? 第四課時(shí)——二次函數(shù)的圖像與系數(shù)、最值問題與存在性問題（答案卷）

二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系
1．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：①abc＞0；②2c＜3b；③a+2b＞m（am+b）（m≠1）；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四個(gè)根，則這四個(gè)根的和為2．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　?。?br />
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象可知a＜0，b＞0，c＞0，然后由圖象可知當(dāng)x＝1時(shí)，y的最大值為a+b+c．當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＜0．若方程|ax2+bx+c|＝1有四個(gè)根，分別設(shè)為x1，x2，x3，x4，再由圖象對(duì)稱性可知x1+x2＝2，x3+x4＝2．
【解答】解：①、由圖象可知：＝1＞0，a＜0，c＞0，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①不符合題意．
②、由①知：b＝﹣2a，
由圖象可知：x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＜0，
∴a+2a+c＜0，
∴3a+c＜0，
∴2c﹣3b＝2c+6a＝2（3a+c）＜0，
即2c＜3b，故②符合題意．
③由圖象可知：當(dāng)x＝1時(shí)，y的最大值為a+b+c，
∴當(dāng)x＝m（≠1）時(shí)，
am2+bm+c＜a+b+c，
∴m（am+b）＜a+b，
∵a+b﹣a﹣2b＝﹣b＜0，
∴a+b＜a+2b，
∴a+2b＞m（am+b），故③符合題意．
④若方程|ax2+bx+c|＝1有四個(gè)根，分別設(shè)為x1，x2，x3，x4，
其中x1，x2是方程ax2+bx+c＝1的兩個(gè)根，x3，x4是方程ax2+bx+c＝﹣1的兩個(gè)根，
則x1+x2＝2，x3+x4＝2，
即這四個(gè)根的和為4，故④不符合題意．
故選：B．
2．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A（﹣2，0）、B（6，0），與y軸相交于點(diǎn)C，小紅同學(xué)得出了以下結(jié)論：①b2﹣4ac＞0；②4a+b＝0；③當(dāng)y＞0時(shí)，﹣2＜x＜6；④a+b+c＜0．其中正確的個(gè)數(shù)為（　?。?br />
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象中的數(shù)據(jù)，可以分別判斷出各個(gè)結(jié)論是否正確，從而可以解答本題．
【解答】解：由圖象可得，
該拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則b2﹣4ac＞0，故①正確；
∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A（﹣2，0）、B（6，0），
∴該拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝＝2，
∴﹣＝2，
∴b+4a＝0，故②正確；
由圖象可得，當(dāng)y＞0時(shí)，x＜﹣2或x＞6，故③錯(cuò)誤；
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝a+b+c＜0，故④正確；
故選：B．
3．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，其頂點(diǎn)為（，1），有下列結(jié)論：①ac＜0；②函數(shù)最大值為1；③b2﹣4ac＜0；④2a+b＝0．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由拋物線開口方向，與y軸交點(diǎn)位置可判斷①，由拋物線開口方向及頂點(diǎn)坐標(biāo)可判斷②，由拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)可判斷③，由拋物線對(duì)稱軸為直線x＝可判斷④．
【解答】解：∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵拋物線與y軸交于正半軸，
∴c＞0，
∴ac＜0，①正確．
∵拋物線開口向下，頂點(diǎn)為（，1），
∴函數(shù)最大值為y＝1，②正確．
∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴b2﹣4ac＞0，③錯(cuò)誤．
∵﹣＝，
∴b＝﹣a，
∴a+b＝0，④錯(cuò)誤．
故選：B．
4．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸為x＝1，現(xiàn)有下列結(jié)論：①abc＞0；②4a+2b+c＜0；③a＜﹣；④a+b＞n（an+b）（n≠1）；⑤2c＜3b．其中正確的有（　?。?br />
A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)
【分析】先由開口方向得到a的正負(fù)，由對(duì)稱軸的位置得到b的正負(fù)，由圖象與y軸的交點(diǎn)得到c的取值范圍，判斷①；由圖象可知當(dāng)x＝2時(shí)，y＞0，判斷②；由對(duì)稱軸為直線x＝1得到a與b的關(guān)系，然后由x＝﹣1時(shí)，y＜0結(jié)合c的取值范圍求得a的取值范圍，判斷③；由x＝1時(shí)，函數(shù)取得最大值，判斷④；由x＝﹣1時(shí)，y＜0和a與b的關(guān)系得到2c與3b的關(guān)系，判斷⑤．
【解答】解：由圖可知，開口向下，對(duì)稱軸為直線x＝1，圖象與y軸的交點(diǎn)在y軸正半軸上，
∴a＜0，b＞0，1＜c＜2，且﹣＝1，
∴abc＜0，故①錯(cuò)誤，不符合題意；
由圖象可知，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4a+2b+c＞0，故②錯(cuò)誤，不符合題意；
∵b＝﹣2a，﹣2＜﹣c＜﹣1，
由圖象可知，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＜0，
∴a﹣（﹣2a）+c＜0，即3a＜﹣c＜﹣1，
∴a＜﹣，故③正確，符合題意；
由圖象可知，當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)有最大值，
∴a+b+c＞an2+bn+c（n≠1），
∴a+b＞n（an+b）（n≠1），故④正確，符合題意；
∵x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＜0，
∴﹣2a+2b﹣2c＞0，
∵b＝﹣2a，
∴b+2b﹣2c＝3b﹣2c＞0，
∴2c＜3b，故⑤正確，符合題意；
∴正確的結(jié)論有3個(gè)，
故選：B．
5．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，其對(duì)稱軸為x＝﹣1，有下列結(jié)論：①abc＞0；②a+b＜﹣c；③4a﹣2b+c＞0；④3b+2c＜0；⑤a﹣b＜m（am+b）（其中m為任意實(shí)數(shù)），其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（　?。?br />
A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)
【分析】根據(jù)拋物線開口方向，對(duì)稱軸以及與y軸的交點(diǎn)即可判斷①；根據(jù)x＝1時(shí)，y＜0即可判斷②；根據(jù)當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＞0，即可判斷③；由2a＝b，結(jié)合當(dāng)x＝1時(shí)，a+b+c＜0即可判斷④；根據(jù)x＝﹣1時(shí)，函數(shù)y＝a﹣b+c的值最大，即可判斷⑤．
【解答】解：∵開口向下，
∴a＜0，
∵拋物線和y軸的正半軸相交，
∴c＞0，
∵對(duì)稱軸為x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∴abc＞0，故①正確；
當(dāng)x＝1時(shí)，y＜0，則a+b+c＜0，
∴a+b＜﹣c，故②正確；
由圖象可知，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，故③正確；
∵當(dāng)x＝1時(shí)，a+b+c＜0，b＝2a，
∴a＝b，
∴b+b+c＜0，
∴3b+2c＜0，故④正確；
∵當(dāng)x＝﹣1時(shí)，二次函數(shù)有最大值，
所以當(dāng)m為任意實(shí)數(shù)時(shí)，有a﹣b+c≥am2+bm+c，
所以a﹣b≥m（am+b），故⑤錯(cuò)誤．
故選：C．
6．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示．下列結(jié)論：①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③m為任意實(shí)數(shù)，則a+b＞am2+b m；④3a+c＜0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2且x1≠x2，則x1+x2＝2．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（　?。?br />
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷．
【解答】解：①圖象開口向下，與y軸交于正半軸，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，能得到：a＜0，c＞0，﹣＞0，b＞0，∴abc＞0，錯(cuò)誤；
②∵對(duì)稱軸是直線x＝1，與x軸交點(diǎn)在（3，0）左邊
∴二次函數(shù)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在（﹣1，0）與（0，0）之間，
∴a﹣b+c＜0，∴②錯(cuò)誤；
③∵對(duì)稱軸是直線x＝1，圖象開口向下，
∴x＝1時(shí)，函數(shù)最大值是a+b+c；
∴m為任意實(shí)數(shù)，則a+b+c≥am2+bm+c，∴③錯(cuò)誤；
④∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a
由②得a﹣b+c＜0，
∴3a+c＜0，∴④正確；
⑤∵ax12+bx1＝ax22+bx2，
∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，
∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，
∵x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b＝0，
∵x1+x2＝﹣，b＝﹣2a，
∴x1+x2＝2，∴⑤正確；
故選：B．
7．如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c給出下列結(jié)論：①abc＜0，②4a+2b+c＜0，③a+c＞b，④a+b≤t（at+b）（t是任意一個(gè)實(shí)數(shù)），⑤當(dāng)x＜﹣1時(shí)，y隨x的增大而減少．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（　?。?br />
A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)
【分析】根據(jù)拋物線開口方向，對(duì)稱軸位置，拋物線與y軸交點(diǎn)位置，可判斷①．由x＝0時(shí)y＜0及拋物線對(duì)稱軸為直線x＝1可判斷②．由x＝﹣1時(shí)y＞0可判斷③．由x＝1時(shí)y取最小值可判斷④．由圖象開口方向及對(duì)稱軸位置可判斷⑤．
【解答】解：∵拋物線開口向上，
∴a＞0，
∵拋物線對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∵拋物線與y軸交點(diǎn)在x軸下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，①錯(cuò)誤．
∵x＝0時(shí)y＜0，拋物線對(duì)稱軸為直線x＝1，
∴x＝2時(shí)，y＝4a+2b+c＜0，②正確．
∵x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＞0，
∴a+c＞b，③正確．
∵x＝1時(shí)y取最小值，
∴a+b+c≤at2+bt+c，即a+b≤t（at+b），
∴④正確．
由圖象可得x＜1時(shí)y隨x增大而減小，
∴當(dāng)x＜﹣1時(shí)，y隨x的增大而減少，⑤正確．
故選：C．
8．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸是直線x＝﹣1．下列結(jié)論：①ab＞0；②b﹣2a＞0；③4a+c＜2b；④（a+c）2＜b2；⑤m（am+b）+b＜a（m≠﹣1）．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　　）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【分析】由拋物線開口方向和對(duì)稱軸位置確定a，b符號(hào)及b＝2a可判斷①②，由拋物線對(duì)稱性可得x＝﹣2時(shí)y＞0可判斷③，由a+b+c及a﹣b+c的符號(hào)可判斷④，由函數(shù)最大值為y＝a﹣b+c可判斷⑤．
【解答】解：∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵拋物線對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∴①正確，②錯(cuò)誤．
∵x＝0時(shí)y＞0，拋物線對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，
∴x＝﹣2時(shí)y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，即4a+c＞2b，③錯(cuò)誤，
∵a+b+c＜0，a﹣b+c＞0，
∴（a+b+c）（a﹣b+c）＝（a+c）2﹣b2＜0，
∴（a+c）2＜b2，④正確，
∵拋物線對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，
∴y＝a﹣b+c為函數(shù)最大值，
∴am2+bm+c＜a﹣b+c（m≠﹣1），
∴m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），⑤正確，
故選：C．
9．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸一個(gè)交點(diǎn)在﹣1，﹣2之間，對(duì)稱軸為直線x＝1，圖象如圖，給出以下結(jié)論：①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③2a﹣b＝0；④8a+c＜0；⑤．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴b2﹣4ac＞0，①正確；
∵拋物線開口向上，
∴a＞0，
∵對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，
∴b＜0，
∵拋物線與y軸交于負(fù)半軸，
∴c＜0，
∴abc＞0，②正確；
∵﹣＝1，∴2a+b＝0，③錯(cuò)誤；
∵x＝﹣2時(shí)，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，即8a+c＞0，④錯(cuò)誤；
根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知，當(dāng)x＝3時(shí)，y＜0，
∴9a+3b+c＜0，
∴＜0，⑤正確．
綜上所述，正確的結(jié)論是：①②⑤．
故選：C．

10．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，給出下列四個(gè)結(jié)論：①ac﹣b2＜0；②3b+2c＜0；③m（am+b）+b≤a；④（a+c）2＜b2；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】先由對(duì)稱軸為直線x＝﹣1、與y軸的交點(diǎn)得到a與b、c的關(guān)系，然后進(jìn)行判斷①②③④．
【解答】解：由圖可知，開口向下，與y軸的交點(diǎn)在y軸正半軸上，對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，
∴a＜0，b＜0，c＞0，﹣＝﹣1，a+b+c＜0，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y最大值＝a﹣b+c＞0，
∴ac＜0，b2＞0，b＝2a，
∴ac﹣b2＜0，故①正確，符合題意；
3b+2c＝b+2b+2c＝2a+2b+2c＝2（a+b+c）＜0，故②正確，符合題意；
（a+c）2﹣b2＝（c+3a）（c﹣a）＝（a+b+c）（c﹣a），
∵a+b+c＜0，c﹣a＞0，
∴（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（c﹣a）＜0，即（a+c）2＜b2，故④正確，符合題意；
∵y最大值＝a﹣b+c，
∴am2+bm+c≤a﹣b+c，
∴am2+bm≤a﹣b，
∴m（am+b）+b≤a，故③正確，符合題意；
∴正確的選項(xiàng)有①②③④．
故選：D．






二次函數(shù)的最值問題與存在性問題：
11．如圖，拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為M，連接MA，MC，AC，過點(diǎn)C作y軸的垂線l．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）直線l上是否存在點(diǎn)N，使得S△MBN＝2S△MAC？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）如圖2，若將原拋物線繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，求新拋物線與y軸交點(diǎn)P坐標(biāo)．


【分析】（1）直接代入A（1，0），B（3，0）兩點(diǎn)坐標(biāo)即可求解；
（2）如圖所示，先求出△MAC的面積為1，然后設(shè)出直線MN與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)E，表示出S△MBN＝|xE﹣xB|×（yN﹣yM）＝|xE﹣3|×4＝2|xE﹣3|，最后根據(jù)S△MBN＝2S△MAC，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（3）將CP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°交原拋物線于點(diǎn)P′，即可得出直線CP′的表達(dá)式，從而求出P′的坐標(biāo)，進(jìn)而算出CP′的長(zhǎng)度，最后得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）將A（1，0），B（3，0）代入拋物線y＝ax2+bx+3中，
則，
解得：，
∴拋物線的表達(dá)式為y＝x2﹣4x+3；
（2）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)N，設(shè)直線MC與x軸交于點(diǎn)D，直線MN與x軸交于點(diǎn)E，如圖：

∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴M（2，﹣1）
令x＝0，則y＝3，
∴C（0，3），
設(shè)直線MC的解析式為y＝kx+m，
則，
解得：，
∴直線MC的解析式為y＝﹣2x+3，
令y＝0，則﹣2x+3＝0，
解得x＝，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（，0），
∴S△MAC＝（xD﹣xA）（yC﹣yM）＝××4＝1，
S△MBN＝|xE﹣xB|×（yN﹣yM）＝|xE﹣3|×4＝2|xE﹣3|，
∵S△MBN＝2S△MAC，
∴2|xE﹣3|＝2，
解得：xE＝4或xE＝2，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，0）或（2，0），①當(dāng)M為（2，﹣1），E為（2，0）時(shí)，直線MN的表達(dá)式為：x＝2，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，3），
②當(dāng)M為（2，﹣1），E為（4，0）時(shí)，
設(shè)直線MN的表達(dá)式為y＝nx+g，
則，
解得：，
∴直線MN的表達(dá)式為y＝x﹣2，
聯(lián)立，得，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（10，3），
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，3）或（10，3）；
（3）如圖所示，將CP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°交原拋物線于點(diǎn)P′，

∵CP′與x軸的夾角為45°，
∴CP′與直線y＝x平行，
則lCP′：y＝x+3，
聯(lián)立，
解得，
∴P′（5，8），
∴CP′＝＝5，
∴CP＝5，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，5）．
12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，0），且OA＝OC＝4OB，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)．
（1）求A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）若點(diǎn)P是直線AC下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作PD⊥AC于點(diǎn)D，當(dāng)PD的值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及PD的最大值．

【分析】（1）根據(jù)B點(diǎn)坐標(biāo)及OA＝OC＝4OB結(jié)合圖象即可確定A點(diǎn)，C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）由（1）可將拋物線的表達(dá)式寫成兩點(diǎn)式，然后代入C點(diǎn)坐標(biāo)即可求出解析式；
（3）求出直線CA的解析式，過點(diǎn)P作y軸的平行線交AC于點(diǎn)H，求出∠PHD＝∠OCA＝45°，設(shè)點(diǎn)P（a，a2﹣3a﹣8），則點(diǎn)H（a，a﹣8），寫出PD的表達(dá)式根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可．
【解答】解：（1）∵B的坐標(biāo)為（﹣2，0），
∴OB＝2，
∴OA＝OC＝4OB＝8，
故點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（8，0）、（0，﹣8）；
（2）由（1）知，拋物線的表達(dá)式可寫為：y＝a（x+2）（x﹣8）＝a（x2﹣6x﹣16），
把C（0，﹣8）代入得：﹣16a＝﹣8，
解得：a＝，
故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣3x﹣8；
（3）∵直線CA過點(diǎn)C，
∴設(shè)其函數(shù)表達(dá)式為：y＝kx﹣8，
將點(diǎn)A坐標(biāo)代入上式并解得：k＝1，
故直線CA的表達(dá)式為：y＝x﹣8，
過點(diǎn)P作y軸的平行線交AC于點(diǎn)H，

∵OA＝OC＝8，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∵PH∥y軸，
∴∠PHD＝∠OCA＝45°，
設(shè)點(diǎn)P（a，a2﹣3a﹣8），則點(diǎn)H（a，a﹣8），
∴PD＝HPsin∠PHD＝（a﹣8﹣a2+3a+8）＝＝﹣（a﹣4）2+4，
∴當(dāng)a＝4時(shí)，其最大值為4，此時(shí)點(diǎn)P（4，﹣12）．
13．如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，BC⊥x軸于點(diǎn)C，且點(diǎn)A（﹣1，0），C（4，0），AC＝BC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)E是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），過點(diǎn)E作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)F，當(dāng)線段EF的長(zhǎng)度最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)及S△ABF；
（3）點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的P點(diǎn)，使△ABP成為直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【分析】（1）先求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可得到關(guān)于b、c的方程組，從而可求得b、c的值；
（2）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，x+1），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（x，x2﹣2x﹣3），則可得到EF與x的函數(shù)關(guān)系式，利用配方法可求得EF的最大值以及點(diǎn)E的坐標(biāo)，最后根據(jù)EF的最大值可得△ABF的面積；
（3）存在，設(shè)P（1，m），分三種情況：分別以A，B，P為直角頂點(diǎn)，根據(jù)勾股定理和兩點(diǎn)的距離公式列方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵點(diǎn)A（﹣1，0），C（4，0），
∴AC＝5，OC＝4，
∵AC＝BC＝5，
∴B（4，5），
把A（﹣1，0）和B（4，5）代入二次函數(shù)y＝x2+bx+c中得：
，解得：，
∴二次函數(shù)的解析式為：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如圖1，∵直線AB經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，5），
設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，
∴，解得：，
∴直線AB的解析式為：y＝x+1，
∵二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3，

∴設(shè)點(diǎn)E（t，t+1），則F（t，t2﹣2t﹣3），
∴EF＝（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣（t﹣）2+，
∴當(dāng)t＝時(shí)，EF的最大值為，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，），
∴S△ABF＝＝＝．
（3）存在，
y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴設(shè)P（1，m），
分三種情況：
①以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，由勾股定理得：PB2+AB2＝PA2，
∴（4﹣1）2+（m﹣5）2+（4+1）2+52＝（1+1）2+m2，
解得：m＝8，
∴P（1，8）；
②以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，由勾股定理得：PA2+AB2＝PB2，
∴（1+1）2+m2+（4+1）2+52＝（4﹣1）2+（m﹣5）2，
解得：m＝﹣2，
∴P（1，﹣2）；
③以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，由勾股定理得：PB2+PA2＝BA2，
∴（1+1）2+m2+（4﹣1）2+（m﹣5）2＝（4+1）2+52，
解得：m＝6或﹣1，
∴P（1，6）或（1，﹣1）；
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，8）或（1，﹣2）或（1，6）或（1，﹣1）．
14．如圖，拋物線y＝﹣x2+mx+n與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）點(diǎn)E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．

【分析】（1）直接把A點(diǎn)和C點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝﹣x2+mx+n得m、n的方程組，然后解方程組求出m、n即可得到拋物線解析式；
（2）先利用拋物線對(duì)稱軸方程求出拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣，則D（，0），則利用勾股定理計(jì)算出CD＝，然后分類討論：如圖1，當(dāng)CP＝CD時(shí)，利用等腰三角形的性質(zhì)易得P1（，4）；當(dāng)DP＝DC時(shí)，易得P2（，），P3（，﹣）；
（3）先根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問題求出B（4，0），再利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y＝﹣x+2，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)E（x，﹣x+2）（0≤x≤4），則F（x，﹣x2+x+2），則FE＝﹣x2+2x，由于△BEF和△CEF共底邊，高的和為4，則S△BCF＝S△BEF+S△CEF＝×4×EF＝﹣x2+4x，加上S△BCD＝，所以S四邊形CDBF＝S△BCF+S△BCD＝﹣x2+4x+（0≤x≤4），然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求四邊形CDBF的面積最大，并得到此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+mx+n得，解得，
∴拋物線解析式為y＝﹣x2+x+2；
（2）存在．
拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝，
則D（，0），
∴CD＝＝＝，
如圖1，當(dāng)CP＝CD時(shí)，則P1（，4）；
當(dāng)DP＝DC時(shí)，則P2（，），P3（，﹣），
綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（，4）或（，）或（，﹣）；
（3）當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2+x+2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，則B（4，0），
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，
把B（4，0），C（0，2）代入得，解得，
∴直線BC的解析式為y＝﹣x+2，
設(shè)E（x，﹣x+2）（0≤x≤4），則F（x，﹣x2+x+2），
∴FE＝﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）＝﹣x2+2x，
∵S△BCF＝S△BEF+S△CEF＝×4×EF＝2（﹣x2+2x）＝﹣x2+4x，
而S△BCD＝×2×（4﹣）＝，
∴S四邊形CDBF＝S△BCF+S△BCD
＝﹣x2+4x+（0≤x≤4），
＝﹣（x﹣2）2+
當(dāng)x＝2時(shí)，S四邊形CDBF有最大值，最大值為，此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）．
15．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（﹣2，0），B（5，0），點(diǎn)C在拋物線上，且直線AC與x軸形成的夾角為45°．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)P為直線AC上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線AC距離的最大值；
（3）將滿足（2）中到直線AC距離最大時(shí)的點(diǎn)P，向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)Q，將原拋物線向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），M為平移后拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，N為平移后拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)C，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【分析】（1）待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式即可；
（2）點(diǎn)P到AC的距離PH轉(zhuǎn)化為PD，求PD的最大值來轉(zhuǎn)化；
（3）根據(jù)條件先求出Q，C的坐標(biāo)，再根據(jù)QC為平行四邊形的邊和對(duì)角線進(jìn)行分類討論．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（﹣2，0），B（5，0），
∴y＝﹣（x+2）（x﹣5），
∴y＝﹣x2+3x+10，
（2）作PH⊥AC于H，PD∥y軸交AC于D點(diǎn)，交x軸于E，
∵∠CAB＝45°，
∴∠PDH＝45°，
∴PD＝，
設(shè)P（m，﹣m2+3m+10），
則E（m，0），
∴AE＝m+2，
∴DE＝m+2，
∴PD＝﹣m2+3m+10﹣（m+2）
＝﹣m2+2m+8，
當(dāng)m＝1時(shí)，PD最大為9，
∴PH的最大值為，
即P到AC的最大距離為，
（3）由（2）知：P（1，12），
∴Q（1，8），
∵直線AC：y＝x+2與拋物線y＝﹣（x+2）（x﹣5）交點(diǎn)C坐標(biāo)為（4，6），
拋物線y＝﹣（x+2）（x﹣5）向右平移2個(gè)單位后解析式為：y＝﹣x（x﹣7）＝﹣x2+7x，
∴對(duì)稱軸為：直線x＝，
當(dāng)CQ為邊時(shí)，如圖，若C（4，6）平移到N，Q（1，8）平移到M，則M的橫坐標(biāo)為，
將x＝代入平移后解析式：y＝﹣x2+7x得，y＝，
∴，
當(dāng)CQ為邊時(shí)，若C（4，6）平移到M，Q（1，8）平移到N，則M的橫坐標(biāo)為，
將x＝代入平移后解析式：y＝﹣x2+7x得，y＝，
∴，
當(dāng)CQ為對(duì)角線時(shí)，可看作C平移到N，M平移到Q，
∴M的橫坐標(biāo)為，
將x＝代入平移后解析式：y＝﹣x2+7x得，y＝，
∴，
綜上所述：．

16．如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+6的圖象與x軸交于A（﹣2，0），B（6，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）請(qǐng)求出該二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）請(qǐng)求出圖象的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）在二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△APC的周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【分析】（1）由于二次函數(shù)的圖象與x軸交于A（﹣2，0），B（6，0）兩點(diǎn)兩點(diǎn)，把A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝ax2+bx+6，計(jì)算出a、b的值即可求出拋物線解析式；
（2）利用配方法將（1）中拋物線解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，據(jù)此直接得到答案；
（3）作點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接AC′，交拋物線對(duì)稱軸于P點(diǎn)，連接CP，P點(diǎn)即為所求．
【解答】解：（1）將A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y＝ax2+bx+6，得
．
解得．
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+6．
（2）∵y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣2）2+8，
∴二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x＝2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，8）．
（3）存在，理由如下：

如圖，作點(diǎn)C關(guān)于二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接AC′，交二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸于點(diǎn)P，此時(shí)△APC的周長(zhǎng)最?。?br /> ∵C（0，6），
∴C′（4，6）．
設(shè)直線AC′的表達(dá)式為y＝kx+n，則．
解得．
∴直線AC′的表達(dá)式為y＝x+2．
當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4，即P（2，4）．
17．如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PBC為等腰三角形？若存在．請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）有一個(gè)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度在AB上向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn)N從 點(diǎn)D與點(diǎn)M同時(shí)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，問點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，△MNB面積最大，試求出最大面積．

【分析】（1）代入A（1，0）和C（0，3），解方程組即可；
（2）求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理得到BC，當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)分三種情況進(jìn)行討論：①CP＝CB；②BP＝BC；③PB＝PC；
（3）設(shè)AM＝t則DN＝2t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，S△MNB＝×（2﹣t）×2t＝﹣t2+2t，運(yùn)用二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)解決問題；此時(shí)點(diǎn)M在D點(diǎn)，點(diǎn)N在對(duì)稱軸上x軸上方2個(gè)單位處或點(diǎn)N在對(duì)稱軸上x軸下方2個(gè)單位處．
【解答】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y＝x2+bx+c，

解得：b＝﹣4，c＝3，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：y＝x2﹣4x+3；
（2）令y＝0，則x2﹣4x+3＝0，
解得：x＝1或x＝3，
∴B（3，0），
∴BC＝3，
點(diǎn)P在y軸上，當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)分三種情況進(jìn)行討論：如圖1，
①當(dāng)CP＝CB時(shí)，PC＝3，∴OP＝OC+PC＝3+3或OP＝PC﹣OC＝3﹣3
∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；
②當(dāng)BP＝BC時(shí)，OP＝OC＝3，
∴P3（0，﹣3）；
③當(dāng)PB＝PC時(shí)，
∵OC＝OB＝3
∴此時(shí)P與O重合，
∴P4（0，0）；
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，﹣3）或（0，0）；
（3）如圖2，設(shè)M運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，則DN＝2t，
∴S△MNB＝×（2﹣t）×2t＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+1，
即當(dāng)M（2，0）、N（2，2）或（2，﹣2）時(shí)△MNB面積最大，最大面積是1．

18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），且OB＝OC．
（1）寫出C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（3）若點(diǎn)G（2，y）是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AG下方的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△AGP的面積最大？求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和△AGP的最大面積．

【分析】（1）根據(jù)OB＝OC，可得C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得G點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)在函數(shù)圖象上，可得P（x，x2﹣2x﹣3），根據(jù)待定系數(shù)法，可得直線AG的解析式，根據(jù)PQ平行于y軸，可得Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)，根據(jù)線段的和差，可得PQ的長(zhǎng)，根據(jù)面積的和差，可得用x表示出三角形的面積，根據(jù)二次函數(shù)的最值，可得答案．
【解答】解：（1）由點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），且OB＝OC，得C（0，﹣3）；
（2）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象過A、B、C點(diǎn)，得
，解得，
這個(gè)二次函數(shù)的解析式y(tǒng)＝x2﹣2x﹣3；
（3）過點(diǎn)P作y軸的平行線與AG交于點(diǎn)Q，
當(dāng)x＝2時(shí)，y＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，G（2，﹣3），
直線AG為y＝﹣x﹣1．
設(shè)P（x，x2﹣2x﹣3），則Q（x，﹣x﹣1），
PQ＝﹣x2+x+2．S△APG＝S△APQ+S△GPQ＝（﹣x2+x+2）×3
當(dāng)x＝時(shí)，△APG的面積最大，
此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，﹣），S△APG最大＝××3＝．
19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過A（﹣3，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D，連接AD，點(diǎn)P是線段AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、D重合）．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如圖1，過點(diǎn)P作PE⊥y軸于點(diǎn)E．求△PAE面積S的最大值；
（3）如圖2，拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使得四邊形OAPQ為平行四邊形？若存在求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說明理由．

【分析】（1）根據(jù)拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過A（﹣3，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，可以求得該拋物線的解析式，然后將函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，從而可以得到該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)題意和點(diǎn)A和點(diǎn)D的坐標(biāo)可以得到直線AD的函數(shù)解析式，從而可以設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后根據(jù)圖形可以得到△APE的面積，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到△PAE面積S的最大值；
（3）根據(jù)題意可知存在點(diǎn)Q使得四邊形OAPQ為平行四邊形，然后根據(jù)函數(shù)解析式和平行四邊形的性質(zhì)可以求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過A（﹣3，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，
∴，得，
∴拋物線解析式為y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，4），
即該拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，4）；
（2）設(shè)直線AD的函數(shù)解析式為y＝kx+m，
，得，
∴直線AD的函數(shù)解析式為y＝2x+6，
∵點(diǎn)P是線段AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、D重合），
∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（p，2p+6），
∴S△PAE＝＝﹣（p+）2+，
∵﹣3＜p＜﹣1，
∴當(dāng)p＝﹣時(shí)，S△PAE取得最大值，此時(shí)S△PAE＝，
即△PAE面積S的最大值是；
（3）拋物線上存在一點(diǎn)Q，使得四邊形OAPQ為平行四邊形，
∵四邊形OAPQ為平行四邊形，點(diǎn)Q在拋物線上，
∴OA＝PQ，
∵點(diǎn)A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∴PQ＝3，
∵直線AD為y＝2x+6，點(diǎn)P在線段AD上，點(diǎn)Q在拋物線y＝﹣x2﹣2x+3上，
∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（p，2p+6），點(diǎn)Q（q，﹣q2﹣2q+3），
∴，
解得，或（舍去），
當(dāng)q＝﹣2+時(shí)，﹣q2﹣2q+3＝2﹣4，
即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣2+，2﹣4）．



20．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，點(diǎn)C為拋物線與y軸的交點(diǎn)．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)D是直線AC上方的拋物線上一點(diǎn)，求△DCA面積的最大值，以及△DCA面積取得最大值時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P是直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P、Q，使得以點(diǎn)P、Q、B、C為頂點(diǎn)，BC為一邊的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P、Q坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【分析】（1）拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，得，即可求解；
（2）過點(diǎn)D作DE∥x軸交x軸于點(diǎn)F，交直線AC于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（m，﹣m2+m﹣2），求直線AC的關(guān)系式為：y＝x﹣2，利用平行的性質(zhì)點(diǎn)E的坐標(biāo)可表示為（m，m﹣2），用m的代數(shù)式表示出DE＝﹣m2+m﹣2﹣（m﹣2）＝﹣m2+2m，△DCA面積＝×4（﹣m2+2m），利用函數(shù)來討論最值問題，即可求解；
（3）存在點(diǎn)P、Q，使得以點(diǎn)P、Q、B、C為頂點(diǎn)，BC為一邊的四邊形是平行四邊形，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，﹣m2+m﹣2），①如圖，點(diǎn)Q在x軸上方，利用平行知識(shí)表示出P點(diǎn)坐標(biāo)為（m﹣1，﹣m2+m﹣4），把點(diǎn)P坐標(biāo)代入直線y＝x﹣2，得，（m﹣1）﹣2＝﹣m2+m﹣4，解得m＝1或3（1舍去），即可求解；②如圖，點(diǎn)Q在x軸下方，利用平行知識(shí)表示出P點(diǎn)坐標(biāo)為（m+1，﹣m2+m），把點(diǎn)P坐標(biāo)代入直線y＝x﹣2，得，（m+1）﹣2＝﹣m2+m，解得m＝2±，即可求解．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，
∴，
解得：，
∴此拋物線的解析式：y＝﹣x2+x﹣2；
（2）過點(diǎn)D作DE∥x軸交x軸于點(diǎn)F，交直線AC于點(diǎn)E，
設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（m，﹣m2+m﹣2），
設(shè)直線AC關(guān)系式為：y＝px+q，
把A（4，0）和C（0，﹣2）代入，
得，
∴，
直線AC的關(guān)系式為：y＝x﹣2，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)可表示為（m，m﹣2），
∴DE＝﹣m2+m﹣2﹣（m﹣2）＝﹣m2+2m，
∴△DCA面積S＝S△ADE+S△CDE
＝DE?AF+DE?OF
＝ED?AO
＝×4（﹣m2+2m）
＝﹣m2+4m
＝﹣（m﹣2）2+4，
當(dāng)m＝2時(shí)，△DCA的面積最大，最大面積為4，
此時(shí)點(diǎn)D坐標(biāo)為（2，1）；
（3）存在點(diǎn)P、Q，使得以點(diǎn)P、Q、B、C為頂點(diǎn)，BC為一邊的四邊形是平行四邊形，
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，﹣m2+m﹣2），
①如圖，點(diǎn)Q在x軸上方，
∵BC∥PQ，
從B，C坐標(biāo)可得B點(diǎn)向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位得到點(diǎn)C，
∴點(diǎn)Q向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位得到點(diǎn)P，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（m﹣1，﹣m2+m﹣4），
把點(diǎn)P坐標(biāo)代入直線y＝x﹣2，
得，（m﹣1）﹣2＝﹣m2+m﹣4，
∴m＝1或3（1舍去），
此時(shí)點(diǎn)Q坐標(biāo)為（3，1），點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，﹣1）；
②如圖，點(diǎn)Q在x軸下方，
∵BC∥PQ，
從B，C坐標(biāo)可得C點(diǎn)向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到點(diǎn)C，
∴點(diǎn)Q向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到點(diǎn)P，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（m+1，﹣m2+m），
把點(diǎn)P坐標(biāo)代入直線y＝x﹣2，
得，（m+1）﹣2＝﹣m2+m，
∴m＝2±，
此時(shí)點(diǎn)Q坐標(biāo)為（2+，），點(diǎn)P坐標(biāo)為（3+，）
或點(diǎn)Q坐標(biāo)為（2﹣，），點(diǎn)P坐標(biāo)為（3﹣，）．
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（3，1），點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，﹣1）或點(diǎn)Q坐標(biāo)為（2+，），點(diǎn)P坐標(biāo)為（3+，）或點(diǎn)Q坐標(biāo)為（2﹣，），點(diǎn)P坐標(biāo)為（3﹣，）．




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