第二十七章 相似 一、選擇題(每小題3分，共30分)1．下列圖形中，屬于相似圖形的是(　　)2．下列各組線段中，是成比例線段的是(　　)A．1，2，3，4  B．3，6，9，18  C．1，2，2，6  D．1，，4，3 3．已知△ABC∽△DEF，若∠A＝40°，∠E＝80°，則∠F的度數為(　　)A．30°  B．60°  C．70°  D．80°4．如圖，l1∥l2∥l3，BC＝1，＝，則AB的長為(　　)A．4  B．2  C.  D.      (第4題)  　　 (第5題)5．如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，點O為位似中心，已知BO：OE＝2：1，則△ABC與△DEF的面積比是(　　)A．2：1  B．3：1  C．4：1  D．5：16．如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，下列條件不能判定△ADE與△ACB相似的是(　　)A．∠AED＝∠B            B.＝C．AD·BC＝DE·AC          D．DE∥BC       (第6題)  　　 (第7題)7．如圖，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥CB，兩兩相似的三角形對數為(　　)A．2  B．3  C．4  D．58．如圖，小正方形的邊長均為1，則下列三角形(陰影部分)與△ABC相似的是(　　)      (第8題) 　　　 (第9題)9．如圖，為測量河的寬度，在河對岸選定一個目標點A，在近岸取點B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，點E在BC上，并且點A，E，D在同一條直線上．若測得BE＝15 m，EC＝9 m，CD＝16 m，則河的寬度AB為(　　)A．35 m  B. m  C. m  D. m10．如圖，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，點D，E分別在BC，AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于點F，則△AFE面積的最大值是(　　)A．2  B．3  C．4  D．5         (第10題)　　 (第12題)　　 (第13題)二、填空題(每小題3分，共15分)11．如果＝，那么＝________．12．如圖，在?ABCD中，E是BC邊上的點，連接AE交BD于點F, 若EC＝2BE, EF＝2，則AE＝________．13．如圖，有一組平行橫格線，相鄰橫格線間的距離都相等，已知點A，B，C，D，O都在橫格線上，且線段AD，BC交于點O，則ABCD等于________．14．在平面直角坐標系中，點C，D的坐標分別為(2，3)，(1，0)，現以原點為位似中心，將線段CD放大得到線段AB，若點D的對應點B在x軸上且OB＝2，則點C的對應點A的坐標為__________．15．如圖，n個邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點P1，P2，P3，…，Pn分別為邊B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn＋1的中點，△B1C1P1的面積為S1，△B2C2P2的面積為S2，…，△BnCnPn的面積為Sn.(1)S1＝________；(2)Sn＝________(用含n的式子表示)．三、解答題(一)(每小題8分，共24分)16．若＝＝，且3a＋2b－4c＝9，求a＋b＋c的值．     17．如圖，△ABC在方格紙(小正方形的邊長均為1)中．(1)請在方格紙上建立平面直角坐標系，使點A的坐標為(3，4)，點C的坐標為(7，3)，并寫出點B的坐標；(2)以(1)中所建立的坐標系的原點O為位似中心，相似比為21，在第一象限內將△ABC放大，畫出放大后的位似圖形△A′B′C′；(3)計算△A′B′C′的面積S.  18．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，E，D分別是BC，AC上的點，且∠AED＝45°.(1)求證：△ABE∽△ECD；(2)若AB＝4，BE＝，求CD的長．      四、解答題(二)(每小題9分，共27分)19．如圖，小強在地面E處放一個平面鏡，剛好能從平面鏡中看到教學樓的頂端B，此時EA＝25米，CE＝2.5米．已知眼睛距離地面的高度DC＝1.6米，請計算出教學樓AB的高度．        20．如圖，CD是Rt△ABC斜邊AB上的高，E為CB的中點，ED的延長線交CA的延長線于點F. 求證：AC·CF＝CB·DF.       21．如圖，在梯形ABCD中， AD∥BC, AB⊥BC，∠AEB＝∠ADC.(1)求證：△ADE∽△DBC；(2)連接EC，若CD2 ＝AD·BC ，求證：∠DCE＝∠ADB.         五、解答題(三)(每小題12分，共24分)22．如圖，BC是⊙O的一條弦，過點O作OM⊥BC于點M，延長MO交⊙O于點A，連接AB，AC，∠ABC的平分線交AM于點D，交⊙O于點F，并與過點A的⊙O的切線交于點G.(1)求證：AB＝AG；(2)連接AF，若AB＝10，BC＝12，求AF的長．      23．如圖，在△ABC中，BA＝BC＝20 cm，AC＝30 cm，點P從點A出發(fā)，沿AB以每秒4 cm的速度向點B運動；同時點Q從點C出發(fā)，沿CA以每秒3 cm的速度向點A運動，當其中一個動點停止，另一個動點也停止運動，設運動時間為x秒．(1)當x為何值時，PQ∥BC；(2)是否存在某一時刻，使△APQ與△CQB相似？若存在，求出此時AP的長；若不存在，請說明理由．
答案一、1.D　2.B　3.B　4.C　5.C　6.C　7.B　8.B　9.C10．A　點撥：連接DE，過點D作DH⊥AB于點H，如圖．∵CD＝2BD，CE＝2AE，∴＝＝2，∴DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，△DEF∽△ABF，∴＝，＝.易知＝，∴＝＝，∴＝，∴＝，∵DE∥AB，∴S△ABE＝S△ABD，∴S△ABE－S△ABF＝S△ABD－S△ABF，∴S△AEF＝S△BDF＝S△ABD.∵AB＝6，是定值，∴當DH最大時，△ABD的面積最大，∵DH≤BD，易知BD＝BC＝，∴當DH＝時，△ABD的面積最大，最大值為××6＝5，∴△AFE面積的最大值是×5＝2.二、11.　12.8　13.2∶3　14.(4，6)或(－4，－6)15．(1)　(2)　三、16.解：設＝＝＝k(k≠0)，則a＝3k，b＝5k，c＝7k，代入3a＋2b－4c＝9，得9k＋10k－28k＝9，解得k＝－1，∴a＋b＋c＝15k＝－15.  17．解：(1)建立平面直角坐標系如圖所示．點B的坐標為(3，2)．(2)△A′B′C′如圖所示．(3)△A′B′C′的面積S為×4×8＝16.18．(1)證明：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°.∵∠AEC＝∠B＋∠BAE＝∠AED＋∠CED，∠AED＝45°，∴∠BAE＝∠CED，∴△ABE∽△ECD.(2)解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∴BC＝4 .∵BE＝，∴EC＝3 .∵△ABE∽△ECD，∴＝，即＝，解得CD＝.四、19.解：根據題意得∠AEB＝∠CED，∠BAE＝∠DCE＝90°，∴△AEB∽△CDE，∴＝，即＝，解得AB＝16米．答：教學樓AB的高度為16米．20．證明：∵CD是Rt△ABC斜邊AB上的高，E為CB的中點，∴CE＝EB＝DE，∴∠B＝∠BDE＝∠FDA.∵∠B＋∠CAB＝90°，∠FCD＋∠CAB＝90°，∴∠B＝∠FCD，∴∠FDA＝∠FCD.又∵∠F＝∠F，∴△FDA∽△FCD，∴＝.∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD，∴＝，∴＝，即AC·CF＝CB·DF. 21．證明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DBC，∠ADC＋∠C＝180°，∵∠AEB＝∠ADC，∠AEB＋∠AED＝180°，∴∠AED＝∠C，∴△ADE∽△DBC.(2)由(1)得△ADE∽△DBC，∴＝，∴DB·DE＝AD·BC，∵CD2＝AD·BC，∴CD2＝DB·DE，∴＝.又∵∠CDE＝∠BDC，∴△CDE∽△BDC，∴∠DCE＝∠DBC，∵∠ADB＝∠DBC，∴∠DCE＝∠ADB.五、22. (1)證明：∵BG平分∠ABC，∴∠ABG＝∠CBG，∵AG是⊙O的切線，∴AG⊥AM，∵AM⊥BC，∴AG∥BC，∴∠G＝∠CBG，∴∠G＝∠ABG，∴AB＝AG.(2)解：設AC與BG交于點N，由(1)知AG＝AB＝10.∵OM⊥BC，∴＝，∴∠C＝∠ABC，AC＝AB＝10，∵AG∥BC，∴∠GAN＝∠C，∴∠ABC＝∠GAN，∵∠GAN＝∠GAF＋∠FAN，∠ABC＝∠FBC＋∠ABG，∠FAN＝∠FBC，∴∠GAF＝∠ABG.由(1)知∠G＝∠ABG，∴∠GAF＝∠G，∴AF＝GF.∵AG∥BC，∴△GAN∽△BCN，∴＝＝＝＝，∴易得CN＝，設NG＝5x，AF＝GF＝y(x>0，y>0)，則BN＝6x，∴BG＝11x，∵∠ABF＝∠NBC，∠AFB＝∠C，∴△ABF∽△NBC，∴＝＝，∴＝＝，解得x＝，y＝，∴AF＝.23．解：(1)由題意知，AP＝4x cm，CQ＝3x cm.若PQ∥BC，則△APQ∽△ABC，∴＝，即＝，解得x＝，∵∴0<x≤5，∴x＝符合題意，即當x＝時，PQ∥BC.(2)存在．∵AB＝BC，∴∠A＝∠C，分以下兩種情況：①當△APQ∽△CQB時，＝，即＝，解得x1＝，x2＝0(舍去)．經檢驗，x＝是上述方程的解．∴當AP＝ cm時，△APQ∽△CQB；②當△APQ∽△CBQ時，＝，即＝，解得x3＝5，x4＝－10(舍去)．經檢驗，x＝5是上述方程的解．∴當AP＝20 cm時，△APQ∽△CBQ.綜上所述，當AP的長為cm或20 cm時，△APQ與△CQB相似．
 

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