高中3.2 基本不等式備課ppt課件

這是一份高中3.2 基本不等式備課ppt課件，共16頁。
1 | 兩個(gè)重要不等式
注意:①對(duì)于正數(shù)a,b,我們把?稱為a,b的算術(shù)平均數(shù),?稱為a,b的幾何平均數(shù).②“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義:一方面是當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào),另一方面是僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).
1.對(duì)于正數(shù)a,b,(1)和a+b為定值s時(shí),積ab有最⑤　大????值,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=?時(shí)取得最大值;(2)積ab為定值p時(shí),和a+b有⑥　小????值,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=?時(shí)取得最小值.上述結(jié)論可歸納為“和定積最大,積定和最小”.2.在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí),要把握不等式成立的三個(gè)條件:一正——各項(xiàng)均為正數(shù);二定——和或積為定值;三相等——等號(hào)成立的條件.
2 | 基本不等式與最值
已知a,b為正實(shí)數(shù),則?≥?≥?≥?(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立),其中?稱為平方平均數(shù),?稱為調(diào)和平均數(shù).
3 | 基本不等式鏈
1.不等式a2+b2≥2ab與?≤?有相同的適用范圍.?(?????　)提示:不等式a2+b2≥2ab對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b都成立,而?≤?只有當(dāng)a,b都是正數(shù)(特殊時(shí)可取0)時(shí)成立.2.若x>0,則y=x+?的最小值是4.?(　√　)提示:因?yàn)閤>0,所以y=x+?≥2?=2?=4(當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí),等號(hào)成立)+?的最小值為2.?(?????　)提示:當(dāng)x>0時(shí),y=x+?的最小值為2.4.6和8的幾何平均數(shù)為2?.?(?????　)5.一個(gè)矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為10,則矩形的面積最大為60. (?????　)
判斷正誤，正確的畫“ √” ，錯(cuò)誤的畫“ ?” .
提示:設(shè)矩形的長(zhǎng)和寬分別為x,y,則x2+y2=100.于是矩形的面積S=xy≤?=50,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=5?時(shí),等號(hào)成立.故矩形的面積最大為50.
1 | 利用基本不等式求最值
利用基本不等式求最值的基本方法利用基本不等式求最值有關(guān)問題的關(guān)鍵是湊出“和”或“積”為定值,并保證等號(hào)成立.常見的方法技巧如下:(1)拆(裂項(xiàng)、拆項(xiàng)):對(duì)分子的次數(shù)不低于分母次數(shù)的分式進(jìn)行整式分離——分離成整式與“真分式”的和,再根據(jù)分式中分母的情況對(duì)整式進(jìn)行拆項(xiàng),為應(yīng)用基本不等式湊定值創(chuàng)造條件.(2)并(分組并項(xiàng)):分組后各組可以單獨(dú)應(yīng)用基本不等式或分組后先對(duì)一組應(yīng)用基本不等式,再在組與組之間應(yīng)用基本不等式得出最值.
(4)換(常值代換、變量代換):對(duì)條件變形,以進(jìn)行代換,從而構(gòu)造利用基本不等式求最值的形式.常用于“已知ax+by=m(a,b,x,y均為正數(shù)),求?+?的最小值”和“已知?+?=m(a,b,x,y均為正數(shù)),求x+y的最小值”兩種類型.
(3)配(配式配系數(shù),湊出定值):根據(jù)題設(shè)條件采取合理配式、配系數(shù)的方法,使配式與待求式相乘后可以應(yīng)用基本不等式得出定值,或配以恰當(dāng)?shù)南禂?shù)后,使積式中的各項(xiàng)之和為定值.
利用基本不等式求最值的注意事項(xiàng)1.函數(shù)式中的各項(xiàng)必須都是正數(shù),在異號(hào)時(shí)不能運(yùn)用基本不等式,在同負(fù)時(shí)可以先進(jìn)行轉(zhuǎn)化,再運(yùn)用基本不等式;2.函數(shù)式中含變量的各項(xiàng)的和或積必須是常數(shù);3.考慮等號(hào)成立的條件是否具備,等號(hào)不成立時(shí)可用圖象找出最大(小)值.函數(shù)y=x+?(a>0)的大致圖象如圖.?
(1)已知a,b,x,y均為正數(shù),且?+?=1,求x+y的最小值;(2)已知x>0,y>0,且x+2y+xy=30,求xy的最大值.
思路點(diǎn)撥(1)采用常值代換的方法求解,也可以進(jìn)行變量代換,再利用基本不等式求解;(2)變量代換,將y用x表示出來,計(jì)算xy,利用基本不等式求解.
解析????(1)解法一:x+y=(x+y)?=a+b+?+?≥a+b+2?,當(dāng)且僅當(dāng)?即?時(shí),等號(hào)成立.故x+y的最小值為a+b+2?.解法二:由?+?=1得x=?,∴x+y=?+y=?+y=a+?+y=?+(y-b)+a+b.∵x>0,y>0,a>0,∴由?>0得y-b>0.∴x+y≥2?+a+b,
當(dāng)且僅當(dāng)?即?時(shí),等號(hào)成立.故x+y的最小值為a+b+2?.(2)由x+2y+xy=30,得y=?(0