絕密★啟用前2021-2022學(xué)年河北省衡水市武強(qiáng)中學(xué)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷  第I卷（選擇題） 一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）若集合，，則(    )A.  B.
C.  D. 下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是(    )
命題“所有的四邊形都是矩形”是存在量詞命題；
命題“，”是全稱量詞命題；
命題“，”的否定為“，”；
命題“是的必要條件”是真命題．A.  B.  C.  D. 青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題，視力情況可借助視力表測(cè)量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)的滿足已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為(    )A.  B.  C.  D. 設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是(    )A.  B.  C.  D. 已知，，，則的最小值為(    )A.  B.  C.  D. 函數(shù)在區(qū)間的圖像大致為(    )A.  B.
C.  D. 已知，，，則下列判斷正確的是(    )A.  B.  C.  D. 已知是定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù)，滿足，若，則(    )A.  B.  C.  D.  二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）已知集合，集合，則的一個(gè)充分不必要條件是(    )A.  B.  C.  D. 已知實(shí)數(shù)，，滿足，且，則下列式子一定成立的是(    )A.  B.  C.  D. 已知，則，滿足(    )A.  B.  C.  D. 已知函數(shù)，下列是關(guān)于函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的個(gè)判斷，其中正確的是(    )A. 當(dāng)時(shí)，有個(gè)零點(diǎn) B. 當(dāng)時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)
C. 當(dāng)時(shí)，有個(gè)零點(diǎn) D. 當(dāng)時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)第II卷（非選擇題） 三、填空題（本大題共5小題，共32.0分）已知命題“，”為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．已知中，點(diǎn)為線段不包括端點(diǎn)上任意一點(diǎn)，且正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為______．已知函數(shù)是偶函數(shù)，則          ．若定義在的奇函數(shù)在單調(diào)遞減，且，則滿足的的取值范圍是______．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．
確定函數(shù)的解析式．
用定義證明在上是增函數(shù)．
解不等式． 四、解答題（本大題共5小題，共58.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）本小題分
設(shè)函數(shù)．
若關(guān)于的不等式的解集為，求實(shí)數(shù)和的值；
若，
若，，求的最小值，并指出取最小值時(shí)和的值；
求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．本小題分
若二次函數(shù)，滿足且．
Ⅰ求函數(shù)的解析式；
Ⅱ若存在，使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．本小題分
習(xí)總書(shū)記指出：“綠水青山就是金山銀山”常州市一鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)號(hào)召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”調(diào)研過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：某珍稀水果樹(shù)的單株產(chǎn)量單位：千克與肥料費(fèi)用單位：元滿足如下關(guān)系：其它成本投入如培育管理等人工費(fèi)為單位：元已知這種水果的市場(chǎng)售價(jià)大約為元千克，且供不應(yīng)求．記該單株水果樹(shù)獲得的利潤(rùn)為單位：元．
求的函數(shù)關(guān)系式；
當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為多少時(shí)，該單株水果樹(shù)獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？本小題分
已知函數(shù)為奇函數(shù)．
求常數(shù)的值；
Ⅱ若，試比較與的大??；
Ⅲ若函數(shù)，且在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．本小題分
已知為奇函數(shù)．
求的值；
若，，求的值；
當(dāng)時(shí)，，求證：．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：由，得，，
由，得，，
．
故選：．
分別求解不等式化簡(jiǎn)與，再由交集運(yùn)算得答案．
本題考查交集及其運(yùn)算，考查不等式的解法，是基礎(chǔ)題．
 2.【答案】 【解析】解：對(duì)于：命題“所有的四邊形都是矩形”是全稱量詞命題，故錯(cuò)誤；
對(duì)于：命題““，”是全稱量詞命題；故正確；
對(duì)于：命題：，，則：，，故錯(cuò)誤；
對(duì)于：，，即，所以不等式兩邊同除以便得到，
“”是“”的必要條件；正確；
即正確的有個(gè)，
故選：．
根據(jù)存在量詞命題、全稱量詞命題的概念，命題否定的求法，分析選項(xiàng)，即可得答案．
本題考查了對(duì)全稱量詞和特稱量詞命題的理解及否定，屬于基礎(chǔ)題．
 3.【答案】 【解析】解：由，當(dāng)時(shí)，，
則．
故選：．
根據(jù)，關(guān)系，當(dāng)時(shí)，求出，再用指數(shù)表示，即可求解．
本題考查了指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．
 4.【答案】 【解析】【分析】本題考查了函數(shù)奇偶性和函數(shù)的圖象變換，解題的關(guān)鍵是確定的對(duì)稱中心，考查了邏輯推理能力，屬于中檔題．
先根據(jù)函數(shù)的解析式，得到的對(duì)稱中心，然后通過(guò)圖象變換，使得變換后的函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為，從而得到答案．【解答】解：因?yàn)?/span>，
所以函數(shù)的對(duì)稱中心為，
所以將函數(shù)向右平移一個(gè)單位，向上平移一個(gè)單位，
得到函數(shù)，該函數(shù)的對(duì)稱中心為，
故函數(shù)為奇函數(shù)．
故選：．  5.【答案】 【解析】解：，，，
又，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，
即的最小值為，
故選：．
由基本不等式及其應(yīng)用求解即可
本題考查了基本不等式及其應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．
 6.【答案】 【解析】解：，
可知，
函數(shù)是奇函數(shù)，排除；
當(dāng)時(shí)，，排除．
故選：．
判斷函數(shù)的奇偶性，結(jié)合函數(shù)的特殊值判斷點(diǎn)的位置，推出選項(xiàng)即可．
本題考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的圖象的判斷，是中檔題．
 7.【答案】 【解析】解：，，
．
故選：．
可得出，然后即可得出，，的大小關(guān)系．
本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，增函數(shù)的定義，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
 8.【答案】 【解析】【分析】本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，根據(jù)函數(shù)奇偶性和對(duì)稱性的關(guān)系求出函數(shù)的周期性是解決本題的關(guān)鍵．
根據(jù)函數(shù)奇偶性和對(duì)稱性的關(guān)系求出函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的周期性和奇偶性進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：是定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù)，且，
，，
則，則，
即函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，
，
，，
，
則，
則

，
故選：．  9.【答案】 【解析】解：設(shè)的一個(gè)充分不必要條件是，對(duì)應(yīng)的集合為，
當(dāng)時(shí)，，解得，所以
因此滿足條件的選項(xiàng)為，．
故選：．
根據(jù)充分不必要條件與集合包含關(guān)系之間的聯(lián)系即可求解．
本題主要考查交集的運(yùn)算，以及充分不必要條件與集合包含關(guān)系之間的聯(lián)系的應(yīng)用，屬于中檔題．
 10.【答案】 【解析】【分析】本題考查不等式的性質(zhì)，以及特殊值代入法，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)已知條件，結(jié)合特殊值代入，以及不等式的性質(zhì)，即可依次求解．【解答】解：當(dāng)時(shí)， 不成立，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，
，且，
，，，
，故B選項(xiàng)正確，
當(dāng)時(shí)， 不成立，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，
，，
，故D選項(xiàng)正確．
故選：．  11.【答案】 【解析】解：，，，
，，故A正確，
，故B錯(cuò)誤，
因?yàn)?/span>，故等號(hào)不成立，，故C正確，
，，即，，故D正確，
故選：．
先把指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式可得，，可判斷，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可判斷，由基本不等式可判斷．
本題主要考查了指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．
 12.【答案】 【解析】【分析】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)的判斷，利用換元法和數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，屬于較難題．
由得，利用換元法將函數(shù)分解為和，作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．【解答】解：由，得，
設(shè)，則方程等價(jià)為，
若，作出函數(shù)的圖象如圖：

，
此時(shí)方程有兩個(gè)根其中，，
由，知此時(shí)有兩解，
由知此時(shí)有兩解，
此時(shí)共有個(gè)解，即函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)．
若，作出函數(shù)的圖象如圖：

，
此時(shí)方程有一個(gè)根，其中，
由知此時(shí)只有個(gè)解，
即函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)．
故選：．  13.【答案】 【解析】解：命題“，”為真命題，等價(jià)于，上有解，
令，，
又的對(duì)稱軸方程為，故，
要使，上有解，只需，
故，
故答案為：．
命題“，”為真命題，等價(jià)于，上有解，令，，只需，即可解．
本題考查了存在性問(wèn)題，屬于中檔題．
 14.【答案】 【解析】解：，又，，三點(diǎn)共線，
，又，為正實(shí)數(shù)，

，
當(dāng)且僅當(dāng)，又，
即，時(shí)，取得等號(hào)，
的最小值為．
故答案為：．
根據(jù)向量的共線定理的推論，基本不等式即可求解．
本題考查向量的共線定理的推論，基本不等式，屬基礎(chǔ)題．
 15.【答案】 【解析】【分析】本題考查函數(shù)的奇偶性，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)題意，可得也為上的奇函數(shù)，即可得解．【解答】解：函數(shù)是偶函數(shù)，
為上的奇函數(shù)，
故也為上的奇函數(shù)，
所以時(shí)，，
所以，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意，
故答案為：．  16.【答案】或 【解析】解：因?yàn)槎x在的奇函數(shù)在單調(diào)遞減，且，
所以在上單調(diào)遞減，且，
所以當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，
由得或或，
解得或．
由已知結(jié)合奇函數(shù)的對(duì)稱性及單調(diào)性即可直接求解．
本題主要考查了利用函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性求解不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．
 17.【答案】解：函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，
則，即有，
且，則，解得，，
則函數(shù)的解析式：；
證明：設(shè)任取，，使得，則
，由于，則，，即，
，則有，即
則在上是增函數(shù)；
解：由于奇函數(shù)在上是增函數(shù)，
則不等式即為，
即有，解得
則有，
即的取值范圍為 【解析】【分析】由奇函數(shù)得，求得，再由已知，得到方程，解出，即可得到解析式；
運(yùn)用單調(diào)性的定義，注意作差、變形和定符號(hào)、下結(jié)論幾個(gè)步驟；
運(yùn)用奇偶性和單調(diào)性，得到不等式即為，得到不等式組，解出即可．
本題考查函數(shù)的解析式的求法和單調(diào)性的證明和運(yùn)用，奇偶性及解不等式組，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．【解答】解：函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，
則，即有，
且，則，解得，，
則函數(shù)的解析式：；
證明：設(shè)任取，，使得，則
，由于，則，，即，
，則有，即
則在上是增函數(shù)；
解：由于奇函數(shù)在上是增函數(shù)，
則不等式即為，
即有，解得
則有，
即的取值范圍為  18.【答案】解：由已知可得，的兩根是，，
所以，解得；
，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因?yàn)?/span>，，，解得時(shí)取等號(hào)，此時(shí)的最小值是；
由于，得，則，
函數(shù)的圖象對(duì)稱軸為，
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為，
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的最小值為． 【解析】由已知可得，的兩根是，，由韋達(dá)定理可得答案；
由條件可得，用基本不等式可求出的最小值，函數(shù)的圖象對(duì)稱軸為，分析在區(qū)間上單調(diào)性，即可求出最小值．
本題考查函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)的應(yīng)用，以及一元二次不等式的解集與一元二次方程根的關(guān)系，屬中檔題．
 19.【答案】解：Ⅰ由，解得：，
，
由

，
，解得：，
；
Ⅱ存在，使不等式，
即存在，使不等式成立，
令，，
故，
． 【解析】本題考查了求二次函數(shù)的解析式問(wèn)題，考查了求參數(shù)的范圍問(wèn)題，考查了轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．
Ⅰ由，求出，根據(jù)，通過(guò)系數(shù)相等，從而求出，的值；
Ⅱ問(wèn)題轉(zhuǎn)化為存在，使不等式成立，令，，求出的最大值即可．
 20.【答案】解：由已知
即
答：的函數(shù)關(guān)系式為
由變形得
，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且
；
當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立．
，
因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，．
答：當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為元時(shí)，種植該果樹(shù)獲得的最大利潤(rùn)是元． 【解析】由已知，代入的解析式，整理即可；
將所得函數(shù)式變形成能求最值的形式配方或者變成基本不等式的形式結(jié)合實(shí)際條件求最值即可．
本題考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，涉及了分段函數(shù)以及用基本不等式求最值和二次函數(shù)求最值的問(wèn)題，屬于比較有難度的題目．
 21.【答案】解：為奇函數(shù)
，
即，
，即，整理得．
使無(wú)意義而舍去．
Ⅱ．

．
當(dāng)時(shí)，，
，
從而，
即．
．
Ⅲ由知，在遞增，
在遞增．
在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)，
．
或，
或． 【解析】由于為奇函數(shù)，可得，即可得出；
利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和不等式的性質(zhì)通過(guò)作差即可得出；
利用函數(shù)的單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、不等式的性質(zhì)、分類討論等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．
 22.【答案】解：因?yàn)?/span>為奇函數(shù)，所以，所以，
當(dāng)時(shí)，，，
故是奇函數(shù)．
綜上，．
當(dāng)時(shí)，，
所以，
故，
令，
則，
因?yàn)?/span>，
所以，
所以，，
故．
證明：因?yàn)?/span>，
當(dāng)時(shí)，，
所以不等式成立．
當(dāng)時(shí)，




．
綜上，當(dāng)時(shí)，恒成立． 【解析】由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，可求得的值，驗(yàn)證可得結(jié)論；
當(dāng)時(shí)，，利用倒序相加法即可求值；
求出，驗(yàn)證時(shí)不等式成立，當(dāng)時(shí)，利用放縮法及等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可證明不等式恒成立．
本題主要考查不等式恒成立問(wèn)題，函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力與邏輯推理能力，屬于難題．
 

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