如圖，直線MN是線段AB的垂直平分線，P是MN上任一點，連結PA、PB. 將線段AB沿直線MN對折，我們發(fā)現(xiàn)PA與PB有怎樣的關系？
線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等.
已知：如圖，MN⊥AB，垂足為C，AC＝BC，點P是直線MN上的任意一點. 求證：PA＝PB.
在△PCA和△PCB中，
AC=CB，?PCA=?PCB，PC=PC
∴ △PCA ≌ △PCB（）
這一定理描述了線段垂直平分線的性質(zhì)，那么反過來會有什么結果呢？
一直線是一線段的垂直平分線
該直線上的點到線段兩端的距離相等
點到線段兩端的距離相等
該點在線段的垂直平分線上
逆命題是否是一個真命題？
已知：如圖，QA＝QB. 求證：PA＝PB.
證明：∵過點Q作MN?AB，垂足為點C.
故∠QCA＝∠QCB＝90°.
在Rt△QCA和Rt△QCB中，
∵QA＝QB，QC＝QC，
∴△QCA≌△QCB（H.L.）
∴點Q在線段AB的垂直平分線上.
到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上.
線段垂直平分線的性質(zhì)定理與判定定理互為逆定理
如何證明“三角形三條邊的垂直平分線交于一點”？
只需證明其中兩條邊的垂直平分線的交點一定在第三條邊的垂直平分線上就可以了.
試試看，現(xiàn)在你會證明了嗎？
1. 如圖，已知點A、B和直線l，在直線l上求作一點P，使PA = PB.
提示：作AB的垂直平分線與直線l的交點.
2. 如圖，BD⊥AC，垂足為點E，AE = CE. 求證：AB＋CD＝AD ＋BC.
證明：∵BD?AC ，AE＝EC，
∴BD是AC的垂直平分線，
∴AD＝CD，AB＝BC，
∴AB＋CD＝AD＋BC.
3. 如圖，在△ABC中，已知點D在BC上，且 BD + AD = BC. 求證：點D在AC的垂直平分線上 .
證明：∵BD＋DC＝BC
而 BD＋AD＝BC，
∴ 點D在AC的垂直平分線上.

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2 線段垂直平分線

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