．
此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．
 17.【答案】解：原式

． 【解析】直接利用絕對值的性質以及零指數冪的性質、特殊角的三角函數值、負整數指數冪的性質分別化簡，進而得出答案．
此題主要考查了實數的運算，正確化簡各數是解題關鍵．
 18.【答案】解：


，
當時，
原式
． 【解析】利用分式的相應的法則對式子進行化簡，再代入相應的值運算即可．
本題主要考查分式的化簡求值，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．
 19.【答案】 【解析】證明：根據作法可知：直線是的垂直平分線，
，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
與互相平分，
，
四邊形是菱形，
故答案為：，；
解：題目中證明與全等的方法的依據是：，
故選：．
根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形進行證明；
根據三角形全等的判定定理求解．
本題考查了復雜作圖，掌握菱形的判定定理和全等三角形的判定定理是解題的關鍵．
 20.【答案】解：小楊共調查的人數有：人，
等級人數為：人，
補全統(tǒng)計圖如下：


根據題意得：
，
答：扇形統(tǒng)計圖中，“羽毛球”項對應的圓心角度數是；

根據題意畫圖如下：

一共有種可能性，其中恰好抽調到兩女的有種，
則恰好抽調到兩女的概率是． 【解析】根據選項的人數和所占的百分比，求出調查的總人數，再用總人數減去其它選項的人數求出選項的人數，從而補全統(tǒng)計圖；
用羽毛球所占的百分比即可；
根據題意畫出樹狀圖得出所有等情況數，找出符合條件的情況數，然后根據概率公式即可得出答案．
本題考查列表法與樹狀圖法、用樣本估計總體、條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．
 21.【答案】證明：，
，
在和中，
，
≌；
解：由知，≌，
，
又平分，
，
，
，
，
即線段的長為． 【解析】由平行線的性質得，再由證明≌即可；
由全等三角形的性質得，再由等腰三角形的性質得，然后由勾股定理求出，即可得出結論．
本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、平行線的性質以及勾股定理等知識，熟練掌握等腰三角形的性質，證明三角形全等是解題的關鍵．
 22.【答案】解：設每套型號“文房四寶”的價格是元，則每套型號“文房四寶”的價格是元，
由題意可得，
解得，
．
答：每套型號“文房四寶”的價格是元，則每套型號“文房四寶”的價格是元；

設需購進種型號“文房四寶”套，則需購進種型號“文房四寶”套，
由題意可得：，
解得，
又為正整數，
可以取，，，，；
共有種購買方案，
方案：購進套型號“文房四寶”，套型號“文房四寶”；
方案：購進套型號“文房四寶”，套型號“文房四寶”；
方案：購進套型號“文房四寶”，套型號“文房四寶”；
方案：購進套型號“文房四寶”，套型號“文房四寶”；
方案：購進套型號“文房四寶”，套型號“文房四寶”；
每套型號“文房四寶”的價格比每套型號的價格貴元，
型號“文房四寶”的套數越少，總費用就越低，
最低費用是元． 【解析】根據“每套型號“文房四寶”的價格比每套型號的價格貴元，買套型號和套型號共用元”得出方程，解方程即可；
設需購進種型號“文房四寶”套，則需購進種型號“文房四寶”套，根據題意得到不等式組，解不等式組即可得到結論．
本題考查了一元一次不等式的應用，一元一次方程的應用，正確地列出一元一次方程和一元一次不等式是解題的關鍵．
 23.【答案】證明：連接，

四邊形是矩形，
，
，，
，，
，
，
為的半徑，
是的切線；
解：在中，點為的中點，
，
，，
，
在中，，
，，
，，
矩形的面積為． 【解析】根據矩形的性質得出，由等腰三角形的性質得出，，證出，則可得出結論；
根據直角三角形的斜邊中線等于斜邊一半、直角三角形的邊角關系以及等腰三角形的性質可得，，利用直角三角形的邊角關系求出、利用矩形的面積計算方法進行計算即可．
本題考查了切線的判定，矩形的性質、直角三角形的邊角關系以及特殊銳角三角函數值，掌握直角三角形的邊角關系以及矩形、等腰三角形的性質是解題的關鍵．
 24.【答案】解：過作于，如圖：

，，
，
，
在中，
，
，
，
的度數為；
過作交延長線于，如圖：

由知，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
在中，
；
；
連接，，如圖：

，
為直徑，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
的周長 【解析】過作于，由，，得，即知，，故CK，從而的度數為；過作交延長線于，由，可得，是等腰直角三角形，即得，又，得，，在中，用勾股定理可得；
連接，，由，可得，，而，知，又，可得，故AG，，即可得，從而，，證明≌，可得，即得，從而的周長
本題是圓的綜合題，考查了圓的有關知識，全等三角形的判定和性質，銳角三角函數，直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是作輔助線，構造直角三角形解決問題．
 25.【答案】 【解析】解：如圖，

從圖可知：與雙曲線和正方形只有一個公共點，，與雙曲線和正方形沒有公共點，
，不在雙曲線及正方形之間，
根據“楚河漢界線”定義可知，直線，是雙曲線與正方形的“楚河漢界線”，
故答案為：；

如圖，連接，以為圓心，長為半徑作，作軸于點，過點作的切線，則．

，
，
直線是與的“楚河漢界線”．
，
，
，
，
，
設直線的解析式為，則，解得，
與的“楚河漢界線”是；

由得，
直線與拋物線有唯一公共點，
，
，解得，
此時的“楚河漢界線”為，
當正方形在直線上方時，如圖：

點是此正方形的中心，
頂點，
頂點不能在直線下方，得，解得；
當正方形在直線下方時，如圖：

對于拋物線，當時，；當時，
直線恰好經過點和點；
對于直線，當時，，
由不能在直線上方，得，解得，
綜上所述，或．
根據定義，結合圖象，可判斷出直線為或與雙曲線及正方形最多有一個公共點；
先作出以原點為圓心且經過的頂點的圓，再過點作的切線，求出該直線的解析式即可；
先由拋物線與直線組成方程組，則該方程組有唯一一組解，再考慮直線與正方形有唯一公共點的情形，數形結合，分類討論，求出的取值范圍．
此題是二次函數綜合題，考查一次函數、正方形的性質、一次函數的應用、二元二次方程組．一元二次方程的根的判別式等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．
 

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