1．已知數列的前項和滿足，則數列的前10項的和為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
首先根據得到，設，再利用裂項求和即可得到答案.
【詳解】
當時，，
當時，.
檢驗，所以.
設，前項和為，
則.
故選：C
2．談祥柏先生是我國著名的數學科普作家，在他的《好玩的數學》一書中，有一篇文章《五分鐘挑出埃及分數》，文章告訴我們，古埃及人喜歡使用分子為1的分數（稱為埃及分數）.則下列埃及分數，，，…，的和是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
根據裂項相消法即可求和.
【詳解】
因為
，
故選：B
3．設等差數列的前項和為，且，，若恒成立，則的最小值為（ ）
A．1B．2
C．3D．4
【答案】A
【分析】
由，求得，又由，求得，求得，得到，進而求得，結合題意，即可求解.
【詳解】
設等差數列的公差為，
因為，所以，
整理得，即，
由，可得，即，所以，
所以，所以，
所以，
因為恒成立，所以，故的最小值為1.
故選：A.
【點睛】
若把一個數列的通項拆成兩項之差，在去和時中間的一些項可以相互抵消，從而取得前和，
其中常見裂項的技巧：
①；②；
③；④；
⑤.
4．定義為個正數的“均倒數”，若已知數列的前項的“均倒數”為，又，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由題意結合新定義的概念求得數列的前n項和，然后利用前n項和求解通項公式，最后裂項求和即可求得最終結果.
【詳解】
設數列的前n項和為，由題意可得：，則：，
當時，，
當時，，
且，據此可得 ，
故，，
據此有：
故選：D
5．已知數列滿足，，則數列的前項和（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
利用倒數法求出數列的通項公式，進而利用裂項相消法可求得.
【詳解】
已知數列滿足，，
在等式兩邊同時取倒數得，，
所以，數列是等差數列，且首項為，公差為，則，，
，
因此，.
故選：B.
【點睛】
使用裂項法求和時，要注意正負項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質上造成正負相消是此法的根源與目的．
二、解答題
6．已知數列的前項和為，，．
（1）求的通項公式；
（2）設，求數列的前項和．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）當時，由得到，兩式相減，然后再利用累積法求解.
（2）由（1）得，然后利用裂項相消法求解.
【詳解】
（1）當時，，
則，
整理得．
故．
當時，滿足上式，故．
（2），
，
．
【點睛】
方法點睛：求數列的前n項和的方法
(1)公式法：①等差數列的前n項和公式，②等比數列的前n項和公式；
(2)分組轉化法：把數列的每一項分成兩項或幾項，使其轉化為幾個等差、等比數列，再求解．
(3)裂項相消法：把數列的通項拆成兩項之差求和，正負相消剩下首尾若干項．
(4)倒序相加法：把數列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數列求和公式的推導過程的推廣．
(5)錯位相減法：如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列對應項之積構成的，則這個數列的前n項和用錯位相減法求解.
(6)并項求和法：一個數列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解．
7．數列各項都為正數，前項和為，，，當時，.
（1）求；
（2）求數列的前項和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）當時，結合條件可得，即可得（），經驗證可得（），從而數列是首項為2公差為3的等差數列，可得出答案.
（2）用裂項相消可得答案.
【詳解】
（1）當時，，所以，
所以.
因為各項都為正數，所以，故（）.
又因為，，所以，故（），
所以數列是首項為2公差為3的等差數列，
故.
（2），
所以.
8．等差數列各項都為正數，，，
當時，.
（1）求；
（2）求數列的前項和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由可得，即可得，再結合，即可得是等差數列，進而求得的通項公式；
（2）利用裂項求和即可，.
【詳解】
（1）當時， ，
所以，
所以.
因為各項都為正數，所以，故.
又因為，，所以，故，
所以數列是首項為2，公差為3的等差數列，
所以.
（2）因為，
所以.
【點睛】
方法點睛：數列求和的方法
（1）倒序相加法：如果一個數列的前項中首末兩端等距離的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前項和即可以用倒序相加法
（2）錯位相減法：如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那么這個數列的前項和即可以用錯位相減法來求；
（3）裂項相消法：把數列的通項拆成兩項之差，在求和時，中間的一些項可相互抵消，從而求得其和；
（4）分組轉化法：一個數列的通項公式是由若干個等差數列或等比數列或可求和的數列組成，則求和時可用分組轉換法分別求和再相加減；
（5）并項求和法：一個數列的前項和可以兩兩結合求解，則稱之為并項求和，形如類型，可采用兩項合并求解.
9．已知數列是等差數列，若，且，，成等比數列，數列滿足．
（1）求數列，數列的通項公式；
（2）若數列為正項等差數列，設，求證：數列的前項和．
【答案】（1）或，；（2）證明見解析．
【分析】
（1）是等差數列，設公差為，由，，成等比數列，列方程解出公差，進而得出數列；當時，，
與原式作差得數列；
（2），利用裂項相消法計算出放縮后的數列和，即可證得不等式成立．
【詳解】
（1）∵數列是等差數列，設公差為，
則，
即，解得或，
故或，
令，得，
當時，，
與原式作差得，，
驗證得滿足通項，故．
（2）因為數列為正項等差數列，由（1）可知，
，
則，
即，不等式得證．
【點睛】
方法點睛：本題考查數列的通項公式，考查數列的放縮與求和，考查了學生計算能力，數列求和的方法有：
1.公式法，利用等差數列和等比數列的求和公式進行計算即可；
2.裂項相消法，通過把數列的通項公式拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求出數列的和；
3.錯位相減法，當數列的通項公式由一個等差數列與一個等比數列的乘積構成時使用此方法；
4.倒序相加法，如果一個數列滿足首末兩項等距離的兩項之和相等，可以使用此方法求和．
10．設數列的前項和為，已知、、成等差數列，且．
（1）求的通項公式；
（2）若，的前項和為，求使成立的最大正整數的值．
【答案】（1）；（2）8．
【分析】
（1）本題首先可根據、、成等差數列得出以及，然后兩式相減，得出，最后根據求出，即可求出的通項公式；
（2）本題可根據題意得出并將其轉化為，然后通過裂項相消法求和得出，最后根據得出，通過計算即可得出結果.
【詳解】
（1）因為、、成等差數列，所以，
當，有，
兩式相減，可得，即，
由題意易知，故是公比為2的等比數列，，
因為，所以，解得，
故的通項公式為.
（2）因為，，
所以，
故，
因為，所以，解得，
故成立的最大正整數的值為8.
【點睛】
本題考查數列通項公式的求法以及裂項相消法求和，考查等差中項以及等比數列前項和公式的應用，常見的裂項有、、等，考查計算能力，是中檔題.
11．等差數列的前項和為，已知，為整數，且.
（1）求的通項公式；
（2）設，求數列的前項和.
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）根據條件，可得數列的公差為整數，且，利用等差數列通項公式，可得的關系，即可求得d的值，代入公式即可得答案；
（2）由知：，可得的表達式，利用裂項相消法求和即可得答案.
【詳解】
（1）由，為整數知，等差數列的公差為整數，
又，故，
即：
解得：，因為為整數，
所以，
所以等差數列的通項公式為：，.
（2）由（1）知：，，
所以，
所以
.
【點睛】
本題考查數列求通項，裂項相消法求前n項和，常見的裂項技巧：（1）；（2） ； （3）；（4）；裂項時，容易出現多項或丟項的問題，需注意，考查分析理解，計算求值的能力，屬中檔題.
12．給出下列三個條件：①，，成等差數列；②；.③對于，點均在函數的圖像上，其中為常數.請從這三個條件中任選一個補充在下面的問題中，并求解.
設是一個公比為的等比數列，且它的首項， （填所選條件序號）.
（1）求數列的通項公式；
（2）令，設數列的前項和為，求
【答案】選擇見解析；（1）；（2）.
【分析】
（1）若選①：解得，即得數列的通項；若選②：解得公比，即得數列的通項；若選③：求出，即得數列的通項；
（2）求得，再利用裂項相消求出數列的前項和為.
【詳解】
（1）若選①：因為成等差數列，所以.
又因為數列是等比數列，即解得或（舍去）
又，所以數列是首項為1，公比為2的等比數列，所以數列的通項公式
若選②：，因為是公比為的等比數列，
所以，即解得或（舍去）
所以數列是首項為1，公比為2的等比數列，所以數列的通項公式為
若選③：點均在函數的圖像上，所以，又因為，所以，所以，所以，所以.
所以數列是首項為1，公比為2的等比數列，所以數列的通項公式
（2）證明：因為，所以
所以
所以
.
【點睛】
方法點睛：數列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）錯位相減法；（3）分組求和法；（4）裂項相消法；（5）倒序相加法.要根據數列通項的特征，靈活選用，認真計算.
13．已知等差數列的前項和為，，．
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求數列的前項和.
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）設等差數列的公差為，根據已知條件可得出關于、的方程組，解出這兩個量的值，利用等差數列的通項公式可求得數列的通項公式；
（2）求得，利用裂項相消法可求得.
【詳解】
（1）設等差數列的公差為，由，解得，
所以，，故數列的通項公式；
（2）由（1）可得，
所以，
所以.
【點睛】
方法點睛：數列求和的常用方法：
（1）對于等差等比數列，利用公式法直接求和；
（2）對于型數列，其中是等差數列，是等比數列，利用錯位相減法求和；
（3）對于型數列，利用分組求和法；
（4）對于型數列，其中是公差為的等差數列，利用裂項相消法.
14．已知等差數列的前項和為，，，且，，成等比數列．
（1）求和；
（2）設，數列的前項和為，求證：．
【答案】（1），；（2）證明見解析.
【分析】
（1）設等差數列的公差為，首項為，由求出，即可求解；
（2）由，可得，利用裂項相消求和求出，再利用不等式的性質和數列的單調性即可求證.
【詳解】
解：（1）設等差數列的公差為，首項為，
由，得，
則所以
解得，，
所以 ，
．
（2）因為．
所以．
因為單調遞增．所以，
綜上，．
【點睛】
方法點睛：數列求和的方法
（1）倒序相加法：如果一個數列{an}的前n項中首末兩端等距離的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前n項和即可以用倒序相加法
（2）錯位相減法：如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那么這個數列的前n項和即可以用錯位相減法來求；
（3）裂項相消法：把數列的通項拆成兩項之差，在求和時，中間的一些像可相互抵消，從而求得其和；
（4）分組轉化法：一個數列的通項公式是由若干個等差數列或等比數列:或可求和的數列組成，則求和時可用分組轉換法分別求和再相加減；
（5）并項求和法：一個數列的前n項和可以兩兩結合求解，則稱之為并項求和，形如an=(?1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解.
15．已知數列，，滿足，，，.
（1）若為等比數列，公比，且，求的值及數列的通項公式；
（2）若為等差數列，且，證明，.
【答案】（1）；；（2）證明見解析.
【分析】
（1）先由題設求得，從而求得及，然后求得，再利用疊加法求得即可；
（2）先由題設求得等差數列的公差，然后求得及，再利用累乘法求得，最后利用裂項相消法求得，即可證明結論.
【詳解】
（1）解：由題設知：，解得：或（舍，，
，，，即，
，，
，，
，
，
，
，，
將以上式子相加可得：，，
，，又當時，也適合，
；
（2）證明：，，
，公差，
，
，
，
，
，
，
，
，，
將以上式子相乘可得：，，
，，，
又當時，也適合上式，
，
.
【點睛】
方法點睛：該題主要考查數列的問題，方法如下：
（1）利用疊加法求通項公式；
（2）累乘法求通項公式；
（3）裂項相消法求和.
16．已知數列為正項等比數列，，數列滿足，且.
（1）求數列和的通項公式；
（2）若的前項和，求的取值范圍.
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）先求出，再得到，當時，，兩式相減得；
（2）由題得，利用裂項相消求出，再利用單調性求解.
【詳解】
（1）令，則，所以，
令，則，所以，因為，所以，
設數列的公比為，則，所以.
因為，①
當時，，②
由①-②得，
所以，當時也成立，所以，
（2）由（1）可知，
所以，
因為隨著的增大而增大，當時，，當時，，
所以的取值范圍是.
【點睛】
方法點睛：數列求和的方法常用的有：（1）公式法；（2）錯位相減法；（3）裂項相消法；（4）分組求和法；（5）倒序相加法.要根據數列通項的特征，靈活選擇方法求和.
17．已知數列的前項和為，，且（）.
（1）求數列的通項公式；
（2）若，數列的前項和為，求證：.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】
（1）根據得兩式作差，得出，再由等比數列的通項公式，即可求出結果；
（2）先由（1）得到，由裂項相消的方法求出，進而可得結論成立.
【詳解】
（1）∵①
∴②，
①-②得：，；
∴數列是首項和公比都為的等比數列，于是，.
（2）由（1）得，∴，
∴.
又易知函數在上是增函數，且，而，
所以.
【點睛】
結論點睛：
裂項相消法求數列和的常見類型：
（1）等差型，其中是公差為的等差數列；
（2）無理型；
（3）指數型；
（4）對數型.
18．數列中，，.
（1）求證：數列是等比數列，并求數列的通項公式；
（2）設，數列的前項和為.求證：.
【答案】（1）證明見解析，；（2）證明見解析.
【分析】
（1）由，化簡得到，根據等比數列的定義，得到數列為等比數列，進而求得.
（2）由（1）求得，結合裂項法，求得數列的前項和為，即可作出證明.
【詳解】
（1）由題意，數列中，，，
可得，即，
又由，可得，所以是以2為首項2為公比的等比數列，
由等比數列的通項公式，可得，所以.
（2）由（1）可得，所以，
數列的前項和為
，
又因為，所以，所以，
即.
【點睛】
關于裂項法求和的基本策略：
1、基本步驟：
裂項：觀察數列的通項，將通項拆成兩項之差的形式；
累加：將數列裂項后的各項相加；
消項：將中間可以消去的項相互抵消，將剩余的有限項相加，得到數列的前項和.
2、消項的規(guī)律：
消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數第幾項.
19．已知等比數列的公比，且滿足，，數列的前項和，.
（1）求數列和的通項公式；
（2）設，求數列的前項和.
【答案】（1）；；（2）.
【分析】
（1）根據題干已知條件可列出關于首項與公比的方程組，解出與的值，即可計算出數列的通項公式，再根據公式進行計算可得數列的通項公式；
（2）先分為奇數和為偶數分別計算出數列的通項公式，在求前項和時，對奇數項運用裂項相消法求和，對偶數項運用錯位相減法求和，最后相加進行計算即可得到前項和.
【詳解】
（1）依題意，由，，可得，因為，所以解得，，
，，
對于數列：當時，，
當時，，
當時，也滿足上式，
，.
（2）由題意及（1），可知：
當為奇數時，，
當為偶數時，，
令，，則
，
，
，
兩式相減，可得，
，
，
，
，
.
【點睛】
關鍵點點睛：第二問中當為奇數時，求出，并對進行裂項為是解題關鍵，本題主要考查等差數列和等比數列的基本量的運算，以及數列求和問題.考查了方程思想，分類討論思想，轉化與化歸能力，整體思想，裂項相消法和錯位相減法求和，以及邏輯推理能力和數學運算能力.本題屬中檔偏難題.
20．已知公差不為0的等差數列{an}的前n項和為Sn，S1＝1且S1，S3，S10－1成等比數列.
（1）求{an}的通項公式；
（2）設bn＝，數列{bn}的前n項和為Tn，求使得Tn>成立的n的最小值.
【答案】（1）；（2）6.
【分析】
（1）由，，成等比數列，得，再利用首項和等差數列的通項公式可得答案；
（2）由（1）可得，再利用裂項相消法求出，然后解不等式可求出的最大值.
【詳解】
（1），，成等比數列，，
設等差數列的公差為，
則，
，
又，，即，
又公差，，.
（2）由（1）知，，
，
由可得：，故要使得成立，則的最小值為6.
【點睛】
此題考查等差數列的基本量計算，考查等比中項的應用，數列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關聯，那么常選用裂項相消法求和.
21．等差數列的前n項和為，已知，為整數，當且僅當時取得最大值.
（1）求的通項公式；
（2）設，求數列的前n項和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根據條件列出關于的不等式，再根據為整數確定出的值，從而的通項公式可求；
（2）先計算出的通項公式，然后采用裂項相消的方法求解出的前項和.
【詳解】
（1）由題意可知，且， ∴，解得，
∵為整數，∴，∴的通項公式為.
（2）∵，
∴

.
【點睛】
結論點睛：常見的數列中可進行裂項相消的形式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
22．已知正項數列的前項和為，且滿足：，.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前項和.
（1）；（2）.
【分析】
（1）根據寫出，通過作差以及化簡說明為等差數列，并求解出通項公式；
（2）將的通項公式變形為，采用裂項相消法求解出的結果.
【詳解】
(1)由
又有，，兩式相減得
因為，所以
又，，解得，滿足
因此數列是等差數列，首項為，公差為
所以
(2)
所以
.
【點睛】
結論點睛：常見的數列中可進行裂項相消的形式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
23．已知各項均為正數的等差數列和等比數列滿足，且，
（1）求數列，的通項公式.
（2）若，求.
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）根據已知條件求得等差數列的公差、等比數列的公比，由此求得數列，的通項公式.
（2）利用裂項求和法求得.
【詳解】
(1)因為為等差數列，且，所以可設公差為d，
則，所以，.
因為，所以，解得或.
又等差數列各項均為正數，所以不合題意，舍去，所以.
因為為等比數列，且，所以可設公比為，則.
因為，所以，解得，滿足各項均為正數，所以.
(2)由(1)知，所以.
所以.
24．已知為等差數列的前項和，滿足，，為數列的前項和，滿足，.
（1）求和的通項公式；
（2）設，若數列的前項和，求的最大值.
【答案】（1），，；（2）9.
【分析】
（1）根據等差數列基本量運算，可得數列的通項公式，根據遞推關系，多遞推一項再相減，即可得答案；
（2）求出，再進行等差數列求和及裂項相消求和；
【詳解】
（1）為等差數列，因為，，
所以，，
解得，，所以.
因為，所以當時，；
當時，.綜上，，.
（2），
所以
，
所以，
因為，
當時，為關于的遞增數列，
，，所以的最大值為9.
【點睛】
已知數列的通項和前項和的遞推關系，常采用多遞推一項再相減的思想；通過研究數列的單調性，進而研究數列項的最值或解不等式，是常用的方法.
25．已知數列前n項和滿足
（1）求數列的通項公式；
（2）求數列的前n項和．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根據求得數列的通項公式.
（2）利用裂項求和法求得.
【詳解】
（1）當時，，
當時，
，
，
當時上式也符合.
所以.
（2）由題意知，可設
則.
三、填空題
26．已知數列滿足，若，則數列的前項和________.
【答案】
【分析】
先根據前項和與通項的關系得，進而得，再根據裂項相消求和法求解即可得答案.
【詳解】
因為，
所以，
兩式相減得，當時也滿足，
故，，
故.
故答案為：
【點睛】
本題考查前項和與通項的關系，裂項相消求和.解題的關鍵在于根據已知條件得的前項和為，再根據前項和與通項的關系求得，進而再根據裂項相消求和即可.考查運算求解能力，是中檔題.
27．已知等差數列的前項和為，，，則數列的前2020項和為_________
【答案】．
【分析】
先根據等差數列的通項公式和求和公式可列出關于a1和d的方程組，解出a1和d的值，即可得到數列{an}的通項公式，即求出數列的通項公式，再利用裂項相消法求出前2020項和．
【詳解】
由題意，設等差數列{an}的公差為d，則
，解得．
∴數列{an}的通項公式為an＝1+（n﹣1）×1＝n，n∈N*．
∴=．
設數列的前n項和為Tn，
則Tn

＝2（1）
＝2（1）
．
∴T2020．
故答案為：．
【點睛】
方法點睛：本題主要考查等差數列的通項公式及數列求和的應用，屬于基礎題.常見數列求和方法為：1.公式法求和2.裂項相消求和（注意提取系數）3.錯位相減求和，4分組求和
28．已知的前項和，數列的前5項和______.
【答案】
【分析】
根據當時，，當時也滿足，故，而，利用裂項相消法即可 得解.
【詳解】
當時，，
當時，滿足上式，
故，所以，
，
，
故答案為：
29．在①；②為等差數列，其中成等比數列；③這三個條件中任選一個，補充到下面的問題中，然后解答補充完整的題目.已知數列中，______.
(1)求數列的通項公式；
(2)設為數列的前項和，求證：.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】
（1）若選條件①，，由數列的推式可得，從而得數列是以1為首項，3為公差的等差數列，由等差數列的通項公式可求得的通項公式；
若選擇②，設數列的公差為d，由等差數列的通項公式和等比數列的性質可得方程，解之可得的通項公式；
若選擇③，由得，當時，，兩式相減可求得，從而求得的通項公式；
（2）由（1）得，運用裂項求和法可得證.
【詳解】
（1）若選條件①，，，又，所以數列是以1為首項，3為公差的等差數列，
所以；
若選擇②，設數列的公差為d，則，
因為成等比數列，，解得或；
當時，，此時不能構成等比數列，所以，
所以，
若選擇③，由得，當時，，
兩式相減得，所以，當時，也適合上式，所以，
（2）由（1）得，
所以，
故
【點睛】
在由數列的求和公式求數列的通項公式時，注意檢驗的情況是否滿足通項公式。證明數列不等式的常用方法之一：放縮法，即是從不等式的一邊著手， 用不等式的傳遞性等性質， 舍去(或添上) 一些正項或者負項， 擴大或縮小分式的分子、 分母， 逐漸適當地有效放大或縮小到所要求的目標 ，注意放縮時要適度， 否則就不能同向傳遞 ．在數列求和型不等式證明中， 一般來說有先放縮再求和或先求和再放縮兩種形式。若數列易于求和， 則選擇先求和后再放縮； 若數列不易求和， 要考慮先放縮后再求和 ．
30．數列 前n項和為Sn，若， 則_________.
【答案】
【分析】
利用裂項求和法求得.
【詳解】
依題意，
所以.
故答案為：

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