2023-2024學年湖南省長沙市雅禮教育集團九年級（上）能力測試數(shù)學試卷（含解析）

這是一份2023-2024學年湖南省長沙市雅禮教育集團九年級（上）能力測試數(shù)學試卷（含解析），共22頁。試卷主要包含了填空題，解答題等內容，歡迎下載使用。
2023-2024學年湖南省長沙市雅禮教育集團九年級（上）能力測試數(shù)學試卷第II卷（非選擇題）一、填空題（本大題共16小題，共80.0分）1.下列因式分解正確的是______ 填序號
；
；
；
．2.已知，，，則、、三個數(shù)的大小關系是______ ．3.關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍部是______ ．4.一個數(shù)的小數(shù)部分用表示，為整數(shù)，且，記，的小數(shù)部分分別為，，則 ______ ．5.關于的不等式組的整數(shù)解僅有個，則的取值范圍是______ ．6.一次函數(shù)與圖象之間的距離等于，則的值為______．7.函數(shù)的函數(shù)值隨自變量的增大而減小，下列描述中：；函數(shù)圖象與軸的交點為；函數(shù)圖象經(jīng)過第一象限；點在該函數(shù)圖象上，正確的描述有______ 填寫番號8.我們知道，若則有或如圖，直線與分別交軸于點、，則不等式的解集是______ ．
9.若直線：與軸、軸分別交于點和點，直線：與軸、軸分別交于點和點，線段與的中點分別是，，點為軸上一動點．
點的坐標為______ ；
當的值最小時，點的坐標為______ ．
10.方程和有一個公共根，則的值是______ ．11.已知關于的方程的根都是整數(shù)，則滿足條件的整數(shù)的值為______ ．12.已知實數(shù)，滿足，，且，則的值為______ ．13.有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時撲捉把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內的線或點，模型如圖，，點，分別在射線，上，長度始終保持不變，為的中點，點到，的距離分別為和，在此滑動過程中，貓與老鼠的距離的最小值為______ ．14.如圖，在正方形中，為上一點，過點作，交于，交對角線于，取的中點，連接，，下列結論：
；
且；
；
≌；
若，則，
其中哪些結論是正確的______ 填序號
 15.已知，，，，均為非零實數(shù)，且滿足，則的值為______．16.二次函數(shù)的大致圖象如圖所示，頂點坐標為，下列結論：
；
；
；
若方程有兩個根和，且，則；
若方程有四個根，則這四個根的和為．
其中正確的結論為______ ．
 二、解答題（本大題共4小題，共40.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.本小題分
已知，，為正數(shù)，且，求的值．18.本小題分
已知：在中，，，點為直線上一動點點不與、重合以為邊作正方形，連接．
如圖，當點在線段上時，求證：
；
．
如圖，當點在線段的反向延長線上時，且點、分別在直線的兩側，其它條件不變：
請直接寫出、、三條線段之間的關系；
若連接正方形對角線、，交點為，連接，探究的形狀，并說明理由．
 19.本小題分
我們不妨約定：對角線互相垂直的凸四邊形叫做“十字形”．
在“平行四邊形，矩形，菱形、正方形”中，一定是“十字形”的有______ ；
若凸四邊形是“十字形”，，，則該四邊形的面積為______ ；
如圖，以“十字形”的對角線與為坐標軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，若計“十字形”的面積為，記，，，的面積分別為：，，，，且同時滿足四個條件：；；“十字形”的周長為；；若為的中點，為線段上一動點，連接，動點從點出發(fā)，以的速度沿線段勻速運動到點，再以的速度沿線段勻速運動到點，到達點后停止運動，當點沿上述路線運動到點所需要的時間最短時，求點走完全程所需的時間及直線的解析式．
20.本小題分

如圖，拋物線與軸分別交于點，，與軸交于點．
求拋物線的解析式；
存在正實數(shù)，，當時，恰好滿足，求，的值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，則正確；
，則錯誤；
無法因式分解，則錯誤；
，則錯誤；
綜上，正確的是，
故答案為：．
將各式因式分解后進行判斷即可．
本題考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵．2.【答案】 【解析】解：，
，
，
又，
，
．
故答案為：．
利用負數(shù)指數(shù)冪的意義，分數(shù)指數(shù)冪的意義和實數(shù)的大小比較法則解答即可．
本題主要考查了分數(shù)指數(shù)冪，實數(shù)的大小比較，熟練掌握分數(shù)指數(shù)冪的意義是解題的關鍵．3.【答案】且 【解析】解：關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，
且，即，
解得且．
的取值范圍為且．
故答案為：且．
根據(jù)一元二次方程的定義和的意義得到且，即，然后解不等式即可得到的取值范圍．
本題考查了一元二次方程的根的判別式：當，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當，方程有兩個相等的實數(shù)根；當，方程沒有實數(shù)根．也考查了一元二次方程的定義．4.【答案】 【解析】解：，的小數(shù)部分分別為，，
，
，
．
故答案為：．
先根據(jù)，的小數(shù)部分分別為，，得出，，最后代入進行計算即可．
本題主要考查了估算無理數(shù)，得出無理數(shù)的范圍是解決問題的關鍵．5.【答案】 【解析】解：解得：，
關于的不等式組的整數(shù)解僅有個，
，
解得：，
故答案為：．
先解不等式組，再根據(jù)僅有個整數(shù)解得出的不等式組，再求解．
本題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，掌握解不等式組的方法是解題的關鍵．6.【答案】 【解析】解：設直線與軸交點為，與軸交點為，過點作直線于點，如圖所示．

直線與軸交點為，與軸交點為，
點，點，
，，，
．
與互余，與互余，
．
，，
．
直線與軸的交點為，
，
解得：或．
，
，
故答案為：
設直線與軸交點為，與軸交點為，過點作直線于點，根據(jù)直線的解析式找出點、、的坐標，通過同角的余角相等可得出，再利用的余弦值即可求出直線的長度，從而得出關于的含絕對值符號的方程，解方程即可得出結論．
本題考查了一次函數(shù)的性質以及含絕對值符合的一元一次方程，解題的關鍵是找出線段本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，巧妙的借用角的余弦值求出線段的長度，再根據(jù)線段的長度得出關于的含絕對值符號的方程是關鍵．7.【答案】 【解析】解：函數(shù)的函數(shù)值隨自變量的增大而減小，
，
．
故正確；

令，則，所以函數(shù)圖象與軸的交點為．
故正確；

函數(shù)中的，
該函數(shù)圖象經(jīng)過二、四象限，
又，
該函數(shù)圖象經(jīng)過二、三、四象限，
故錯誤；

把代入函數(shù)，得，
即點在該函數(shù)圖象上，
故正確；
綜上所述，正確的結論是．
故答案為：．
根據(jù)一次函數(shù)圖象的性質來求確定系數(shù)的符號，由一次函數(shù)圖象上點的坐標特征解答．
本題主要考查一次函數(shù)圖象在坐標平面內的位置與、的關系．解答本題注意理解：直線所在的位置與、的符號有直接的關系．時，直線必經(jīng)過一、三象限．時，直線必經(jīng)過二、四象限．時，直線與軸正半軸相交．時，直線過原點；時，直線與軸負半軸相交．8.【答案】 【解析】解：不等式，
或．
當，由圖得：，此時該不等式無解．
當，由圖得：，此時不等式組的解集為．
綜上：．
故答案為：．
由若不等式，則或，然后分類討論，分別根據(jù)函數(shù)圖象求得解集．
本題主要考查一次函數(shù)圖象與一元一次不等式，熟練掌握一次函數(shù)圖象與一元一次不等式是解決本題的關鍵．9.【答案】   【解析】解：直線：中，
當時，，當時，，
，，
，，
，
故答案為：；
直線：中，
當時，，當時，，
，，
，，
，
如圖，作關于軸對稱點，它的坐標，連接與軸交于點，此時有最小值，

設直線的解析式為，
將和的坐標分別代入得，
解得，
，
當時，，
，
，
故答案為：．
先根據(jù)函數(shù)解析式求得、兩點的坐標，再利用中點公式可求得的坐標；
求得點的坐標，作關于軸對稱點，連接與軸交于點，此時有最小值，求出直線的解析式計算出與軸的交點即可．
此題考查的是一次函數(shù)的應用幾何問題，坐標與圖形變換軸對稱，中能熟讀題意，理解中點公式是解題關鍵；中能根據(jù)軸對稱的性質和兩點之間最短得到點坐標是解題關鍵．10.【答案】 【解析】解：方程和有一個公共根，
，
，
解得，，
當時，
．
故答案是：．
因為方程有一個公共根，兩方程聯(lián)立，解得與的關系，故可以解得公共解，然后求出．
本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義．本題逆用一元二次方程解的定義易得出的值．11.【答案】，，，， 【解析】解：當時，；
當時，原式可以整理為：，
易知是方程的一個整數(shù)根，
再由且是整數(shù)，知或，
，，，．
故答案為：，，，，．
首先利用當時，得到一個一元一次方程，直接得出根；當，把代入方程，得出的取值．
此題主要考查了方程整數(shù)解的求法，從特殊解入手求解，比較簡單．12.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意知，．
在的兩邊同時除以得到：，
、是關于的方程的兩個根，
．
由，得．
．
故答案為：．
根據(jù)題意得到：，所以、是關于的方程的兩個根．根據(jù)根與系數(shù)的關系求得、的值；然后代入求值即可．
此題主要考查了根與系數(shù)的關系，將根與系數(shù)的關系與代數(shù)式變形相結合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．13.【答案】 【解析】解：連接，，
由勾股定理得：，
在中，點是的中點，
，
點的運動軌跡是以為圓心，為半徑的弧，
當點落在線段上時，的值最小，
的最小值為：，
故答案為：．
連接，，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質求出，根據(jù)點與圓的位置關系得到點落在線段上時，的值最小，計算即可．
本題考查勾股定理的應用，點與圓的位置關系，直角三角形斜邊中線的性質，解題的關鍵是確定最小時，點的位置．14.【答案】 【解析】解：在正方形中，，，
，
，
四邊形為矩形，
在中，，
，
是中點，
，
正方形對角線互相垂直，過點只能有一條垂直于的直線，
不垂直于，
與不平行．
不正確；
四邊形是矩形，
，，
平分，
，
，
．
在中，是的中點，
，，
，
，
，
≌，
，，
，
即，
．
正確；
≌，
，
，
．
正確；
，，，
≌，
正確；
如圖，過點作于點，

設，則，
，，
，
，
，

，
，
，
不正確；
故答案為：．
根據(jù)正方形對角線互相垂直、過一點有且只有一條直線與已知直線垂直即可得結論；
根據(jù)矩形的判定和性質、直角三角形的性質，證明三角形全等即可得結論；
證明≌，由全等三角形性質得出，，根據(jù)矩形的性質進行角的計算即可得結論；
根據(jù)邊邊邊證明三角形全等即可得結論；
過點作于點，根據(jù)割補法求四邊形的面積，再求等腰直角三角形的面積，即可得結論．
本題考查了正方形的性質、矩形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、直角三角形的性質、三角形和梯形的面積等內容，解題關鍵是綜合利用以上知識解決問題．15.【答案】 【解析】解：，






得，



．
故答案為．
根據(jù)分式的性質將分式適當變形后進行計算即可．
本題考查了分式的混合運算，解決本題的關鍵是將已知分式進行適當?shù)淖冃危?/span>16.【答案】 【解析】解：拋物線的頂點坐標為，
，
拋物線的開口向上，
，
，，
，所以錯誤；
當時，，解得，，
拋物線與軸的交點坐標為，，
時，，
，所以正確；
，
，所以正確；
方程有兩個根和，
拋物線與直線有兩個交點，交點的橫坐標分別為和，
，所以正確；
方程有四個根，
方程有個根，方程有個根，
所有根之和為，所以正確．
故答案為：．
利用頂點式得到，根據(jù)拋物線的開口向上得到，則，，于是可對進行判斷；解方程得拋物線與軸的交點坐標為，，利用時，可對進行判斷；把，代入中可對進行判斷；根據(jù)拋物線與直線有兩個交點，交點的橫坐標分別為和，則可對進行判斷；由于方程有個根，方程有個根，則利用根與系數(shù)的關系可對進行判斷．
本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系：對于二次函數(shù)，二次項系數(shù)決定拋物線的開口方向和大?。?/span>時，拋物線向上開口；當時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)和二次項系數(shù)共同決定對稱軸的位置．當與同號時即，對稱軸在軸左；當與異號時即，對稱軸在軸右．常數(shù)項決定拋物線與軸交點位置：拋物線與軸交于拋物線與軸交點個數(shù)由決定：時，拋物線與軸有個交點；時，拋物線與軸有個交點；時，拋物線與軸沒有交點．17.【答案】解：，
，
，
同理可得：，，
解得：，，，
． 【解析】根據(jù)，把每一個方程變形，然后進行因式分解，分別求出，，的值，再代入求值即可．
本題主要考查了因式分解的應用，關鍵是對每個方程進行變形．18.【答案】證明：，，
，
四邊形是正方形，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
由≌可得，
，
；
解：與同理可得，，所以，；
是等腰三角形，
理由：與同理可證≌，可得：．
又，，
，
則，
，
，
為直角三角形．
又四邊形是正方形，對角線與相交于點，
，
，
是等腰三角形． 【解析】是等腰直角三角形，利用“”即可證明≌，得出，即可得答案；
由≌得出，即可得出故答案；
與相同，可證明，又點、、共線，故：；
由猜想并證明，從而可知為直角三角形，再由正方形的對角線的性質判定三邊的特點，再進一步判定其形狀．
本題考查了等腰三角形、正方形的性質及全等三角形的判定與性質等知識點，一般情況下，要證明兩條線段相等，就得證明這兩條線段所在的兩個三角形全等，關鍵是掌握圖形特點挖掘題目所隱含的條件．19.【答案】正方形，菱形  【解析】解：正方形，菱形的對角線互相垂直，
則正方形、菱形是“十字形”，
故答案為：正方形，菱形；

如圖中，四邊形是“十字形”．
，
則四邊形的面積，
故答案為；

當，，時，
，，
，，
四邊形中，，
，
，
，
，
，
同法可證，
，
，，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是菱形，
，
，，
如圖中，過點作于，過點作于．

點的運動時間，
，，
，
，
，
，
菱形的周長為，
，
，
是等邊三角形，
，，
，
在中，，
，
點走完全程所需的時間為．
此時，
設直線的解析式為：，
則，解得：，
則直線的解析式為：．
由“十字形”的定義即可求解；由四邊形的面積即可求解；
證明、，得到四邊形是菱形，再證明是等邊三角形，得到，進而求解．
主要考查了一次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結合的思想把代數(shù)和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系．20.【答案】解：Ⅰ拋物線與軸分別交于點，，與軸交于點，
，
解得：，
拋物線的解析式為：．
拋物線，
．
正實數(shù)，，
．
當時，恰好滿足，
．
，即．
，
拋物線的對稱軸是直線，且開口向下，
當時，隨的增大而減小，
當時，，
當時，，
又，
．
將整理得：，
，
，
，
或，
解得：或不合題意舍去或，
同理：由解得：不合題意舍去或不合題意舍去或，
綜上所述，，． 【解析】把點、坐標代入拋物線得出方程組，解方程組即可得解；
求出，由二次函數(shù)的性質得當時，，當時，，再結合題意，即可得解．
本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質是解題的關鍵．