函數(shù)與方程思想專練 一、選擇題1．橢圓＋y2＝1的兩個焦點為F1，F2，過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，其一交點為P，則|PF2|＝(　　)A. B．C. D．4答案　C解析　如圖，令|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，那么??r2＝.故選C.2．(2022·青海省西寧市高三復習檢測(一))關于x的方程cos2x－sinx＋a＝0，若0<x≤時方程有解，則a的取值范圍是(　　)A．[－1,1] B．(－1,1]C．[－1,0] D．答案　B解析　∵cos2x－sinx＋a＝0，∴a＝sinx－cos2x＝sinx－(1－sin2x)＝2－，∵0<x≤，∴0<sinx≤1，∴<sinx＋≤，∴<2≤，∴－1<2－≤1，即－1＜a≤1.∴a的取值范圍為(－1,1]．故選B.3．若2x＋5y≤2－y＋5－x，則有(　　)A．x＋y≥0 B．x＋y≤0C．x－y≤0 D．x－y≥0答案　B解析　原不等式可變形為2x－5－x≤2－y－5y.即2x－x≤2－y－－y.故設函數(shù)f(x)＝2x－x，f(x)為增函數(shù)，所以x≤－y，即x＋y≤0.故選B.4. 為了豎一塊廣告牌，要制造三角形支架，如圖，要求∠ACB＝60°，BC的長度大于1米，且AC比AB長0.5米，為了穩(wěn)固廣告牌，要求AC越短越好，則AC最短為(　　)A.米 B．2米C．(1＋)米 D．(2＋)米答案　D解析　由題意，設BC＝x(x>1)米，AC＝t(t>0)米，則AB＝AC－0.5＝(t－0.5)米，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos60°，即(t－0.5)2＝t2＋x2－tx，化簡并整理得t＝(x>1)，即t＝x－1＋＋2，因為x>1，故t＝x－1＋＋2≥2＋，此時t取最小值2＋.故選D.5．(多選)(2021·河北邢臺高三質(zhì)檢)對于數(shù)列{an}，若存在數(shù)列{bn}滿足bn＝an－(n∈N*)，則稱數(shù)列{bn}是{an}的“倒差數(shù)列”，下列關于“倒差數(shù)列”敘述正確的是(　　)A．若數(shù)列{an}是單增數(shù)列，則其“倒差數(shù)列”不一定是單增數(shù)列B．若an＝3n－1，則其“倒差數(shù)列”有最大值C．若an＝3n－1，則其“倒差數(shù)列”有最小值D．若an＝1－n，則其“倒差數(shù)列”有最大值答案　ACD解析　若數(shù)列{an}是單增數(shù)列，則bn－bn－1＝an－－an－1＋＝(an－an－1)(1＋)，雖然有an>an－1，但當1＋<0時，bn<bn－1，因此{bn}不一定是單增數(shù)列，A正確；若an＝3n－1，則bn＝3n－1－，易知{bn}是遞增數(shù)列，無最大值，有最小值，最小值為b1，B錯誤，C正確；若an＝1－n，則bn＝1－n－，當n為偶數(shù)時，an＝1－n∈(0,1)，∴bn＝an－<0；當n為奇數(shù)時，an＝1＋n>1，顯然{an}是遞減的，因此bn＝an－也是遞減的，即b1>b3>b5>…，∴{bn}的奇數(shù)項中有最大值為b1＝－＝>0，∴b1＝是數(shù)列{bn}(n∈N*)中的最大值，D正確．故選ACD.二、填空題6．已知向量a＝(1,0)，b＝(λ，2)，|2a－b|＝|a＋b|，則實數(shù)λ＝________.答案　解析　由a＝(1,0)，b＝(λ，2)，得2a－b＝(2,0)－(λ，2)＝(2－λ，－2)，a＋b＝(1＋λ，2)，所以|2a－b|2＝(2－λ)2＋(－2)2＝8－4λ＋λ2，|a＋b|2＝5＋2λ＋λ2，又|2a－b|＝|a＋b|，所以8－4λ＋λ2＝5＋2λ＋λ2，解得λ＝.7．(2021·河北衡水中學全國高三第一次聯(lián)考)已知實數(shù)a，b∈(，＋∞)，且滿足－>ln ，則a，b，的大小關系是________．答案　a>>b解析　由－>ln ，得＋ln a>＋ln b．設f(x)＝＋ln x，則f′(x)＝－＋＝.當x∈(，＋∞)時，f′(x)>0恒成立，故f(x)在區(qū)間(，＋∞)上單調(diào)遞增，又f(a)>f(b)，所以a>b，所以a>>b.8．(2022·江蘇鹽城、淮安、宿遷、如東等地高三第一次大聯(lián)考)現(xiàn)有一塊正四面體形狀的實心木塊，其棱長為9 cm.車工師傅欲從木塊的某一個面向內(nèi)部挖掉一個體積最大的圓柱，則當圓柱底面半徑r＝________cm時，圓柱的體積最大，且最大值為________cm3.答案　　3π解析　設圓柱上底面圓心為O1，下底面圓心為O2，O2為正四面體底面中心，圓柱的上底面與正四面體側(cè)面ACD的交點N在側(cè)面中線AM上，∵正四面體棱長為9，∴BM＝9×＝.∴O2M＝，BO2＝3，AO2＝3，設圓柱底面半徑為r，高為h，由O1N∥O2M得＝，∴h＝3－2r，∴V圓柱＝πr2(3－2r)＝3πr2－2πr3，令f(r)＝3πr2－2πr3，f′(r)＝6πr－6πr2，令f′(r)＝0得r＝，∴r＝時，f(r)max＝π×3×(3－2×)＝3π.三、解答題9．在△ABC中，D是BC邊的中點，AB＝3，AC＝，AD＝.(1)求BC邊的長；(2)求△ABC的面積．解　(1)設BD＝x，則BC＝2x，在△ABD中，有cos∠ABD＝＝，在△ABC中，有cos∠ABC＝＝，且∠ABD＝∠ABC，即＝，解得x＝2，所以BC＝4.(2)由(1)可知，cosB＝，B∈(0，π)，得sinB＝，所以S△ABC＝·AB·BC·sinB＝×3×4×＝3.10．(2021·貴州省凱里一中月考)在等差數(shù)列{an}中，已知a3＋a4＝84－a5，a8＝36.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，求的最小值．解　(1)由a3＋a4＝84－a5得a4＝28，由得∴數(shù)列{an}的通項公式為an＝22＋(n－1)×2＝2n＋20.(2)由(1)得，Sn＝22n＋×2＝n2＋21n，∴＝n＋＋21，n∈N*，令f(x)＝x＋＋21，x＞0，f′(x)＝1－，當x∈(0,2)時，f′(x)<0；當x∈(2，＋∞)時，f′(x)>0，則f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，又n∈N*，f(4)＝f(5)＝30，∴當n＝4或5時，取最小值，為30.11．(2022·湖北恩施州高三上第一次教學質(zhì)量監(jiān)測)某企業(yè)創(chuàng)新形式推進黨史學習教育走深走實，舉行兩輪制的黨史知識競賽初賽，每部門派出兩個小組參賽，兩輪都通過的小組才具備參與決賽的資格．該企業(yè)某部門派出甲、乙兩個小組，若第一輪比賽時兩組通過的概率分別是，，第二輪比賽時兩組通過的概率分別是，，兩輪比賽過程相互獨立．(1)若將該部門獲得決賽資格的小組數(shù)記為X，求X的分布列及數(shù)學期望；(2)比賽規(guī)定：參與決賽的小組由4人組成，每人必須答題且只答題一次(與答題順序無關)，若4人全部答對就給予獎金，若沒有全部答對但至少2人答對就被評為“優(yōu)秀小組”．該部門對通過初賽的某一小組進行黨史知識培訓，使得每個成員答對每題的概率均為p(0<p<1)且相互獨立，設該參賽小組被評為“優(yōu)秀小組”的概率為f(p)，當p＝p0時，f(p)最大，試求p0的值．解　(1)設甲、乙通過兩輪制的初賽分別為事件A1，A2，則P(A1)＝×＝，P(A2)＝×＝.由題意知X的取值可能為0,1,2，則P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝×＋×＝，P(X＝2)＝×＝.那么X的分布列為X012PE(X)＝0×＋1×＋2×＝1.(2)由題意，知小組中2人答對的概率為C(1－p)2p2,3人答對的概率C(1－p)p3，則f(p)＝6(1－p)2p2＋4(1－p)p3＝2p4－8p3＋6p2.f′(p)＝8p3－24p2＋12p＝4p(2p2－6p＋3)，令f′(p)＝0得p1＝0(舍去)，p2＝，p3＝(舍去)，在上，f(p)單調(diào)遞增，在上，f(p)單調(diào)遞減．故p＝時，f(p)最大．所以p0＝.12．在平面直角坐標系中，動點M到定點F(－1,0)的距離與它到直線x＝－2的距離之比是常數(shù)，記點M的軌跡為T.(1)求軌跡T的方程；(2)過點F且不與x軸重合的直線m與軌跡T交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點P，在軌跡T上是否存在點Q，使得四邊形APBQ為菱形？若存在，請求出直線m的方程；若不存在，請說明理由．解　(1)設M(x，y)，根據(jù)動點M到定點F(－1，0)的距離與它到直線x＝－2的距離之比是常數(shù)，得＝，整理得＋y2＝1，∴軌跡T的方程為＋y2＝1.(2)假設存在直線m，設直線m的方程為x＝ky－1，由消去x，得(k2＋2)y2－2ky－1＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝，x1＋x2＝k(y1＋y2)－2＝，∴線段AB的中點H的坐標為.∵四邊形APBQ為菱形，∴直線PQ為線段AB的中垂線．∴直線PQ的方程為y－＝－k，令y＝0，解得x＝－，即P.設Q(x0，y0)，∵P，Q關于點H對稱，∴＝，＝(y0＋0)，解得x0＝，y0＝，即Q.∵點Q在橢圓上，∴2＋22＝2，解得k2＝，于是＝，即＝±，∴直線m的方程為y＝x＋或y＝－x－. 

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