21．6　綜合與實(shí)踐　獲取最大利潤(rùn)教學(xué)目標(biāo)【知識(shí)與技能】能夠分析和表示實(shí)際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，并運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)求出實(shí)際問題的最大(或小)值，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力．【過程與方法】應(yīng)用已有的知識(shí)，經(jīng)過自主探索和合作交流嘗試解決問題．【情感、態(tài)度與價(jià)值觀】在經(jīng)歷和體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)現(xiàn)的過程中，提高思維品質(zhì)，在勇于創(chuàng)新的過程中樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心．重點(diǎn)難點(diǎn)【重點(diǎn)】二次函數(shù)在最優(yōu)化問題中的應(yīng)用．【難點(diǎn)】從現(xiàn)實(shí)問題中建立二次函數(shù)模型，學(xué)生較難理解和掌握．教學(xué)過程一、問題引入在日常生活、生產(chǎn)和科研中，常常會(huì)遇到求什么條件下可使面積最大、利潤(rùn)最大、材料最省、時(shí)間最少、效率最高等問題，這類問題稱為最優(yōu)化問題．其中一些問題可以歸結(jié)為求二次函數(shù)的最大值或最小值．如何利用二次函數(shù)分析解決這樣的問題呢？本節(jié)課我們來研究二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用．做一做：從地面豎直向上拋出一個(gè)小球，小球的高度h(單位：m)與小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(單位：s)之間的關(guān)系式是：h＝30t－5t2(0≤t≤6)．小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是多少時(shí)，小球最高？小球運(yùn)動(dòng)中的最大高度是多少？我們可以借助函數(shù)圖象解決這個(gè)問題，畫出函數(shù)h＝30t－5t2(0≤t≤6)的圖象，如圖所示，可以看出這個(gè)函數(shù)的圖象是一條拋物線的一部分．這條拋物線的頂點(diǎn)是這個(gè)函數(shù)圖象的最高點(diǎn)，也就是說，當(dāng)t取頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，這個(gè)函數(shù)有最大值．因此，當(dāng)t＝－＝－＝3時(shí)，h有最大值＝45，也就是說，小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是3 s時(shí)，小球最高，小球運(yùn)動(dòng)中的最大高度是45 m.一般地，當(dāng)a＞0(或a＜0)時(shí)，拋物線y＝ax2＋bx＋c的頂點(diǎn)是最低(或高)點(diǎn)，也就是說，當(dāng)x＝－時(shí)，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c有最小(或大)值.二、新課教授問題1：用總長(zhǎng)為60 m的籬笆圍成矩形場(chǎng)地，矩形面積S隨矩形一邊長(zhǎng)l的變化而變化．當(dāng)l是多少時(shí)，場(chǎng)地面積S最大？師生活動(dòng)：學(xué)生積極思考，找到等量關(guān)系式，并嘗試解答．教師巡視、指導(dǎo)，最后給出解答過程．解：矩形場(chǎng)地的周長(zhǎng)是60 m，一邊長(zhǎng)l，則另一邊長(zhǎng)為(－l)，場(chǎng)地的面積S＝l(30－l)，即S＝－l2＋30l(0＜l＜30)．因此，當(dāng)l＝－＝－＝15(m)時(shí)，S有最大值＝＝225(m2)．即當(dāng)l是15 m時(shí)，場(chǎng)地面積S最大，最大值是225 m2.問題2：某商品現(xiàn)在的售價(jià)是每件60元，每星期可賣出300件，市場(chǎng)調(diào)查反映，如調(diào)整價(jià)格，每漲價(jià)1元，每星期要少賣出10件；每降價(jià)1元，每星期可多賣出20件．已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，如何定價(jià)才能使利潤(rùn)最大？師生活動(dòng)：教師分析存在的問題，書寫解答過程．分析：調(diào)整價(jià)格包括漲價(jià)和降價(jià)兩種情況．我們先來看漲價(jià)的情況．設(shè)每件漲價(jià)x元，則每星期售出商品的利潤(rùn)y隨之改變．我們先來確定y隨x變化的函數(shù)關(guān)系式，漲價(jià)x元時(shí)，每星期少賣10x件，實(shí)際賣出(300－10x)元．銷售額為(60＋x)(300－10x)元，買進(jìn)商品需付40(300－10x)元．因此，所得利潤(rùn)為y＝(60＋x)(300－10x)－40(300－10x)，(0≤x≤30)即y＝－10x2＋100x＋600＝－10(x2－10x)＋600＝－10(x2－10x＋25)＋850＝－10(x－5)2＋850(0≤x≤30)所在，在漲價(jià)的情況下，漲價(jià)5元，即定價(jià)65元時(shí)，利潤(rùn)最大，最大為850元．思考：在降價(jià)的情況下，最大利潤(rùn)是多少？(降價(jià)2.5元，即定價(jià)57.5元時(shí)，利潤(rùn)最大，最大為6 125元．)思考：由上面的討論及現(xiàn)在的銷售情況，你知道如何定價(jià)才能使利潤(rùn)最大了嗎？(在漲價(jià)的情況下，定價(jià)65元；在降價(jià)的情況下，定價(jià)57.5元．)問題3：圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2 m，水面寬4 m．若水面下降1 m，水面寬度增加多少？師生活動(dòng)：學(xué)生完成解答．教師分析存在的問題，書寫解答過程．分析：我們知道二次函數(shù)的圖象是拋物線，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，就可以求出這條拋物線表示的二次函數(shù)．為解題簡(jiǎn)便，以拋物線的對(duì)稱軸為y軸建立直角坐標(biāo)系．可設(shè)這條拋物線表示的二次函數(shù)為y＝ax2.由拋物線經(jīng)過點(diǎn)(2，－2)，可得－2＝a×22，解得a＝－，這條拋物線表示的二次函數(shù)為y＝－x2.水面下降1 m，水面所在位置的縱坐標(biāo)為y＝－3，代入上述表達(dá)式得x＝±.故水面下降1 m，水面寬度增加(2－4)m.讓學(xué)生回顧解題過程，討論、交流、歸納解題步驟：(1)先分析問題中的數(shù)量關(guān)系，列出函數(shù)關(guān)系式；(2)研究自變量的取值范圍；(3)研究所得的函數(shù)；(4)檢驗(yàn)x的取值是否在自變量的取值范圍內(nèi)，并求相關(guān)的值；(5)解決提出的實(shí)際問題．學(xué)生嘗試從前面四道題中找到解題規(guī)律．教師補(bǔ)充學(xué)生回答中的不足，及時(shí)糾正．三、鞏固練習(xí)1．沿墻用長(zhǎng)32  m的竹籬笆圍成一個(gè)矩形的護(hù)欄(三面)，怎樣圍才能使矩形護(hù)欄面積最大？最大面積為多少？試畫出所得函數(shù)的圖象．【答案】圍成的矩形一邊長(zhǎng)為8 m、另一邊長(zhǎng)為16 m可使矩形護(hù)欄的面積最大，最大面積為128 m2.圖象略．(注意自變量的取值范圍)2．某旅社有客房120間，每間客房的日租金為50元，每天都客滿，旅社裝修后要提高租金，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，如果一間客房的日租金增加5元，則客房每天出租會(huì)減少6間，不考慮其他因素，旅社將每間客房的日租金提高到多少元時(shí)，客房日租金的總收入最高？比裝修前的日租金總收入增加多少元？【答案】將每間客房的日租金提高到75元時(shí)，總收入最高，比裝修前的日租金總收入增加750元．3．某產(chǎn)品每件的成本價(jià)是120元，試銷階段，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)x (元)與產(chǎn)品的日銷售量y(臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系如下表所示：x(元)130150165y(臺(tái))705035并且日銷售量y是每件售價(jià)x的一次函數(shù)．(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)為獲得最大利潤(rùn)，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？此時(shí)每日銷售的利潤(rùn)是多少？【答案】(1)y＝－x＋200(2)銷售利潤(rùn)S＝(－x＋200)(x－120)，當(dāng)售價(jià)定為每件160元時(shí)，每日銷售利潤(rùn)最大為1 600元．四、課堂小結(jié)1．得出用二次函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際生活中的最值問題的一般步驟：(1)列出二次函數(shù)的表達(dá)式，并根據(jù)自變量的實(shí)際意義確定自變量的取值范圍；(2)在自變量的取值范圍內(nèi)，運(yùn)用公式法或通過配方求出二次函數(shù)的最大值或最小值．2．解題循環(huán)圖：

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21.6 綜合與實(shí)踐 獲得最大利潤(rùn)

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