絕密★啟用前2022人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第13章第13.3.1節(jié)-帶答案和解析副標(biāo)題考試范圍：xxx；考試時(shí)間：100分鐘；命題人：xxx題號(hào)一二三總分得分    注意事項(xiàng):
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無(wú)效。
3.考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回。  第I卷（選擇題） 一、選擇題（本大題共9小題，共27.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則這個(gè)等腰三角形的頂角是(    )A. 或 B. 或 C. 或 D. 或等腰三角形的頂角是，則這個(gè)三角形的一個(gè)底角的大小是(    )A.  B.  C.  D. 如圖，在等腰中，為的平分線，，，，則(    )A.
B.
C.
D.
 下列三角形中，不是等腰三角形的是(    )A.  B.  C.  D. 若一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為，，則第三邊的長(zhǎng)為(    )A.  B.  C.  D. 或如圖，，，，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是  (    )A.
B.
C.
D. 如圖，關(guān)于，給出下列四組條件：
中，；
中，，；
中，，平分；
中，，平分邊．
其中，能判定是等腰三角形的條件共有(    )
 A. 組 B. 組 C. 組 D. 組如圖，在中，，，以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)，連接，則等于(    )A.
B.
C.
D.
 下列說(shuō)法：三角形按邊分類可分為三邊不等的三角形、等腰三角形和等邊三角形；等邊三角形是特殊的等腰三角形；  等腰三角形是特殊的等邊三角形；有兩邊相等的三角形一定是等腰三角形；
其中，說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是(    )A. 個(gè) B. 個(gè) C. 個(gè) D. 個(gè)第II卷（非選擇題） 二、填空題（本大題共4小題，共12.0分）若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)為______．如圖，在中，，，點(diǎn)在邊上，、關(guān)于直線對(duì)稱，的角平分線交邊于點(diǎn)，連接，當(dāng)的值等于______時(shí)，為等腰三角形．
如圖，在中，，，則_________．
 如圖，在中，，和的平分線分別交于點(diǎn)、，若，，，則的長(zhǎng)為          
   三、解答題（本大題共7小題，共56.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）本小題分
如圖，在中，，，是中點(diǎn)，連接點(diǎn)在線段上不與點(diǎn)，重合，連接，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上且，連接．

比較與的大小，并證明；
用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．本小題分如圖，在中，平分，交于點(diǎn)，是上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．求證：是等腰三角形；猜想與有什么數(shù)量關(guān)系？證明你的猜想．本小題分
如圖，在四邊形中，，的平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．
求證：平分．
若，，求的度數(shù)．
本小題分
如圖，在中，，是的中點(diǎn)，，垂足為，，求的度數(shù)．
 
本小題分
如圖，，，分別為邊上一點(diǎn)，且，．若，求的度數(shù)；若，直接寫出的度數(shù)________．本小題分
如圖，在中，，是邊上的中點(diǎn)，連接，平分交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．
 若，求的度數(shù)；   求證：   本小題分
如圖，已知，，和相交于點(diǎn)．
求證：≌；
判斷的形狀，并說(shuō)明理由．
 

答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】
此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，熟記三角形的高相對(duì)于三角形的三種位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵，此題屬于易錯(cuò)題．等腰三角形的高相對(duì)于三角形有三種位置關(guān)系，三角形內(nèi)部，三角形的外部，三角形的邊上．根據(jù)條件可知第三種高在三角形的邊上這種情況不成了，因而應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論．
【解答】
解： 有兩種情況；
如圖：

當(dāng)是銳角三角形時(shí)，于， 
則 
因?yàn)?/span>， 
所以；
如圖：

當(dāng)是鈍角三角形時(shí)，于， 則．
因?yàn)?/span>， 
所以， 
所以， 
綜合得：等腰三角形的頂角是或  
故選B．  2.【答案】 【解析】解：這個(gè)等腰三角形的一個(gè)底角為：，
故選：．
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．
本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 3.【答案】 【解析】解：在等腰中，為的平分線，，
，
，
，
，
，
，，
，
故選：．
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和判定得出，進(jìn)而解答即可．
此題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和判定得出解答．
 4.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了三角形的內(nèi)角和與等腰三角形的判定和定義．利用三角形的內(nèi)角和為求出第三角是突破點(diǎn)．
由三角形的內(nèi)角和判定選項(xiàng)ABC中的三角形是否為等腰三角形，選項(xiàng)由等腰三角形的定義判斷．
【解答】
解：、由三角形的內(nèi)角和為知：第三個(gè)角的大小為：，
選項(xiàng)中的圖形不是等腰三角形．故A選項(xiàng)符合題意；
B、由三角形的內(nèi)角和為知：第三個(gè)角的大小為：，
選項(xiàng)中的圖形是等腰三角形．故B選項(xiàng)不符合題意；
C、由三角形的內(nèi)角和為知：第三個(gè)角的大小為：，
選項(xiàng)中的圖形是等腰三角形．故C選項(xiàng)不符合題意；
D、由圖形中有兩邊長(zhǎng)為知：選項(xiàng)D中的圖形是等腰三角形．故D選項(xiàng)不符合題意；
故選：．  5.【答案】 【解析】解：是腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為、、，
能組成三角形，
所以，第三邊為；
是底邊時(shí)，三角形的三邊分別為、、，
，
不能組成三角形，
綜上所述，第三邊為．
故選：．
分是腰長(zhǎng)與底邊兩種情況，再根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊討論求解即可．
本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，難點(diǎn)在于要分情況討論．
 6.【答案】 【解析】解：，
與是等腰三角形，
在與中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
和是等腰三角形，
，
≌，
，
是等腰三角形，
故選：．
根據(jù)等腰三角形的判定定理得到與是等腰三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，推出和是等腰三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，得到是等腰三角形．
本題考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
 7.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的判定定理逐個(gè)判斷即可．
【解答】
解：、中，，
是等腰三角形，故正確；
、中，，，
，
，
是等腰三角形，故正確；
中，，平分，
，，
，，
，
是等腰三角形，故正確；
、中，，平分邊，
，
是等腰三角形，故正確；
即正確的個(gè)數(shù)是，
故選D．  8.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，主要利用了等腰三角形兩底角相等，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出，再求出，然后根據(jù)計(jì)算即可得解：
【解答】
解：，，
．
以為圓心，的長(zhǎng)為半徑的圓弧，交于點(diǎn)，
．
，
．
 ．
故選B．  9.【答案】 【解析】【分析】
本題考查三角形的分類，等腰三角形的判定，等邊三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)．
根據(jù)三角形的分類，等腰三角形的判定，等邊三角形的判定一一判斷即可．
【解答】
解：三角形按邊分可分為不等邊三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分為底和腰不相等的三角形和等邊三角形，故錯(cuò)誤．
等邊三角形是特殊的等腰三角形，故正確．
等腰三角形不一定是等邊三角形，故錯(cuò)誤．
有兩邊相等的三角形一定是等腰三角形，故正確，
故選：．  10.【答案】或 【解析】【分析】
本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，做題時(shí)，考慮問(wèn)題要全面，必要的時(shí)候可以做出模型幫助解答，進(jìn)行分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵，難度適中．本題要分當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘氢g角或者等腰三角形的頂角是銳角兩種情況討論即可．
【解答】
解：當(dāng)為銳角三角形時(shí)，如圖，

，，
，
三角形的頂角為；
當(dāng)為鈍角三角形時(shí)，如圖，

，，
，
，
，
三角形的頂角為．
綜上所述，這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)為或．  11.【答案】，或 【解析】解：，，
．
和關(guān)于直線對(duì)稱，
≌，
，，
．
平分，
．
在和中，
，
≌，
．
，
．
當(dāng)時(shí)，
．
，
，
．
當(dāng)時(shí)，
．
，
．
，
．
當(dāng)時(shí)，
，
，
，
．
當(dāng)，或時(shí)，為等腰三角形．
故答案為：，或．
首先由軸對(duì)稱可以得出≌，就可以得出，，在證明≌就可以得出，就可以求出的值；再分三種情況討論解答即可，當(dāng)時(shí)，就可以得出，根據(jù)，就有就可以求出結(jié)論；當(dāng)時(shí)，就可以得出，就有，當(dāng)時(shí)，，就有，從而求出結(jié)論．
本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，等腰三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形的全等是關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：中，，
，
，
，
故答案為．
首先利用等角對(duì)等邊判定等腰三角形，然后利用等腰三角形的性質(zhì)直接得到邊的長(zhǎng)即可．
本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及判定，屬于基礎(chǔ)題，難度較小．
 13.【答案】 【解析】【分析】
本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是等腰三角形的證明，屬于基礎(chǔ)題．只要證明，即可解決問(wèn)題．
【解答】
解：，
，，
和的平分線分別交于點(diǎn)、，
，，
，，
，，
，，，
，即，
，
故答案為．  14.【答案】解：，
理由如下：連接，

，是的中點(diǎn)，
垂直平分線段，，
即，
，
，
，
，，
，

；
．
證明：在線段上取一點(diǎn)，使得，連接，

，是的中點(diǎn)，，
，
，
是等邊三角形，
，，
，由可知
在和中，
，
≌，
，
，，
． 【解析】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．
連接，由等腰三角形的性質(zhì)得出垂直平分線段，，證出，由等腰三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；
在線段上取一點(diǎn)，使得，連接，證出是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得出，，證明≌，由全等三角形的性質(zhì)得出，則可得出結(jié)論．
 15.【答案】證明：如圖

，，，平分，，，，即是等腰三角形；解：理由如下：證明：如上圖所示，
，，，，，，在和中，≌，，平分，，，，，，，． 【解析】本題考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)．
根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得，同位角相等可得，再根據(jù)角平分線的定義可得，然后求出即可得證；
根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得，再求出，然后利用“”證明和全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得，再求出，再根據(jù)，，整理即可得解．
 16.【答案】證明：平分，
．
，
，
，
，
是等腰三角形．
為的中點(diǎn)，
平分，
即平分．
解：，
．
，
．
平分，
．
，，
． 【解析】根據(jù)角平分線的定義得到根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，推出是等腰三角形．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
根據(jù)平行線的性質(zhì)待定的根據(jù)角平分線的定義即可得到結(jié)論．
本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，判斷出是等腰三角形是解題的關(guān)鍵．
 17.【答案】解：，為的中點(diǎn)，等腰三角形，三線合一，，為的角平分線，，又，． 【解析】本題主要考查了等腰三角形三線合一定理、與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于判斷出為的角平分線．根據(jù)題意可得，為等腰三角形，等腰三角形三線合一，故AD為的角平分線，即可得到的度數(shù)，且，的度數(shù)即可求得．
 18.【答案】解：，
，

，
，
，



； ． 【解析】【分析】此題考查三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)．利用三角形內(nèi)角和等于度可得，再利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得出，，再利用平角的定義計(jì)算即可．解法同．【解答】見答案；，
，

，
，
，



．故答案為．  19.【答案】解：，
，
，
，
，，
，
，
．

證明：平分，
，
，
，
，
．

 【解析】利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)證明，再利用等腰三角形的性質(zhì)求出即可解決問(wèn)題．
只要證明即可解決問(wèn)題．
本題考查等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
 20.【答案】證明：，，，
≌；
是等腰三角形，
理由如下：
≌，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形． 【解析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
由“”可證≌；
由全等三角形的性質(zhì)可得，由等腰三角形的性質(zhì)可得，可求，可得，即可得結(jié)論．
 

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