2020年湖南省普通高中學業(yè)水平考試數(shù)學試題  一、單選題1．如圖所示的幾何體是（    ）A．圓錐 B．棱錐 C．圓臺 D．棱柱【答案】D【解析】分析幾何體的結構，可得出合適的選項.【詳解】由圖形可知，該幾何體有兩個面平行且全等，側棱平行且相等，故該幾何體為棱柱.故選：D.【點睛】本題考查幾何體的識別，屬于基礎題.2．已知向量，，若，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)平面向量的坐標運算可求得的值.【詳解】已知向量，，則，因此，.故選：B.【點睛】本題考查利用平面向量的坐標運算求參數(shù)的值，考查計算能力，屬于基礎題.3．圓C: x2+y2= 1的面積是（    ）A． B． C．π D．2π【答案】C【解析】根據(jù)圓的方程即可知圓的半徑，由圓的面積公式即可求其面積.【詳解】由圓的方程知：圓C的半徑為1，所以面積，故選：C【點睛】本題考查了圓的標準方程，由圓的方程求面積，屬于簡單題.4．盒子里裝有大小相同的2個紅球和1個白球，從中隨機取出1個球，取到白球的概率是（    ）A． B． C． D．1【答案】A【解析】直接由古典概型的概率公式求解即可【詳解】解：由題意可知盒子里裝有大小相同的紅球和白球共3 個，其中1個白球，所以從中隨機取出1個球，取到白球的概率是,故選：A【點睛】此題考查古典概型的概率的計算，屬于基礎題5．要得到函數(shù)y=1+sin x的圖象，只需將函數(shù)y=sin x的圖象（    ）A．向上平移1個單位長度 B．向下平移1個單位長度C．向右平移1個單位長度 D．向左平移1個單位長度【答案】A【解析】由函數(shù)圖象平移原則即可知如何平移y=sin x的圖象得到y=1+sin x的圖象.【詳解】根據(jù)“左加右減，上加下減”的原則，將函數(shù)y=sin x的圖象向上平移1個單位可得y=1+sin x的圖象，故選：A.【點睛】本題考查了由平移前后的函數(shù)解析式描述圖象變換過程，屬于簡單題.6．已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an，則a4=（    ）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【解析】由已知可得通項公式，即可求a4的值.【詳解】由題意an+1=2an可知，數(shù)列{an}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，故可得數(shù)列的通項公式為，∴， 故選：B.【點睛】本題考查了等比數(shù)列，由定義法求等比數(shù)列通項公式，進而求項，屬于簡單題.7．已知函數(shù)，若f(0)=a，則f(a)=（    ）A．4 B．2 C． D．0【答案】C【解析】先由f(0)=a，可得，從而可求出f(a)的值【詳解】解：因為f(0)=a，代入分段函數(shù)中可得，得，所以，故選：C【點睛】此題考查分段函數(shù)求值問題，屬于基礎題8．函數(shù)的最小正周期是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用二倍角的正弦公式化簡函數(shù)的解析式，利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得結果.【詳解】，所以，函數(shù)的最小正周期為.故選：B.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)周期的求解，同時也考查了二倍角正弦公式的應用，考查計算能力，屬于基礎題.9．用12cm長的鐵絲折成一個面積最大的矩形，則這個矩形的面積是（    ）A．3cm2 B．6cm2 C．9cm2 D．12cm2【答案】C【解析】由已知可得，而矩形的面積，應用基本不等式即可求矩形的最大面積.【詳解】設矩形的長、寬分別為 cm，則有，即，∵矩形的面積，∴ cm2，當且僅當時等號成立，故選：C【點睛】本題考查了基本不等式的應用，由和定求積的最大值，屬于簡單題.10．已知定義在上的函數(shù)y =f(x)的圖象如圖所示.下述四個結論: ①函數(shù)y=f(x)的值域為②函數(shù)y=f(x)的單調遞減區(qū)間為③函數(shù)y=f(x)僅有兩個零點④存在實數(shù)a滿足其中所有正確結論的編號是（    ）A．①② B．②③ C．③④ D．②④【答案】D【解析】由圖像直接得其最小值和最大值，單調區(qū)間，由圖像與軸交點的個數(shù)可得其零點的個數(shù)，當時，可得【詳解】解：由圖像可知函數(shù)的最大值大于2，最小值小于，所以①錯誤；由圖像可知函數(shù)y=f(x)的單調遞減區(qū)間為，所以②正確；由圖像可知其圖像與軸交點的個數(shù)為3，所以函數(shù)有3個零點，所以③錯誤；當時，有，所以④正確，故選：D【點睛】此題考查函數(shù)圖像的應用，考查函數(shù)的零點，單調性，考查數(shù)形結合的思想，屬于基礎題  二、填空題11．已知集合，若，則______________.【答案】【解析】由，得到是方程是方程的根，代入即可求解.【詳解】由題意，集合，因為，所以，即是方程是方程的根，解得，當，可得集合,此時滿足，所以.故答案為：.【點睛】本題主要考查了根據(jù)集合間的關系求解參數(shù)問題，其中解答中熟記集合件的包含關系，結合元素與集合的關系，列出方程求解是解答的關鍵，屬于基礎題.12．某班視力近視的學生有15人，視力正常的學生有30人.為了解該班學生近視形成的原因，擬采用分層抽樣的方法抽取部分學生，調查相關信息，則抽取的學生中視力近視與視力正常的人數(shù)之比為_____________【答案】【解析】利用分層抽樣的定義直接求解即可【詳解】解：因為某班視力近視的學生有15人，視力正常的學生有30人，所以用分層抽樣的方法抽取部分學生中，視力近視與視力正常的人數(shù)之比為，故答案為：【點睛】此題考查分層抽樣的應用，屬于基礎題13．已知直線l1:y=x，l2:y=kx.若l1⊥l2，則k=______________.【答案】-1【解析】由兩直線垂直有斜率之積為-1，即可求k值.【詳解】由l1⊥l2，知：，故答案為：-1.【點睛】本題考查了根據(jù)直線垂直求斜率，屬于簡單題.14．已知等差數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=2，則{ an }的前5項和S5= __________.【答案】15【解析】由題意可得等差數(shù)列通項公式，結合可得前n項和公式，進而求即可.【詳解】由等差數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=2，知：公差，∴{an}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，故通項公式為，∴由等差數(shù)列前n項和公式，即可得，故答案為：15.【點睛】本題考查了求等差數(shù)列前n項和，屬于簡單題.15．已知角α的終邊經(jīng)過點(3，4)，則cosα=______________.【答案】【解析】利用任意角的三角函數(shù)的定義直接求解即可【詳解】解：因為角α的終邊經(jīng)過點(3，4)，所以，故答案：【點睛】此題考查任意角的三角函數(shù)的定義的應用，屬于基礎題 三、解答題16．2020年春季，受疫情的影響，學校推遲了開學時間.上級部門倡導“停課不停學”，鼓勵學生在家學習，復課后，某校為了解學生在家學習的周均時長(單位:小時)， 隨機調查了部分學生，根據(jù)他們學習的周均時長，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求該校學生學習的周均時長的眾數(shù)的估計值;（2）估計該校學生學習的周均時長不少于30小時的概率.【答案】（1）25小時；（2）0.3.【解析】（1）根據(jù)直方圖，頻率最大的區(qū)間中點橫坐標為眾數(shù)即可求眾數(shù)；（2）由學習的周均時長不少于30小時的區(qū)間有、，它們的頻率之和，即為該校學生學習的周均時長不少于30小時的概率.【詳解】（1）根據(jù)直方圖知：頻率最大的區(qū)間中點橫坐標即為眾數(shù)，∴由頻率最大區(qū)間為，則眾數(shù)為；（2）由圖知：不少于30小時的區(qū)間有、，∴該校學生學習的周均時長不少于30小時的概率.【點睛】本題考查了根據(jù)直方圖求眾數(shù)、概率，應用了眾數(shù)的概念、頻率法求概率，屬于簡單題.17．如圖所示，△ABC中，AB=AC=2，BC=2.
 （1）求內角B的大小;（2）設函數(shù)f(x)=2sin(x+B)，求f(x)的最大值，并指出此時x的值.【答案】（1），（2）f(x)的最大值為2，此時【解析】（1）利用余弦定理求解即可；（2）利用正弦函數(shù)的性質直接求其最大值【詳解】解：（1）因為△ABC中，AB=AC=2，BC=2.所以，因為，所以，（2）由（1）可知，所以當時，取最大值2，即【點睛】此題考查余弦定理的應用，考查正弦函數(shù)的性質的應用，屬于基礎題18．如圖所示，三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，且E，F分別為BC，PC的中點.（1）求證: EF//平面PAB;（2）已知AB=AC=4，PA=6，求三棱錐F-AEC的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）4.【解析】（1）連接有中位線，結合與面的關系，由線面平行的判定即可證面；（2）過作交于易知是三棱錐F-AEC的高，結合已知有即可求三棱錐F-AEC的體積.【詳解】（1）連接，在△中為中位線，故，∵面，面∴面；（2）過作交于，如下圖示：∵PA⊥平面ABC，∴⊥平面ABC，即是三棱錐F-AEC的高，又F為PC的中點，∴由PA=6，則，又AB=AC=4，E為BC的中點且AB⊥AC，知：，∴三棱錐F-AEC的體積.【點睛】本題考查了應用線面平行的判定證明線面平行，應用三棱錐體積公式求體積，屬于簡單題.19．已知函數(shù)，其中，且.（1）判斷的奇偶性，并說明理由;（2）若不等式對都成立，求a的取值范圍;（3）設，直線與的圖象交于兩點，直線與的圖象交于兩點，得到四邊形ABCD.證明:存在實數(shù)，使四邊形為正方形.【答案】（1）偶函數(shù)，理由見解析；（2）；（3）證明見解析【解析】（1）利用函數(shù)的奇偶性做出判斷;（2）對都成立，可求出a的范圍（3）由，求出，由已知得到，求得得證.【詳解】(1)    是偶函數(shù),是偶函數(shù)（2）當時 滿足題意，當時 不滿足題意所以（3） 因為四邊形為正方形，所以 ,設 則 ，又 故存在實數(shù)當使得四邊形為正方形.【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性、不等式求參數(shù)范圍及利用函數(shù)圖象交點判斷方程有解，屬于中檔題. 

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