1.空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示(1)點(diǎn)→點(diǎn)+位置向量 (2)線→點(diǎn)+方向向量 (3)平面→點(diǎn)+法向量
2.空間中直線、平面的平行
下面我們就看看直線與直線垂直的向量表示及其應(yīng)用
類似空間中直線、平面平行的向量表示，在直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系中，直線的方向向量、平面的法向量之間又有什么樣關(guān)系呢？
【思考】由直線與直線垂直的關(guān)系，可以得到這兩條直線的方向向量有什么關(guān)系？
顯然的，就是：這兩條直線的方向向量垂直
(1)兩直線垂直分為相交垂直和異面垂直，都可轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量相互垂直.
(2)基向量法證明兩直線垂直即證直線的方向向量相互垂直，坐標(biāo)法證明兩直線垂 直即證兩直線方向向量的數(shù)量積為0.
則由已知條件和正三棱柱的性質(zhì)，
證（法二）設(shè)AB的中點(diǎn)為O，作OO1∥AA1.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的 空間直角坐標(biāo)系.
證:由題意，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，在平面DBC內(nèi)過點(diǎn)B作垂直于BC的直線為x軸， BC所在直線為y軸，在平面ABC內(nèi)過點(diǎn)B作垂直BC的直線為z軸，建立如圖 所示的空間直角坐標(biāo)系，
【練1】如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F(xiàn)、 分別為AC，DC的中點(diǎn).求證：EF⊥BC.
我們知道直線與直線垂直，就是這兩條直線的方向向量垂直，那么，直線與平面垂直的向量表示又是怎樣的呢？
直線與平面垂直，就是：直線的方向向量與平面的法向量平行；
說明：(1)若證明線面垂直，即證明直線的方向向量與平面的法向量平行.
(2)證明線面垂直的方法：
①基理論：用基向量表示直線所在的向量，證直線所在向量與兩個(gè)不共線向量的數(shù)量積均為零；
②坐標(biāo)理論：建系，求直線方向向量的坐標(biāo)，證直線所在向量與兩個(gè)不共線向量的數(shù)量積均為零；
③法向量理論：建系，求直線方向向量及平面法向量的坐標(biāo)，證直線方向向量與平面法向量共線。
證：設(shè)正方體的棱長為2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)平面B1AC的法向量為n＝(x，y，z)，
則A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(xiàn)(1,1,2).
令x＝1得n＝(1,1，－1)，
∴EF⊥平面B1AC.
例4　如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，D1B1的中點(diǎn).求證：EF⊥平面B1AC.
證:以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DC，DA，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸， 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
所以EF⊥PB，EF⊥AB.
設(shè)DA＝1，E(a,0,0)，其中a＞0，則C(2a,0,0)，A(0,1,0)，B(2a,1,0)，
【練2】如圖所示,在四棱錐P－ABCD中,底面ABCD為矩形,PD⊥底面ABCD,AD＝PD,E,F分別為CD,PB的中點(diǎn). 求證：EF⊥平面PAB.
又PB?平面PAB，AB?平面PAB，PB∩AB＝B，所以EF⊥平面PAB.
由上可知：直線與平面垂直，就是：直線的方向向量與平面的法向量平行，接下來我們研究學(xué)習(xí)平面與平面垂直的向量表示。
平面與平面垂直，就是兩平面的法向量垂直
說明：(1)若證面面垂直，則證兩平面的法向量垂直.
(2)利用空間向量證明面面垂直通常有兩個(gè)途徑：
一是利用兩個(gè)平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直；
二是直接求解兩個(gè)平面的法向量，由兩個(gè)法向量垂直，得面面垂直.
(3)向量法證明面面垂直的優(yōu)越性：
不必考慮圖形的位置關(guān)系，
恰當(dāng)建系后，只需經(jīng)過向量運(yùn)算就可得到要證明的結(jié)果，
思路方法“公式化”，降低了思維難度.
證:以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
則A(1,0,0)，D1(0,0,1)，E(0,1,0)，F(xiàn)(1/2,2,0).
證:（法一）如圖，以三棱錐的頂點(diǎn)P為原點(diǎn)，以PA，PB，PC所在直線 分別作為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
而PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC.又FG?平面EFG，∴平面EFG⊥平面PBC.
令PA＝PB＝PC＝3，則A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(xiàn)(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0)，
例6 如圖,在正三棱錐P－ABC中,三條側(cè)棱兩兩互相垂直,G是△PAB的重心,E，F(xiàn)分別為BC，PB上的點(diǎn)， 且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求證：平面GEF⊥平面PBC.
證（法二）同法一建立空間直角坐標(biāo)系，
則E(0,2,1)，F(xiàn)(0,1,0)，G(1,1,0).
設(shè)平面EFG的法向量是n＝(x，y，z)，
即n＝(0,1，－1).
即平面PBC的法向量與平面EFG的法向量互相垂直，所以平面EFG⊥平面PBC.
證 如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段DA的長為單位長，射線DA，DP，DC分別 為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系.
所以 PQ⊥DQ，PQ⊥DC，
則D(0,0,0)，Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，
又?DQ∩DC＝D，DQ，DC?平面DCQ，∴PQ⊥平面DCQ，
又? PQ?平面PQC，∴平面PQC⊥平面DCQ.
1.設(shè)l1的一個(gè)方向向量為a＝(1,3，－2)，l2的一個(gè)方向向量為b＝(－4,3，m)，若l1⊥l2， 則m等于 （ ）
解 因?yàn)閘1⊥l2，所以a·b＝0，
即1×(－4)＋3×3＋(－2)×m＝0，
2.已知平面α的法向量為a＝(1,2,－2),平面β的法向量為b＝(－2,－4,k),若α⊥β,則k等于( ) A.4 B.－4 C.5 D.－5
解　∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0.∴k＝－5.
3.如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是邊長為1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1， 若E，F(xiàn)分別為PB，AD的中點(diǎn)，則直線EF與平面PBC的位置關(guān)系是______.
解 以D為原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
4.在空間直角坐標(biāo)系中，已知直角三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(－3,－2,1),B(－1,－1,－1)， C(－5，x,0)，則x的值為________.
解　∵A(－3，－2,1)，B(－1，－1，－1)，C(－5，x,0)，
綜上，x的值為0或9.
證 如圖，連接OP，OQ，PQ，取O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A，OC所在直線為x軸、z軸， 建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示).
5.如圖，在四面體ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC＝1， 設(shè)P為AC的中點(diǎn)，Q在AB上，且AB＝3AQ，證明：PQ⊥OA.
6.如圖，在四棱錐E－ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2， ∠BCE＝120°，求證：平面ADE⊥平面ABE.
證 取BE的中點(diǎn)O，連接OC，因?yàn)锳B⊥平面BCE，
以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示).
設(shè)平面ADE的法向量為n＝(a，b，c)，
又AB⊥平面BCE，OC?平面BCE，所以AB⊥OC.
因?yàn)锽E⊥OC，AB∩BE＝B，AB，BE?平面ABE，所以O(shè)C⊥平面ABE.
所以平面ABE的法向量可取為m＝(1,0,0).
所以平面ADE⊥平面ABE.
(1)直線與直線垂直的向量表示.
2.方法歸納：轉(zhuǎn)化法、法向量法.
3.易錯(cuò)點(diǎn)：直線的方向向量、平面的法向量的關(guān)系與線面間的垂直關(guān)系的對應(yīng)易混.
(2)直線與平面垂直的向量表示.
(3)平面與平面垂直的向量表示.
課本p33 練習(xí) 1，2，3

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1.4 空間向量的應(yīng)用

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