模塊綜合試卷(一)(時(shí)間：120分鐘　滿分：150分)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)1.已知A，B都是數(shù)軸上的點(diǎn)，A(3)，B(－2)，則 的坐標(biāo)為A.17 B.1 C.－1 D.－1712345678910111213141516171819202122√1234567891011121314152.設(shè)a∈R，則“a＝－1”是“直線l1：(2a－1)x＋y－2a＝0與直線l2：(a－3)x＋(5a－7)y＋3＝0垂直”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件16171819202122√123456789101112131415由題意知，當(dāng)a＝－1時(shí)，直線l1的方程為3x－y－2＝0，16171819202122因?yàn)閗1k2＝－1，所以兩直線垂直，故充分性成立；若直線l1與l2垂直，則有(2a－1)·(a－3)＋1×(5a－7)＝0，解得a＝－1或a＝2，故必要性不成立.12345678910111213141516171819202122√123456789101112131415設(shè)P(x，y)，∵|PA|＋|PB|＝4>|AB|，16171819202122即y2＝3x2－3， ②12345678910111213141516171819202122√123456789101112131415161718192021221234567891011121314155.2020年12月4日，嫦娥五號探測器在月球表面第一次動態(tài)展示國旗.1949年公布的《國旗制法說明》中就五星的位置規(guī)定：大五角星有一個(gè)角尖正向上方，四顆小五角星均各有一個(gè)角尖正對大五角星的中心點(diǎn).有人發(fā)現(xiàn)，第三顆小五角星的姿態(tài)與大五角星相近.為便于研究，如圖，以大五角星的中心點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，OO1，OO2，OO3，OO4分別是大五角星中心點(diǎn)與四顆小五角星中心點(diǎn)的連接線，α≈16°，則第三顆小五角星的一條邊AB所在直線的傾斜角約為A.0° B.1°C.2° D.3°16171819202122√123456789101112131415∵O，O3都為五角星的中心點(diǎn)，∴OO3平分第三顆小五角星的一個(gè)角，又由五角星的內(nèi)角為36°，可知∠BAO3＝18°，過O3作x軸平行線O3E，則∠OO3E＝α≈16°，∴直線AB的傾斜角為18°－16°＝2°.1617181920212212345678910111213141516171819202122√12345678910111213141516171819202122由題意知，圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝41，因?yàn)閳AC1與圓C2關(guān)于點(diǎn)P(2，－2)對稱，則由圓的對稱性可得點(diǎn)P(2，－2)即為兩圓公共弦的中點(diǎn)，則公共弦長為12345678910111213141516171819202122√12345678910111213141516171819202122如圖，以A為原點(diǎn)，分別以AB，AD，AA1所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則M(0,1,0)，N(2,2,1)，B1(2,0,2)，P(0,1,2)，設(shè)B1P與MN所成的角為θ，12345678910111213141516171819202122√方法一　∵拋物線C關(guān)于x軸對稱，∴D，E兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱.12345678910111213141516171819202122又∵OD⊥OE，方法二　∵拋物線C關(guān)于x軸對稱，∴D，E兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱.∵OD⊥OE，∴D，E兩點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)的絕對值均相等.不妨設(shè)點(diǎn)D(2,2)，將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入拋物線C：y2＝2px，得4＝4p，解得p＝1，12345678910111213141516171819202122二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分)9.若a＝(－1，λ，－2)，b＝(2，－1,1)，a與b的夾角為120°，則λ可以取的值為A.－17 B.17 C.－1 D.112345678910111213141516171819202122√√12345678910111213141516171819202122＝－2－λ－2＝－4－λ，即λ2－16λ－17＝0，得λ＝17或λ＝－1.1234567891011121314151617181920212210.下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是A.兩條不重合直線l1，l2的方向向量分別是a＝(2,3，－1)，b＝(－2，－3，　1)，則l1∥l2B.直線l的方向向量是a＝(1，－1,2)，平面α的法向量是u＝(6,4，－1)，　則l⊥αC.兩個(gè)不同的平面α，β的法向量分別是u＝(2,2，－1)，v＝(－3，4,2)，　則α⊥βD.直線l的方向向量是a＝(0,3,0)，平面α的法向量是u＝(0，－5,0)，則　l∥α√√12345678910111213141516171819202122對于A，兩條不重合直線l1，l2的方向向量分別是a＝(2,3，－1)，b＝(－2，－3,1)，且b＝－a，所以l1∥l2，選項(xiàng)正確；對于B，直線l的方向向量是a＝(1，－1,2)，平面α的法向量是u＝(6,4，－1)，且a·u＝1×6－1×4＋2×(－1)＝0，所以l∥α或l?α，選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C，兩個(gè)不同的平面α，β的法向量分別是u＝(2,2，－1)，v＝(－3,4,2)，12345678910111213141516171819202122且u·v＝2×(－3)＋2×4－1×2＝0，所以α⊥β，選項(xiàng)正確；對于D，直線l的方向向量是a＝(0,3,0)，平面α的法向量是u＝(0，－5,0)，12345678910111213141516171819202122√√√123456789101112131415易得M點(diǎn)在直線x＋3y－2＝0上，A正確；161718192021221234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122√√√12345678910111213141516171819202122所以x1＋x2＝2k，x1x2＝－1，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋1＝2k2＋1，1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122123456789101112131415三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13.已知空間向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，則a·b＋b·c＋c·a的值為_______.16171819202122－13由a＋b＋c＝0兩邊平方得(a＋b＋c)2＝0，所以a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，12345678910111213141514.過點(diǎn)(2，－1)且方向向量為(1,2)的直線的方程為_____________.161718192021222x－y－5＝0因?yàn)樗笾本€的方向向量為(1,2)，所以該直線的斜率為k＝2，又該直線過點(diǎn)(2，－1)，因此所求直線方程為y－(－1)＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.1234567891011121314151617181920212216.數(shù)學(xué)中有些優(yōu)美的曲線顯示了數(shù)學(xué)形象美、對稱美、和諧美，曲線C：(x2＋y2)3＝16x2y2就是四葉玫瑰線，則不等式(x2＋y2)3≤16x2y2表示區(qū)域所含的整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))個(gè)數(shù)為________.12345678910111213141516171819202122512345678910111213141516171819202122得x2＋y2≤4，圓x2＋y2≤4含9個(gè)整點(diǎn)，　 經(jīng)檢驗(yàn)，只有(1,1)，(1，－1)，(－1,1)，(－1，－1)和(0,0)共5個(gè)整點(diǎn)滿足(x2＋y2)3≤16x2y2.四、解答題(本大題共6小題，共70分)17.(10分)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓C過點(diǎn)A(1,2)，B(3,2)，D(2,3)，P為圓C外的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C的切線PQ，Q為切點(diǎn).(1)求圓C的方程；1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122由kAD·kBD＝－1，得∠ADB＝90°，則AB為圓的直徑，所以圓心坐標(biāo)為(2,2)，半徑為1，所以圓C的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝1.(2)在①|(zhì)PQ|＝|PO|，②|PQ|＝ ，③∠CPQ＝45°三個(gè)條件中，任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并加以解答.已知________，求|PO|的最小值.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.12345678910111213141516171819202122若選①|(zhì)PQ|＝|PO|，設(shè)P(x，y)，則|PQ|2＋|CQ|2＝|CP|2，即|OP|2＋|CQ|2＝|CP|2，得x2＋y2＋1＝(x－2)2＋(y－2)2，化簡得P點(diǎn)的軌跡方程為4x＋4y－7＝0，12345678910111213141516171819202122則由|PQ|2＋|CQ|2＝|CP|2，得|CP|＝2，即P點(diǎn)的軌跡是以(2,2)為圓心，2為半徑的圓，所以|PO|的最小值為O點(diǎn)到C點(diǎn)的距離減半徑，12345678910111213141516171819202122所以|PO|的最小值為O點(diǎn)到C點(diǎn)的距離減半徑，1234567891011121314151617181920212218.(12分)已知直線l1：x＋2y－3＝0和l2：2x＋y－3＝0相交于點(diǎn)A.(1)求經(jīng)過點(diǎn)A且與l1垂直的直線方程；12345678910111213141516171819202122因?yàn)橹本€l1：x＋2y－3＝0，設(shè)所求直線的斜率為k，因?yàn)榕cl1垂直，所以k·k1＝－1，解得k＝2，所以所求直線方程為y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.12345678910111213141516171819202122(2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)P(0，－1)的直線l與l1，l2分別相交于B，C，若|AB|＝|AC|，求直線l的方程.12345678910111213141516171819202122因?yàn)閨AB|＝|AC|，則線段BC的垂直平分線l′經(jīng)過點(diǎn)A，所以l′的任意一點(diǎn)Q到直線l1與l2的距離相等，化簡得x＋y－2＝0或x－y＝0，即為直線l′的方程，因?yàn)橹本€l與l′垂直，直線l′的斜率為±1，故直線l的斜率為±1，又直線l經(jīng)過點(diǎn)P(0，－1)，故所求方程為x－y－1＝0或x＋y＋1＝0.1234567891011121314151617181920212219.(12分)如圖，在棱長為4的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是A1B1和B1C1的中點(diǎn).(1)求點(diǎn)D到平面BEF的距離；12345678910111213141516171819202122如圖所示，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，依題意，得B(4,0,0)，D(0,4,0)，E(2,0,4)，F(xiàn)(4,2,4)，設(shè)平面BEF的法向量為n＝(x，y，z)，12345678910111213141516171819202122由此取z＝1，可得平面BEF的一個(gè)法向量為n＝(2，－2,1)，所以點(diǎn)D到平面BEF的距離為12345678910111213141516171819202122(2)求BD與平面BEF所成角的余弦值.12345678910111213141516171819202122所以BD與平面BEF所成角的余弦值為20.(12分)如圖所示，已知在四棱錐S－ABCD中，平面SBC⊥平面SAC，四邊形ABCD為平行四邊形，∠BSC＝∠BAC＝90°，且AB＝AC＝ .(1)求證：平面SAB⊥平面ABCD；1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122因?yàn)槠矫鍿BC⊥平面SAC，平面SBC∩平面SAC＝SC，且SC⊥SB，所以SB⊥平面SAC.又因?yàn)锳C?平面SAC，故SB⊥AC.因?yàn)锳B⊥AC，且SB∩AB＝B，故AC⊥平面SAB.而AC?平面ABCD，故平面SAB⊥平面ABCD.(2)若直線SC與平面SAB所成角的正弦值為 ，求平面ASC與平面SCD夾角的余弦值.1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122由(1)知AC⊥平面SAB，所以∠CSA為直線SC與平面SAB所成的角，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，12345678910111213141516171819202122設(shè)平面SCD的法向量為n＝(x，y，z)，取y＝1，得n＝(0,1,2).21.(12分)已知橢圓C1： ＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合，C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合.過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點(diǎn)，交C2于C，D兩點(diǎn)，且|CD|＝ |AB|.(1)求C1的離心率；1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122由已知可設(shè)C2的方程為y2＝4cx，不妨設(shè)A，C在第一象限，C，D的縱坐標(biāo)分別為2c，－2c，12345678910111213141516171819202122(2)若C1的四個(gè)頂點(diǎn)到C2的準(zhǔn)線距離之和為12，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122由已知得3c＋c＋c＋c＝12，即c＝2.C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝8x.1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122拋物線y2＝12x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0).由題意，橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，所以另一個(gè)焦點(diǎn)是(－3,0)，c＝3.12345678910111213141516171819202122(2)若直線y＝kx＋m與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，點(diǎn)C在橢圓上，問平行四邊形OACB的面積是否為定值？若是定值，求出該定值，若不是，說明理由.12345678910111213141516171819202122設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x0，y0)，將②代入①整理得，(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－3)＝16(3－m2＋12k2)>0，12345678910111213141516171819202122因?yàn)镺ACB是平行四邊形，因?yàn)?x0，y0)在橢圓上，代入得12345678910111213141516171819202122所以S?OACB＝2S△OAB＝|AB|·d

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