3.2  基本不等式 同步課時訓(xùn)練學(xué)校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、選擇題(共40分)1、(4分)不等式對任意a，恒成立，則實數(shù)x的取值范圍是(   )A. B. C. D.2、(4分)在中，點是線段上任意一點(不包含端點)，若，則的最小值是（   ）A.4      B.9      C.8      D.133、(4分)若，則當(dāng)取得最大值時，x的值為(   )A. B. C. D.4、(4分)若,則的最大值為(   )A. B. C.2 D.45、(4分)某單位在國家科研部門的支持下，進行技術(shù)攻關(guān)，采用新工藝把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為，為使每噸的平均處理成本最低，該單位每月處理量應(yīng)為(   )A.200噸 B.300噸 C.400噸 D.600噸6、(4分)已知x，y都是正數(shù)，且，則下列選項不恒成立的是(   )A. B. C. D.7、(4分)已知，且，則mn有(   )A.最大值1 B.最大值2 C.最小值1 D.最小值28、(4分)已知，若函數(shù)對任意滿足，則不等式的解集是(   )A. B. C. D.9、(4分)欲用一段長為的籬笆圍成一個一邊靠墻的面積最大的矩形菜園，墻長，則這個矩形的長、寬分別為（    ）A.15m，m B.15m，m C.7m，m D.7m，m10、(4分)若，則的（    ）A.最小值為0  B.最大值為4C.最小值為4  D.最大值為0二、填空題(共25分)11、(5分)已知a，b均為正數(shù)，且，則ab的最大值為________，的最小值為__________.12、(5分)若不等式 恒成立, 則 的最小值是__________.13、(5分)若某公司購買一批機器投入生產(chǎn),據(jù)市場分析,每臺機器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤y(單位:萬元)與機器運轉(zhuǎn)時間x(單位:年)的關(guān)系為,則當(dāng)每臺機器運轉(zhuǎn)_________年時,年平均利潤最大.14、(5分)已知，，，則的最大值是________15、(5分)已知，，且滿足，則的最小值為_____________.三、解答題(共35分)16、(8分)已知，滿足.（1）求證：；（2）現(xiàn)推廣：把的分子改為另一個大于1的正整數(shù)p，使對任意恒成立，試寫出一個p，并證明之.17、(9分)某工廠某種產(chǎn)品的月固定成本為10萬元，每生產(chǎn)x件，需另投入成本為C，當(dāng)月產(chǎn)量不足30件時，（萬元）.當(dāng)月產(chǎn)量不小于30件時，（萬元）.每件商品售價為5萬元，通過市場分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完.因設(shè)備問題，該廠月生產(chǎn)量不超過50件.（1）寫出月利潤L（萬元）關(guān)于月產(chǎn)量x（件）的表達式；（2）當(dāng)月產(chǎn)量為多少件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲月利潤最大？18、(9分)已知，，，求證：（1）；（2）.19、(9分)已知函數(shù)的最小值為m.(1)求m；(2)若正實數(shù)a，b，c滿足，求的最小值.
參考答案1、答案：C解析：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，不等式對任意a，恒成立，，，實數(shù)x的取值范圍是.故選：C.2、答案：B解析：3、答案：D解析：本題考查基本不等式的應(yīng)用.，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得“=”.4、答案：A解析：,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,,又，當(dāng)且僅當(dāng),即時，等號成立，,當(dāng)且僅當(dāng)即時,等號成立,的最大值為.故選A.5、答案：C解析：由題意可知，二氧化碳每噸的平均處理成本為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故該單位每月處理量為400噸時，可使每噸的平均處理成本最低.6、答案：D解析：由基本不等式，，，，這三個不等式都是當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，而題中，因此等號都取不到，所以ABC三個不等式恒成立；中當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，如，即可取等號，D中不等式不恒成立.7、答案：A解析：，且，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，有最大值1.故選A.8、答案：C解析：解：，
，
，
，，
，
，
，即，
，解得或，
原不等式的解集是：.
故選：C.
根據(jù)可得出，然后即可求出，然后由原不等式可得出，進而得出，然后解出x的范圍即可.
本題考查了偶函數(shù)的定義，對數(shù)的運算性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了計算能力，屬于中檔題.9、答案：A解析：設(shè)矩形的長為，寬為，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即， 時取等號.故選：A．10、答案：D解析：因為，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時取得最大值0，故選：D．11、答案：2，解析：由題意，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，所以，所以ab的最大值為2，，當(dāng)，時取等號.12、答案：0解析：由題意知當(dāng) 時, 恒成立.
令, 則.
若, 則 在 上是增函數(shù), 無最大值, 不符合題意;
若, 當(dāng) 時, , 當(dāng) 時, , 所以 在 上是增函數(shù), 在 上是減函數(shù).
所以. 所以. 所以.
令, 則.
當(dāng) 時,; 當(dāng) 時,.
所以 在 上是減函數(shù), 在 上是增函數(shù). 所以.
所以 的最小值是 0 .13、答案：5解析：每臺機器運轉(zhuǎn)x年的年平均利潤為,且,由基本不等式得,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,故,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,此時年平均利潤最大.14、答案：解析：因為，，，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時取等號，此時的最大值.15、答案：7解析：，由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，則最小值為7.16、答案： (1)見解析(2) 見解析解析：(1) 證明 : 由 ，得 ，,
要證 ，
只要證 ，
左邊 當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時等號成立；(2)要使,
只至至,左邊 則 ， 可取 或 3
取 ，問題轉(zhuǎn)化為.
證明如下 : 要證 ，
只需證明 ，
左邊 當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時等號成立.17、答案：（1）見解析（2）當(dāng)月產(chǎn)量為30件時，月獲利潤最大.解析：（1）因為每件商品售價為5萬元，所以x件商品銷售額為5x萬元，
依題意得，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，.
（2）當(dāng)時，，
對稱軸為.
即當(dāng)時，（萬元）；
當(dāng)時，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，（萬元）.綜上所述，當(dāng)月產(chǎn)量為30件時，月獲利潤最大.18、答案：（1）證明見解析（2）證明見解析解析：（1），，，
，
，
（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）.（2），，，
，
同理：，
.
（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）.19、答案：(1).(2)最小值為.解析：(1)因為可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，有最小值，最小值為4，即.(2)由(1)知，可得.又a，b，c為正實數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為.
 

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3.2 基本不等式

版本： 蘇教版 (2019)

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