云南師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高三適應(yīng)性月考卷（一）數(shù)學(xué)試題及答案-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)在答題卡上填寫清楚．2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．在試題卷上作答無效．3．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．滿分150分，考試用時(shí)120分鐘．一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1. 已知集合，集合，則（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求解集合，再利用交集運(yùn)算即可.【詳解】解：由題得集合，所以.故選：B．2. A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可得計(jì)算結(jié)果.【詳解】，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法，屬于基礎(chǔ)題.3. 將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，可以得到（）A. 的圖象 B. 的圖象 C. 的圖象 D. 的圖象【答案】D【解析】【分析】利用相位變化和誘導(dǎo)公式直接得到答案.【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到的圖像故選：D4. 若，則“”是 “”的A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】本題根據(jù)基本不等式，結(jié)合選項(xiàng)，判斷得出充分性成立，利用“特殊值法”，通過特取的值，推出矛盾，確定必要性不成立.題目有一定難度，注重重要知識(shí)、基礎(chǔ)知識(shí)、邏輯推理能力的考查.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，有，解得，充分性成立；當(dāng)時(shí)，滿足，但此時(shí)，必要性不成立，綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.【點(diǎn)睛】易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有，一是基本不等式掌握不熟，導(dǎo)致判斷失誤；二是不能靈活的應(yīng)用“賦值法”，通過特取的值，從假設(shè)情況下推出合理結(jié)果或矛盾結(jié)果.5. 已知函數(shù)，則（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接由指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算以及特殊角的三角函數(shù)值求解即可.【詳解】，，，所以.故選：B．6. 一道有4個(gè)選項(xiàng)但只有一個(gè)選項(xiàng)正確的選擇題，命題者估計(jì)某類考生會(huì)答該題的概率是0.5，并且會(huì)答時(shí)一定能答對；不會(huì)答時(shí)考生在4個(gè)答案中任選1個(gè)．已知該類考生中某一個(gè)考生回答正確，則他確實(shí)會(huì)答（不是蒙對）的概率等于（）A. 0.25 B. 0.5 C. 0.75 D. 0.8【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意在“會(huì)答”的條件下答對的概率為1，在“不會(huì)答”的條件下答對的概率為0.25，利用條件概率的計(jì)算公式求解在“答對”的條件下，“會(huì)答”的概率即可.【詳解】解：設(shè)事件表示“答對”，事件表示“會(huì)答”，該考生會(huì)答該題的概率是，則，，，，.故選：D.7. 我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，如圖，利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：、是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，從發(fā)出的光線射在雙曲線右支上一點(diǎn)，經(jīng)點(diǎn)反射后，反射光線的反向延長線過；當(dāng)異于雙曲線頂點(diǎn)時(shí)，雙曲線在點(diǎn)處的切線平分．若雙曲線的方程為上，則下列結(jié)論不正確的是（）A. 射線所在直線的斜率為，則B. 當(dāng)時(shí)，C. 當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，光由到再到所經(jīng)過的路程為D. 若，直線與相切，則【答案】C【解析】【分析】求出雙曲線漸近線方程，可判斷A選項(xiàng)；利用勾股定理以及雙曲線的定義可判斷B選項(xiàng)；利用雙曲線的定義可判斷C選項(xiàng)；利用角平分線定理結(jié)合雙曲線的定義可判斷D選項(xiàng).【詳解】在雙曲線中，，，則，易知點(diǎn)、，設(shè)，，對于A選項(xiàng)，因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，當(dāng)點(diǎn)在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，隨著的增大，射線慢慢接近于直線，此時(shí)，同理可知當(dāng)點(diǎn)在第四象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)為雙曲線的右頂點(diǎn)時(shí)，，綜上所述，的取值范圍是，A對；對于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，所以，，B對；對于C選項(xiàng)，，故過點(diǎn)時(shí)，光由到再到所經(jīng)過的路程為，C錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，若，由角平分線定理可得，即，解得，D對.故選：C.8. 若在上，函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的圖象上方，則a的取值范圍為（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由時(shí)，求得，再結(jié)合放縮法證明時(shí)，對任意實(shí)數(shù)恒成立即可.【詳解】由題對任意實(shí)數(shù)，，即恒成立，一方面，當(dāng)時(shí)，，令，易知是增函數(shù)，，所以，得；當(dāng)時(shí)，則，即，于是對不成立，與題設(shè)矛盾；另一方面，當(dāng)時(shí)，，令，則，易得當(dāng)時(shí)，，單減，當(dāng)時(shí)，，單增，則，即；令，，當(dāng)時(shí)，，單增，當(dāng)時(shí)，，單減，則，即，則，則，所以當(dāng)時(shí)，恒成立.故選：C．二、不定項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9. 已知的展開式中第3項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則（）A. B. C. 展開式中常數(shù)項(xiàng)為84 D. 展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為0【答案】AD【解析】【分析】由求得，再由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)求出常數(shù)項(xiàng)，由賦值法求得系數(shù)和即可求解.【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為，由題，得，所以，令，，所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，利用賦值法，令可得展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和是，綜上，正確答案為A，D.故選：AD.10. 在研究某品牌汽車的使用年限x（單位：年）與殘值y（單位：萬元）之間的關(guān)系時(shí)，根據(jù)調(diào)研數(shù)據(jù)得到如下的對應(yīng)值表：x246810y1716141311利用最小二乘法，得到回歸直線方程為，下列說法正確的是（）A. x與y的樣本相關(guān)系數(shù) B. 回歸直線必過點(diǎn) C. D. 預(yù)測該品牌汽車使用20年后，殘值約為2萬元【答案】BC【解析】【分析】由數(shù)據(jù)知隨的增大呈遞減的趨勢，結(jié)合相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)及回歸直線的性質(zhì)依次判斷即可.【詳解】隨的增大呈遞減的趨勢，所以與為負(fù)相關(guān)關(guān)系，所以與的樣本相關(guān)系數(shù)，回歸直線方程為的，因?yàn)?/span>，，回歸直線必過點(diǎn)，所以，得，當(dāng)時(shí)，（萬元），綜上，正確答案為B，C.故選：BC.11. 《九章算術(shù)》里說：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑”．如圖，底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”，沿截面將一個(gè)“塹堵”截成兩部分，其三棱錐稱為“鱉臑”．在鱉臑中，，其外接球的體積為，當(dāng)此鱉臑的體積V最大時(shí)，下列結(jié)論正確的是（）A. B C. 直線與平面所成角的正弦值D. 內(nèi)切球的半徑為【答案】ACD【解析】【分析】由題可知的中點(diǎn)即為的外接球的球心，由球的體積公式可得球的半徑，進(jìn)而得到，利用錐體的體積公式計(jì)算可判斷A、B項(xiàng)，利用線面垂直可判斷直線與平面所成角即為，計(jì)算其正弦值即可判斷C項(xiàng)，利用等體積法可求得內(nèi)切球的半徑，即可判斷D項(xiàng).【詳解】解：由題可知，的中點(diǎn)即為的外接球的球心，設(shè)外接球的半徑為，則，得，因?yàn)?/span>，所以，鱉臑的體積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，；故A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)誤.因?yàn)槿庵鶠橹比庵?/span>平面，又平面，故，因?yàn)?/span>,所以平面，所以直線與平面所成角即為，；故C項(xiàng)正確；設(shè)鱉臑的內(nèi)切球半徑為，由等體積法，得，所以，故D項(xiàng)正確.故選：ACD.12. 類比三角函數(shù)的定義，把角的終邊與雙曲線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)分別叫做的雙曲正弦函數(shù)、雙曲余弦函數(shù)．已知，下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D. 若直線（c為常數(shù)）與曲線共有三個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為，則【答案】BCD【解析】【分析】利用有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)判斷選項(xiàng)A；把等式右側(cè)化簡變形判斷選項(xiàng)B；利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算判斷選項(xiàng)C；結(jié)合雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù)的性質(zhì)，奇偶性、單調(diào)性、最值等來判斷選項(xiàng)D.【詳解】解：對于A，，故A不正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，函數(shù)是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，值域?yàn)?/span>，所以直線與雙曲正弦曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，是偶函數(shù)，，于是由題可知，，，由得，，，所以，故D正確．綜上，正確答案B，C，D，故選：BCD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13. 設(shè)平面向量，，若，則等于______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量垂直關(guān)系求得，得出的坐標(biāo)，利用向量模的坐標(biāo)運(yùn)算即可求得模長.【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄?/span>，，且，所以，即解得，.故答案為：14. 成語“五音不全”中的五音指古樂的五聲音階：宮、商、角、徵、羽，是中國古樂基本音階．把這五個(gè)音階排成一列，形成一個(gè)音序．滿足“徵”“羽”兩音階相鄰且在“宮”音階之前的不同音序的種數(shù)為___________．（用數(shù)字作答）【答案】24【解析】【分析】把“徵”“羽”看成一個(gè)元素，排在“宮”的前面，再排“商”“角”，最后計(jì)算“徵”“羽”交換順序排列即可.【詳解】解：把“徵”“羽”看成一個(gè)元素，在排好順序的4個(gè)位置中選兩個(gè)，按“宮”在后，“徵”“羽”在前的順序，有種排法，另兩個(gè)位置排“商”“角”，有種排法，“徵”“羽”又可交換順序排列，有種排法，故所求音序種數(shù)為.故答案為：24.15. 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸交點(diǎn)為K，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，，以F為圓心且與直線相切的圓的方程為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)拋物線定義求出，所以拋物線方程為，根據(jù)點(diǎn)到直線距離求出圓的半徑，繼而求出圓的方程.【詳解】根據(jù)拋物線定義，，得，拋物線方程為，，，根據(jù)對稱性，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則，直線的方程為，即，點(diǎn)到直線的距離，所求圓方程為.故答案為：.16. “物不知數(shù)”問題：“今有物，不知其數(shù)，三、三數(shù)之，剩二；五、五數(shù)之，剩三；七、七數(shù)之，剩二．問物幾何？”即著名的“孫子問題”，最早由《孫子算經(jīng)》提出，研究的是整除與同余的問題．現(xiàn)有這樣一個(gè)問題：將1到2022這2022個(gè)數(shù)中，被3除余2且被5除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列的中位數(shù)為____________．【答案】1007【解析】【分析】由題意可知，數(shù)列滿足，再根據(jù)與2022的大小關(guān)系確定數(shù)列共有135項(xiàng)，進(jìn)而求得中位數(shù)即可【詳解】由題意可知，既是3倍數(shù)，又是5的倍數(shù)，即，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，數(shù)列共有135項(xiàng)，因此中位數(shù)為第68項(xiàng)，.故答案為：1007四、解答題（共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17. 從①；②；③中選擇一個(gè)補(bǔ)充到下面問題的條件中，并解決該問題：在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，且__________．（1）求B；（2）求的面積．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）選擇①由余弦定理即可求解；選擇②由正弦定理即可求解；選擇③由輔助角公式即可求解；（2）由正弦定理求得，再由和角公式求得，最后由面積公式求解即可.【小問1詳解】選擇①：由及余弦定理，得，又，所以；選擇②：由正弦定理及，得，因?yàn)?/span>，所以，即，又，所以；選擇③：由及輔助角公式，得，又，所以，所以，；【小問2詳解】由正弦定理，，，所以的面積為.18. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，由得是等比數(shù)列，再由等比數(shù)列通項(xiàng)求解即可；（2）先求出，再由錯(cuò)位相減法求和即可.【小問1詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，，所以數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，所以；【小問2詳解】由得，所以，，兩式相減，得，，所以.19. 如圖，是邊長為的等邊三角形，E，F分別是的中點(diǎn)，G是的重心，將沿折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，點(diǎn)P在平面的射影為點(diǎn)G．（1）證明：；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）由，證得平面，即可證得；（2）過點(diǎn)作，先證得是平面與平面的交線，再由平面得為平面與平面所成二面角的平面角，求出相關(guān)邊，再由余弦定理求解即可.【小問1詳解】連接，因是等邊三角形，是的中點(diǎn)，是的重心，所以在上，，又點(diǎn)在平面的射影為點(diǎn)，即平面，平面，所以，又，所以平面，又平面，所以.【小問2詳解】過點(diǎn)作，連接，與，分別交于點(diǎn)，點(diǎn).因?yàn)?/span>分別是，的中點(diǎn)，所以，所以，是平面與平面的交線.由是等邊三角形，是的重心，知點(diǎn)，點(diǎn)分別是線段，的中點(diǎn).平面，平面，所以，又，平面，，則平面，所以平面，又平面，于是，，為平面與平面所成二面角的平面角.由等邊三角形的邊長為，可得，，，，，在中，由余弦定理，得，所以平面與平面夾角的余弦值為.20. 2014年9月教育部發(fā)布關(guān)于深化考試招生制度改革的實(shí)施意見，部分省份先行改革實(shí)踐，目前，全國多數(shù)省份進(jìn)入新高考改革．改革后，考生的高考總成績由語文、數(shù)學(xué)、外語3門全國統(tǒng)一考試科目成績和3門選擇性科目成績組成．方案一：選擇性考試科目學(xué)生可以從思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門科目中任選3門參加選擇性考試．方案二：3門選擇性科目由學(xué)生先從物理、歷史2門科目中任選1門，再從思想政治、地理、化學(xué)、生物4門科目中任選2門參加選擇性考試．（1）某省執(zhí)行方案一，甲同學(xué)對選擇性科目的選擇是隨機(jī)的，求甲同學(xué)在選擇物理科目的條件下，選擇化學(xué)科目的概率；（2）某省執(zhí)行方案二，為調(diào)查學(xué)生的選科情況，從某校高二年級抽取了10名同學(xué)，其中有6名首選物理，4名首選歷史，現(xiàn)從這10名同學(xué)中再選3名同學(xué)做進(jìn)一步調(diào)查，將其中首選歷史的人數(shù)記作X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，期望【解析】【分析】（1）先求出選擇物理的概率，再求出同時(shí)選擇物理和化學(xué)的概率，由條件概率公式求解即可；（2）X的取值為0，1，2，3，分別求出對應(yīng)概率，列出分布列，計(jì)算期望即可.【小問1詳解】“甲同學(xué)選擇物理”記作事件A，“甲同學(xué)選擇化學(xué)”記作事件B，則，，則；【小問2詳解】隨機(jī)變量X的取值為0，1，2，3．，，，，隨機(jī)變量X分布列為0123.21. 在上任取一點(diǎn)，記，當(dāng)P在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡記為．（1）寫出的標(biāo)準(zhǔn)方程，并說明的離心率是定值（與無關(guān)）；（2）當(dāng)時(shí)，分別記為，若直線與交于4個(gè)點(diǎn)，在直線l上從上到下順次記為A，B，C，D．①與是否相等？證明你的結(jié)論；②已知，求面積的最大值．【答案】（1），答案見解析（2）①，證明見解析；②最大值為.【解析】【分析】(1)利用代點(diǎn)法求出點(diǎn)Q的軌跡，再求其離心率即可；(2)①聯(lián)立方程組，利用設(shè)而不求法證明的中點(diǎn)重合，由此證明，②求出的面積的解析式，再求其最值.【小問1詳解】設(shè)，則，所以，化為，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為. ，，，為定值.【小問2詳解】①設(shè)與的交點(diǎn)為，，與的交點(diǎn)為，，聯(lián)立消，整理得，，所以，，所以的中點(diǎn)與的中點(diǎn)坐標(biāo)均為，即的中點(diǎn)與的中點(diǎn)重合，故②直線：被橢圓：截得的弦長為，所以，，，點(diǎn)到直線的距離為，所以面積為，所以當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大值為.【點(diǎn)睛】解決直線與橢圓的綜合問題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．22. 已知函數(shù)．（1），求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2），使，求證：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出，即可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）由得出，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)證明，再由導(dǎo)數(shù)證明即可.【小問1詳解】由得，即，其中，令，，得，設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，在上有最大值，，所以的取值范圍為.【小問2詳解】，即，整理為，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，不妨設(shè)，所以，從而，所以，所以.下面證明：，即證明：，令，即證明，其中，只要證明.設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在問題二中，關(guān)鍵在于將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.

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