?第24講 數(shù)列的文化類問題
一、單選題
1．（2021·內(nèi)蒙古包頭·一模（文））在悠久燦爛的中國古代文化中，數(shù)學文化是其中的一朵絢麗的奇葩．《張丘建算經(jīng)》是我國古代有標志性的內(nèi)容豐富的眾多數(shù)學名著之一，大約創(chuàng)作于公元五世紀．書中有如下問題：“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月織九匹三丈，問日益幾何？”．其大意為：“今有一女子擅長織布，織布的速度一天比一天快，從第二天起，每天比前一天多織相同數(shù)量的布，第一天織5尺，一個月共織了九匹三丈，問從第二天起，每天比前一天多織多少尺布？”．已知1匹4丈，1丈10尺，若這個月有30天，記該女子這一個月中的第天所織布的尺數(shù)為，，對于數(shù)列，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)等差數(shù)列前項和公式可求得每天織布數(shù)所成等差數(shù)列的公差，由等差數(shù)列通項公式得到和，作比即可得到結果.
【詳解】
由題意知：一個月共織了尺布，且每天的織布數(shù)成等差數(shù)列，設公差為，
，解得：，
，，
.
故選：C.
2．（2021·全國·高三專題練習）十二平均律是我國明代音樂理論家和數(shù)學家朱載堉發(fā)明的.明萬歷十二年(公元1584年)，他寫成《律學新說》，提出了十二平均律的理論.十二平均律的數(shù)學意義是：在1和2之間插入11個正數(shù)，使包含1和2的這13個數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列.依此規(guī)則，插入的第四個數(shù)應為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先求出等比數(shù)列的公比，再由等比數(shù)列的通項公式即可求解.
【詳解】
用表示這個數(shù)列，依題意，，則，，
第四個數(shù)即.
故選：C.
3．（2021·河北·高三月考）高斯，德國著名數(shù)學家、物理學家、天文學家、大地測量學家，近代數(shù)學奠基者之一．高斯被認為是歷史上最重要的數(shù)學家之一，并享有“數(shù)學王子”之稱，高斯在幼年時首先使用了倒序相加法，人們因此受到啟發(fā)，創(chuàng)造了等差數(shù)列前n項和公式，已知等差數(shù)列的前n項和為，，，，則n的值為（ ）
A．8 B．11 C．13 D．17
【答案】D
【分析】
由題意可得，，兩式相加可得，然后代入中可得答案.
【詳解】
根據(jù)題意，，，，
即，
兩式相加得到
所以，
故選：D．
4．（2021·福建·寧德市第九中學高二月考）“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記為圖中虛線上的數(shù)1，3，6，10，…構成的數(shù)列的第項，則的值為（ ）

A．208 B．105 C．120 D．210
【答案】C
【分析】
通過觀察法可得，再利用累加法求出通項公式即可計算的值.
【詳解】
依題意，，，，…，于是有，
則當時，，而滿足上式，因此，，
所以.
故選：C
5．（2021·寧夏·六盤山高級中學高二月考（理））《算法統(tǒng)宗》是我國中國古代數(shù)學名著，由明代數(shù)學家程大位編著，它對中國民間普及珠算和數(shù)學知識起到了很大的作用.在這部著作中，許多數(shù)學問題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的，如“九兒問甲歌”就是其中一首：一個公公九個兒，若問生年總不知，自長排來差三歲，共年二百又零七，借問長兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推.在這個問題中，記這位公公的第個兒子的年齡為則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由題意，數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，然后結合等差數(shù)列的求和公式，求得的值，進而求得的值，得到答案.
【詳解】
由題意，數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，
因為，解得，
所以.
故選：C.
6．（2021·全國·高三專題練習）我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》是明代數(shù)學家程大位（1533-1606年）所著．程少年時，讀書極為廣博，對書法和數(shù)學頗感興趣．20歲起便在長江中下游一帶經(jīng)商，因商業(yè)計算的需要，他隨時留心數(shù)學，遍訪名師，搜集很多數(shù)學書籍，刻苦鉆研，時有心得，終于在他60歲時，完成了《算法統(tǒng)宗》這本著作．該書中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？"根據(jù)詩詞的意思，可得塔的最底層共有燈（ ）

A．192盞 B．128盞 C．3盞 D．1盞
【答案】A
【分析】
設這個塔頂層有盞燈，則問題等價于一個首項為，公比為2的等比數(shù)列的前7項和為381，再結合等比數(shù)列前項和公式計算即可.
【詳解】
設這個塔頂層有盞燈，
則問題等價于一個首項為，公比為2的等比數(shù)列的前7項和為381，
所以，解得，
所以這個塔的最底層有盞燈．
故選：A．
7．（2021·河南洛陽·高二月考（文））十九世紀下半葉集合論的創(chuàng)立，莫定了現(xiàn)代數(shù)學的基礎．著名的“康托三分集”是數(shù)學理性思維的構造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第一次操作；再將剩下的兩個區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作；…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段操作過程不斷地進行下去，以至無窮，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”．若使去掉的各區(qū)間長度之和不小于8，則需要操作的次數(shù)的最小值為（ ）
參考數(shù)據(jù)：
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】
由題意，先求出前幾次操作去掉的區(qū)間長度，然后總結出第次操作去掉的區(qū)間的長度為，把次操作去掉的區(qū)間的長度之和轉化為求等比數(shù)列的前項和，再求解不等式即可.
【詳解】
解：記為第次去掉的長度，，剩下兩條長度為的線段，第二次去掉的線段長為，…，第次操作后有條線段，每條線段長度為，
因此第次去掉的線段長度為，
所以，，
不等式兩邊同取常用對數(shù)有：，則，
所以的最小值為6．
故選：C．
8．（2021·全國·高二課時練習）“手指推大廈”是科技館中常見的一個游戲，只需用很小的力就能推倒巨大的骨牌，體現(xiàn)了“多米諾骨牌效應”的科學原理.已知“手指推大廈”所用骨牌滿足的數(shù)學表達式是，其中為第塊骨牌的體積（或質(zhì)量），為第1塊骨牌的體積（或質(zhì)量），為后一塊骨牌與其前一塊骨牌的體積（或質(zhì)量）的比值.現(xiàn)在有，兩副質(zhì)地不同的骨牌，它們第一塊骨牌的體積不相同，但值相同，記，分別是，兩副骨牌第塊的體積，已知，，，則的值是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【分析】
由題意可得①，②，③，
解方程組，結合題設即可求解
【詳解】
由題可知，和組成的數(shù)列都是以為公比的等比數(shù)列.
由題意可列出如下的方程：
①，
②，
③，
由①可得④，
由②可得⑤，
由③可得⑥，
由④⑤⑥得，，
所以，即.
因為，和都是整數(shù)，
所以符合條件的解只有，這一組.
綜上所述，，
故選：D.
9．（2021·江蘇·高二專題練習）《九章算術》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有女子善織，日益功，疾，初日織五尺，今一月織七匹三丈(1匹=40尺，一丈=10尺)，問日益幾何？”其意思為：“有一女子擅長織布，每天比前一天更加用功，織布的速度也越來越快，從第二天起，每天比前一天多織相同量的布，第一天織5尺，一月織了七匹三丈，問每天增加多少尺布？”若這一個月有31天，記該女子一個月中的第n天所織布的尺數(shù)為，則的值為（ ）
A． B． C． D．15
【答案】A
【分析】
由題意可得：每天織布的量組成了等差數(shù)列，設公差為（尺，運用等差數(shù)列的通項公式和的求和公式即可得出．
【詳解】
解：由題意可得：每天織布的量組成了等差數(shù)列，
（尺，（尺，設公差為（尺，
則
．
故選：A．

二、多選題
10．（2021·江蘇·高二專題練習）在悠久燦爛的中國古代文化中，數(shù)學文化是其中的一朵絢麗的奇葩.《張丘建算經(jīng)》是我國古代有標志性的內(nèi)容豐富的眾多數(shù)學名著之一，大約創(chuàng)作于公元五世紀.書中有如下問題：“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月織九匹三丈，問日益幾何？”.其大意為：“有一女子擅長織布，織布的速度一天比一天快，從第二天起，每天比前一天多織相同數(shù)量的布，第一天織5尺，一個月共織了九匹三丈，問從第二天起，每天比前一天多織多少尺布？”.已知1匹丈，1丈尺，若這一個月有30天，記該女子這一個月中的第天所織布的尺數(shù)為，，對于數(shù)列、，下列選項中正確的為（ ）
A． B．是等比數(shù)列 C． D．
【答案】BD
【分析】
由題意可知，數(shù)列為等差數(shù)列，通過分析條件得到，可得到數(shù)列是等比數(shù)列故B正確；根據(jù)數(shù)列的通項公式可推導出AC是錯誤的；根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)以及數(shù)列通項公式得到D是正確的.
【詳解】
由題意可知，數(shù)列為等差數(shù)列，設數(shù)列的公差為，，
由題意可得，解得，
，
，（非零常數(shù)），
則數(shù)列是等比數(shù)列，B選項正確；
，，
，A選項錯誤；
，
，C選項錯誤；
，
，
所以，D選項正確；
故選：BD.
11．（2021·江蘇·高二單元測試）我國天文學和數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣的晷長損益相同（晷是按照日影測定時刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度）.二十四節(jié)氣及晷長變化如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣晷長減少或增加的量相同，周而復始.已知每年冬至的晷長為一丈三尺五寸，夏至的晷長為一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），則下列說法正確的是（ ）

A．相鄰兩個節(jié)氣晷長減少或增加的量為一尺
B．春分和秋分兩個節(jié)氣的晷長相同
C．小雪的晷長為一丈五寸
D．立春的晷長比立秋的晷長短
【答案】AB
【分析】
根據(jù)題意得到由夏至到冬至的晷長構成等差數(shù)列，由冬至到夏至的晷長也構成等差數(shù)列，進而所處首項和公差，利用等差數(shù)列的基本量運算進而判斷每個答案.
【詳解】
現(xiàn)以寸為單位，由題意可知，由夏至到冬至的晷長構成等差數(shù)列，
其中，，公差.
同理可得，由冬至到夏至的晷長構成等差數(shù)列，
其中，，公差，
故相鄰兩個節(jié)氣晷長減少或增加的量為十寸，即一尺，故選項A正確；
因為春分的晷長為，所以，
因為秋分的晷長為，所以，
故春分和秋分兩個節(jié)氣的晷長相同，故選項B正確；
因為小雪的晷長為，所以，
即一丈一尺五寸，故小雪的晷長為一丈一尺五寸，故選項C錯誤；
因為立春的晷長和立秋的晷長分別為，，
，，
所以，故立春的晷長比立秋的晷長長，故選項D錯誤.
故選：AB.
12．（2021·全國·高二課時練習）《張丘建算經(jīng)》是中國古代眾多數(shù)學名著之一.書中有如下問題：“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月日織九匹三丈，問日益幾何？”其大意為：“有一女子擅長織布，織布的速度一天比一天快，從第二天起，每天比前一天多織相同數(shù)量的布，第一天織5尺，一個月共織了9匹3丈，問從第二天起，每天比前一天多織多少尺布？”已知1匹丈，1丈尺，若這個月有30天，記該女子這個月中第天所織布的尺數(shù)為，，則（ ）
A． B．數(shù)列是等比數(shù)列
C． D．
【答案】BD
【分析】
利用等差數(shù)列前項和公式列方程，由此求得，進而求得.由此對選項逐一分析從而確定正確選項.
【詳解】
由題意可知，數(shù)列為等差數(shù)列，設數(shù)列的公差為，首項，
則，解得，
∴.
∵，∴，
∴數(shù)列是等比數(shù)列，B選項正確；
∵，∴，A選項錯誤；
，∴，C選項錯誤；
，，
∴，D選項正確.
故選：BD.
13．（2021·江蘇·海安高級中學高二期中）根據(jù)中國古代重要的數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》記載，我國古代諸侯的等級自低到高分為：男、子、伯、侯、公五個等級，現(xiàn)有每個級別的諸侯各一人，君王要把50處領地全部分給5位諸侯，要求每位諸侯都分到領地且級別每高一級就多分處（為正整數(shù)），按這種分法，下列結論正確的是（ ）
A．為“男”的諸侯分到的領地不大于6處的概率是
B．為“子”的諸侯分到的領地不小于6處的概率是
C．為“伯”的諸侯分到的領地恰好為10處的概率是1
D．為“公”的諸侯恰好分到16處領地的概率是
【答案】ACD
【分析】
由題意可知，五位諸侯分得的領地成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列前項和公式得到的首項和公差，再分類討論分別求出每種情況中男、子、伯、侯、公五個等級分到的領地數(shù)，再利用概率對四個選項逐一分析，即可得正確選項.
【詳解】
由題意可知，五位諸侯分得的領地成等差數(shù)列，設其前項和為，
則，得．因為，均為正整數(shù)，所以有如下幾種情況：
，，，共4種情況，每種情況各位諸侯分到領地的處數(shù)如下表所列：

男
子
伯
侯
公
，
8
9
10
11
12
，
6
8
10
12
14
，
4
7
10
13
16
，
2
6
10
14
18
由表中數(shù)據(jù)可知：為“男”的諸侯分到的領地不大于6處的概率是；故選項A正確；
為“子”的諸侯分到的領地不小于6處的概率是；故選項B不正確；
為“伯”的諸侯分到的領地恰好為10處的概率是；故選項C正確；
為“公”的諸侯恰好分到16處領地的概率是，故選項D正確；
故選：ACD．
14．（2021·重慶·西南大學附中高三開學考試）“內(nèi)卷”是指一類文化模式達到最終的形態(tài)以后，既沒有辦法穩(wěn)定下來，也沒有辦法轉變?yōu)樾碌男螒B(tài)，而只能不斷地在內(nèi)部變得更加復雜的現(xiàn)象，熱愛數(shù)學的小明由此想到了數(shù)學中的螺旋線．連接嵌套的各個正方形的頂點就得到了近似于螺旋線的美麗圖案，具體作法是：在邊長為1的正方形ABCD中，作它的內(nèi)接正方形EFGH，且使得∠BEF=15°；再作正方形EFGH的內(nèi)接正方形MNPQ，且使得∠FMN=15°；依次進行下去，就形成了陰影部分的圖案，如圖所示．設第n個正方形的邊長為（其中第1個正方形ABCD的邊長為，第2個正方形EFGH的邊長為，…），第n個直角三角形（陰影部分）的面積為（其中第1個直角三角形AEH的面積為，第2個直角三角形EQM的面積為，…），則（ ）

A．數(shù)列是公比為的等比數(shù)列 B．
C．數(shù)列是公比為的等比數(shù)列 D．數(shù)列的前n項和
【答案】BD
【分析】
應用勾股定理、三角函數(shù)得到此過程中前后兩個正方形的邊長關系，即可知A、C正誤，并寫出的通項公式，進而求通項公式，即知B、D正誤.
【詳解】
由題設，，若，則，即，
∴，即，，故，B正確；
∴，以此類推可得，
∴是公比為的等比數(shù)列且，A、C錯誤；
由圖知：，而，
∴，故，D正確.
故選：BD
15．（2021·廣東珠海·二模）分形幾何學是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學，分形的外表結構極為復雜，但其內(nèi)部卻是有規(guī)律可尋的，一個數(shù)學意義上的分形的生成是基于一個不斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng).下面我們用分形的方法得到一系列圖形，如圖1，在長度為的線段上取兩個點、，使得，以為邊在線段的上方做一個正方形，然后擦掉，就得到圖形2；對圖形2中的最上方的線段作同樣的操作，得到圖形3；依次類推，我們就得到以下的一系列圖形設圖1，圖2，圖3，…，圖，各圖中的線段長度和為，數(shù)列的前項和為，則（ ）

A．數(shù)列是等比數(shù)列
B．
C．恒成立
D．存在正數(shù)，使得恒成立
【答案】BC
【分析】
推導出，利用累加法求出數(shù)列的通項公式，可判斷AC選項正誤，利用分組求和法可判斷B選項的正誤，利用數(shù)列的單調(diào)性可判斷D選項的正誤.
【詳解】
由題意可得，，，
以此類推可得，則，
所以，
，所以，數(shù)列不是等比數(shù)列，A選項錯誤；
對于B選項，，B選項正確；
對于C選項，恒成立，C選項正確；
對于D選項，恒成立，則數(shù)列單調(diào)遞增，
所以，數(shù)列無最大值，因此，不存在正數(shù)，使得，D選項錯誤.
故選：BC.
【點睛】
方法點睛：已知數(shù)列的遞推關系求通項公式的典型方法：
（1）當出現(xiàn)時，構造等差數(shù)列；
（2）當出現(xiàn)時，構造等比數(shù)列；
（3）當出現(xiàn)時，用累加法求解；
（4）當出現(xiàn)時，用累乘法求解.
16．（2021·全國·模擬預測）斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，它在很多方面與大自然神奇地契合，小到地球上的動植物，如向日葵、松果、海螺的成長過程，大到海浪、颶風、宇宙星系演變，都遵循著這個規(guī)律，人們親切地稱斐波那契數(shù)列為自然界的“數(shù)學之美”，在數(shù)學上斐波那契數(shù)列一般以遞推的方式被定義：，，則（ ）
A．
B．
C．是等比數(shù)列
D．設，則
【答案】ABC
【分析】
對A，根據(jù)遞推關系直接計算即可；對B，利用數(shù)學歸納法證明；對C，根據(jù)等比數(shù)列的定義直接化簡計算可得；對C，得出，，根據(jù)可判斷.
【詳解】
對A，，，，，，，故A正確；
對B，，
假設成立，
當時，成立，設時成立，即，
則當時，


，假設成立，故B正確；
對C，，
是等比數(shù)列，故C正確；
對D，，
同理，
因為斐波那契數(shù)列滿足，，即，故D錯誤.
故選：ABC.
【點睛】
關鍵點睛：本題考查斐波那契數(shù)列，解題的關鍵是根據(jù)遞推關系正確化簡.


三、填空題
17．（2021·全國·高三專題練習）數(shù)學中有各式各樣富含詩意的曲線，螺旋線就是其中比較特別的一類．螺旋線這個名詞來源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”．小明對螺旋線有著濃厚的興趣，用以下方法畫出了如圖所示的螺旋線．具體作法是：先作邊長為1的正三角形ABC，分別記射線AC，BA，CB為，，，以C為圓心、CB為半徑作劣弧交于點；以A為圓心、為半徑作劣弧交于點；以B為圓心、為半徑作劣弧交于點，依此規(guī)律，就得到了一系列圓弧形成的螺旋線．記劣弧的長，劣弧的長，劣弧的長，…依次為，，，…，則______．
【答案】
【分析】
根據(jù)給定條件，確定這些劣弧的半徑從小到大排成一列得等差數(shù)列，再利用前n項和公式計算即得.
【詳解】
依題意，這些劣弧的半徑從小到大排成一列得等差數(shù)列，首項為1，公差為1，則第n個劣弧的半徑長為n，
因每個劣弧的圓心角均為，于是得第n個劣弧的弧長，
所以．
故答案為：
18．（2021·江蘇南通·模擬預測）《孫子算經(jīng)》是我國南北朝時期（公元5世紀）的數(shù)學著作．在《孫子算經(jīng)》中有“物不知數(shù)”問題：一個整數(shù)除以三余二，除以五余三，求這個整數(shù)．設這個整數(shù)為a，當時，則符合條件的所有a的和為________．
【答案】8184
【分析】
由題設a=3m+2=5n+3, m, n∈N*，則3m=5n+1，對m分類分析，可知m=5k十2，得到a=15k+8，k∈Z，由a∈[1,500]求得a的取值，再由等差數(shù)列的前n項和求得答案.
【詳解】
由題意知，a=3m+2=5n+3, m, n∈N*，
則時，不存在；
當時，不存在，
當時，，滿足題意；
當時，不存在
當時，不存在，
故，

則共33個數(shù)，且這些數(shù)構成以8為首項，15為公差的等差數(shù)列，
這33個數(shù)的和為.
故答案為：8184
19．（2021·貴州貴陽·高三開學考試（文））“康托爾塵埃”是數(shù)學理性思維的構造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：在一個單位正方形中，首先，將正方形等分成個邊長為的小正方形，保留靠角的個小正方形，記個小正方形的面積和為；然后，將剩余的個小正方形分別繼續(xù)等分，分別保留靠角的個小正方形，記所得的個小正方形的面積和為；……；操作過程不斷地進行下去，以至無窮，保留的圖形稱為康托爾塵埃．若，則需要操作的次數(shù)的最小值為______．

【答案】
【分析】
分別求出，進而可得，可得是等比數(shù)列，再利用等邊數(shù)列求和公式求，利用單調(diào)性解不等式即可得答案.
【詳解】
是個邊長為的小正方形面積之和，所以 ，
是個邊長為的小正方形面積之和，所以；
是個邊長為的小正方形面積之和，所以；
所以，
所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以，
所以即，
所以，
因為在上單調(diào)遞減，
而不成立，
，即，
所以需要操作的次數(shù)的最小值為次，
故答案為：.
20．（2021·全國·高二專題練習）任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2．反復進行上述兩種運算，經(jīng)過有限次步驟后，必進入循環(huán)圖1-4-2-1，這就是數(shù)學史上著名的“冰雹猜想”．例如：正整數(shù)，根據(jù)上述運算法則得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共經(jīng)過8個步驟變成1（簡稱為8步“雹程”）．“冰雹猜想”可表示為數(shù)列（為正整數(shù)），．若，則的所有可能取值之和為______．
【答案】83
【分析】
利用“冰雹猜想”可表示為數(shù)列的遞推公式，結合，逆推、、、、的可能值，最后加總所有可能情況值即可.
【詳解】
由題意，可能情況有：
1、，則；
2、，則；
3、，則；
4、，則；
∴的所有可能取值之和.
故答案為：.
【點睛】
關鍵點點睛：根據(jù)，結合遞推公式逆推各步驟的可能值，確定各情況下的.
21．（2021·湖北蘄春·高三月考）《孫子算經(jīng)》是我國南北朝時期（公元世紀）的數(shù)學著作.在《孫子算經(jīng)》中有“物不知數(shù)”問題，原文如下：有物不知數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，問物幾何？即一個整數(shù)除以三余二，除以五余三，求這個整數(shù).設這個整數(shù)為，當時，則符合條件的所有的和為______.
【答案】
【分析】
分析可知整數(shù)的取值形成以為首項，以為公差的等差數(shù)列，求出這個數(shù)列的項數(shù)，利用等差數(shù)列的求和公式可求得結果.
【詳解】
由題設，、，則.
當，不存在；
當，不存在；
當，，滿足題意；
當，不存在；
當，不存在.
故，所以，，，共個數(shù).
且這些數(shù)組成以為首項，為公差的等差數(shù)列，
所以這個數(shù)的和為.
故答案為：.
【點睛】
方法點睛：數(shù)列求和的常用方法：
（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法直接求和；
（2）對于型數(shù)列，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，利用錯位相減法求和；
（3）對于型數(shù)列，利用分組求和法；
（4）對于型數(shù)列，其中是公差為的等差數(shù)列，利用裂項相消法求和.
22．（2021·全國·高三專題練習（文））分形幾何學是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學，分形的外表結構極為復雜，但其內(nèi)部卻是有規(guī)律可尋的．一個數(shù)學意義上分形的生成是基于一個不斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng)．下面我們用分形的方法來得到一系列圖形，如圖1，線段的長度為a，在線段上取兩個點C、D，使得，以為一邊在線段的上方做一個正六邊形，然后去掉線段，得到圖2中的圖形；對圖二中的最上方的線段作相同的操作，得到圖3中的圖形；依次類推，我們就得到了以下一系列圖形；

記第n個圖形（圖1為第1個圖形）中的所有線段長的和為，若對任意的正整數(shù)n，都有．則正數(shù)a的最大值為______．
【答案】
【分析】
由題意歸納可得()，利用累加法可得，進而可得，即，即可得解.
【詳解】
由題意，得圖1中的線段為a，，
圖2中的正六邊形邊長為，；
圖3中的最小正六邊形的邊長為，；
圖4中的最小正六邊形的邊長為，；
由此類推，可知，()，
故當時，
，
當時，，滿足上式，
所以，從而，即，
所以存在最大的正數(shù)．滿足題意．
故答案為：.
【點睛】
本題考查了歸納推理的應用，考查了利用累加法求數(shù)列的通項公式，屬于中檔題.
23．（2021·全國·高二課時練習（理））兩千多年前，古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家曾經(jīng)在沙灘上研究數(shù)學問題，他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數(shù)，按照點或小石子能排列的形狀對數(shù)進行分類，如圖實心點個數(shù)1，5，12，22，…，被稱為五角形數(shù)，其中第1個五角形數(shù)記作，第2個五角形數(shù)記作，第3個五角形數(shù)記作，第4個五角形數(shù)記作，…，第個五角形數(shù)記作，已知，則前個五角形數(shù)中，實心點的總數(shù)為__________.[參考公式：]

【答案】
【分析】
由題意得再累加求得即可得出第個五角形數(shù).再進行求和即可.
【詳解】
由題得
.故前個五角形數(shù)中,實心點的總數(shù)

故答案為：
【點睛】
本題主要考查了累加法求數(shù)列的通項公式方法以及數(shù)列求和的內(nèi)容,屬于中等題型.
24．（2021·全國·高二專題練習）1967年，法國數(shù)學家蒙德爾布羅的文章《英國的海岸線有多長？》標志著幾何概念從整數(shù)維到分數(shù)維的飛躍.1977年他正式將具有分數(shù)維的圖形成為“分形”，并建立了以這類圖形為對象的數(shù)學分支——分形幾何.分形幾何不只是扮演著計算機藝術家的角色，事實表明它們是描述和探索自然界大量存在的不規(guī)則現(xiàn)象的工具.下面我們用分形的方法來得到一系列圖形，如圖1，線段AB的長度為a，在線段AB上取兩個點C，D，使得，以CD為一邊在線段AB的上方做一個正三角形，然后去掉線段CD，得到圖2中的圖形；對圖2中的線段EC?ED作相同的操作，得到圖3中的圖形；依此類推，我們就得到了以下一系列圖形：

記第n個圖形(圖1為第一個圖形)中的所有線段長的和為，若存在最大的正整數(shù)a，使得對任意的正整數(shù)n，都有，則a的值為___________.
【答案】1010
【分析】
由題設知每次的增量是前一次增量的倍，增量通項為，進而可得，結合題設恒成立即可求最大的正整數(shù)a.
【詳解】
由題設知：且，
圖2相對圖1：線段長度之和的增量為，
圖3相對圖2：線段長度之和的增量為，
圖4相對圖3：線段長度之和的增量為，
…
圖n相對圖：線段長度之和的增量為，
∴，要使對任意的正整數(shù)n成立，
∴，即，又a為正整數(shù)，
∴.
故答案為：1010.
【點睛】
關鍵點點睛：根據(jù)題意寫出線段和在每次操作后增量的通項，進而得到第n次線段和，結合數(shù)列不等式恒成立求參數(shù)的最大值.

四、解答題
25．（2021·全國·高二課時練習）任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2．反復進行上述兩種運算，經(jīng)過有限次步驟后，必進入循環(huán)圈1→4→2→1．這就是數(shù)學史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）．如取正整數(shù)，根據(jù)上述運算法則得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需經(jīng)過8個步驟變成1（簡稱為8步“雹程”）．
現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關系如下：已知數(shù)列滿足：（m為正整數(shù)），．
（1）當時，試確定使得需要多少步雹程；
（2）若，求m所有可能的取值集合M．
【答案】（1）12；（2）.
【分析】
（1）直接利用遞推關系逐步計算可得使得需要多少步雹程；
（2）由，利用遞推關系，分類討論逆推出的不同取值，進而可得答案.
【詳解】
當時，即根據(jù)上述運算法得出：


故當時，使得需要12步雹程；
（2）若， 根據(jù)上述運算法進行逆推，
或；
若，則或；
當時，或；
若時，或；
當，則或；
當時，；
當時，，
故所有可能的取值集合．
26．（2021·全國·高二課時練習）傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家用沙粒和小石子來研究數(shù)他們根據(jù)沙粒或小石子所排列的形狀把數(shù)分成許多類，如圖中第一行的1，3，6，10稱為三角形數(shù)，第二行的1，4，9，16稱為正方形數(shù)，第三行的1，5，12，22稱為五邊形數(shù).請你分別寫出三角形數(shù)?正方形數(shù)和五邊形數(shù)所構成的數(shù)列的第5項和第6項.



【答案】三角形數(shù)：第五個數(shù)15，第六個數(shù)21. 正方形數(shù)：第五個數(shù)，第六個數(shù).五邊形數(shù)：第五個數(shù)，第六個數(shù).
【分析】
找到規(guī)律后代入計算即可.
【詳解】
三角形數(shù)：第一個數(shù)1，第二個數(shù)1+2=3，第三個數(shù)1+2+3=6，第四個數(shù)1+2+3+4=10，
第五個數(shù)1+2+3+4+5=15，第六個數(shù)1+2+3+4+5+6=21.
正方形數(shù)：第一個數(shù)，第二個數(shù)，第三個數(shù)，第四個數(shù)，第五個數(shù)，第六個數(shù).
五邊形數(shù)：第一個數(shù)，第二個數(shù)，第三個數(shù)，第四個數(shù)，第五個數(shù)，第六個數(shù).


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