一次函數(shù)與正比例函數(shù)的定義 一次函數(shù)與正比例函數(shù)的關(guān)系
什么叫函數(shù)? 在某個變化過程中，有兩個變量x和y，如果給定一個x值，相應地就確定一個y值，那么我們稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量. 函數(shù)有圖象、表格、關(guān)系式三種表達方式.
一次函數(shù)與正比例函數(shù)的定義
某彈簧的自然長度為3 cm.在彈性限度內(nèi)，所掛物體的質(zhì)量x每增 加1 kg,彈簧長度y增加0.5 cm.(1)計算所掛物體的質(zhì)量分別為1kg，2 kg，3 kg，4 kg，5 kg時彈 簧的長度，并填入下表：(2)你能寫出y與x之間的關(guān)系式嗎？
做一做某輛汽車油箱中原有汽油60 L，汽車每行駛50 km耗油6 L.（1）完成下表： (2)你能寫出耗油量y（L )與汽車行駛路程x(km)之間的關(guān)系式嗎？ (3)你能寫出油箱剩余油量z ( L )與汽車行駛路程x( km)之間的關(guān) 系式嗎？
一次函數(shù)： 若兩個變量x，y間的對應關(guān)系可以表示成 y=kx+b(k，b為常數(shù)，k≠0) 的形式，則稱y是x的一次函數(shù).
特別提醒一次函數(shù)y=kx+b(k≠0）的結(jié)構(gòu)特征：（1）k ≠ 0；（2）自變量x的次數(shù)是1；（3）常數(shù)項b可以是任意實數(shù).函數(shù)是一次函數(shù)函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b（k，b 是常數(shù)，k ≠ 0）.
已知函數(shù)y＝(n2－4)x2＋(2n－4)xm－2 －(m＋n－8)． (1)當m，n為何值時，函數(shù)是一次函數(shù)？ (2)如果函數(shù)是一次函數(shù)，計算當x＝1時的函數(shù)值． 導引：緊扣一次函數(shù)定義的三大特征及函數(shù)值的求法求解.
解：(1)由題意，得n2－4＝0，m－2＝1，2n－4≠0. 所以m＝3，n＝－2. 所以當m＝3，n＝－2時，函數(shù)是一次函數(shù)． (2)由(1)得此一次函數(shù)關(guān)系式為y＝－8x＋7. 當x＝1時，y＝－8×1＋7＝－1.
根據(jù)一次函數(shù)定義求待定字母的值時，要注意：(1) 函數(shù)關(guān)系式是自變量的一次式，若含有一次以上 的項，則其系數(shù)必為0；(2) 注意隱含條件：一次項的系數(shù)不為0.
定義：一般地，形如y＝kx(k是常數(shù)，k≠0)的函數(shù)，叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù)．
也就是一次函數(shù)中當b=0時，稱y＝ kx是x的正比例函數(shù) . 即正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù).
已知函數(shù)y＝(k－2)x|k|－1(k為常數(shù))是正比 例函數(shù)，則k＝________． 導引：根據(jù)正比例函數(shù)的定義，此函數(shù)關(guān)系式應滿 足：(1)自變量x的指數(shù)為1，即|k|－1＝1， 所以k＝±2；(2)比例系數(shù)k－2≠0，即k≠2. 綜上，k＝－2.
由正比例函數(shù)的定義知正比例函數(shù)的自變量的指為1；應用定義求值時，不要忽視比例系數(shù)不為0這一條件．
一次函數(shù)與正比例函數(shù)的關(guān)系
1.正比例函數(shù)y＝kx (k≠0)是一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0) 中b＝0的特例，即正比例函數(shù)都是一次函數(shù)，但一 次函數(shù)不一定是正比例函數(shù).2.若已知y與x成正比例，則可設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y＝kx（k≠0）； 若已知y是x的一次函數(shù) ，則可設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y＝kx ＋b(k，b是常數(shù)，k≠0)．
寫出下列各題中y與x之間的關(guān)系式，并判斷： y是否為x的一次函數(shù)？是否為正比例函數(shù)？ (1)汽車以60 km/h的速度勻速行駛，行駛路程 y( km )與行駛時間x (h)之間的關(guān)系； (2)圓的面積y（cm2)與它的半徑x (cm)之間的關(guān) 系； (3)某水池有水15 m3,現(xiàn)打開進水管進水，進水 速度為5 m3/h, x h后這個水池內(nèi)有水ym3.
解：(1)由路程=速度×時間，得y = 60x，y是x的一次函 數(shù)，也是x的正比例函數(shù)； (2)由圓的面積公式，得y= πx2, y不是x的正比例函 數(shù)，也不是x的一次函數(shù)； (3)這個水池每時增加5 m3水，x h增加5xm3水，因 而y=15 + 5x, y是x的一次函數(shù)，但不是x的正比 例函數(shù).
已知函數(shù)y＝(m－1)x＋1－3m. (1)當m為何值時，y是x的一次函數(shù)？ (2)當m為何值時，y是x的正比例函數(shù)？ 解：(1) 根據(jù)一次函數(shù)的定義可得：m－1≠0，所以 m≠1，即當m≠1時，y是x的一次函數(shù)． (2) 根據(jù)正比例函數(shù)的定義可得：m－1≠0且 1－3m＝0，所以m＝ ，即當m＝ 時， y是x的正比例函數(shù)．
我國自2011年9月1日起，個人工資、薪金所得稅征收辦 法規(guī)定：月收入不超過3 500元的部分不收稅；月收入 超過3 500元但不超過5 000元的部分征收3%的所得稅…… 如某人月收入3 860元，他應繳納個人工資、薪金所得稅 為（3 860-3 500) ×3% = 10.8 (元）. (1) 當月收入超過3 500元而又不超過5 000元時，寫出應 繳納個人工資、 薪金所得稅y(元）與月收入x (元） 之間的關(guān)系式； (2) 某人月收入為4 160元，他應繳納個人工資、薪金所 得稅多少元？
(3) 如果某人本月繳納個人工資、薪金所得稅19.2元， 那么此人本月工資、 薪金收入是多少元？解：（1）當月收入超過3 500元而不超過5 000元時， y = (x -3 500) × 3%,即y= 0.03x-105; （2）當 x = 4160 時，y = 0.03 × 4160-105 = 19.8 (元)； （3）因為（5000-3500) × 3% = 45 (元），19.2

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2 一次函數(shù)與正比例函數(shù)

版本： 北師大版

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