章末檢測試卷(一)第一章　空間向量與立體幾何(時間：120分鐘　滿分：150分)一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)12345678910111213141516171819202122√12345678910111213141516171819202122123456789101112131415若向量a，b，c共面，則c＝xa＋yb，其中x，y∈R，即(1,3，λ)＝(2x，－x,3x)＋(－y,4y，－2y)＝(2x－y，－x＋4y,3x－2y)，2.已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(1,3，λ)，若a，b，c三向量共面，則實數(shù)λ等于A.1 B.2 C.3 D.416171819202122√3.平面α的一個法向量為m＝(1,2,0)，平面β的一個法向量為n＝(2，－1,0)，則平面α與平面β的位置關(guān)系是A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.不能確定123456789101112131415∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，∴兩法向量垂直，從而兩平面垂直.16171819202122√12345678910111213141516171819202122√123456789101112131415161718192021221234567891011121314155.已知空間向量a＝(1，n,2)，b＝(－2,1,2)，若2a－b與b垂直，則|a|等于因為a＝(1，n,2)，b＝(－2,1,2)，所以2a－b＝(4,2n－1,2).因為2a－b與b垂直，所以(2a－b)·b＝0，所以－8＋2n－1＋4＝0，16171819202122√12345678910111213141516171819202122√12345678910111213141516171819202122因為點D在平面Oyz內(nèi)，所以點D的橫坐標(biāo)為0，又BC＝4，原點O是BC的中點，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，縱坐標(biāo)y＝－(2－4·sin 30°·cos 60°)＝－1，1234567891011121314157.如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E為CC1的中點，則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為16171819202122√12345678910111213141516171819202122建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，1234567891011121314158.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，若棱長AB＝3，則點B到平面ACD1的距離為16171819202122√以D為坐標(biāo)原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD1所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.依題意，知B(3,3,0)，A(3，0,0)，C(0,3,0)，C1(0,3,3)，D1(0,0,3).設(shè)平面ACD1的法向量為n＝(x，y，z)，12345678910111213141516171819202122二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分)12345678910111213141516171819202122√√√12345678910111213141516171819202122顯然A正確；若a，b共線，則|a|＋|b|＝|a＋b|或|a＋b|＝||a| －|b||，故B錯誤；只有當(dāng)x＋y＋z＝1時，P，A，B，C四點才共面，故D錯誤.12345678910111213141510.已知直線l過點P(1,0，－1)，且平行于向量a＝(2,1,1)，平面α過直線l與點M(1,2,3)，則平面α的法向量可能是16171819202122√√√12345678910111213141516171819202122若n是平面α的法向量，把各選項代入驗證，只有選項D不滿足，故選ABC.11.在一個二面角的兩個面內(nèi)都和二面角的棱垂直的兩個向量分別為(0，－1,3)，(2,2,4)，則這個二面角的余弦值為12345678910111213141516171819202122√√123456789101112131415令n1＝(0，－1,3)，n2＝(2,2,4)，16171819202122令二面角的大小為θ，∴θ＝π－〈n1，n2〉或θ＝〈n1，n2〉，12345678910111213141512.若在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)，G分別為棱A1D1，D1D，A1B1的中點，則下列命題中正確的是A.AC1⊥EGB.GC∥EDC.B1F⊥平面BGC1D.EF和BB1所成的角為16171819202122√√設(shè)正方體的棱長為2，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，C1(0,2,2)，G(2,1,2)，C(0,2,0)，E(1,0,2)，B1(2,2,2)，F(xiàn)(0,0,1)，B(2,2,0).12345678910111213141516171819202122所以AC1⊥EG，故A正確；12345678910111213141516171819202122故B1F⊥平面BGC1不成立，故C錯誤；123456789101112131415三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13.已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，a與b夾角的余弦值為______.16171819202122∵a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，12345678910111213141514.對于任意空間向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，給出下列三個命題：①a∥b? ；②若a1＝a2＝a3＝1，則a為單位向量；③a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.其中真命題為_____(填序號).16171819202122③②顯然錯誤；③是正確的.123456789101112131415161718192021221234567891011121314151617181920212216.在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，將菱形沿對角線AC折成直二面角D′－AC－B，折起后直線AB與CD′間的距離為_______.12345678910111213141516171819202122設(shè)AC∩BD＝O，在菱形ABCD中，AC⊥BD，折起后，OD′⊥AC，OB⊥AC，由于二面角D′－AC－B為直二面角，即平面ACD′⊥平面ABC，∵平面ACD′∩平面ABC＝AC，OD′⊥AC，OD′?平面ACD′，∴OD′⊥平面ABC，以O(shè)為坐標(biāo)原點，直線OC，OB，OD′分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O－xyz.在原菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122四、解答題(本大題共6小題，共70分)17.(10分)已知空間三點A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5).12345678910111213141516171819202122∴D(λ，2－3λ，2λ＋3)，12345678910111213141516171819202122＝(λ＋2,1－3λ，2λ－3)，＝λ＋2－3＋9λ＋4λ－6＝14λ－7＝0，12345678910111213141516171819202122(2)求以BA，BC為鄰邊的平行四邊形的面積.12345678910111213141516171819202122123456789101112131415161718192021221234567891011121314151617181920212218.(12分)已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2).(1)若(a＋kb)∥(2a＋b)，求實數(shù)k；由已知可得，a＋kb＝(1－k,1,2k)，2a＋b＝(1,2,2)，因為(a＋kb)∥(2a＋b)，12345678910111213141516171819202122(2)若向量a＋kb與2a＋b所成角為銳角，求實數(shù)k的范圍.由(1)知，a＋kb＝(1－k,1,2k)，2a＋b＝(1,2,2)，因為向量a＋kb與a＋2b所成角為銳角，所以(a＋kb)·(2a＋b)＝(1－k,1,2k)·(1,2,2)＝1－k＋2＋4k>0，解得k>－1，1234567891011121314151617181920212219.(12分)如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M為CE的中點.(1)求證：BM∥平面ADEF；12345678910111213141516171819202122∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AD⊥ED，ED?平面ADEF，∴ED⊥平面ABCD.以D為坐標(biāo)原點， 分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,4,0)，E(0,0,2)，F(xiàn)(2,0,2).∵M為EC的中點，∴M(0,2,1)，12345678910111213141516171819202122又BM?平面ADEF，∴BM∥平面ADEF.12345678910111213141516171819202122(2)求證：BC⊥平面BDE.12345678910111213141516171819202122∴BC⊥DB.又DE∩DB＝D，DE，DB?平面BDE，∴BC⊥平面BDE.20.(12分)如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱長均為4，N是CC1的中點.(1)求點N到直線AB的距離；12345678910111213141516171819202122建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，12345678910111213141516171819202122∵N是CC1的中點，∴N(0,4,2).設(shè)點N到直線AB的距離為d1，∴點N到直線AB的距離為4.(2)求點C1到平面ABN的距離.12345678910111213141516171819202122設(shè)平面ABN的一個法向量為n＝(x，y，z)，123456789101112131415161718192021221234567891011121314151617181920212221.(12分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，點E為棱PC的中點.(1)求證：BE⊥DC；1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122依題意，以點A為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，可得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2).由E為棱PC的中點，得E(1,1,1)，(2)若F為棱PC上一點，滿足BF⊥AC，求平面FAB與平面ABP所成的角的余弦值.1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122設(shè)n1＝(x，y，z)為平面FAB的法向量，12345678910111213141516171819202122不妨令z＝1，可得n1＝(0，－3,1)為平面FAB的一個法向量.易知向量n2＝(0,1,0)為平面ABP的一個法向量，12345678910111213141516171819202122因為CB＝BD,2∠BCD＝90°，故∠CBD＝90°，所以BC⊥BD.又SD⊥BC，SD∩BD＝D，所以BC⊥平面SBD.因為BC?平面SBC，所以平面SBD⊥平面SBC.1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122由(1)可得，平面ABCD⊥平面SBD，所以SE⊥BD，故SE⊥平面ABCD.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(2,4,0)，D(2,0,0)，S(1,1,2).設(shè)n＝(x，y，z)為平面ABP的法向量，12345678910111213141516171819202122不妨取n＝(2λ，0，λ－2).因為平面SBD與平面ABP所成銳二面角為60°，

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