專題30　數(shù)列中裂項(xiàng)相消法求和問題 【高考真題】1．(2022·新高考Ⅰ)記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．【方法總結(jié)】裂項(xiàng)相消法求和裂項(xiàng)相消法裂項(xiàng)相消法的基本思想就是把通項(xiàng)an分拆成an＝bn＋k－bn(k≥1，k∈N*)的形式，從而在求和時(shí)達(dá)到某些項(xiàng)相消的目的，在解題時(shí)要善于根據(jù)這個(gè)基本思想變換數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，使之符合裂項(xiàng)相消的條件．主要適用于或(其中{an}為等差數(shù)列)等形式的數(shù)列求和．常用的裂項(xiàng)公式(1)若{an}是等差數(shù)列，則＝，＝；(2)＝－，＝；(3)＝；(4)＝；(5)＝－(6)＝－，＝(－)；(7)loga＝loga(n＋1)－logan；(8)＝－，＝；(9)＝－；(10)＝－；(11) (－1)n＝(－1)n．注意：(1)裂項(xiàng)系數(shù)取決于前后兩項(xiàng)分母的差．(2)在應(yīng)用裂項(xiàng)相消法時(shí)，要注意消項(xiàng)的規(guī)律具有對稱性，即前剩多少項(xiàng)則后剩多少項(xiàng)．【題型突破】1．在數(shù)列{an}中，a1＝4，nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn．2．已知數(shù)列{an}滿足a1＝，且an＋1＝．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若bn＝anan＋1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．3．(2017·全國Ⅲ)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n．(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．4．(2015·全國Ⅰ)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知an>0，a＋2an＝4Sn＋3．(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．5．正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；(2)令bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn．6．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1·an＝an－an＋1．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若bn＝lg，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．7．已知數(shù)列{an}，{bn}，其中a1＝3，b1＝－1，且滿足an＝(3an－1－bn－1)，bn＝－(an－1－3bn－1)，n∈N*，n≥2．(1)求證：數(shù)列{an－bn}為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn．8．(2018·天津)設(shè){an}是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，{bn}是等差數(shù)列．已知a1＝1，a3＝a2＋2，a4＝b3＋b5，a5＝b4＋2b6．(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為Tn(n∈N*)，①求Tn；②證明：＝－2(n∈N*)．9．已知數(shù)列{an}為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，滿足S2n－1＝a．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)記bn＝(－1)n，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．10．在等差數(shù)列{an}中，已知a6＝16，a18＝36．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；(2)若________，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．在①bn＝，②bn＝(－1)n·an，③bn＝2an·an這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在第(2)問中，并對其求解．注：若選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．11．在①bn＝nan，②bn＝③bn＝這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答．問題：已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且a1＝1，其中a1，a2＋1，a3＋1成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)記________，求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n．12．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝9，a2為整數(shù)，且Sn≤S5．(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，求證：Tn≤．13．在等比數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1＝8，數(shù)列{bn}滿足bn＝log2an(n∈N*)，且b1＋b2＋b3＝15．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，又設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，求證：Tn<．14．已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且b1＝a1＝1，b2＝a1＋a2，a3＝2b3－6．(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cn＝，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，證明：≤Tn<．15．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，滿足S4＝2a4－1，S3＝2a3－1．(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)記bn＝log2(n∈N*)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求證：＋＋…＋<2．16．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝，2Sn＝(n＋1)an＋1(n≥2)．(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝(n∈N*)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，證明：Tn<(n∈N*)．17．已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列{an}的前四項(xiàng)和S4＝14，且a1，a3，a7成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)Tn為數(shù)列前n項(xiàng)的和，若λTn≤an＋1對一切n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)λ的最大值．18．設(shè)函數(shù)f(x)＝＋(x＞0)，數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝f()，n∈N*，且n≥2．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)對n∈N*，設(shè)Sn＝＋＋＋…＋，若Sn≥恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．19．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a1＋a2＋a3＋…＋an＝an＋1－1(n∈N*)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求使得Tn＜對所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m．20．已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝2，且a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝，n∈N*，Sn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求使Sn<成立的最大的正整數(shù)n．
 

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