1.理解確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.2.能根據(jù)圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題.
1.圓的定義和圓的方程
2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系平面上的一點(diǎn)M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關(guān)系：(1)|MC|>r?M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?M在圓外；(2)|MC|＝r?M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；(3)|MC|0，解得a>0或a0.若過(0,0)，(4,0)，(－1,1)，
所以圓的方程為x2＋y2－4x－6y＝0，即(x－2)2＋(y－3)2＝13；
若過(0,0)，(4,0)，(4,2)，
所以圓的方程為x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5；
若過(0,0)，(4,2)，(－1,1)，
若過(－1,1)，(4,0)，(4,2)，
(2)(2022·全國(guó)甲卷)設(shè)點(diǎn)M在直線2x＋y－1＝0上，點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在⊙M上，則⊙M的方程為___________________.
(x－1)2＋(y＋1)2＝5
方法一　設(shè)⊙M的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∴⊙M的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
方法二　設(shè)⊙M的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
∴⊙M的方程為x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
方法三　設(shè)A(3,0)，B(0,1)，⊙M的半徑為r，
∴M(1，－1)，∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，∴⊙M的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
求圓的方程的常用方法(1)直接法：直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，寫出方程.(2)待定系數(shù)法①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a，b，r的值；②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值.
跟蹤訓(xùn)練1　(1)圓心在y軸上，半徑長(zhǎng)為1，且過點(diǎn)A(1,2)的圓的方程是A.x2＋(y－2)2＝1B.x2＋(y＋2)2＝1C.(x－1)2＋(y－3)2＝1D.x2＋(y－3)2＝4
根據(jù)題意可設(shè)圓的方程為x2＋(y－b)2＝1，因?yàn)閳A過點(diǎn)A(1,2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，所以所求圓的方程為x2＋(y－2)2＝1.
(2)若圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且圓心在直線y＝－2x＋3上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)半徑最小時(shí)，圓的方程為__________________.
例2　已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(－1,0)，B(3,0).求：(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；
方法一　設(shè)C(x，y)，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不共線，所以y≠0.因?yàn)锳C⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，
化簡(jiǎn)得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).
所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
設(shè)M(x，y)，C(x0，y0)，因?yàn)锽(3,0)，且M是線段BC的中點(diǎn)，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，將x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1(y≠0).因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
(2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程.
求與圓有關(guān)的軌跡問題的常用方法(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程.(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程.(3)相關(guān)點(diǎn)代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式.
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，
整理得x2＋y2＝2，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為x2＋y2＝2.
(2)已知點(diǎn)B(6,0)，點(diǎn)A在軌跡C上運(yùn)動(dòng)，求線段AB上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)Q的軌跡方程.
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(xA，yA)，因?yàn)镼是線段AB上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，
又點(diǎn)A在軌跡C上運(yùn)動(dòng)，由(1)有(3x－12)2＋(3y)2＝2，
命題點(diǎn)1　利用幾何性質(zhì)求最值例3　(2022·泉州模擬)已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：
(2)y－x的最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值.
命題點(diǎn)2　利用函數(shù)求最值
由于點(diǎn)P(x，y)是圓上的點(diǎn)，故其坐標(biāo)滿足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，
由于點(diǎn)P(x，y)是圓上的點(diǎn)，故其坐標(biāo)滿足方程(x－3)2＋y2＝4，故y2＝－(x－3)2＋4，
由圓的方程(x－3)2＋y2＝4，易知1≤x≤5，
與圓有關(guān)的最值問題的求解方法
(2)建立函數(shù)關(guān)系式求最值：列出關(guān)于所求目標(biāo)式子的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法、基本不等式法等求最值.
(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均為動(dòng)點(diǎn))且與圓C有關(guān)的折線段的最值問題的基本思路：①“動(dòng)化定”，把與圓上動(dòng)點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離；②“曲化直”，即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過對(duì)稱性解決.
跟蹤訓(xùn)練3　(1)設(shè)P(x，y)是圓(x－2)2＋y2＝1上的任意一點(diǎn)，則(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是A.6 B.25 C.26 D.36
(x－5)2＋(y＋4)2表示點(diǎn)P(x，y)到(5，－4)的距離的平方，∵P(x，y)是圓(x－2)2＋y2＝1上的任意一點(diǎn)，∴(x－5)2＋(y＋4)2的最大值為圓心(2,0)到(5，－4)的距離與半徑之和的平方，
圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0可化為(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心為(1,1)，半徑為1，
設(shè)過點(diǎn)(－1,0)的圓的切線斜率為k，則圓的切線方程為y－0＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，由圓心到切線的距離等于半徑，
1.(2023·六安模擬)圓心為(1，－2)，半徑為3的圓的方程是A.(x＋1)2＋(y－2)2＝9 B.(x－1)2＋(y＋2)2＝3C.(x＋1)2＋(y－2)2＝3 D.(x－1)2＋(y＋2)2＝9
因?yàn)閳A心為(1，－2)，半徑為3，所以圓的方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝9.
2.(2023·寧德模擬)已知點(diǎn)M(3,1)在圓C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，則k的取值范圍為
∵圓C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0，∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝1－2k，
3.若△AOB的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2,0)，B(0，－4)，O(0,0)，則△AOB外接圓的圓心坐標(biāo)為A.(1，－1) B.(－1，－2)C.(1，－2) D.(－2,1)
由題意得△AOB是直角三角形，且∠AOB＝90°.所以△AOB的外接圓的圓心就是線段AB的中點(diǎn)，設(shè)圓心坐標(biāo)為(x，y)，
故所求圓心坐標(biāo)為(1，－2).
4.圓C：x2＋y2－2x－3＝0關(guān)于直線l：y＝x對(duì)稱的圓的方程為A.x2＋y2－2y－3＝0 B.x2＋y2－2y－15＝0C.x2＋y2＋2y－3＝0 D.x2＋y2＋2y－15＝0
由題意，得圓C：(x－1)2＋y2＝4的圓心為(1,0)，半徑為2，故其關(guān)于直線l：y＝x對(duì)稱的圓的圓心為(0,1)，半徑為2，故對(duì)稱圓的方程為x2＋(y－1)2＝4，即x2＋y2－2y－3＝0.
5.點(diǎn)M，N是圓x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上的不同兩點(diǎn)，且點(diǎn)M，N關(guān)于直線l：x－y＋1＝0對(duì)稱，則該圓的半徑等于
因?yàn)辄c(diǎn)M，N在圓x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且點(diǎn)M，N關(guān)于直線l：x－y＋1＝0對(duì)稱，所以直線l：x－y＋1＝0經(jīng)過圓心，
6.自圓C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一點(diǎn)P引該圓的一條切線，切點(diǎn)為Q，PQ的長(zhǎng)度等于點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離，則點(diǎn)P的軌跡方程為A.8x－6y－21＝0 B.8x＋6y－21＝0C.6x＋8y－21＝0 D.6x－8y－21＝0
由題意得，圓心C的坐標(biāo)為(3，－4)，半徑r＝2，如圖所示.
即6x0－8y0－21＝0，結(jié)合選項(xiàng)知D符合題意.
7.已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標(biāo)為___________，半徑為___.
由圓的一般方程的形式知，a＋2＝a2，解得a＝2或a＝－1.
∴a＝2不符合題意；當(dāng)a＝－1時(shí)，方程可化為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，∴圓心坐標(biāo)為(－2，－4)，半徑為5.
8.已知等腰△ABC，其中頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,0)，底邊的一個(gè)端點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,1)，則另一個(gè)端點(diǎn)C的軌跡方程為_________________________________.
x2＋y2＝2(除去點(diǎn)(1,1)和點(diǎn)(－1，－1))
設(shè)C(x，y)，根據(jù)在等腰△ABC中|AB|＝|AC|，可得(x－0)2＋(y－0)2＝(1－0)2＋(1－0)2，即x2＋y2＝2.考慮到A，B，C三點(diǎn)要構(gòu)成三角形，因此點(diǎn)C不能為(1,1)和(－1，－1).所以點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋y2＝2(除去點(diǎn)(1,1)和點(diǎn)(－1，－1)).
9.已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A(1,1)和點(diǎn)B(2，－2)，且圓心C在直線l：x－y＋1＝0上.線段PQ的端點(diǎn)P的坐標(biāo)是(5,0)，端點(diǎn)Q在圓C上運(yùn)動(dòng)，求線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程.
所以直線m的方程為x－3y－3＝0.
所以圓C的方程為(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
設(shè)點(diǎn)M(x，y)，Q(x0，y0).因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為(5,0)，
又點(diǎn)Q(x0，y0)在圓C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝25上運(yùn)動(dòng)，所以(x0＋3)2＋(y0＋2)2＝25，即(2x－5＋3)2＋(2y＋2)2＝25.
10.已知圓C1經(jīng)過點(diǎn)A(1,3)和B(2,4)，圓心在直線2x－y－1＝0上.(1)求圓C1的方程；
∴AB的垂直平分線為y＝5－x，
即圓C1的圓心坐標(biāo)為(2,3)，半徑r＝1，其方程為(x－2)2＋(y－3)2＝1.
(2)若M，N分別是圓C1和圓C2：(x＋3)2＋(y＋4)2＝9上的點(diǎn)，點(diǎn)P是直線x＋y＝0上的點(diǎn)，求|PM|＋|PN|的最小值，以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
注意到點(diǎn)C1(2,3)和點(diǎn)C2(－3，－4)在直線x＋y＝0的兩側(cè)，直線x＋y＝0與兩圓分別相離，如圖所示.
當(dāng)且僅當(dāng)M，N，P在線段C1C2上時(shí)取等號(hào)，此時(shí)點(diǎn)P為直線C1C2與x＋y＝0的交點(diǎn)，過C1，C2的直線方程為7x－5y＋1＝0，
A.1 B.2 C.3 D.4
圓x2＋y2－4x＋4y＝0，即(x－2)2＋(y＋2)2＝8，圓心為(2，－2)，依題意，點(diǎn)(2，－2)在直線ax－by－6＝0上，則有2a－(－2)b－6＝0，整理得a＋b＝3，而a>0，b>0，
12.(多選)已知圓x2＋y2－2x－4y＋a－5＝0上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線3x－4y－15＝0的距離為1，則實(shí)數(shù)a的可能取值為A.－12　　　B.－8　　　C.6　　　D.－1
由題意可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－1)2＋(y－2)2＝10－a，
則圓心到與直線3x－4y－15＝0平行且距離為1的直線的距離分別為3和5，
13.(多選)已知圓M與直線x＋y＋2＝0相切于點(diǎn)A(0，－2)，圓M被x軸所截得的弦長(zhǎng)為2，則下列結(jié)論正確的是A.圓M的圓心在定直線x－y－2＝0上B.圓M的面積的最大值為50πC.圓M的半徑的最小值為1D.滿足條件的所有圓M的半徑之積為8
∵圓M與直線x＋y＋2＝0相切于A(0，－2)，∴直線AM與直線x＋y＋2＝0垂直，∴直線AM的斜率為1，則點(diǎn)M在直線y＝x－2，即x－y－2＝0上，故A正確；
∵圓M被x軸截得的弦長(zhǎng)為2，
當(dāng)a＝－5時(shí)，圓M的面積最大，為πr2＝50π，故B正確；

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