廣東省2022年中考數學總復習講練課件：培優(yōu)突破練6 開放探索性問題-課件下載-教習網

1．(12分)我國著名數學家華羅庚說過“數缺形時少直觀，形少數時難入微”，數形結合是解決數學問題的重要思想方法．例如，代數式|x－2|的幾何意義是數軸上x所對應的點與2所對應的點之間的距離，因為|x＋1|＝|x－(－1)|，所以|x＋1|的幾何意義就是數軸上x所對應的點與－1所對應的點之間的距離．
(1)發(fā)現問題：代數式|x＋1|＋|x－2|的最小值是多少？(2)探究問題：如圖，點A，B，P分別表示數－1,2，x，AB＝3．∵|x＋1|＋|x－2|的幾何意義是線段PA與PB的長度之和，∴當點P在線段AB上時，PA＋PB＝3，當點P在點A的左側或點B的右側時，PA＋PB＞3．∴|x＋1|＋|x－2|的最小值是3．
(3)解決問題：①|x－4|＋|x＋2|的最小值是________；②利用上述思想方法解不等式：|x＋3|＋|x－1|＞4；?③當a為何值時，代數式|x＋a|＋|x－3|的最小值是2．
解：①|x－4|＋|x＋2|的最小值是6．故答案為6．②如圖，滿足|x＋3|＋|x－1|＞4的x范圍為x＜－3或x＞1．?③由題意得|－a－3|＝2，∴－a－3＝2或－a－3＝－2，解得a＝－5或a＝－1，即當a為－1或－5時，代數式|x＋a|＋|x－3|的最小值是2．
2．(12分)綜合與實踐問題情境在綜合與實踐課上，老師讓同學們以“菱形紙片的剪拼”為主題開展數學活動，如圖1，將一張菱形紙片ABCD(∠BAD＞90°)沿對角線AC剪開，得到△ABC和△ACD．
操作發(fā)現(1)將圖1中的△ACD以點A為旋轉中心，按逆時針方向旋轉角α，使α＝∠BAC，得到如圖2所示的△AC′D，分別延長BC和DC′交于點E，則四邊形ACEC′的形狀是________；(2)創(chuàng)新小組將圖1中的△ACD以點A為旋轉中心，按逆時針方向旋轉角α，使α＝2∠BAC，得到如圖3所示的△AC′D，連接DB，C′C，得到四邊形BCC′D，發(fā)現它是矩形，請你證明這個結論；
實踐探究(3)縝密小組在創(chuàng)新小組發(fā)現結論的基礎上，量得圖3中BC＝13 cm，AC＝10 cm，然后提出一個問題：將△AC′D沿著射線DB方向平移a cm，得到△A′C″D′，連接BD′，CC″，使四邊形BCC″D′恰好為正方形，求a的值，請你解答此問題；(4)請你參照以上操作，將圖1中的△ACD在同一平面內進行一次平移，得到△A′C′D′，畫出平移后構造出的新圖形，標明字母，說明平移及構圖方法，寫出你發(fā)現的結論，不必證明．
(1)解：如圖1，由題意可得∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠1＝∠4，故AC′∥CE，AC∥C′E，則四邊形ACEC′是平行四邊形，又AC＝AC′，故四邊形ACEC′的形狀是菱形．故答案為菱形．
(3)如圖1，線段MN與二次函數y＝－x2＋4x＋n的相關函數的圖象恰有1個公共點．所以當x＝2時，y＝1，即－4＋8＋n＝1，解得n＝－3．
如圖2，線段MN與二次函數y＝－x2＋4x＋n的相關函數的圖象恰有2個公共點∵拋物線y＝x2－4x－n與y軸交點縱坐標為1，∴－n＝1，解得n＝－1，∴當－3＜n≤－1時，線段MN與二次函數y＝－x2＋4x＋n的相關函數的圖象恰有2個公共點．
如圖3，線段MN與二次函數y＝－x2＋4x＋n的相關函數的圖象恰有3個公共點．∵拋物線y＝－x2＋4x＋n經過點(0,1)，∴n＝1．
(2)⊙T的圓心為(t,0)，半徑為3，直線y＝x＋2與x，y軸分別交于E，F兩點，P為⊙T上一點，若線段EF上存在點P關于⊙T的“折轉點”，且對應的“折轉三角形”是底邊長為2的等腰三角形，直接寫出t的取值范圍．
②如圖，點D為點O關于線段AB的折轉點，則在線段AB上存在點C，使得∠ODC＝90°，即點D在以OC為直徑的圓上(不含O，C點)，因此，當點C在AB上運動時，所有可能的D點組成的圖形為：以(1,0)為圓心，半徑為1的圓，和以(2,0)為圓心，半徑為2的圓及其之間的部分(不含x軸上的點)．直線y＝－x與內圓交于點E，與外圓交于點F，線段EF即為直線上D點可能的位置，
過點E作EH⊥x軸于點H，連接BE，則∠OEB＝90°，因為直線y＝－x，∠AOE＝45°，因此△OEB為等腰直角三角形，OE＝BE．由三線合一，知OH＝HB，H為(1,0)，即E點橫坐標為1，同理可得，F點橫坐標為2，∴點D的橫坐標取值范圍是1≤xD≤2．
(2)根據題意，記線段EF上的點是Q，當⊙T上存在一點C，使∠PQC＝90°，則線段EF上存在點P關于⊙T的“折轉點”．∵“折轉三角形”是等腰直角三角形，∴Q點一定在線段PC的垂直平分線上，∵P，C都是圓上的點，線段PC是⊙T的弦，∴圓心T也在線段PC的垂直平分線上，∴點T和點Q是共線的，且它們之間的距離是固定的．