4．已知⊙O的半徑為10，弦AB∥CD，AB＝12，CD＝16，則AB和CD的距離為(　　)A．14B．2　C．14或2D．14或8
②當(dāng)AB，CD在圓心O的同側(cè)時(shí)，如圖2，同理得EF＝OF－OE＝8－6＝2．綜上所述，AB和CD的距離為14或2．故選C．
5．如圖，在矩形紙片ABCD中，長AD＝8 cm，寬AB＝4 cm，折疊紙片，使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，交AD邊于點(diǎn)E，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，展平后得到折痕BE，同時(shí)得到線段BA′，EA′，不再添加其他線段，當(dāng)圖中存在30°角時(shí)，AE的長為(　　)
9．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一邊為邊畫等腰三角形，使得它的第三個(gè)頂點(diǎn)在△ABC的其他邊上，則可以畫出的不同的等腰三角形的個(gè)數(shù)最多為(　　)A．4B．5　C．6D．7
【解析】①以點(diǎn)B為圓心，BC長為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)D，則△BCD是等腰三角形；②以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)E，則△ACE是等腰三角形；③以點(diǎn)C為圓心，BC長為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)F，則△BCF是等腰三角形；
④以點(diǎn)C為圓心，BC長為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)G，則△BCG是等腰三角形；⑤作AC的垂直平分線交AB于點(diǎn)H，則△ACH是等腰三角形；⑥作AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)I，則△AIB是等腰三角形；⑦作BC的垂直平分線交AB于點(diǎn)J，則△BCJ是等腰三角形．共有7個(gè)等腰三角形，故選D．
則△ABP為等腰三角形，可分為三種情況：①當(dāng)AB＝BP時(shí)，以B點(diǎn)為圓心，AB長為半徑作圓，與拋物線交于C，M，N三點(diǎn)；②當(dāng)AB＝AP時(shí)，以A點(diǎn)為圓心，AB長為半徑作圓，與拋物線交于C，M兩點(diǎn)；③當(dāng)AP＝BP時(shí)，作線段AB的垂直平分線，交拋物線交于C，M兩點(diǎn)．∴能使△ABP為等腰三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為3．故選A．
二、填空題(本大題共7小題，每小題4分，共28分)11．已知正方形ABCD，以CD為邊作等邊△CDE，則∠AED的度數(shù)是______________．
(－3,0)或(－5,0)　
15．在矩形紙片ABCD中，AB＝9，BC＝6，在矩形邊上有一點(diǎn)P，且DP＝3．將矩形紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)P重合，折痕所在直線交矩形兩邊于點(diǎn)E，F(xiàn)，則EF的長為____________．
16．如圖，正方形ABCD的邊長是16，點(diǎn)E在邊AB上，AE＝3，F(xiàn)是邊BC上不與點(diǎn)B，C重合的一個(gè)動點(diǎn)，把△EBF沿EF折疊，點(diǎn)B落在B′處．若△CDB′恰為等腰三角形，則DB′的長為___________．
②如圖2，當(dāng)DB′＝CD時(shí)，則DB′＝16(易知點(diǎn)F在BC上且不與點(diǎn)C，B重合)；③當(dāng)CB′＝CD時(shí)，∵EB＝EB′，CB＝CB′，∴點(diǎn)E，C在BB′的垂直平分線上，∴EC垂直平分BB′，由折疊可知點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，不符合題意，舍去．
17．如圖，在△ABC中，AB＝BC＝4，AO＝BO，P是射線CO上的一個(gè)動點(diǎn)，∠AOC＝60°，則當(dāng)△PAB為直角三角形時(shí)，AP的長為_______________．
三、解答題(本大題共2小題，共22分)18．(10分)如圖，四邊形ABCD為正方形，E為對角線AC上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交射線BC于點(diǎn)F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．(1)求證：矩形DEFG是正方形；(2)當(dāng)線段DE與正方形ABCD的某條邊的夾角是37°時(shí)，求∠EFC的度數(shù)．
(1)證明：如圖1，過點(diǎn)E分別作EP⊥CD于點(diǎn)P，EQ⊥BC于點(diǎn)Q．∴∠EQF＝∠EPD＝∠QEP＝90°．由題意得∠DCA＝∠BCA＝45°，∴EQ＝EP．∵四邊形DEFG為矩形，∴∠FED＝90°．∴∠QEF＋∠PEF＝∠PED＋∠PEF＝90°．∴∠QEF＝∠PED．
(2)解：①如圖2，DE與AD的夾角為37°時(shí)，即∠ADE＝37°．∵∠ADC＝90°，∴∠EDC＝53°．∵∠EDC＋∠DEF＋∠EFC＋∠FCD＝360°，∴∠EFC＝360°－90°－90°－53°＝127°．
②如圖3，令EF交DC于點(diǎn)H．當(dāng)DE與DC的夾角為37°時(shí)，即∠EDC＝37°．∵∠DEF＝∠DCF＝90°，∴∠EHD＝∠CHF，∴∠EDC＝∠EFC＝37°．綜上，可得∠EFC＝37°或∠EFC＝127°．
19．(12分)如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0)，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,4)．
解：(1)∵拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,4)，∴可設(shè)拋物線解析式為y＝a(x－1)2＋4．∵點(diǎn)B(3,0)在該拋物線上，∴0＝a(3－1)2＋4，解得a＝－1．∴拋物線解析式為y＝－(x－1)2＋4，即y＝－x2＋2x＋3．
∵點(diǎn)D在y軸上，令x＝0可得y＝3，∴點(diǎn)D坐標(biāo)為(0,3)．∴可設(shè)直線BD解析式為y＝kx＋3，把點(diǎn)B坐標(biāo)代入可得3k＋3＝0，解得k＝－1，∴直線BD的解析式為y＝－x＋3．
(3)存在．如圖，過點(diǎn)Q作QG∥y軸交BD于點(diǎn)G，交x軸于點(diǎn)E，作QH⊥BD于點(diǎn)H，設(shè)Q(x，－x2＋2x＋3)，則G(x，－x＋3)，∴QG＝|－x2＋2x＋3－(－x＋3)|＝|－x2＋3x|．易得△BOD是等腰直角三角形，∴∠DBO＝45°．∴∠HGQ＝∠BGE＝45°．

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