1.掌握兩點(diǎn)間的距離公式.
2.會(huì)利用兩點(diǎn)間的距離公式解決一些相關(guān)的問題.
在一條筆直的公路同側(cè)有兩個(gè)大型小區(qū)，現(xiàn)在計(jì)劃在公路上某處建一個(gè)公交站點(diǎn)C，以方便居住在兩個(gè)小區(qū)住戶的出行.如何選址能使站點(diǎn)到兩個(gè)小區(qū)的距離之和最?。?br/>問題1　在數(shù)軸上已知兩點(diǎn)A，B，如何求A，B兩點(diǎn)間的距離？
提示　|AB|＝|xB－xA|.
問題2　已知平面內(nèi)兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎樣求這兩點(diǎn)間的距離？
提示　(1)當(dāng)AB與x軸平行時(shí)，|AB|＝|x2－x1|；(2)當(dāng)AB與y軸平行時(shí)，|AB|＝|y2－y1|；(3)當(dāng)AB與坐標(biāo)軸不平行時(shí)，如圖，在Rt△ABC中，|AB|2＝|BC|2＋|AC|2，
點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)間的距離公式 .
(1)此公式與兩點(diǎn)的先后順序無關(guān).
　　(1)在數(shù)軸上有兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)A(－1)，|AB|＝6，那么AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為A.2 B.－4C.3或－3 D.2或－4
設(shè)B(x1)，C(x0)，∵|AB|＝|x1－(－1)|＝|x1＋1|＝6，∴x1＝5或x1＝－7，又C(x0)為AB的中點(diǎn)，
(2)已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，試判斷△ABC的形狀.
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形.
∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.
∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形.
計(jì)算兩點(diǎn)間的距離的方法(1)對(duì)于任意兩點(diǎn)P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，
(2)對(duì)于兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)相等的情況，可直接利用距離公式的特殊情況求解.
　　　(1)在數(shù)軸上從點(diǎn)A(－2)引一線段到點(diǎn)B(1)，再同向延長同樣的長度到點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為A.13 　　　B.0　　　 C.4 　　　D.－2
如圖所示，故C(4)為所求.
由兩點(diǎn)間的距離求參數(shù)的值
　　若點(diǎn)M到x軸和到點(diǎn)N(－4,2)的距離都等于10，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為__________________.
(2,10)或(－10,10)
由點(diǎn)M到x軸的距離等于10可知，其縱坐標(biāo)為±10.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(xM，±10).由兩點(diǎn)間距離公式，
解得xM＝－10或xM＝2，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,10)或(－10,10).
延伸探究　將本例中“點(diǎn)M到x軸”改為“點(diǎn)M到y(tǒng)軸”，其他條件不變，求點(diǎn)M的坐標(biāo).
由點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離等于10可知，其橫坐標(biāo)為±10.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(±10，yM)，
解得yM＝－6或10.所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－10，－6)或(－10,10).
根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得到所求參數(shù)的方程，注意含有根號(hào)需要平方，方能求解.
　　　已知A(a,3)，B(3,3a＋3)的距離為5，求a的值.
即(a－3)2＋(3a)2＝25，展開得a2－6a＋9＋9a2＝25，即10a2－6a－16＝0，即5a2－3a－8＝0，
由兩點(diǎn)間的距離求直線方程
　　已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是直線l：y＝kx＋1上的兩點(diǎn)，若|x2－x1|＝3，且|AB|＝6，求直線l的方程.
由題意可知y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1，∴y1－y2＝k(x1－x2)，∵|x2－x1|＝3，∴(x2－x1)2＝9，∴(y2－y1)2＝k2(x1－x2)2＝9k2，
從交點(diǎn)坐標(biāo)入手，采用“設(shè)而不求”“整體代入”或“整體消元”的思想方法可以優(yōu)化解題過程.這些解題思想方法在解析幾何中經(jīng)常用到，是需要掌握的技能.另外，靈活運(yùn)用圖形的幾何性質(zhì)，如對(duì)稱、線段垂直平分線的性質(zhì)等，同樣是很重要的.
　　　已知直線l過點(diǎn)P(3,1)，且被兩平行直線l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0截得的線段長為5，求直線l的方程.
設(shè)直線l與直線l1，l2分別交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
得(x1－x2)＋(y1－y2)＝5.①由已知及兩點(diǎn)間的距離公式，得(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝25.②
又點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)在直線l上，因此直線l的斜率為0或不存在.因?yàn)橹本€l過點(diǎn)P(3,1)，所以直線l的方程為y＝1或x＝3.
1.知識(shí)清單：兩點(diǎn)間的距離公式.2.方法歸納：待定系數(shù)法、坐標(biāo)法.3.常見誤區(qū)：已知距離求參數(shù)問題易漏解.
∵P(1,1)，Q(5,5)，
3.到點(diǎn)A(1,3)，B(－5,1)的距離相等的動(dòng)點(diǎn)P滿足的方程是A.3x－y－8＝0 B.3x＋y＋4＝0C.3x－y＋6＝0 D.3x＋y＋2＝0
設(shè)P(x，y)，因?yàn)辄c(diǎn)P到A(1,3)，B(－5,1)的距離相等，則|PA|＝|PB|
化簡(jiǎn)整理得3x＋y＋4＝0.
4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(4,3)，B(5,2)，C(1，0)，平面內(nèi)的點(diǎn)P滿足|PA|＝|PB|＝|PC|，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為______.
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，
因此，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,1).
1.已知點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)是(3,4)，則AB的長為A.10 　　　B.5　　　 C.8 　　　D.6
設(shè)A(a,0)，B(0，b)，則a＝6，b＝8，即A(6,0)，B(0,8)，
2.(多選)對(duì)于　　　　　，下列說法正確的是A.可看作點(diǎn)(x,0)與點(diǎn)(1,2)的距離B.可看作點(diǎn)(x,0)與點(diǎn)(－1，－2)的距離C.可看作點(diǎn)(x,0)與點(diǎn)(－1,2)的距離D.可看作點(diǎn)(x，－1)與點(diǎn)(－1,1)的距離
可看作點(diǎn)(x,0)與點(diǎn)(－1，－2)的距離，可看作點(diǎn)(x,0)與點(diǎn)(－1,2)的距離，可看作點(diǎn)(x，－1)與點(diǎn)(－1,1)的距離，故選項(xiàng)BCD正確.
4.在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，D為BC邊的中點(diǎn)，則線段AD的長是
5.兩直線3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分別過定點(diǎn)A，B，則|AB|的值為
6.已知A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，當(dāng)|AB|取最小值時(shí)，實(shí)數(shù)a的值是
∵A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，
7.過點(diǎn)A(a,4)和點(diǎn)B(b,2)的直線與直線x＋y＋m＝0垂直，則|AB|＝______.
因?yàn)檫^點(diǎn)A(a,4)和點(diǎn)B(b,2)的直線與直線x＋y＋m＝0垂直，
8.在x軸上找一點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q與A(5,12)間的距離為13，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為_____________.
設(shè)Q(x0,0)，則有
(10,0)或(0,0)
即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(10,0)或(0,0).
9.已知直線ax＋2y－1＝0和x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為　 ，求a的值.
由題易知a≠0，直線ax＋2y－1＝0中，
10.已知直線l1：2x＋y－6＝0和點(diǎn)A(1，－1)，過A點(diǎn)作直線l與已知直線l1相交于B點(diǎn)，且使|AB|＝5，求直線l的方程.
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＋1＝k(x－1)，
即3x＋4y＋1＝0.當(dāng)過A點(diǎn)的直線的斜率不存在時(shí)，方程為x＝1.此時(shí)，與l1的交點(diǎn)為(1,4)，也滿足題意.綜上所述，直線l的方程為3x＋4y＋1＝0或x＝1.
11.以點(diǎn)A(－3,0)，B(3，－2)，C(－1,2)為頂點(diǎn)的三角形是A.等腰三角形 B.等邊三角形C.直角三角形 D.以上都不是
∵|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，∴△ABC為直角三角形.
13.(多選)直線x＋y－1＝0上與點(diǎn)P(－2,3)的距離等于　 的點(diǎn)的坐標(biāo)是A.(－4,5) B.(－1,2)C.(－3,4) D.(4,5)
設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0，y0)，
14.已知點(diǎn)M(4,3)，過原點(diǎn)的直線l與直線y＝3交于點(diǎn)A，若|AM|＝2，則直線l的方程為______________________.
x－2y＝0或3x－2y＝0
設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(t,3)，
解得t＝2或t＝6.當(dāng)t＝2時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,3)，
當(dāng)t＝6時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6,3)，
綜上所述，直線l的方程為x－2y＝0或3x－2y＝0.
15.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有四點(diǎn)A(－1,0)，B(2,1)，C(1，5)，D(－2,2)，P為該平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則P到A，B，C，D四點(diǎn)的距離之和的最小值為
依題意可知，四點(diǎn)A(－1,0)，B(2,1)，C(1,5)，D(－2,2)構(gòu)成一個(gè)四邊形ABCD，因?yàn)閨PA|＋|PC|≥|AC|，當(dāng)且僅當(dāng)P在對(duì)角線AC上時(shí)取得等號(hào)，因?yàn)閨PB|＋|PD|≥|BD|，當(dāng)且僅當(dāng)P在對(duì)角線BD上時(shí)取得等號(hào)，所以|PA|＋|PC|＋|PB|＋|PD|≥|AC|＋|BD|
當(dāng)且僅當(dāng)P為兩條對(duì)角線的交點(diǎn)時(shí)取得等號(hào).
16.已知AO是△ABC的邊BC的中線，用坐標(biāo)法證明|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)

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高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

1.2 空間兩點(diǎn)間的距離公式

版本： 北師大版 (2019)

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