一、幾類常見的對稱問題
例1 已知直線l：y＝3x＋3，求：
(1)點P(4,5)關于l的對稱點的坐標；
(2)直線y＝x－2關于l的對稱直線的方程；
(3)直線l關于點A(3,2)的對稱直線的方程．
解 (1)設點P關于直線l的對稱點為P′(x′，y′)，則線段PP′的中點在直線l上，且直線PP′垂直于直線l，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y′＋5,2)＝3×\f(x′＋4,2)＋3，,\f(y′－5,x′－4)×3＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝－2，,y′＝7.))
∴點P′的坐標為(－2,7)．
(2)解方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝3x＋3，,y＝x－2，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(5,2)，,y＝－\f(9,2)，))
則點eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，－\f(9,2)))在所求直線上．
在直線y＝x－2上任取一點M(2,0)，
設點M關于直線l的對稱點為M′(x0，y0)，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y0,2)＝3×\f(x0＋2,2)＋3，,\f(y0,x0－2)×3＝－1，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝－\f(17,5)，,y0＝\f(9,5).))
點M′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,5)，\f(9,5)))也在所求直線上．
由兩點式得直線方程為eq \f(y＋\f(9,2),\f(9,5)＋\f(9,2))＝eq \f(x＋\f(5,2),－\f(17,5)＋\f(5,2))，
化簡得7x＋y＋22＝0，即為所求直線方程．
(3)在直線l上取兩點E(0,3)，F(xiàn)(－1,0)，
則E，F(xiàn)關于點A(3,2)的對稱點分別為E′(6,1)，F(xiàn)′(7,4)．
因為點E′，F(xiàn)′在所求直線上，
所以由兩點式得所求直線方程為eq \f(y－1,4－1)＝eq \f(x－6,7－6)，
即3x－y－17＝0.
反思感悟 對稱問題的解決方法
(1)點關于點的對稱問題通常利用中點坐標公式．
點P(x，y)關于Q(a，b)的對稱點為P′(2a－x,2b－y)．
(2)直線關于點的對稱直線通常用轉移法或取特殊點來求．
設l的方程為Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，點P(x0，y0)，
則l關于P點的對稱直線方程為A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0.
(3)點關于直線的對稱點，要抓住“垂直”和“平分”．
設P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，P關于l的對稱點Q可以通過條件：①PQ⊥l；②PQ的中點在l上來求得．
(4)求直線關于直線的對稱直線的問題可轉化為點關于直線的對稱問題．
跟蹤訓練1 已知P(－1,2)，M(1,3)，直線l：y＝2x＋1.
(1)求點P關于直線l的對稱點R的坐標；
(2)求直線PM關于直線l的對稱直線方程．
解 (1)設點P關于直線l的對稱點R的坐標為(x，y)，
則有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2＋y,2)＝2×\f(－1＋x,2)＋1，,\f(y－2,x＋1)×2＝－1，))解得 Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,5)，\f(4,5))) .
(2)因為M(1,3)的坐標滿足直線l的方程，
又點P關于直線l的對稱點為Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,5)，\f(4,5)))，
則直線MR為所求的直線，方程為11x＋2y－17＝0.
二、光的反射問題
例2 一束光線從原點O(0,0)出發(fā)，經(jīng)過直線l：8x＋6y＝25反射后通過點P(－4,3)，求反射光線的方程及光線從O點到達P點所走過的路程．
解 設原點關于l的對稱點A的坐標為(a，b)，
由直線OA與l垂直和線段AO的中點在l上得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b,a)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＝－1，,8×\f(a,2)＋6×\f(b,2)＝25，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝3，))
∴點A的坐標為(4,3)．
∵反射光線的反向延長線過A(4,3)，
又由反射光線過P(－4,3)，A，P兩點縱坐標相等，
故反射光線所在直線的方程為y＝3.
聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝3，,8x＋6y＝25，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(7,8)，,y＝3，))
由于反射光線為射線，
故反射光線的方程為y＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x≤\f(7,8))).
由光的性質可知，
光線從O到P的路程即為AP的長度AP，
由A(4,3)，P(－4,3)知，AP＝4－(－4)＝8，
即光線從O經(jīng)直線l反射后到達P點所走過的路程為8.
反思感悟 根據(jù)平面幾何知識和光學知識，入射光線、反射光線上對應的點是關于法線對稱的．利用點的對稱關系可以求解．
跟蹤訓練2 如圖所示，已知點A(4，0)，B(0,4)，從點P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到點P，則光線所經(jīng)過的路程是( )
A．2eq \r(10) B．6 C．3eq \r(3) D．2eq \r(5)
答案 A
解析 由題意知，AB所在直線的方程為x＋y－4＝0.如圖，點P關于直線AB的對稱點為D(4,2)，關于y軸的對稱點為C(－2,0)，則光線所經(jīng)過的路程為CD＝2eq \r(10).
三、利用對稱解決有關最值問題
例3 在直線l：x－y－1＝0上求兩點P，Q.使得：
(1)P到A(4,1)與B(0,4)的距離之差最大；
(2)Q到A(4,1)與C(3,0)的距離之和最?。?br>解 (1)如圖，設點B關于l的對稱點B′的坐標為(a，b)，連接BB′，則kBB′·kl＝－1，即eq \f(b－4,a)×1＝－1，
∴a＋b－4＝0，①
∵BB′的中點eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，\f(b＋4,2)))在直線l上，
∴eq \f(a,2)－eq \f(b＋4,2)－1＝0，即a－b－6＝0.②
由①②得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝－1，))
∴點B′的坐標為(5，－1)．
于是AB′所在直線的方程為eq \f(y－1,－1－1)＝eq \f(x－4,5－4)，
即2x＋y－9＝0.
易知|PB－PA|＝|PB′－PA|，當且僅當P，B′，A三點共線時，|PB′－PA|最大．
∴聯(lián)立直線l與AB′的方程，解得x＝eq \f(10,3)，y＝eq \f(7,3)，
即l與AB′的交點坐標為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,3)，\f(7,3))).
故點P的坐標為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,3)，\f(7,3))).
(2)如圖，設點C關于l的對稱點為C′，可求得C′的坐標為(1,2)，
∴AC′所在直線的方程為x＋3y－7＝0.
易知QA＋QC＝QA＋QC′，當且僅當Q，A，C′三點共線時，QA＋QC′最?。?br>∴聯(lián)立直線AC′與l的方程，解得x＝eq \f(5,2)，y＝eq \f(3,2)，
即AC′與l的交點坐標為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(3,2))).
故點Q的坐標為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(3,2))).
反思感悟 利用對稱性求距離的最值問題
由平面幾何知識(三角形任兩邊之和大于第三邊，任兩邊之差的絕對值小于第三邊)可知，要解決在直線l上求一點，使這點到兩定點A，B的距離之差最大的問題，若這兩點A，B位于直線l的同側，則只需求出直線AB的方程，再求它與已知直線的交點，即得所求的點的坐標；若A，B兩點位于直線l的異側，則先求A，B兩點中某一點，如A關于直線l的對稱點A′，得直線A′B的方程，再求其與直線l的交點即可．對于在直線l上求一點P，使P到平面上兩點A，B的距離之和最小的問題可用類似方法求解．
跟蹤訓練3 在平面直角坐標系中，點A，B分別是x軸、y軸上兩個動點，又有一定點M(3,4)，則MA＋AB＋BM的最小值是( )
A．10 B．11 C．12 D．13
答案 A
解析 如圖，設點M(3,4)關于y軸的對稱點為P(－3,4)，關于x軸的對稱點為Q(3，－4)，
則MB＝PB，MA＝AQ.
當A與B重合于坐標原點O時，
MA＋AB＋BM＝PO＋OQ＝PQ
＝eq \r([3－?－3?]2＋?－4－4?2)＝10；
當A與B不重合時，MA＋AB＋BM＝AQ＋AB＋PB>PQ＝10.
綜上可知，當A與B重合于坐標原點O時，MA＋AB＋BM取得最小值，最小值為10.
1．知識清單：
(1)關于點點、點線、線線的對稱問題．
(2)反射問題．
(3)利用對稱解決有關最值問題．
2．方法歸納：轉化化歸、數(shù)形結合．
3．常見誤區(qū)：兩條直線關于直線外一點對稱，則這兩條直線一定平行，千萬不要與兩條相交直線關于角平分線所在直線對稱混淆．
1．點(3,9)關于直線x＋3y－10＝0對稱的點的坐標是( )
A．(－1，－3) B．(17，－9)
C．(－1,3) D．(－17,9)
答案 A
解析 設點(3,9)關于直線x＋3y－10＝0對稱的點的坐標為(a，b)，
則由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3＋a,2)＋3×\f(b＋9,2)－10＝0，,\f(b－9,a－3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝－3，))
所以該點的坐標為(－1，－3)．
2．若點P(3,4)和點Q(a，b)關于直線x－y－1＝0對稱，則( )
A．a(chǎn)＝1，b＝－2 B．a(chǎn)＝2，b＝－1
C．a(chǎn)＝4，b＝3 D．a(chǎn)＝5，b＝2
答案 D
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b－4,a－3)＝－1，,\f(a＋3,2)－\f(b＋4,2)－1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝2.))
3．直線x－2y＋1＝0 關于直線x＝1對稱的直線方程是( )
A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0
答案 D
解析 在直線 x－2y＋1＝0上任取兩點，如：(1,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，
這兩點關于直線x＝1對稱的點分別為 (1,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))，
兩對稱點所在直線的方程為 y－1＝－eq \f(1,2)(x－1)，即 x＋2y－3＝0.
4．已知A(3,0)，B(0,3)，從點P(0,2)射出的光線經(jīng)x軸反射到直線AB上，又經(jīng)過直線AB反射回到P點，則光線所經(jīng)過的路程為( )
A．2eq \r(10) B．6 C．3eq \r(3) D.eq \r(26)
答案 D
解析 由題易知直線AB的方程為x＋y＝3，點P(0,2)關于x軸的對稱點為P1(0，－2)，設點P(0,2)關于直線AB的對稱點為P2(a，b)，如圖，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b－2,a)×?－1?＝－1，,\f(a,2)＋\f(2＋b,2)＝3，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝3.))∴P2(1,3)，
∴光線所經(jīng)過的路程為PQ＋QM＋MP＝P1P2＝eq \r(12＋?3＋2?2)＝eq \r(26).
課時對點練
1．已知點A(x,5)關于點(1，y)的對稱點為(－2，－3)，則點P(x，y)到原點的距離是( )
A．4 B.eq \r(13) C.eq \r(15) D.eq \r(17)
答案 D
解析 根據(jù)中點坐標公式得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x－2,2)＝1，,\f(5－3,2)＝y(tǒng)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝1.))
所以點P的坐標為(4,1)，則點P(x，y)到原點的距離d＝eq \r(?4－0?2＋?1－0?2)＝eq \r(17).
2．點P(2,5)關于直線x＋y＋1＝0的對稱點的坐標為( )
A．(6，－3) B．(3，－6)
C．(－6，－3) D．(－6,3)
答案 C
解析 設點P(2,5)關于直線l的對稱點的坐標為(x，y)，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y－5,x－2)＝1，,\f(x＋2,2)＋\f(y＋5,2)＋1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－6，,y＝－3，))
故點P(2,5)關于直線l的對稱點的坐標為(－6，－3)．
3．直線2x＋3y－6＝0關于點(1，－1)對稱的直線方程是( )
A．2x＋3y＋7＝0 B．3x－2y＋2＝0
C．2x＋3y＋8＝0 D．3x－2y－12＝0
答案 C
解析 ∵直線2x＋3y－6＝0關于點(1，－1)對稱的直線斜率不變，
∴設對稱后的直線方程l′為2x＋3y＋c＝0，
又點(1，－1)到兩直線的距離相等，
∴eq \f(|2－3＋c|,\r(22＋32))＝eq \f(|2－3－6|,\r(22＋32))，
化簡得|c－1|＝7，解得c＝－6 或c＝8，
∴l(xiāng)′的方程為2x＋3y－6＝0(舍)或 2x＋3y＋8＝0，
即直線2x＋3y－6＝0關于點(1，－1)對稱的直線方程是2x＋3y＋8＝0.
4．已知直線l：ax＋by＋c＝0與直線l′關于直線x＋y＝0對稱，則l′的方程為( )
A．bx＋ay－c＝0 B．bx－ay＋c＝0
C．bx＋ay＋c＝0 D．bx－ay－c＝0
答案 A
5．過點(2,1)且與點(1,3)距離最大的直線方程是( )
A．2x－y－3＝0 B．2x＋y－5＝0
C．x－2y＝0 D．x＋2y－4＝0
答案 C
解析 過點(2,1)與點(1,3)的直線的斜率為eq \f(1－3,2－1)＝－2，
故過點(2,1)且與點(1,3)距離最大的直線和這兩點所在直線垂直，
故所求直線的斜率為eq \f(1,2)，
故其方程為y－1＝eq \f(1,2)(x－2)，即x－2y＝0.
6．光線從點A(－3,5)射到x軸上，經(jīng)x軸反射后經(jīng)過點B(2,10)，則光線從A到B的路程為( )
A．5eq \r(2) B．2eq \r(5) C．5eq \r(10) D．10eq \r(5)
答案 C
解析 點A(－3,5)關于x軸的對稱點A′(－3，－5)，
則光線從A到B的路程即A′B的長，
A′B＝eq \r(?－5－10?2＋?－3－2?2)＝5eq \r(10).
即光線從A到B的路程為5eq \r(10).
7．已知A(－3,8)，B(2,2)，在x軸上有一點M，使得MA＋MB取最小值，則點M的坐標為________．
答案 (1,0)
解析 如圖，作點A關于x軸的對稱點A′(－3，－8)，連接A′B，則A′B與x軸的交點即為M，連接AM.因為B(2，2)，所以直線A′B的方程為eq \f(y－2,－8－2)＝eq \f(x－2,－3－2)，即2x－y－2＝0.令y＝0，得x＝1，所以點M的坐標為(1,0)．
8．已知入射光線經(jīng)過點M(－3,4)，被直線l：x－y＋3＝0反射，反射光線經(jīng)過點N(2,6)，則反射光線所在直線的方程為________．
答案 6x－y－6＝0
解析 設點M(－3,4)關于直線l：x－y＋3＝0的對稱點為M′(a，b)，
則反射光線所在直線過點M′，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b－4,a－?－3?)＝－1，,\f(－3＋a,2)－\f(b＋4,2)＋3＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝0.))即點M′(1,0)．
又反射光線經(jīng)過點N(2,6)，
所以所求直線的方程為eq \f(y－0,6－0)＝eq \f(x－1,2－1)，即6x－y－6＝0.
9．已知點M(3,5)，在直線l：x－2y＋2＝0和y軸上各找一點P和Q，使△MPQ周長最?。?br>解 由點M(3,5)及直線l，可求得點M關于l的對稱點為M1(5,1)．同樣可求得點M關于y軸的對稱點為M2(－3,5)．由M1及M2兩點可得到直線M1M2的方程為x＋2y－7＝0.
解方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y－7＝0，,x－2y＋2＝0，))得交點Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(9,4))).令x＝0，得M1M2與y軸的交點Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(7,2))).所以當P和Q的坐標分別為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(9,4)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(7,2)))時，△MPQ的周長最小．
10．已知直線l：x－y＋3＝0，一束光線從點A(1,2)處射向x軸上一點B，又從點B反射到l上的一點C，最后從點C反射回點A.
(1)試判斷由此得到的△ABC的個數(shù)；
(2)求直線BC的方程．
解 (1)如圖，設B(m,0)，點A關于x軸的對稱點為A′(1，－2)，點B關于直線x－y＋3＝0的對稱點為B′(－3，m＋3)．
根據(jù)光學知識，知點C在直線A′B上，點C又在直線B′A上，且直線A′B的方程為y＝eq \f(2,m－1)(x－m)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(2,m－1)?x－m?，,x－y＋3＝0，))得x＝eq \f(3－5m,m－3).
又直線AB′的方程為y－2＝eq \f(－m－1,4)(x－1)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－2＝\f(－m－1,4)?x－1?，,x－y＋3＝0，))得x＝eq \f(m－3,m＋5).
所以eq \f(3－5m,m－3)＝eq \f(m－3,m＋5)，即3m2＋8m－3＝0，
解得m＝eq \f(1,3)或－3.
當m＝eq \f(1,3)時，符合題意；
當m＝－3時，點B在直線x－y＋3＝0上，不能構成三角形．綜上，符合題意的△ABC只有1個．
(2)由(1)得m＝eq \f(1,3)，
則直線A′B的方程為3x＋y－1＝0，
即直線BC的方程為3x＋y－1＝0.
11．已知點(1，－1)關于直線l1：y＝x的對稱點為A，設直線l2經(jīng)過點A，則當點B(2，－1)到直線l2的距離最大時，直線l2的方程為( )
A．2x＋3y＋5＝0 B．3x－2y＋5＝0
C．3x＋2y＋5＝0 D．2x－3y＋5＝0
答案 B
解析 設A(a，b)，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b＋1,a－1)＝－1，,\f(b－1,2)＝\f(a＋1,2)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝1，))所以A(－1,1)．
設點B(2，－1)到直線l2的距離為d，
當d＝AB時取得最大值，此時直線l2垂直于直線AB，
又－eq \f(1,kAB)＝－eq \f(1,\f(－1－1,2＋1))＝eq \f(3,2)，
所以直線l2的方程為y－1＝eq \f(3,2)(x＋1)，即3x－2y＋5＝0.
12．已知A(－2,1)，B(1,2)，點C為直線y＝eq \f(1,3)x上的動點，則AC＋BC的最小值為( )
A．2eq \r(2) B．2eq \r(3) C．2eq \r(5) D．2eq \r(7)
答案 C
解析 設B關于直線y＝eq \f(1,3)x的對稱點為B′(x0，y0)，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y0－2,x0－1)＝－3，,\f(y0＋2,2)＝\f(1,3)×\f(x0＋1,2)，))解得B′(2，－1)．
由平面幾何知識得AC＋BC的最小值即是B′A＝eq \r(?2＋2?2＋?－1－1?2)＝2eq \r(5).故選C.
13．著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休．”事實上，有很多代數(shù)問題可以轉化為幾何問題加以解決，如：eq \r(?x－a?2＋?y－b?2)可以轉化為平面上點M(x，y)與點N(a，b)的距離．結合上述觀點，可得f(x)＝eq \r(x2＋4x＋20)＋eq \r(x2＋2x＋10)的最小值為( )
A．2eq \r(5) B．5eq \r(2) C．4 D．8
答案 B
解析 ∵f(x)＝eq \r(x2＋4x＋20)＋eq \r(x2＋2x＋10)
＝eq \r(?x＋2?2＋?0－4?2)＋eq \r(?x＋1?2＋?0－3?2)，
∴f(x)的幾何意義為點M(x,0)到兩定點A(－2,4)與B(－1,3)的距離之和，
設點A(－2,4)關于x軸的對稱點為A′，
則A′(－2，－4)．要求f(x)的最小值，可轉化為求MA＋MB的最小值，
利用對稱思想可知MA＋MB≥A′B＝eq \r(?－1＋2?2＋?3＋4?2)＝5eq \r(2)，
即f(x)＝eq \r(x2＋4x＋20)＋eq \r(x2＋2x＋10)的最小值為5eq \r(2).
14．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在位置為B(－1，－4)，若將軍從點A(－1,2)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x＋y＝3.則“將軍飲馬“的最短總路程為( )
A.eq \r(13) B.eq \r(17) C．2eq \r(17) D．10
答案 C
解析 如圖所示，
設點B關于直線x＋y＝3的對稱點為C(a，b)，
由題意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a－1,2)＋\f(b－4,2)＝3，,\f(b＋4,a＋1)＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝7，,b＝4，))即C(7,4)，
在直線x＋y＝3上取點P，由對稱性可得PB＝PC，
所以PA＋PB＝PA＋PC≥AC
＝eq \r(?－1－7?2＋?2－4?2)＝2eq \r(17)，
當且僅當A，P，C三點共線時，等號成立，
因此，“將軍飲馬“的最短總路程為2eq \r(17).
15．若函數(shù)y＝eq \f(x,x2＋1)的圖象上存在兩點P，Q關于點(1,0)對稱，則直線PQ的方程是________．
答案 x－4y－1＝0
解析 根據(jù)題意，設Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p，\f(p,p2＋1)))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(q，\f(q,q2＋1)))，
又線段PQ的中點是(1,0)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(p＋q,2)＝1，,\f(p,p2＋1)＋\f(q,q2＋1)＝0，))
整理得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(p＋q＝2，,p·q＝－1，))
所以p，q為方程x2－2x－1＝0的根，
解得x＝1±eq \r(2)，
所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\r(2)，\f(\r(2),4)))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\r(2)，－\f(\r(2),4)))
或Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\r(2)，－\f(\r(2),4)))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\r(2)，\f(\r(2),4))).
由兩點式得直線PQ的方程為x－4y－1＝0.
16．已知直線l：x－2y＋8＝0和兩點A(2,0)，B(－2，－4)．
(1)在直線l上求一點P，使PA＋PB最??；
(2)在直線l上求一點P，使PB－PA最大．
解 (1)設A關于直線l的對稱點為A′(m，n)，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(n－0,m－2)＝－2，,\f(m＋2,2)－2·\f(n＋0,2)＋8＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－2，,n＝8，))
故A′(－2,8)．
因為P為直線l上的一點，
則PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B，
當且僅當B，P，A′三點共線時，PA＋PB取得最小值，為A′B，點P即是直線A′B與直線l的交點，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,x－2y＋8＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝3，))
故所求的點P的坐標為(－2,3)．
(2)A，B兩點在直線l的同側，P是直線l上的一點，
則|PB－PA|≤AB，
當且僅當A，B，P三點共線時，|PB－PA|取得最大值，為AB，點P即是直線AB與直線l的交點，又直線AB的方程為y＝x－2，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x－2，,x－2y＋8＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝12，,y＝10，))
故所求的點P的坐標為(12,10)．

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1.5 平面上的距離

版本： 蘇教版 (2019)

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