素養(yǎng)提升微專題6　三視圖識(shí)圖中的易誤辨析
1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征
有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形
3.直觀圖(1)畫法:斜二測(cè)畫法.(2)步驟:①在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸,兩軸相交于點(diǎn)O.畫直觀圖時(shí),把它們畫成對(duì)應(yīng)的x'軸與y'軸,兩軸相交于點(diǎn)O',且使∠x'O'y'=45°(或135°),它們確定的平面表示水平面.②已知圖形中平行于x軸或y軸的線段,在直觀圖中分別畫成平行于x'軸或y'軸的線段.③已知圖形中平行于x軸的線段,在直觀圖中保持原長度不變,平行于y軸的線段,在直觀圖中長度為原來的　　　　.?
4.多面體的表面積多面體的表面積就是圍成多面體各個(gè)面的面積的和.
5.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式
6.柱、錐、臺(tái)和球的表面積和體積
1.球的截面的性質(zhì)(1)球的截面是圓面,且球心和截面(不過球心)圓心的連線垂直于截面;(2)球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r的關(guān)系為2.與體積有關(guān)的幾個(gè)結(jié)論(1)一個(gè)組合體的體積等于它的各部分體積的和或差.(2)底面面積及高都相等的兩個(gè)同類幾何體的體積相等.
1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)有兩個(gè)面平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.(　　)(2)有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.(　　)(3)棱臺(tái)是由平行于棱錐底面的平面截棱錐所得的平面與底面之間的部分.(　　)(4)設(shè)長方體的長、寬、高分別為2a,a,a,其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,則該球的表面積為3πa2.(　　)
2.(2020天津,5)若棱長為2 的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球的表面積為(　　)A.12π B.24π C.36πD.144π
3.(2020河北衡水中學(xué)高三九調(diào))如圖,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為1 cm,高為5 cm,一質(zhì)點(diǎn)自A點(diǎn)出發(fā),沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)A1點(diǎn)的最短路線的長為(　　)A.12 cmB.13 cmD.15 cm
答案 C　解析 將正三棱柱ABC-A1B1C1沿側(cè)棱展開,再拼接一次,其側(cè)面展開圖如圖所示,在展開圖中,最短距離是矩形對(duì)角線的長度,也即為三棱柱的側(cè)面上所求距離的最小值.由已知求得矩形的長等于6×1=6(cm),寬等于5 cm,由勾股定理得所求最短路線的長為 (cm).故選C.
4.(多選)(2020山東蒙陰實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三期末)已知四棱錐P-ABCD,底面ABCD為矩形,側(cè)面PCD⊥平面ABCD,BC=2 ,CD=PC=PD=2 .若點(diǎn)M為PC的中點(diǎn),則下列說法正確的為(　　)A.BM⊥平面PCDB.PA∥平面MBDC.四棱錐M-ABCD外接球的表面積為36πD.四棱錐M-ABCD的體積為6
答案 BC　解析如圖在四棱錐P-ABCD中,由題知,側(cè)面PCD⊥平面ABCD,交線為CD,底面ABCD為矩形,BC⊥CD,則BC⊥平面PCD,過點(diǎn)B有且只有一條直線與平面PCD垂直,所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤.連接AC交BD于點(diǎn)O,連接MO,在△PAC中,OM∥PA,MO?平面MBD,PA?平面MBD,
所以PA∥平面MBD,所以選項(xiàng)B正確.因?yàn)镸為PC中點(diǎn),故四棱錐M-ABCD的體積是四棱錐P-ABCD的體積的一半,取CD中點(diǎn)N,連接PN,
5.(2020江蘇鎮(zhèn)江質(zhì)檢)已知一個(gè)圓錐的底面積為π,側(cè)面積為2π,則該圓錐的體積為　　　　.?
【例1】 (1)(多選)下列結(jié)論正確的是(　　)A.各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐B.以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體叫圓錐C.棱錐的各側(cè)棱相交于一點(diǎn),但不一定相等D.圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)相連的線段都是圓錐的母線
(2)給出下列幾個(gè)命題:①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn),則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線;②底面為正多邊形,且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱;③棱臺(tái)的上、下底面可以不相似,但側(cè)棱長一定相等.其中正確命題的個(gè)數(shù)是(　　)A.0B.1C.2D.3
(3)(2020全國1,理3)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一,它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐.以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積,則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為(　　)
答案 (1)CD　(2)B　(3)C　解析 (1)A錯(cuò)誤,如圖1是由兩個(gè)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體,它的各個(gè)面都是三角形,但它不是三棱錐;B錯(cuò)誤,如圖2,若△ABC不是直角三角形,或△ABC是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊所在的直線,所得的幾何體都不是圓錐;C正確,因?yàn)槔忮F是一個(gè)面為多邊形,其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形,所以棱錐的各側(cè)棱相交于一點(diǎn),但各側(cè)棱不一定相等;由母線的概念知,選項(xiàng)D正確.故選CD.
(2)①錯(cuò)誤,只有這兩點(diǎn)的連線段平行于軸時(shí)才是母線;②正確;③錯(cuò)誤,棱臺(tái)的上、下底面是相似且對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形,各側(cè)棱延長線交于一點(diǎn),但是側(cè)棱長不一定相等.故正確命題的個(gè)數(shù)是1.故選B.
解題心得辨別空間幾何體的兩種方法
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)給出下列命題:①棱柱的側(cè)棱都相等,側(cè)面都是全等的平行四邊形;②若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,則其三個(gè)側(cè)面也兩兩垂直;③在四棱柱中,若兩個(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面,則該四棱柱為直四棱柱;④存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體.其中正確命題的序號(hào)是　　　　.?
(2)(2019全國2,理16)中國有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體,但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體,它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上,且此正方體的棱長為1,則該半正多面體共有　　　　個(gè)面,其棱長為　　　　.?
解析 (1)①不正確,根據(jù)棱柱的定義,棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形,但不一定全等;②正確,若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,則三個(gè)側(cè)面兩兩構(gòu)成的三個(gè)二面角都是直二面角;③正確,因?yàn)閮蓚€(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱,又垂直于底面;④正確,如在正方體ABCD-A1B1C1D1中的三棱錐C1-ABC,四個(gè)面都是直角三角形.
(2)由題圖2可知第一層與第三層各有9個(gè)面,共計(jì)18個(gè)面,第二層共有8個(gè)面,所以該半正多面體共有18+8=26個(gè)面.如圖,設(shè)該半正多面體的棱長為x,則AB=BE=x,延長CB與FE的延長線交于點(diǎn)G,延長BC交正方體的另一條棱于點(diǎn)H.由半正多面體的對(duì)稱性可知,
【例2】 (1)(2020河南周口模擬)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB⊥BC,AA1=AC=2,直線A1C與側(cè)面AA1B1B所成的角為30°,則該三棱柱的側(cè)面積為(　　)
(2)在如圖所示的斜截圓柱中,已知圓柱底面的直徑為40 cm,從圍成斜截面的曲線上任意一點(diǎn)向底面圓所在平面作垂線,垂線段最短50 cm,最長80 cm,則斜截圓柱的側(cè)面面積為　　　　 cm2.?
答案 (1)A　(2)2 600π　
解析 (1)連接A1B.因?yàn)锳A1⊥底面ABC,則AA1⊥BC,又AB⊥BC,AA1∩AB=A,所以BC⊥平面AA1B1B,所以直線A1C與側(cè)面AA1B1B所成的角為∠CA1B=30°.又AA1=AC=2,所以A1C=2 ,BC= .又AB⊥BC,則AB= ,則該三棱柱的側(cè)面積為2× ×2+2×2=4+4 .
(2)將題圖所示的相同的兩個(gè)幾何體對(duì)接為圓柱,則圓柱的側(cè)面展開圖為矩形.由題意得所求側(cè)面展開圖的面積S= ×(50+80)×(π×40)=2 600π(cm2).
解題心得求空間幾何體表面積的常見類型及思路
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)圓柱的底面積為S,側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形,那么圓柱的側(cè)面積是(　　)
答案 (1)A　(2)D　
(2)∵在梯形ABCD中,∠ABC= ,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2,∴將梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的面所圍成的幾何體是一個(gè)底面半徑為AB=1,高為BC=2的圓柱挖去一個(gè)底面半徑為AB=1,高為BC-AD=2-1=1的圓錐的組合體,
考向1　直接利用公式求體積【例3】 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長均為2,點(diǎn)D在棱AA1上,則三棱錐D-BB1C1的體積為　　　　.?
考向2　割補(bǔ)法求體積【例4】 (1)(2019全國3,理16)學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐,利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖,該模型為長方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體,其中O為長方體的中心,E,F,G,H分別為所在棱的中點(diǎn),AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D打印所用原料密度為0.9 g/cm3.不考慮打印損耗,制作該模型所需原料的質(zhì)量為　　 　g.?
(2)如圖,在多面體ABCDEF中,已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形,且△ADE,△BCF均為正三角形,EF∥AB,EF=2,則該多面體的體積為　　　　.?
又長方體ABCD-A1B1C1D1的體積為V2=4×6×6=144(cm3),則該模型的體積為V=V2-V1=144-12=132(cm3).故其質(zhì)量為0.9×132=118.8(g).
考向3　等體積法求體積【例5】 如圖所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均為1,且AA1⊥底面ABC,則三棱錐B1-ABC1的體積為(　　)
解題心得求空間幾何體的體積的常用方法
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)(2020浙江鎮(zhèn)海中學(xué)高三3月模擬)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,CC1=2 ,E為CC1的中點(diǎn),則直線AC1與平面BED的距離為(　　)
(3)如圖,已知體積為V的三棱柱ABC-A1B1C1,P是棱B1B上除B1,B以外的任意一點(diǎn),則四棱錐P-AA1C1C的體積為　　　　.?
考向1　幾何體的外接球【例6】 (2019全國1,理12)已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是邊長為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點(diǎn),∠CEF=90°,則球O的體積為(　　)
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(2020全國1,文12)已知A,B,C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn),☉O1為△ABC的外接圓.若☉O1的面積為4π,AB=BC=AC=OO1,則球O的表面積為(　　)A.64π B.48πC.36π D.32π
考向2　幾何體的內(nèi)切球【例7】 (1)如圖,在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1,球O的體積為V2,則 的值是　　　　.?(2)(2020全國3,理15)已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為　　　　　.?
解題心得解決與球有關(guān)的切、接問題,其通法是作截面,將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解,其解題的思維流程是:
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5(1)已知正三棱錐的高為1,底面邊長為2 ,內(nèi)有一個(gè)球與四個(gè)面都相切,則棱錐的內(nèi)切球的半徑為　　　　.?(2)在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為2a的正方形,PD⊥底面ABCD,且PD=2a.若在這個(gè)四棱錐內(nèi)放一球,則此球的最大半徑為　　　　.?
解析 (1)如圖,過點(diǎn)P作PD⊥平面ABC于點(diǎn)D,連接AD并延長交BC于點(diǎn)E,連接PE,
素養(yǎng)提升微專題6　數(shù)學(xué)建模(用導(dǎo)數(shù)求體積的最大值)
【例1】 如圖所示,某幾何體由底面半徑和高均為5的圓柱與半徑為5的半球面對(duì)接而成,該封閉幾何體內(nèi)部放入一個(gè)小圓柱體,且圓柱體的上下底面均與外層圓柱的底面平行,則小圓柱體積的最大值為(　　)
【例2】 在四面體ABCD中,若AD=DB=AC=CB=1,則四面體ABCD體積的最大值是(　　)
【例3】 如圖,圓形紙片的圓心為O,半徑為5 cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D,E,F為圓O上的點(diǎn),△DBC,△ECA,△FAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形,沿虛線剪開后,分別以BC,CA,AB為折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱錐.當(dāng)△ABC的邊長變化時(shí),所得三棱錐體積(單位:cm3)的最大值為　　　　　　.?
點(diǎn)評(píng)求幾何體體積最大值的基本思路是根據(jù)題意設(shè)出一個(gè)幾何量,用該量表示出幾何體的體積,然后根據(jù)體積表達(dá)式求其最大值,若表達(dá)式是一個(gè)三次以上的函數(shù),一般通過求導(dǎo)的方法求最大值.

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