第22講 數(shù)列中的插項(xiàng)問題 一、單選題1．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）在和3之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成和為的等差數(shù)列，則（    ）A．4 B．5 C．6 D．72．（2021·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，在和之間插入1個(gè)數(shù)，使成等差數(shù)列；在和之間插入2個(gè)數(shù)，使成等差數(shù)列；…在和之間插入n個(gè)數(shù)，使成等差數(shù)列．這樣得到一個(gè)新數(shù)列：，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，有下列結(jié)論：①②③④其中，所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）A．1 B．2 C．3 D．43．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列滿足，在，之間插入n個(gè)1，構(gòu)成數(shù)列：，1，，1，1，，1，1，1，，…，則數(shù)列的前100項(xiàng)的和為（    ）A．211 B．232 C．247 D．2564．（2021·全國·高二專題練習(xí)）在中插入個(gè)數(shù)，使它們和組成等差數(shù)列，則（　?。?/span>A． B．C． D．5．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為，現(xiàn)把每相鄰兩項(xiàng)之間都插入兩個(gè)數(shù)，構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，那么162是新數(shù)列的   A．第5項(xiàng) B．第12項(xiàng) C．第13項(xiàng) D．第6項(xiàng) 二、多選題6．（2021·吉林松原·高三月考）在數(shù)學(xué)課堂上，為提高學(xué)生探究分析問題的能力，教師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造新數(shù)列：現(xiàn)有一個(gè)每項(xiàng)都為1的常數(shù)列，在此數(shù)列的第項(xiàng)與第項(xiàng)之間插入首項(xiàng)為2，公比為2，的等比數(shù)列的前項(xiàng)，從而形成新的數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（    ）A． B．C． D．7．（2021·湖南·永州市第一中學(xué)高三月考）在數(shù)學(xué)課堂上，教師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造新數(shù)列：在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列.將數(shù)列1,2進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1,3,2；第2次得到數(shù)列1,4,3,5,2；…；第次得到數(shù)列1，，2；…記，數(shù)列的前項(xiàng)為，則（    ）A． B． C． D．8．（2021·全國·高三月考）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，在和之間插入1個(gè)數(shù)，使，，成等差數(shù)列；在和之間插入2個(gè)數(shù)：，，使，，，成等差數(shù)列；…；在和出之間插入個(gè)數(shù)，，…，，使，，，…，，成等差數(shù)列.這樣得到新數(shù)列：，，，，，，，，，，…，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（    ）A． B．C． D．9．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）在等差數(shù)列中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列.若是數(shù)列的項(xiàng)，則k的值可能為（    ）A．1 B．3 C．5 D．7  三、填空題10．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的積，形成新的數(shù)列，將這樣的操作叫作該數(shù)列的一次“擴(kuò)展”．將數(shù)列1，4進(jìn)行“擴(kuò)展”，第一次“擴(kuò)展”得到數(shù)列1，4，4；第二次“擴(kuò)展”，得到數(shù)列1，4，4，16，4；……；第n次“擴(kuò)展”，得到數(shù)列1，，，…，，4，并記，其中，．則數(shù)列的通項(xiàng)公式______．11．（2021·云南·富寧縣第一中學(xué)高二月考（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)于任意，總有.若在與之間插入個(gè)數(shù)，使個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列，則當(dāng)公差滿足時(shí)的值為_______________.12．（2021·江西省南城一中高一月考（文））在和之間插入個(gè)正數(shù)，使這個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則插入的這個(gè)正數(shù)的積為_____.13．（2021·全國·模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列…，其中在第個(gè)1與第個(gè)1之間插入個(gè)若該數(shù)列的前項(xiàng)的和為則___________.14．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）在等差數(shù)列，，，，…的每相鄰兩項(xiàng)間插入一個(gè)數(shù)，使之成為一個(gè)新的等差數(shù)列，則新數(shù)列的通項(xiàng)公式為________．15．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）在一個(gè)有限數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入這兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，從而形成一個(gè)新的數(shù)列，我們把這樣的操作稱為該數(shù)列的一次擴(kuò)充．如數(shù)列，，擴(kuò)充一次后得到，，，擴(kuò)充兩次后得到，，，，，以此類推．設(shè)數(shù)列，，（為常數(shù)），擴(kuò)充次后所得所有項(xiàng)的和記為，則______________．16．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，在和之間插入1個(gè)數(shù)，使，，成等差數(shù)列；在和之間插入2個(gè)數(shù)，，使，，，成等差數(shù)列；；在和之間插個(gè)數(shù)，，，，使，，，，，成等差數(shù)列.這樣得到新數(shù)列；，，，，，，，，，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，有下列判斷：①；②；③；④，其中正確的判斷序號(hào)是______.17．（2021·全國·高二單元測試）在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的積，形成新的數(shù)列，這樣的操作叫做該數(shù)列的一次“擴(kuò)展”.將數(shù)列1，4進(jìn)行“擴(kuò)展”，第一次得到數(shù)列1，4，4；第二次得到數(shù)列1，4，4，16，4；……；第次得到數(shù)列1，，，…，，4，并記，其中，.則的通項(xiàng)___________.18．（2021·湖南望城·高二期末）十二平均律是我國明代音樂理論家和數(shù)學(xué)家朱載填發(fā)明的.明萬歷十二年（公元1584年)，他寫成《律學(xué)新說》，提出了十二平均律的理論，這一成果被意大利傳教士利瑪竇通過絲綢之路帶到了西方，對(duì)西方音樂產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.十二平均律的數(shù)學(xué)意義是：在1和2之間插入11個(gè)正數(shù)，使包含1和2的這13個(gè)數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列.依此規(guī)則，插入的第四個(gè)數(shù)應(yīng)為__________.19．（2021·江西省石城中學(xué)高一月考（理））已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，在和之間插入1個(gè)數(shù)，使，，成等差數(shù)列；在和之間插入2個(gè)數(shù)，，使，，，成等差數(shù)列；…；在和之間插入n個(gè)數(shù)，，…，，使，，，…，，成等差數(shù)列.這樣得到新數(shù)列：，，，，，，，，，，….記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，有下列判斷：①；②；③；④.其中正確的判斷序號(hào)是______.20．（2021·福建·廈門外國語學(xué)校模擬預(yù)測）數(shù)列其中在第個(gè)1與第個(gè)1之間插入個(gè)，若該數(shù)列的前2020項(xiàng)的和為7891，則________.21．（2021·上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)高二月考）在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的積，形成新的數(shù)列，這樣的操作叫做該數(shù)列的一次“擴(kuò)展”.將數(shù)列1，2進(jìn)行“擴(kuò)展”，第一次得到1，2，2；第二次得到數(shù)列1，2，2，4，2；…；第次“擴(kuò)展”后得到的數(shù)列為.并記，其中，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式________． 四、解答題22．（2021·江蘇蘇州·高二期中）在①，②，，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中并解答.問題：已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足___________.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入n個(gè)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在三項(xiàng)，，（其中，，成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.）23．（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為，且對(duì)任意，有.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)（），對(duì)每個(gè)正整數(shù)k，在與之間插入個(gè)1，得到一個(gè)新的數(shù)列，記數(shù)列的前m項(xiàng)和為.求使得成立的所有正整數(shù)m的值.24．（2021·山東·滕州市第一中學(xué)新校高三月考）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，在中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入兩個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，，…，，…是從中抽取的部分項(xiàng)按原來的順序排列組成的一個(gè)等比數(shù)列，，，令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.25．（2020·北京·模擬預(yù)測）在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)之和的相反數(shù)，形成新的數(shù)列，這樣的操作稱為該數(shù)列的一次“擴(kuò)展”．已知數(shù)列：1，2，3，該數(shù)列經(jīng)過次“擴(kuò)展”后得到數(shù)列：1，，，…，，3，數(shù)列的所有項(xiàng)之和為．（1）寫出數(shù)列，；（2）求，的值；（3）求數(shù)列的前項(xiàng)和公式．26．（2020·浙江諸暨·高一期末）已知公差大于零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和是，滿足，；數(shù)列的前項(xiàng)和是，滿足.（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）在之間插入一個(gè)項(xiàng)，使得成等差數(shù)列，在之間插入兩個(gè)項(xiàng)，使得成等差數(shù)列，，在之間插入個(gè)項(xiàng)，使得成等差數(shù)列.①求所有插入的數(shù)之和：；②求所有使得等式成立的正整數(shù)對(duì).27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，其中．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列前項(xiàng)的和．28．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入個(gè)數(shù)，使得包括與在內(nèi)的這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)其公差為，求的前項(xiàng)和．29．（2021·全國·高三專題練習(xí)（文））已知等差數(shù)列滿足:，，成等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）在任意相鄰兩項(xiàng)與之間插入個(gè)2，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，求數(shù)列的前200項(xiàng)和.30．（2021·江蘇·常熟中學(xué)三模）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足___________.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，試比較與的大小關(guān)系，并說明理由.31．（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，，.（1）分別求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，（i）求證；（ii）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.32．（2021·山東·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列滿足：成等差數(shù)列，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在任意相鄰兩項(xiàng)與之間插入個(gè)2，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，求滿足的的最大值.33．（2021·江蘇蘇州·三模）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，首項(xiàng)為2，且滿足           ．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）在an與an+1之間插入n個(gè)數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為dn的等差數(shù)列，求證：．34．（2021·湖南師大附中高三月考）設(shè)數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.在和之間插入個(gè)數(shù)，使，，成等差數(shù)列；在和之向插入個(gè)數(shù)，，使，，成等差數(shù)列；…；在和之間插入個(gè)數(shù)，，…，，使，，，…，，成等差數(shù)列.（1）試寫出，，；（2）求.35．（2021·江蘇·蘇州大學(xué)附屬中學(xué)高二月考）數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且（）（1）若數(shù)列不是等比數(shù)列，求；（2）若，在和（）中插入k個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列：，1，，3，5，，7，9，11，，…，插入的所有數(shù)依次構(gòu)成首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，求的前50項(xiàng)和．36．（2021·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)1和100之間插入個(gè)實(shí)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這個(gè)數(shù)的乘積記作，再令，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，求的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)．  

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