2020年天津市南開區(qū)學(xué)業(yè)水平考試（6月份）數(shù)學(xué)試題  一、單選題1．設(shè)全集I＝{0，1，2，3}，?IM＝{0，2}，則M＝（    ）A．{3} B．{1，3} C．{2，3} D．?【答案】B【解析】根據(jù)補(bǔ)集的概念，可得集合M【詳解】由題可知：全集I＝{0，1，2，3}，?IM＝{0，2}所以M={1，3}故選：B【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)集的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.2．函數(shù)，的最小正周期是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】利用三角函數(shù)的周期公式即可得到答案.【詳解】函數(shù)，.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的最小正周期，熟記公式為解題的關(guān)鍵，屬于簡單題.3．函數(shù)f（x）＝ln（﹣x）的定義域是（    ）A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，+∞）【答案】B【解析】根據(jù)對數(shù)的真數(shù)部分大于0，簡單計算可得結(jié)果.【詳解】由題可知：所以函數(shù)的定義域?yàn)?/span>故選：B【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)型函數(shù)的定義域的求法，考查計算，屬基礎(chǔ)題.4．已知，，則＝（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得到答案.【詳解】.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于簡單題.5．下列函數(shù)中是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增的是（    ）A． B．  C．  D． 【答案】D【解析】直接由解析式判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性即可得解.【詳解】解：對于A選項(xiàng)，的定義域?yàn)?/span>，為非奇非偶函數(shù)，故A錯誤；對于B選項(xiàng)，為偶函數(shù)，在為減函數(shù)，不滿足條件．故B錯誤；對于C選項(xiàng)，為非奇非偶函數(shù)，故C錯誤；對于D選項(xiàng)，滿足 ，為偶函數(shù)，且當(dāng)時，單調(diào)遞增．故D正確.故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.6．過點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題，可先得到所求直線的斜率，然后利用點(diǎn)斜式，即可得到本題答案.【詳解】因?yàn)樗笾本€垂直于直線，又直線的斜率為，所以所求直線的斜率，所以直線方程為，即.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查直線方程的求法，屬基礎(chǔ)題.7．體積為a3的正方體外接球的表面積為（    ）A．πa2 B．2πa2 C．3πa2 D．4πa2【答案】C【解析】根據(jù)正方體的體積可知正方體的邊長為，然后可知該正方體的外接球的半徑，最后根據(jù)球的表面積的公式可得結(jié)果.【詳解】由題可知：正方體的體積為，所以正方體的邊長為則可知該正方體的外接球的半徑為所以該正方體的外接球的表面積為故選：C【點(diǎn)睛】本題考查正方體的外接球的表面積，掌握正方體的外接球的半徑為，屬基礎(chǔ)題.8．已知向量=（1，2），=（–2，m），若∥，則m=A．–1 B．–4 C．4 D．1【答案】B【解析】【詳解】∵∥，∴1?m–（–2）×2=0，∴m=–4．故選B．9．在區(qū)間[0，2]上隨機(jī)地取一個數(shù)x，則這個數(shù)在區(qū)間的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)幾何概型的長度型直接計算可得結(jié)果.【詳解】由題可知：所求概率為故選：D【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型的長度型，屬基礎(chǔ)題.10．如圖，在平行四邊形ABCD中，E為DC邊的中點(diǎn)，且，則 （    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用向量的線性運(yùn)算可得的表示形式.【詳解】，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算，用基底向量表示其余向量時，要注意圍繞基底向量來實(shí)現(xiàn)向量的轉(zhuǎn)化，本題屬于容易題.11．為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（   ）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】D【解析】，據(jù)此可知，為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度.本題選擇D選項(xiàng).12．已知，，，則的大小關(guān)系是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，和對數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論.【詳解】，.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)、對數(shù)、冪的運(yùn)算及性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，注意與特殊數(shù)的對比，如“0”“1”等等，屬于基礎(chǔ)題.13．如圖是某學(xué)校抽取的學(xué)生體重的頻率分布直方圖，已知圖中從左到右的前3個小組的頻率滿足：第一小組與第三小組的頻率和是第二小組頻率的2倍，第二小組的頻數(shù)為15，則抽取的學(xué)生人數(shù)為（    ）A．30 B．45 C．60 D．120【答案】C【解析】首先設(shè)第二小組的頻率為，根據(jù)題意得到，從而得到，再求抽取的學(xué)生人數(shù)即可.【詳解】設(shè)第二小組的頻率為 ，由題知：，解得.所以抽取的學(xué)生人數(shù)為.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖，考查學(xué)生分析問題的能力，屬于簡單題.14．在中，,則=（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【詳解】解：因?yàn)橛烧叶ɡ?/span>，所以又ｃ＜ａ所以，所以15．已知具有線性相關(guān)的兩個變量x，y之間的一組數(shù)據(jù)如下：x
 0
 1
 2
 3
 4
 y
 2.2
 4.3
 4.5
 4.8
 6.7
   且回歸方程是=0.95x+ ，則當(dāng)x=6時，y的預(yù)測值為（ ）A．8.0 B．8.1 C．8.2 D．8.3【答案】D【解析】【詳解】 解：因?yàn)楦鶕?jù)數(shù)據(jù)可知x,y的均值分別是2,4.5,因此可知=4.5-0.952=2.6,將x=6代入表達(dá)式得到y的預(yù)測值為8.3，選D  二、填空題16．先后拋擲三枚均勻的硬幣，至少出現(xiàn)一次正面的概率是_____．【答案】；【解析】首先列出先后拋擲三枚均勻的硬幣的全部基本事件，找到至少出現(xiàn)一次正面的基本事件，再利用古典概型公式計算即可.【詳解】先后拋擲三枚均勻的硬幣，共有：正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反，基本事件.至少出現(xiàn)一次正面共有：正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，基本事件.故至少出現(xiàn)一次正面的概率是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型，用列舉法把全部基本事件列舉出來為解題的關(guān)鍵，屬于簡單題.17． _____．【答案】【解析】利用即可得到答案.【詳解】.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦二倍角公式，熟記公式為解題關(guān)鍵，屬于簡單題.18．在中，已知，則BC的長為__________．【答案】【解析】根據(jù)條件，結(jié)合余弦定理即可求解.【詳解】在中，已知，則由余弦定理可得，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.19．已知向量，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】利用向量的數(shù)量積大于0，且向量不共線，得到關(guān)于的不等式，解不等式即可得答案.【詳解】∵與的夾角為銳角，∴，解得：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查向量夾角的計算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時注意把向量共線的情況去掉，才不會出現(xiàn)錯解.20．函數(shù)的一個零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________．【答案】【解析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得，從而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，且函數(shù)的一個零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，所以，，解得,實(shí)數(shù)的取值范圍是,故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)存在定理，意在考查對基本定理的理解與應(yīng)用，屬于簡單題. 三、解答題21．已知，．（1）求，的值；（2）求的值．【答案】（1），；（2）【解析】（1）首先利用同角三角函數(shù)關(guān)系求出，從而得到，再利用正弦二倍角公式計算即可.（2）利用正弦兩角差公式展開計算即可得到答案.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，，所以，所以，.（2）.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，同時考查同角三角函數(shù)關(guān)系，屬于簡單題.22．已知點(diǎn)在圓C：上．（Ⅰ）求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑長；（Ⅱ）過點(diǎn)M（﹣1，1），斜率為的直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求弦AB的長．【答案】（Ⅰ）圓心，半徑；（Ⅱ）弦長【解析】（Ⅰ）將點(diǎn)代入圓方程可得，然后將圓方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程形式可得結(jié)果.（Ⅱ）根據(jù)點(diǎn)斜式可得直線方程，然后計算圓心到直線的距離，最后根據(jù)圓的弦長公式計算可得結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）由題可知：所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為所以圓心，半徑（Ⅱ）直線的方程為，即則圓心到直線的距離為所以弦長【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程以及圓的弦長公式，掌握公式，特別識記圓的弦長公式，便于計算，屬基礎(chǔ)題.23．如圖，在正方體ABCD﹣EFGH中，（Ⅰ）求證：平面BEG∥平面ACH；（Ⅱ）求證：DF⊥平面BEG．【答案】（Ⅰ）證明見詳解；（Ⅱ）證明見詳解.【解析】（Ⅰ）根據(jù)正方體的特點(diǎn)可知//，可知//平面，同理可得//平面，然后根據(jù)面面平行的判定定理可得結(jié)果.（Ⅱ）連接，根據(jù)平面，可知，同理可得，最后根據(jù)線面垂直的判定定理，可得結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）在正方體ABCD﹣EFGH中，//且所以四邊形為平行四邊形，則//又平面，平面，所以//平面同理可得//平面，又平面所以平面//平面（Ⅱ）連接，如圖由四邊形為正方形，所以又平面，且平面所以，又，平面所以平面，由平面所以同理可得，又，平面所以平面【點(diǎn)睛】本題考查面面平行的判定定理以及線面垂直的判定定理，熟練掌握線線、線面、面面之間的位置關(guān)系以及相關(guān)定理，屬中檔題.24．已知函數(shù)．（Ⅰ）若a＝1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間的最小值；（Ⅲ）關(guān)于x的方程f（x）＝2a2有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（Ⅰ）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（Ⅱ）；（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）把代入式子，計算二次函數(shù)的對稱軸，簡單判斷可得結(jié)果.（Ⅱ）按，，進(jìn)行分類討論，判斷函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，然后進(jìn)行計算，可得結(jié)果.（Ⅲ）依題意化簡可得有解，利用，簡單計算可得結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）由題可知：，對稱軸為，開口向上所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（Ⅱ）由題可知：，，對稱軸為，開口向上當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增所以當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞減，所以則函數(shù)在區(qū)間的最小值為（Ⅲ）由，則由關(guān)于的方程有解，則有解所以或則【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了經(jīng)典的動軸定區(qū)間的問題，牢牢掌握動軸定區(qū)間、定軸動區(qū)間、動軸動區(qū)間三種模型以及分類討論思想的使用，屬中檔題. 

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