第四章　指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)-綜合拔高練-2022學年-數(shù)學人教版（2019）-必修第一冊-試卷下載-教習網(wǎng)

綜合拔高練五年高考練考點1　指數(shù)式與對數(shù)式的恒等變形1.(2021全國甲理,4)青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題,視力情況可借助視力表測量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù),五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足L=5+lg V.已知某同學視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為(≈1.259)(　　)A.1.5　　　　　B.1.2　　　　　C.0.8　　　　　D.0.62.(2021天津,7)若2a=5b=10,則+=(　　)A.-1　　　　　　B.lg 7 C.1　　　　　　D.log7103.(2020全國Ⅰ文,8)設(shè)alog34=2,則4-a=(　　)A.　　　　　　B. C.　　　　　　D.4.(2018課標全國Ⅲ,12)設(shè)a=log0.20.3,b=log20.3,則(　　)A.a+b<ab<0　　　　　　B.ab<a+b<0C.a+b<0<ab　　　　　　D.ab<0<a+b考點2　指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的綜合運用5.(2021全國甲文,4)下列函數(shù)中是增函數(shù)的為(　　)A. f(x)=-x　　　　　　B. f(x)=C. f(x)=x2　　　　　　D. f(x)=6.(2021天津,3)函數(shù)y=的圖象大致為(　　)7.(2021天津,5)設(shè)a=log20.3,b=lo0.4,c=0.40.3,則a,b,c的大小關(guān)系為(　　)A.a<b<c　　　　　　B.c<a<b C.b<c<a　　　　　　D.a<c<b8.(2021新高考Ⅱ,7)若a=log52,b=log83,c=,則(　　)A.c<b<a　　　　　　B.b<c<a C.a<c<b　　　　　　D.a<b<c9.(2020北京,6)已知函數(shù)f(x)=2x-x-1,則不等式f(x)>0的解集是(　　)A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞)10.(2020全國Ⅱ理,11)若2x-2y<3-x-3-y,則(　　)A.ln(y-x+1)>0　　　　　　B.ln(y-x+1)<0C.ln|x-y|>0　　　　　　D.ln|x-y|<011.(2020全國Ⅰ理,12)若2a+log2a=4b+2log4b,則(　　)A.a>2b　　　　　　B.a<2b C.a>b2　　　　　　D.a<b212.(2020全國Ⅲ理,12)已知55<84,134<85.設(shè)a=log53,b=log85,c=log138,則(　　)A.a<b<c　　　　　　B.b<a<cC.b<c<a　　　　　　D.c<a<b13.(2021新高考Ⅰ,13)已知函數(shù)f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函數(shù),則a=　　　　. 考點3　函數(shù)零點及其應(yīng)用14.(2020浙江,9)已知a,b∈R且ab≠0,對于任意x≥0均有(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0,則(　　)A.a<0　　　　　B.a>0　　　　　C.b<0　　　　　D.b>015.(2020天津,9)已知函數(shù)f(x)=若函數(shù)g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)恰有4個零點,則k的取值范圍是(　　)A.∪(2,+∞)B.∪(0,2)C.(-∞,0)∪(0,2)D.(-∞,0)∪(2,+∞)16.(2019天津,8)已知函數(shù)f(x)=若關(guān)于x的方程f(x)=-x+a(a∈R)恰有兩個互異的實數(shù)解,則a的取值范圍為(　　)A.　　　　　　B.C.∪{1}　　　　　　D.∪{1}17.(2021北京,15)已知f(x)=|lg x|-kx-2,給出下列四個結(jié)論:(1)若k=0,則f(x)有兩個零點;(2)?k<0,使得f(x)有一個零點;(3)?k<0,使得f(x)有三個零點;(4)?k>0,使得f(x)有三個零點.以上正確結(jié)論的序號是　　　　. 考點4　函數(shù)模型的綜合運用18.(2020全國Ⅰ,5改編)某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位:℃)的關(guān)系,在20個不同的溫度條件下進行種子發(fā)芽實驗,由實驗數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散點圖:由此散點圖,在10 ℃至40 ℃之間,下面四個函數(shù)模型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的函數(shù)模型的是(　　)A.y=a+bx　　B.y=a+bx2 C.y=a+bex　　　　 D.y=a+bln x19.(2018上海,19)某群體的人均通勤時間,是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地的平均用時.某地上班族S中的成員僅以自駕或公交方式通勤.分析顯示:當S中x%(0<x<100)的成員自駕時,自駕群體的人均通勤時間為f(x)=(單位:分鐘),而公交群體的人均通勤時間不受x影響,恒為40分鐘.試根據(jù)上述分析結(jié)果回答下列問題:(1)當x在什么范圍內(nèi)時,公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間?(2)求該地上班族S的人均通勤時間g(x)的表達式;討論g(x)的單調(diào)性,并說明其實際意義. 三年模擬練應(yīng)用實踐1.(2022廣東佛山期末)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,若存在x0∈D,使得f(x0)=x0成立,則稱x0是函數(shù)f(x)的一個不動點.下列函數(shù)存在不動點的是(　　)A. f(x)=2x+x　　　　　　B. f(x)=x2-x+3C. f(x)=-|x-2|　　　　　　D. f(x)=lg x+3x-62.(2021山東德州、煙臺期中聯(lián)考)衡量病毒傳播能力的一個重要指標叫做傳播指數(shù)R0.它指的是在自然情況下(沒有外力介入,同時所有人都沒有免疫),一個感染者傳染的平均人數(shù).它的簡單計算公式:R0=1+確診病例增長率×系列間隔,其中系列間隔是指在一個傳播鏈中兩例連續(xù)病例的間隔時間(單位:天).根據(jù)統(tǒng)計,某種傳染病確診病例的平均增長率為25%,兩例連續(xù)病例的間隔時間的平均天數(shù)為4,根據(jù)以上數(shù)據(jù)計算,若甲感染了這種傳染病,則經(jīng)過6輪傳播后由甲引起的得病的總?cè)藬?shù)約為(　　)A.30　　　　　　B.62 C.64　　　　　　D.1263.(2022廣東中山期末)設(shè)a=log23,b=log34,c=log58,則(　　)A.b<a<c　　　　　　B.a<b<c C.c<b<a　　　　　　D.b<c<a4.(2022山西大同期末)已知函數(shù)f(x)=|lg x|-有兩個零點x1,x2,則(　　)A.0<x1x2<1　　　　　　B.x1x2=1C.1<x1x2<2　　　　　　D.x1x2≥25.(多選)如圖所示的是某受污染的湖泊在自然凈化的過程中某種有害物質(zhì)的剩余量y與凈化時間t(月)之間滿足的函數(shù)關(guān)系:y=at(t≥0,a>0,a≠1)的圖象.若有害物質(zhì)的初始量為1,則以下說法中正確的是(　　)A.第4個月時,剩余量就會低于B.每月減少的有害物質(zhì)的量都相等C.有害物質(zhì)每月的衰減率為D.當剩余量為,,時,所經(jīng)過的時間分別是t1,t2,t3,則t1+t2=t36.(多選)(2022福建龍巖期末)已知函數(shù)f(x)=若關(guān)于x的方程4[f(x)]2-4af(x)+2a+3=0有5個不同的實根,則實數(shù)a的值可以為(　　)A.-　　　　　　B.-C.-　　　　　　D.-7.(2022北京東城期末)設(shè)函數(shù)f(x)=loga(|x|+1)(a>1),則f(x)是　　　　(填“奇函數(shù)”或“偶函數(shù)”);若fT(x)=(T>0),則當T=時,函數(shù)fT(x)的值域為　　　　. 8.(2020山東聊城期末)設(shè)區(qū)間[a,b]是函數(shù)f(x)的定義域D的子集,定義在[a,b]上的函數(shù)g(x)=|f(x)-f(x0)|(x0∈[a,b]),記為g[a,b](x,x0)=|f(x)-f(x0)|.若f(x)=則f(x)的值域為　　　　,若關(guān)于x的方程g[0,4](x,2)-t=0恰有3個不同的解,則實數(shù)t的取值范圍為　　　　. 9.(2020山東煙臺期末)科技創(chuàng)新在經(jīng)濟發(fā)展中的作用日益凸顯.某科技公司為實現(xiàn)9 000萬元的投資收益目標,準備制訂一個激勵研發(fā)人員的獎勵方案:當投資收益達到3 000萬元時,按投資收益進行獎勵,要求獎金f(x)(單位:萬元)隨投資收益x(單位:萬元)的增加而增加,獎金總數(shù)不低于100萬元,且獎金總數(shù)不超過投資收益的20%.(1)現(xiàn)有三個獎勵函數(shù)模型:①f(x)=0.03x+8,②f(x)=0.8x+200,③f(x)=100log20x+50,x∈[3 000,9 000].試分析這三個函數(shù)模型是否符合公司要求;(2)根據(jù)(1)中符合公司要求的函數(shù)模型,要使獎金達到350萬元,公司的投資收益至少要達到多少萬元?
10.(2021山西太原期中)已知函數(shù)f(x)=1-(a>0且a≠1)為定義在R上的奇函數(shù).(1)利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增;(2)求不等式f(x2+2x)+f(x-4)>0的解集. 綜合拔高練五年高考練1.C　將L=4.9代入L=5+lg V,得4.9=5+lg V,即lg V=-0.1=-=lg 1,∴V=1=≈≈0.8,∴其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為0.8.故選C.2.C　∵2a=5b=10,∴a=log210,b=log510,∴+=+=lg 2+lg 5=1.3.B　∵alog34=2,∴a=2log43=log23,∴4-a====,故選B.4.B　∵a=log0.20.3,b=log20.3,∴=log0.30.2,=log0.32,∴+=log0.30.4,∴0<+<1,即0<<1.又∵a>0,b<0,∴ab<0,∴ab<a+b<0.故選B.5.D　對于f(x)=-x,由正比例函數(shù)的性質(zhì)可知, f(x)是減函數(shù),故A不符合題意;對于f(x)=,由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知, f(x)是減函數(shù),故B不符合題意;對于f(x)=x2,由二次函數(shù)的圖象可知, f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故C不符合題意;對于f(x)==,由冪函數(shù)的性質(zhì)可知, f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,故選D.6.B　設(shè)f(x)=,易知f(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),關(guān)于原點對稱,且f(-x)===f(x),故f(x)是偶函數(shù),其圖象關(guān)于y軸對稱,排除A、C.當x>1時,ln x>0,x2+2>0,則f(x)>0,排除D.故選B.7.D　∵a=log20.3<0,b=lo0.4>lo0.5=1,c=0.40.3<0.40=1,且c>0,∴a<c<b.8.C　∵log52<log5=,log83>log8=,∴a<c<b.故選C.9.D　不等式f(x)>0等價于不等式2x>x+1,作出函數(shù)y=2x和函數(shù)y=x+1的圖象,如圖所示,易知兩個函數(shù)圖象的交點坐標為(1,2)和(0,1),觀察函數(shù)圖象可知,當x>1或x<0時,函數(shù)y=2x的圖象在函數(shù)y=x+1圖象的上方,此時2x>x+1,故不等式f(x)>0的解集為(-∞,0)∪(1,+∞),故選D.10.A　因為2x-2y<3-x-3-y,所以2x-3-x<2y-3-y.設(shè)f(x)=2x-3-x,因為函數(shù)t1=2x和t2=3-x分別是R上的增函數(shù)與減函數(shù),所以f(x)在R上為增函數(shù).由2x-3-x<2y-3-y得x<y,所以y-x+1>1,所以ln(y-x+1)>0.故選A.11.B　易知2a+log2a=22b+log2b<22b+log2(2b),令f(x)=2x+log2x,則f(a)<f(2b),又易知f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以a<2b,故選B.12.A　a=log53∈(0,1),b=log85∈(0,1),則==log53×log58<=<1,∴a<b.∵134<85,∴135<13×85,兩邊同取以13為底的對數(shù)得log13135<log13(13×85),即log138>,∴c>.∵55<84,∴8×55<85,兩邊同取以8為底的對數(shù)得log8(8×55)<log885,即log85<,∴b<.綜上所述,c>b>a,故選A.13.答案　1解析　∵f(x)=x3(a·2x-2-x)為偶函數(shù),∴f(1)=f(-1),∴2a-=-,∴a=1.當a=1時,f(x)=x3(2x-2-x),其定義域為R,且滿足f(-x)=f(x),故f(x)為偶函數(shù).14.C　解法一:令f(x)=(x-a)(x-b)(x-2a-b),則方程f(x)=0存在三個根x1=a,x2=b,x3=2a+b.當三個根都小于0時,如圖①所示,對于任意x≥0, f(x)>0恒成立,符合題意.　　圖①　　　圖②當存在實數(shù)根大于0時,要使得對于任意x≥0, f(x)≥0恒成立,則三個根一定是兩個相等的正根和一個負根,如圖②所示.當a=b>0時,2a+b>0,不符合題意,舍去;當a=2a+b>0時,a=-b>0,b<0,符合題意;當b=2a+b時,a=0,不符合題意,舍去.綜上所述,當滿足條件時,b<0.故選C.解法二:令f(x)=(x-a)(x-b)(x-2a-b),則f(0)=(-a)·(-b)·(-2a-b)=-ab(2a+b)≥0,則ab·(2a+b)≤0.若b>0,則當a>0時,ab(2a+b)>0,與ab(2a+b)≤0矛盾,舍去;當a<0時,由ab(2a+b)≤0,得2a+b≥0,故a+b>0, f(a+b)=(a+b-a)·(a+b-b)(a+b-2a-b)=ab(-a)=-a2b<0,與已知矛盾,舍去.故b<0.故選C.15.D　令h(x)=|kx2-2x|,函數(shù)g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)恰有4個零點,即y=f(x)與y=h(x)的圖象恰有4個交點.當k=-時,h(x)==,在同一直角坐標系中作出y=f(x),y=h(x)的圖象,如圖.由圖可知y=f(x)與y=h(x)的圖象恰有4個交點,即函數(shù)g(x)=f(x)-|kx2-2x|恰有4個零點,排除A,B.當k=1時,h(x)=|x2-2x|,作出y=h(x)與y=f(x)的圖象,如圖所示.此時,函數(shù)y=f(x)與y=h(x)的圖象僅有2個交點,不合題意,排除C.故選D.16.D　由f(x)=-x+a,得4a=即4a=令g(x)=則方程f(x)=-x+a(a∈R)的解的個數(shù)即為函數(shù)y=g(x)的圖象與直線y=4a的交點的個數(shù).當0≤x≤1時,y=(+4)2-16單調(diào)遞增,此時y∈[0,9];當x>1時,y=+x在(1,2]上單調(diào)遞減,此時y∈[4,5),在(2,+∞)上單調(diào)遞增,此時y∈(4,+∞),故當x>1時,y=+x∈[4,+∞).作出函數(shù)y=g(x)的圖象,如圖所示,由圖可知,當直線y=4a與函數(shù)y=g(x)的圖象有兩個交點時,5≤4a≤9或4a=4,即≤a≤或a=1.故選D.17.答案　(1)(2)(4)解析　令f(x)=|lg x|-kx-2=0,得|lg x|=kx+2,令g(x)=|lg x|,h(x)=kx+2,所以f(x)的零點個數(shù)即函數(shù)g(x)與h(x)圖象的交點個數(shù).當k=0時,如圖a,g(x)與h(x)的圖象有兩個交點,則f(x)有兩個零點,故(1)正確;當k>0時,如圖b,存在h(x)=k0x+2的圖象與函數(shù)g(x)=|lg x|(x>1)的圖象相切的情況,此時h(x)與g(x)的圖象有兩個交點,當0<k<k0時,g(x)與h(x)的圖象有三個交點,則f(x)有三個零點,故(4)正確;當k<0時,如圖c,g(x)與h(x)的圖象最多有兩個交點,g(x)與h(x)的圖象相切時有一個交點,如圖d,故(2)正確,(3)不正確.綜上,正確結(jié)論的序號為(1)(2)(4).圖a圖b圖c圖d18.D　把題圖中散點用光滑曲線連接起來比較接近對數(shù)型函數(shù)的圖象,故選D.19.解析　(1)由題意知,當30<x<100時, f(x)=2x+-90,令2x+-90>40,即x2-65x+900>0,解得x<20或x>45,故x∈(45,100)時,公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間.(2)當0<x≤30時,g(x)=30·x%+40(1-x%)=40-;當30<x<100時,g(x)=·x%+40(1-x%)=-x+58.故g(x)=當0<x<32.5時,g(x)單調(diào)遞減;當32.5<x<100時,g(x)單調(diào)遞增.說明該地上班族S有小于32.5%的人自駕時,人均通勤時間是遞減的;有大于32.5%的人自駕時,人均通勤時間是遞增的;當有32.5%的人自駕時,人均通勤時間最少.三年模擬練1.D　對于A, f(x)=x,即2x+x=x,可得2x=0,方程無解,不存在不動點;對于B, f(x)=x,即x2-x+3=x,可得x2-2x+3=0,方程無解,不存在不動點;對于C, f(x)=x,則x+|x-2|=0,即或無解,不存在不動點;對于D, f(x)=x,即lg x+2x-6=0,設(shè)g(x)=lg x+2x-6,則g(1)=-4<0,g(3)=lg 3>0,又g(x)在區(qū)間(1,3)上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(1,3)上存在零點,即方程f(x)=x有解,存在不動點.故選D.2.D　由題意知,R0=1+25%×4=2.∴經(jīng)過6輪傳播后由甲引起的得病的總?cè)藬?shù)約為2+22+23+24+25+26=126.故選D.3.D　∵b=log34==,c=log58==,∴b-c=-===<0,∴b<c.∵log55<log58<log5=log5=,∴1<c<.∵a=log23>log2=log2=,∴a>.∴b<c<a,故選D.4.A　f(x)=|lg x|-有兩個零點x1,x2,即y=|lg x|與y=3-x的圖象有兩個交點,在同一直角坐標系中畫出y=3-x和y=|lg x|的圖象(圖略),易得兩函數(shù)圖象在(0,1)和(1,+∞)上各有一個交點,不妨設(shè)x1∈(0,1),x2∈(1,+∞),則=-lg x1,=lg x2,∴-=lg(x1x2),∵x2>x1,∴<,即-<0,∴l(xiāng)g(x1x2)<0,∴0<x1x2<1.故選A.5.ACD　根據(jù)圖象過點可知,=a2,解得a=或a=-(舍去),∴y=.令t=4,得y=<,故A正確;當t=1時,y=,減少了,當t=2時,y=,減少了,所以每月減少的有害物質(zhì)的量不相等,故B不正確;因為y==,所以有害物質(zhì)每月的衰減率為,故C正確;分別令y=,,,解得t1=,t2=,t3=,則t1+t2=t3,故D正確.故選ACD.6.BCD　作出函數(shù)f(x)=的圖象如下,令t=f(x),若關(guān)于x的方程4[f(x)]2-4af(x)+2a+3=0有5個不同的實根,則關(guān)于t的方程4t2-4at+2a+3=0有兩個不同的實根,且兩根分別在(-1,0)和(-2,-1]上,令g(t)=4t2-4at+2a+3,則即解得-<a≤-.故選BCD.易錯警示　用圖象法解決函數(shù)零點的個數(shù)、函數(shù)零點的范圍等問題時,準確畫圖是解題的關(guān)鍵,要防止因畫圖不準或憑空想象導致解題錯誤.7.答案　偶函數(shù);∪解析　因為|x|+1≥1>0恒成立,所以f(x)的定義域為R,關(guān)于原點對稱,又f(-x)=loga(|-x|+1)=loga(|x|+1)=f(x),所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù).因為|x|+1≥1,a>1,所以f(x)=loga(|x|+1)≥0,若T=,則由題意可得當f(x)<時, fT(x)=f(x)<,故0≤fT(x)<,當f(x)≥時, fT(x)=-f(x)≤-.綜上,函數(shù)fT(x)的值域為∪.8.答案　[0,2);解析　當0≤x<1時, f(x)=2∈[0,2);當x≥1時, f(x)=∈(0,1]. 綜上所述, f(x)的值域為[0,2).若g[0,4](x,2)-t=0,則|f(x)-f(2)|=t,x∈[0,4],即=t,x∈[0,4], 令F(x)=,x∈[0,4],則F(x)=畫出函數(shù)F(x)的圖象如下,由題意知F(x)的圖象與直線y=t有3個交點,故t∈.9.解析　(1)①函數(shù)f(x)=0.03x+8,當x=3 000時, f(3 000)=98<100,不符合要求;②函數(shù)f(x)=0.8x+200為減函數(shù),不符合要求; ③函數(shù)f(x)=100log20x+50在[3 000,9 000]上為增函數(shù),且當x=3 000時, f(3 000)=100log203 000+50>100log2020+50>100,又因為當x∈[3 000,9 000]時, f(x)≤f(9 000)=100log209 000+50<100log20160 000+50=450,≥=600,所以f(x)≤恒成立.因此, f(x)=100log20x+50為符合公司要求的函數(shù)模型. (2)由100log20x+50≥350得log20x≥3,所以x≥8 000,所以公司的投資收益至少要達到8 000萬元.10.解析　(1)證明:因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(0)=0,即1-=0,解得a=2,所以f(x)=1-,經(jīng)檢驗, f(x)為R上的奇函數(shù).任取x1,x2∈R,且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=1--=-=,因為x1<x2,所以-<0,又+1>0,+1>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增.(2)不等式f(x2+2x)+f(x-4)>0,即f(x2+2x)>-f(x-4)=f(4-x),又f(x)在R上單調(diào)遞增,所以x2+2x>4-x,解得x<-4或x>1,故原不等式的解集為{x|x<-4或x>1}.