2019年湖南省普通高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，滿分40分.1.已知集合，，若，則的值為(    )A. 3 B. 2 C. 1 D. 02.設(shè)，則的值為(    )A. 0 B. 1 C. 2 D. -13.已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體是(    )A. 圓柱 B. 三棱柱C. 球 D. 四棱柱4.函數(shù)的最小值是（    ）A.  B.  C. 1 D. 25.已知，，且，則實(shí)數(shù)值為（    ）A  B. 2 C. 8 D. 6.某學(xué)校高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)分別為600,400，800，為了了解教師的教學(xué)情況，該校采用分層抽樣的方法，從這三個(gè)年級(jí)中抽取45名學(xué)生實(shí)行座談，則高一、高二、高三年級(jí)抽取的人數(shù)分別為(    )A.  B. C.  D. 7.某袋中有9個(gè)除顏色外其他都相同的球,其中有5個(gè)紅球,4個(gè)白球,現(xiàn)從中任意取出1個(gè),則取出的球恰好是白球的概率為(    )A.  B.  C.  D.  8.已知點(diǎn)在如圖所示的平面區(qū)域（陰影部分）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則的最大值是(    )A. 1 B. 2 C. 3 D. 59.已知兩點(diǎn)，則以線段為直徑圓的方程是（    ）A  B. C.  D. 10.如圖，在高速公路建設(shè)中需要確定隧道的長(zhǎng)度，工程技術(shù)人員已測(cè)得隧道兩端的兩點(diǎn)A，B到點(diǎn)C的距離AC＝BC＝1 km，且C＝120°，則A，B兩點(diǎn)間的距離為（  ） B.  C.  D.  二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，滿分20分.11.計(jì)算：=     12.已知1，x，9成等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)x=      ．13.經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，3），且與直線y=﹣x+2垂直的直線方程是     ．14.某程序框圖如圖所示，若輸入的的值為，則輸出的值為_________ .  已知向量與的夾角為，若，且，則_______. 三、解答題：本大題共5小題，滿分40分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.16.已知.（1）求的值；（2）求的值.         17.某公司為了了解本公司職員的早餐費(fèi)用情況，抽樣調(diào)査了100位職員的早餐日平均費(fèi)用（單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖，圖中標(biāo)注的數(shù)字模糊不清.（1）試根據(jù)頻率分布直方圖求的值，并估計(jì)該公司職員早餐日平均費(fèi)用的眾數(shù)；（2） 已知該公司有1000名職員，試估計(jì)該公司有多少職員早餐日平均費(fèi)用多于8元？              18.如圖，在三棱錐中，平面，，，，直線與平面所成的角為，點(diǎn)分別是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積.        19.已知數(shù)列滿足：，.（1）求，及通項(xiàng)；（2）設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，則數(shù)列，，，…中哪一項(xiàng)最??？并求出這個(gè)最小值.         20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)；（2）若函數(shù)為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；（3）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.          2019年湖南省普通高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，滿分40分.1.已知集合，，若，則的值為(    )A. 3 B. 2 C. 1 D. 0【答案】A根據(jù)并集的概念求解．【詳解】∵，，，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查并集的概念，屬于簡(jiǎn)單題．2.設(shè)，則的值為(    )A. 0 B. 1 C. 2 D. -1【答案】A選取解析式代入可得結(jié)論．【詳解】由題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)，分段函數(shù)求值關(guān)鍵是要判斷自變量的范圍，根據(jù)不同范圍選取不同的表達(dá)式計(jì)算．3.已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體是(    )A. 圓柱 B. 三棱柱C. 球 D. 四棱柱【答案】A由三視圖可直接得出答案.【詳解】由三視圖可知該幾何體是圓柱故選：A【點(diǎn)睛】本題考查的是三視圖，較簡(jiǎn)單.4.函數(shù)的最小值是（    ）A.  B.  C. 1 D. 2【答案】A根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，得到，即可求得函數(shù)的最小值，得到答案.【詳解】由題意，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記余弦函數(shù)的值域是解答的關(guān)鍵，著重考查了計(jì)算能力.5.已知，，且，則實(shí)數(shù)的值為（    ）A.  B. 2 C. 8 D. 【答案】B直接利用向量的平行的坐標(biāo)運(yùn)算，求出的值即可.【詳解】解：已知，，且，則，所以.
故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力.6.某學(xué)校高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)分別為600,400，800，為了了解教師的教學(xué)情況，該校采用分層抽樣的方法，從這三個(gè)年級(jí)中抽取45名學(xué)生實(shí)行座談，則高一、高二、高三年級(jí)抽取的人數(shù)分別為(    )A.  B. C.  D. 【答案】D算出高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)的所占比例即可.【詳解】因?yàn)楦咭?、高二、高三年?jí)的學(xué)生人數(shù)分別為600,400，800，所以高一、高二、高三年級(jí)學(xué)生人數(shù)的所占比例分別為，，所以從這三個(gè)年級(jí)中抽取45名學(xué)生實(shí)行座談，則高一、高二、高三年級(jí)抽取的人數(shù)分別為故選：D【點(diǎn)睛】本題考查的是分層抽樣，較簡(jiǎn)單.7.某袋中有9個(gè)除顏色外其他都相同的球,其中有5個(gè)紅球,4個(gè)白球,現(xiàn)從中任意取出1個(gè),則取出的球恰好是白球的概率為(    )A.  B.  C.  D. 【答案】C樣本點(diǎn)總數(shù)為9，取出的球恰好是白球含4個(gè)樣本點(diǎn)，計(jì)算得到答案.【詳解】從9個(gè)球中任意取出1個(gè),樣本點(diǎn)總數(shù)為9,取出的球恰好是白球含4個(gè)樣本點(diǎn),故所求概率為,故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概率的計(jì)算，屬于簡(jiǎn)單題.8.已知點(diǎn)在如圖所示的平面區(qū)域（陰影部分）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則的最大值是(    )A. 1 B. 2 C. 3 D. 5【答案】D由可得，表示的是斜率為1的直線，然后結(jié)合圖形可得答案.【詳解】由可得，表示的是斜率為1的直線，由圖可得當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)最大，最大值為5故選：D【點(diǎn)睛】本題考查的是線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題.9.已知兩點(diǎn)，則以線段為直徑的圓的方程是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B依題意，兩點(diǎn)的中點(diǎn)為，其到點(diǎn)的距離為，故圓的方程為.點(diǎn)睛：本題主要考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.圓的一般方程為，標(biāo)準(zhǔn)方程為，這兩個(gè)方程都有三個(gè)系數(shù)要待定，故要有個(gè)條件才可以求出圓的方程.本題中第一個(gè)條件是利用兩點(diǎn)求中點(diǎn)的坐標(biāo)，得到圓心，再用兩點(diǎn)間的距離公式得到半徑，從而得到圓的方程.10.如圖，在高速公路建設(shè)中需要確定隧道的長(zhǎng)度，工程技術(shù)人員已測(cè)得隧道兩端的兩點(diǎn)A，B到點(diǎn)C的距離AC＝BC＝1 km，且C＝120°，則A，B兩點(diǎn)間的距離為（  ）A.  B.  C.  D. 【答案】A在中，由余弦定理可得 ，所以．故選A．【解題必備】當(dāng)的長(zhǎng)度不可直接測(cè)量時(shí)，求，之間的距離有以下三種類(lèi)型．（1）如圖1，A，B之間不可達(dá)也不可視，計(jì)算方法：測(cè)量，及角，由余弦定理可得 ．（2）如圖2，B，C與點(diǎn)A可視但不可達(dá)，計(jì)算方法：測(cè)量，角，角，則，由正弦定理可得．（3）如圖3，C，D與點(diǎn)A，B均可視不可達(dá)，計(jì)算方法：測(cè)量在中由正弦定理求，在中由正弦定理求，在中由余弦定理求．                                圖1                             圖2                               圖3 二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，滿分20分.11.計(jì)算：=     【答案】2試題分析：考點(diǎn)：對(duì)數(shù)運(yùn)算12.已知1，x，9成等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)x=      ．【答案】±3解：∵1，x，9成等比數(shù)列，∴x2=9，解得x=±3．故答案為±3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．13.經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，3），且與直線y=﹣x+2垂直的直線方程是     ．【答案】y=x+3試題分析：設(shè)與直線y=﹣x+2垂直的直線方程為y=x+m，把點(diǎn)A（0，3）代入解出m即可．解：設(shè)與直線y=﹣x+2垂直的直線方程為y=x+m，把點(diǎn)A（0，3）代入可得：3=0+m，解得m=3．∴要求的直線方程為：y=x+3．故答案為y=x+3．考點(diǎn)：直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系．14.某程序框圖如圖所示，若輸入的的值為，則輸出的值為_________ .【答案】，若輸入的的值為，滿足，則.【詳解】若輸入的的值為，滿足，則，故輸出的值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查是程序框圖，較簡(jiǎn)單.15.已知向量與的夾角為，若，且，則_______.【答案】4根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，列出方程，即求解.【詳解】由題意，向量與的夾角為，若，則，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算及應(yīng)用，其中解答中熟記向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了計(jì)算能力.三、解答題：本大題共5小題，滿分40分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.16.已知（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）1（1）根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系求解即可；（2）根據(jù)兩角和的正弦公式計(jì)算求解.【詳解】（1），，，注：也可直接由得，直接計(jì)算.（2）.也可.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的同角基本關(guān)系，兩角和正弦公式，特殊角的三角函數(shù)值，屬于容易題.17.某公司為了了解本公司職員的早餐費(fèi)用情況，抽樣調(diào)査了100位職員的早餐日平均費(fèi)用（單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖，圖中標(biāo)注的數(shù)字模糊不清.（1）試根據(jù)頻率分布直方圖求的值，并估計(jì)該公司職員早餐日平均費(fèi)用的眾數(shù)；（2） 已知該公司有1000名職員，試估計(jì)該公司有多少職員早餐日平均費(fèi)用多于8元？【答案】（1）；；（2）.分析】（1）由題意結(jié)合頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形的面積之和為1即可求得；利用眾數(shù)的概念即可求得眾數(shù)；（2）由頻率分布直方圖計(jì)算出職員早餐日平均費(fèi)用不少于8元的頻率，用樣本頻率乘以總?cè)藬?shù)即可得解.【詳解】（1）因?yàn)轭l率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形的面積之和為1，所以，解得；該公司職員早餐日平均費(fèi)用的眾數(shù)為；（2）由頻率分布直方圖可知，職員早餐日平均費(fèi)用不少于8元的頻率為，又因?yàn)樵摴居?/span>1000名職員，所以該公司職員早餐日平均費(fèi)用不少于8元的有（人）.【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖的性質(zhì)與應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力和數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.18.如圖，在三棱錐中，平面，，，，直線與平面所成的角為，點(diǎn)分別是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.（1）由題意結(jié)合平面幾何的知識(shí)可得，由線面平行的判定即可得證；（2）由平面可得即為直線與平面所成的角，進(jìn)而可得，利用三棱錐的體積公式即可得解.【詳解】（1）證明：點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，，又平面，平面，平面；（2）平面，即為直線與平面所成的角，，，，，，三棱錐的體積.【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的判定及線面角、線面垂直的相關(guān)問(wèn)題，考查了棱錐體積的求解，屬于基礎(chǔ)題.19.已知數(shù)列滿足：，.（1）求，及通項(xiàng)；（2）設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，則數(shù)列，，，…中哪一項(xiàng)最?。坎⑶蟪鲞@個(gè)最小值.【答案】（1），，；（2）最小，為（1）直接計(jì)算得到，判斷數(shù)列為等差數(shù)列，計(jì)算得到答案.（2），，故最小，根據(jù)公式計(jì)算得到答案.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，，，.，故數(shù)列為首項(xiàng)是，公差為的等差數(shù)列，故.（2），故，，故最小，.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式，和的最值，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方法的靈活運(yùn)用. 20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)；（2）若函數(shù)為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；（3）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.（1）由題意結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的概念，解方程即可得解；（2）由題意結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可得，即可得解；（3）由題意將條件轉(zhuǎn)化為在上恒成立，結(jié)合換元法與二次函數(shù)的性質(zhì)分別求出的最大值，的最小值即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，令即，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，解得，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)為0；（2）因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以即，所以，又不恒為0，所以即；（3）因?yàn)?/span>在上恒成立，所以在上恒成立，由可得在上恒成立，令，所以在上恒成立，設(shè)，，由可得當(dāng)時(shí)，，由可得當(dāng)時(shí)，，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)和奇偶性的應(yīng)用，考查了換元法、二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用及恒成立問(wèn)題的解決，屬于中檔題. 

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