?等腰三角形 同步課時訓練A卷
答案解析
一．選擇題（共30分）
1．如圖，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，若以點B為圓心，BC長為半徑畫弧，交腰AC于點E，則下列結(jié)論一定正確的是（　?。?br />
A．∠EBC＝∠BAC B．∠EBC＝∠ABE C．AE＝EC D．AE＝BE
【考點】等腰三角形的性質(zhì)．
【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵以點B為圓心，BC長為半徑畫弧，交腰AC于點E，
∴BE＝BC，
∴∠ACB＝∠BEC，
∴∠BEC＝∠ABC＝∠ACB，
∴∠A＝∠EBC，
故選：A．
2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A═55°，點P是AB上的一個動點，則∠APC的度數(shù)可能是（　?。?br />
A．55° B．62° C．80° D．130°
【考點】等腰三角形的性質(zhì)．
【分析】依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到∠B＝∠ACB＝62.5°，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可得到62.5°≤∠APC≤125°，即可得到∠APC的度數(shù)可能是80°．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A═55°，
∴∠B＝∠ACB＝62.5°，
∵∠APC是△BCP的外角，
∴∠APC＝∠B+∠BCP，
又∵點P是AB上的一個動點，
∴0≤∠BCP≤62.5°，
∴62.5°≤∠APC≤125°，
∴∠APC的度數(shù)可能是80°，
故選：C．
3．如圖，在4×4方格中，以AB為一邊，第三個頂點也在格點上的等腰三角形可以作出（　　）

A．7個 B．6個 C．4個 D．3個
【考點】等腰三角形的判定．
【分析】根據(jù)等腰三角形的定義，分別以A、B為圓心，AB長為半徑畫弧，作線段AB的垂直平分線，即可得出第三個頂點的位置．
【解答】解：如圖所示，分別以A、B為圓心，AB長為半徑畫弧，則圓弧經(jīng)過的格點C1、C2、C3、C4、C5、C6、C7即為第三個頂點的位置；作線段AB的垂直平分線，垂直平分線未經(jīng)過格點．
故以AB為一邊，第三個頂點也在格點上的等腰三角形可以作出7個．

故選：A．
4．已知在平面直角坐標系xOy中，O（0，0），A（4，3）點B在x軸或y軸上移動，若O、A、B三點可構(gòu)成等腰三角形，則符合條件的B點有（　?。?br /> A．9個 B．8個 C．7個 D．6個
【考點】坐標與圖形性質(zhì)；等腰三角形的判定．
【分析】分三種情況說明：①以點O為圓心，OA長為半徑畫圓，與x軸、y軸有4個交點，②以點A為圓心，OA長為半徑交x軸和y軸的正半軸有2個點，③作OA的垂直平分線交x軸和y軸的正半軸有2個點，即可得符合條件的B點個數(shù)．
【解答】解：分三種情況說明：
①以點O為圓心，OA長為半徑畫圓，
與x軸、y軸有4個交點，
這4個交點分別與點O、A構(gòu)成4個等腰三角形；
②以點A為圓心，OA長為半徑交x軸和y軸的正半軸有2個點，
這2個交點分別與點O、A構(gòu)成2個等腰三角形；
③作OA的垂直平分線交x軸和y軸的正半軸有2個點，
這2個交點分別與點O、A構(gòu)成2個等腰三角形；
綜上所述：符合條件的B點有：4+2+2＝8（個）．
故選：B．
5．如圖，在△ABC中，BC＝4，BD平分∠ABC，過點A作AD⊥BD于點D，過點D作DE∥CB，分別交AB、AC于點E、F，若EF＝2DF，則AB的長為（　?。?br />
A．4 B．6 C．8 D．10
【考點】平行線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)．
【分析】延長AD，BC交于點G，根據(jù)BD平分∠ABC，AD⊥BD于點D，可得AB＝BG，D是AG的中點，依據(jù)DE∥BG，即可得出DE是△ABG的中位線，EF是△ABC的中位線，求得BG＝2DE＝6，即可得到AB＝6．
【解答】解：如圖，延長AD，BC交于點G，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠GBD，
∵AD⊥BD于點D，
∴∠ADB＝∠GDB＝90°，
又∵BD＝BD，
∴△ABD≌△GBD（ASA），
∴AB＝BG，
∴D是AG的中點，
又∵DE∥BG，
∴E是AB的中點，F(xiàn)是AC的中點，
∴DE是△ABG的中位線，EF是△ABC的中位線，
∴EF＝BC＝2，
又∵EF＝2DF，
∴DF＝1，
∴DE＝3，
∴BG＝2DE＝6，
∴AB＝6，
故選：B．

6．如圖，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°；BD平分∠ABC交AC于點D，點E是邊AB上的一點，且滿足ED＝EA；過點D作DF∥CB交AB于點F，則圖中等腰三角形的個數(shù)為（　?。?br />
A．6個 B．7個 C．8個 D．9個
【考點】平行線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)．
【分析】由已知條件，根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180，角的平分線的性質(zhì)求得各個角的度數(shù)，然后利用等腰三角形的判定進行判斷即可．
【解答】解：∵AB＝AC，ED＝EA，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，∠ADE＝36°，△ABC是等腰三角形，△ADE是等腰三角形，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠DBA＝36°＝∠A，
∴∠CDB＝72°，DB＝DA，即△ABD是等腰三角形，
∴∠C＝∠CDB，
∴BC＝BD，即△BCD是等腰三角形，
∵DF∥BC，
∴∠AFD＝∠ADF＝∠C＝72°，∠BDF＝∠DBC＝∠DBF＝36°，
∴AF＝AD，即△ADF是等腰三角形，
BF＝DF，即△BDF是等腰三角形，
∵∠FED＝∠A+∠ADE＝72°＝∠AFD，
∴BE＝BD，即△BDE是等腰三角形，
∵∠FED＝∠EFD＝72°，
∴DF＝DE，即△DEF是等腰三角形，
故圖中等腰三角形有8個，
故選：C．

7．如圖，等邊△OAB的邊長為2，則點B的坐標為（　?。?br />
A．（1，1） B．（1，） C．（，1） D．（，）
【考點】坐標與圖形性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．
【分析】過點B作BH⊥AO于H點，∵△OAB是等邊三角形，所以可求出OH和BH長．
【解答】解：過點B作BH⊥AO于H點，∵△OAB是等邊三角形，

∴OH＝1，BH＝．
∴點B的坐標為（1，）．
故選：B．
8．如圖，在平面直角坐標系中，等邊△OBC的邊OC在x軸正半軸上，點O為原點，點C坐標為（12，0），D是OB上的動點，過D作DE⊥x軸于點E，過E作EF⊥BC于點F，過F作FG⊥OB于點G．當G與D重合時，點D的坐標為（　?。?br />
A．（1，） B．（2，2） C．（4，4） D．（8，8）
【考點】坐標與圖形性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．
【分析】設(shè)BG＝x，依據(jù)∠BFG＝∠CEF＝∠ODE＝30°，可得BF＝2x，CF＝12﹣2x，CE＝2CF＝24﹣4x，OE＝12﹣CE＝4x﹣12，OD＝2OE＝8x﹣24，再根據(jù)當G與D重合時，OD+BG＝OB列方程，即可得到x的值，進而得出點D的坐標．
【解答】解：如圖，設(shè)BG＝x，
∵△OBC是等邊三角形，
∴∠BOC＝∠B＝∠C＝60°，
∵DE⊥OC于點E，EF⊥BC于點F，F(xiàn)G⊥OB，
∴∠BFG＝∠CEF＝∠ODE＝30°，
∴BF＝2x，
∴CF＝12﹣2x，
∴CE＝2CF＝24﹣4x，
∴OE＝12﹣CE＝4x﹣12，
∴OD＝2OE＝8x﹣24，
當G與D重合時，OD+BG＝OB，
∴8x﹣24+x＝12，
解得x＝4，
∴OD＝8x﹣24＝32﹣24＝8，
∴OE＝4，DE＝4，
∴D（4，4）．
故選：C．

9．如圖，在鈍角三角形ABC中，∠ABC為鈍角，以點B為圓心，AB長為半徑畫??；再以點C為圓心，AC長為半徑畫??；兩弧交于點D，連結(jié)AD，CB的延長線交AD于點E．下列結(jié)論錯誤的是（　?。?br />
A．CE垂直平分AD B．CE平分∠ACD
C．△ABD是等腰三角形 D．△ACD是等邊三角形
【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定；等邊三角形的判定．
【分析】依據(jù)作圖可得CA＝CD，BA＝BD，即可得到CB是AD的垂直平分線，依據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，即可得到結(jié)論．
【解答】解：由題可得，CA＝CD，BA＝BD，
∴CB是AD的垂直平分線，
即CE垂直平分AD，故A選項正確；
∴∠CAD＝∠CDA，∠CEA＝∠CED，
∴∠ACE＝∠DCE，
即CE平分∠ACD，故B選項正確；
∵DB＝AB，
∴△ABD是等腰三角形，故C選項正確；
∵AD與AC不一定相等，
∴△ACD不一定是等邊三角形，故D選項錯誤；
故選：D．
10．下列三角形：①有兩個角等于60°的三角形；②有一個角等于60°的等腰三角形；③三個外角（每個頂點處各取一個外角）都相等的三角形；④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形．其中是等邊三角形的有（　?。?br /> A．①②③④ B．①②④ C．①③ D．②③④
【考點】三角形的外角性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的判定．
【分析】根據(jù)等邊三角形的判定判斷，三條邊都相等的三角形是等邊三角形；三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．
【解答】解：①兩個角為60度，則第三個角也是60度，則其是等邊三角形；
②有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形；
③三個外角相等，則三個內(nèi)角相等，則其是等邊三角形；
④根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得該等腰三角形的腰與底邊相等，則三角形三邊相等．
所以都正確．
故選：A．
二 .填空題：（24分）
11.如圖所示，AB＝AC，BD＝BC，若∠A＝40°，則∠ABD＝　?。?br />
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°
∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣∠A）÷2＝70°．
∵BD＝BC，
∴∠C＝∠BDC．
∴∠DBC＝180°﹣2∠C＝40°
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝70°﹣40°＝30°．
故答案為：30°．
12．如圖，A、B兩點在正方形網(wǎng)格的格點上，每個方格都是邊長為1的正方形、點C也在格點上，且△ABC為等腰三角形，則符合條件的點C共有　 個．

【解答】解：①點C以點A為標準，AB為底邊，符合點C的有5個；
②點C以點B為標準，AB為等腰三角形的一條邊，符合點C的有4個．
所以符合條件的點C共有9個．
13.如圖，在正五邊形ABCDE中，DM是邊CD的延長線，連接BD，則∠BDM的度數(shù)是_____．

【答案】144°．
【詳解】
解：∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴∠C＝＝108°，BC＝DC，
∴∠BDC＝＝36°，
∴∠BDM＝180°﹣36°＝144°，
故答案為：144°．

14．如圖，D是等邊三角形外一點．若，連接，則的最大值與最小值的差為_____．

【答案】12
【詳解】
解：如圖1，以CD為邊向外作等邊三角形CDE，連接BE，

∵CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°，
∴∠ECB=∠DCA，
∴△ECB≌△DCA（SAS），
∴BE=AD，
∵DE=CD=6，BD=8，
∴8-6

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2.4 等腰三角形的判定定理

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