第23講 數(shù)列的新定義問題 一、單選題1．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，他所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，而是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差相等.對(duì)這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有一個(gè)高階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為1，5，11，21，37，61，95，則該數(shù)列的第8項(xiàng)為（    ）A．99 B．131 C．139 D．1412．（2021·北京·東直門中學(xué)高二月考）在一個(gè)數(shù)列中，若每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的乘積都同為一個(gè)常數(shù)（有限數(shù)列最后一項(xiàng)除外），則稱該數(shù)列為等積數(shù)列.是等積數(shù)列，且，公積為，則的值是（    ）A． B． C． D．3．（2021·江蘇蘇州·高三月考）若數(shù)列中不超過的項(xiàng)數(shù)恰為，則稱數(shù)列是數(shù)列的生成數(shù)列，稱相應(yīng)的函數(shù)是數(shù)列生成的控制函數(shù).已知，且，數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則的值為（    ）A．9 B．11 C．12 D．144．（2021·寧夏·六盤山高級(jí)中學(xué)高二月考（理））對(duì)于正項(xiàng)數(shù)列，定義為數(shù)列的“勻稱值”.已知數(shù)列的“勻稱值”為，則該數(shù)列中的等于（    ）A． B． C． D．5．（2021·湖北黃石·高三開學(xué)考試）普林斯頓大學(xué)的康威教授發(fā)現(xiàn)了一類有趣的數(shù)列并命名為“外觀數(shù)列”，該數(shù)列的后一項(xiàng)由前一項(xiàng)的外觀產(chǎn)生．以1為首項(xiàng)的“外觀數(shù)列”記作，其中為1，11，21，1211，111221，…，即第一項(xiàng)為1，外觀上看是1個(gè)1，因此第二項(xiàng)為11；第二項(xiàng)外觀上看是2個(gè)1，因此第三項(xiàng)為21；第三項(xiàng)外觀上看是1個(gè)2，1個(gè)1，因此第四項(xiàng)為1211，…，按照相同的規(guī)則可得其它項(xiàng)，例如為3，13，1113，3113，132113，…若的第n項(xiàng)記作，的第n項(xiàng)記作，其中i，，若，則的前n項(xiàng)和為（    ）A． B． C． D．6．（2021·貴州威寧·高一期末）對(duì)于數(shù)列，定義為數(shù)列的“美值”，現(xiàn)在已知某數(shù)列的“美值”，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B．C． D．7．（2021·全國·高三專題練習(xí)（文））對(duì)任一實(shí)數(shù)列，定義，若，，則（    ）A．1000 B．2000 C．2003 D．40068．（2021·江蘇·高二單元測試）對(duì)于數(shù)列若存在常數(shù)，對(duì)任意的，恒有，則稱數(shù)列為有界數(shù)列.記是數(shù)列的前項(xiàng)和，下列說法錯(cuò)誤的是（    ）A．首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列是有界數(shù)列B．若數(shù)列是有界數(shù)列，則數(shù)列是有界數(shù)列C．若數(shù)列是有界數(shù)列，則數(shù)列是有界數(shù)列D．若數(shù)列、都是有界數(shù)列，則數(shù)列也是有界數(shù)列9．（2021·湖南·長郡中學(xué)高二期中）對(duì)任一實(shí)數(shù)序列，定義序列，它的第項(xiàng)為.假定序列的所有項(xiàng)都為1，且，則（    ）A．1000 B．2000 C．2003 D．400610．（2020·江蘇省梁豐高級(jí)中學(xué)高二期中）幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，，其中第一項(xiàng)是，接下來的兩項(xiàng)是，，再接下來的三項(xiàng)是，，，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)：且該數(shù)列的前項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是（    ）A．95 B．105 C．115 D．12511．（2021·山東·嘉祥縣第一中學(xué)高三期中）在進(jìn)行的求和運(yùn)算時(shí)，德國大數(shù)學(xué)家高斯提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法．已知數(shù)列滿足，則（    ）A． B．C． D． 二、多選題12．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）在數(shù)列中，若（，，p為常數(shù)），則稱為“等方差數(shù)列”.下列對(duì)“等方差數(shù)列”的判斷，其中正確的為（    ）A．若是等方差數(shù)列，則是等差數(shù)列B．若是等方差數(shù)列，則是等方差數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等方差數(shù)列D．若是等方差數(shù)列，則（，k為常數(shù)）也是等方差數(shù)列13．（2021·江蘇·蘇州中學(xué)高二月考）已知數(shù)列中的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的正整數(shù)，都有，則稱為“和諧數(shù)列”，下列結(jié)論，正確的有（    ）A．常數(shù)數(shù)列為“和諧數(shù)列”B．為“和諧數(shù)列”C．為“和諧數(shù)列”D．若公差為的等差數(shù)列滿足：為“和諧數(shù)列”，則的最小值為-214．（2021·全國·高二單元測試）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)于任意的，都有，則稱數(shù)列為“數(shù)列”．則以下數(shù)列為“數(shù)列”的是（    ）A．是等差數(shù)列，且，公差B．是等比數(shù)列，且公比滿足C．D．，15．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，都有，則稱數(shù)列為“和有界數(shù)列”．下列說法正確的是（    ）A．若數(shù)列是等差數(shù)列，且公差，則數(shù)列是“和有界數(shù)列”B．若數(shù)列是等差數(shù)列，且數(shù)列是“和有界數(shù)列”，則公差C．若數(shù)列是等比數(shù)列，且公比滿足，則數(shù)列是“和有界數(shù)列”D．若數(shù)列是等比數(shù)列，且數(shù)列是“和有界數(shù)列”，則公比滿足16．（2021·廣東天河·高三月考）在數(shù)列中，若（，，為常數(shù)），則稱數(shù)列為“開方差數(shù)列”，則下列判斷正確的是（    ）A．是開方差數(shù)列B．若是開方差數(shù)列，則是等差數(shù)列C．若是開方差數(shù)列，則也是開方差數(shù)列（，為常數(shù)）D．若既是開方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列為常數(shù)列17．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）在數(shù)列中，對(duì)任意，都有（為常數(shù)），則稱為“等差比數(shù)列”．下面對(duì)“等差比數(shù)列”的判斷正確的是（    ）A．不可能為0；B．等差數(shù)列一定是等差比數(shù)列；C．等比數(shù)列一定是等差比數(shù)列；D．通項(xiàng)公式為的數(shù)列一定是等差比數(shù)列18．（2021·江蘇·高三專題練習(xí)）在數(shù)列{an}中，若為常數(shù)），則{an}稱為“等方差數(shù)列”，下列對(duì)“等方差數(shù)列”的判斷，其中正確的為（    ）A．若{an}是等方差數(shù)列，則{an2}是等差數(shù)列B．若{an}是等方差數(shù)列，則{an2}是等方差數(shù)列C．{（﹣1）n}是等方差數(shù)列D．若{an}是等方差數(shù)列，則{akn}（k∈N*，k為常數(shù)）也是等方差數(shù)列  三、雙空題19．（2021·全國·模擬預(yù)測）定義：記滿足下列兩個(gè)條件的有窮數(shù)列為n階“期待數(shù)列”.①；②.試寫出一個(gè)3階“期待數(shù)列”___________；若2021階“期待數(shù)列”是遞增的等差數(shù)列，則___________.20．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）對(duì)于數(shù)列，若任意，都有（為常數(shù)）成立，則稱數(shù)列具有性質(zhì)．（1）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，且具有性質(zhì)，則的最大值為______；（2）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，且具有性質(zhì)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．21．（2021·湖北·漢陽一中模擬預(yù)測）牛頓選代法又稱牛頓—拉夫遜方法，它是牛頓在世紀(jì)提出的一種在實(shí)數(shù)集上近似求解方程根的一種方法．具體步驟如下：設(shè)是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，任意選取作為的初始近似值，過點(diǎn)作曲線的切線，設(shè)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，并稱為的次近似值；過點(diǎn)作曲線的切線，設(shè)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，稱為的次近似值．一般的，過點(diǎn)作曲線的切線，記與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，并稱為的次近似值．設(shè)的零點(diǎn)為，取，則的次近似值為_____；設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)積為．若任意恒成立，則整數(shù)的最小值為_____．22．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）數(shù)列的前項(xiàng)和為，定義的“優(yōu)值”為，現(xiàn)已知的“優(yōu)值”，則_____，_____． 四、填空題23．（2020·江蘇·江陰市成化高級(jí)中學(xué)高二月考）對(duì)于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中，對(duì)自然數(shù)，規(guī)定為數(shù)列的階差分?jǐn)?shù)列，其中.若，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_________.24．（2021·河南三門峽·高三月考（理））在數(shù)列中，如果對(duì)任意，都有（為常數(shù)），則稱數(shù)列為比等差數(shù)列，稱為比公差.則下列結(jié)論：①等比數(shù)列一定是比等差數(shù)列；②等差數(shù)列一定不是比等差數(shù)列；③若，則是比等差數(shù)列，且比公差為；④若數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則數(shù)列一定不是比等差數(shù)列.其中正確的有_____________.（填序號(hào)）25．（2021·江蘇·高二單元測試）取出數(shù)列的任意連續(xù)四項(xiàng)，若其中奇數(shù)項(xiàng)之和，偶數(shù)項(xiàng)之和均為同一個(gè)常數(shù)（如連續(xù)四項(xiàng)，，，，滿足），則稱數(shù)列為錯(cuò)位等和數(shù)列，其中常數(shù)是公和.若表示的前項(xiàng)和，有如下命題：（1）若一個(gè)等差數(shù)列是錯(cuò)位等和數(shù)列，則；（2）若一個(gè)等比數(shù)列是錯(cuò)位等和數(shù)列，則；（3）若，則錯(cuò)位等和數(shù)列一定是最小正周期為4的周期數(shù)列；（4）在錯(cuò)位等和數(shù)列中，，且，若是偶數(shù)，則；其中，真命題的序號(hào)是________26．（2021·廣東·東莞市光明中學(xué)高三開學(xué)考試）若有窮數(shù)列，，…，（m為正整數(shù)）滿足條件：，，…，，則稱其為“對(duì)稱”數(shù)列．例如，數(shù)列1，2，5，2，1與數(shù)列8，4，2，4，8都是“對(duì)稱”數(shù)列．已知在21項(xiàng)的“對(duì)稱”數(shù)列中，，，…，是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則____________． 五、解答題27．（2021·江蘇·高二單元測試）對(duì)于數(shù)列，定義為數(shù)列的差分?jǐn)?shù)列，其中．如果對(duì)任意的，都有，則稱數(shù)列為差分增數(shù)列．（1）已知數(shù)列為差分增數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）已知數(shù)列為差分增數(shù)列，且，．若，求非零自然數(shù)k的最大值；（3）已知項(xiàng)數(shù)為2k的數(shù)列（）是差分增數(shù)列，且所有項(xiàng)的和等于k，證明：．28．（2020·江蘇·模擬預(yù)測）對(duì)數(shù)列{an}，規(guī)定{△an}為數(shù)列{an}的一階差分?jǐn)?shù)列，其中△an＝an+1﹣an（n∈N*），規(guī)定{△2an}為{an}的二階差分?jǐn)?shù)列，其中△2an＝△an+1﹣△an（n∈N*）.（1）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式（n∈N*），試判斷{△an}，{△2an}是否為等差數(shù)列，請(qǐng)說明理由？（2）數(shù)列{bn}是公比為q的正項(xiàng)等比數(shù)列，且q≥2，對(duì)于任意的n∈N*，都存在m∈N*，使得△2bn＝bm，求q所有可能的取值構(gòu)成的集合；（3）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn，且△2cn＝0，對(duì)滿足m+n＝2k，m≠n的任意正整數(shù)m、n、k，都有cm≠cn，且不等式Sm+Sn＞tSk恒成立，求實(shí)數(shù)t的最大值.29．（2020·黑龍江·哈師大附中高二開學(xué)考試（理））若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“平方遞推數(shù)列”．已知數(shù)列中，，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，其中為正整數(shù)．（1）證明數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列為等比數(shù)列；（2）設(shè)（1）中“平方遞推數(shù)列”的前項(xiàng)積為，即，求；（3）在（2）的條件下，記，求數(shù)列的前項(xiàng)和，并求使 的的最小值．30．（2019·北京順義·二模（理））在數(shù)列中，若（，，為常數(shù)），則稱為“平方等差數(shù)列”． （Ⅰ）若數(shù)列是“平方等差數(shù)列”，，寫出的值；（Ⅱ）如果一個(gè)公比為的等比數(shù)列為“平方等差數(shù)列”，求證：；（Ⅲ）若一個(gè)“平方等差數(shù)列”滿足，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為．是否存在正整數(shù)，使不等式對(duì)一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．31．（2021·上海市吳淞中學(xué)高三期中）設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，是一個(gè)給定的正整數(shù)，若對(duì)于任意的正整數(shù)，成等比數(shù)列，則稱數(shù)列為“型”數(shù)列.（1）若是“型”數(shù)列，且，求的值；（2）若是“型”數(shù)列，且，，求的前項(xiàng)和.  

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