2024屆云南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三高考適應(yīng)性月考卷（二）數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】將代入，進(jìn)行復(fù)數(shù)運算即可.【詳解】由，所以，故而，所以在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于第四象限.故選：D.2．設(shè)集合，，則的元素個數(shù)為（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)交集以及指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)圖象等知識確定正確答案.【詳解】如圖，集合為函數(shù)圖象的點集，集合為函數(shù)圖象的點集，兩函數(shù)的圖象有三個交點，所以的元素個數(shù)為個.故選：C    3．已知，都是等差數(shù)列，且，，，則數(shù)列的前10項和為（    ）A．60 B．65 C．70 D．75【答案】B【分析】根據(jù)條件可知，數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的前項和公式，即可求解.【詳解】由，均為等差數(shù)列，所以為等差數(shù)列，故而.故選：B.4．已知函數(shù)，若是方程的兩個不等的根，且滿足的最小值為，則的值為（    ）A．0 B．4 C．－4 D．【答案】D【分析】根據(jù)的兩個根之間的距離的最小值列式，并由此求得.【詳解】由得，或，，即或，要使取得最小值，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.則.故選：D5．已知拋物線，經(jīng)過的動直線l交C于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，則為（    ）A．銳角 B．直角C．鈍角 D．隨著直線l的變化，可能是銳角、直角或鈍角【答案】B【分析】設(shè)直線方程與拋物線方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理計算即可.【詳解】如圖，設(shè)經(jīng)過點的直線的方程為，與拋物線：聯(lián)立方程得：，設(shè)，則，，則，,所以為直角.故選:B.  6．在中，，則的值為（    ）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角恒等變換的知識列方程，由此求得的值.【詳解】，令，則，，所以，解得.故選：B7．甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.則在第2次投籃的人是乙的情況下第一次是甲投籃的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)條件概率以及貝葉斯概率公式，即可求得答案.【詳解】設(shè)表示第i次投籃的人為甲，；表示第i次投籃的人為乙，；則第2次投籃的人是乙的情況下第一次是甲投籃的概率： ，故選：A.8．定義域為的函數(shù)滿足：當(dāng)時，，且對任意的實數(shù)x，均有，記，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件求得，進(jìn)而求得.【詳解】，，，所以，，，所以，，，又對任意的實數(shù)，均有，所以，則有，所以 ，，，.故選:C【點睛】由于本題的已知的解析式對應(yīng)的定義域是，所以本題解題關(guān)鍵點在于，利用對數(shù)的運算、抽象函數(shù)運算，將，轉(zhuǎn)化為內(nèi)的式子來表示，從而求得對應(yīng)的函數(shù)值. 二、多選題9．如圖，正方體棱上一動點F，點E為棱BC的中點，則平面AEF截得正方體的幾何圖形可以是（    ）  A．等腰梯形 B．矩形 C．菱形 D．六邊形【答案】AC【分析】首先求點為棱的中點，以及點在點處時，截面的形狀，再討論點在其他位置時，截面的形狀.【詳解】如圖，當(dāng)點為棱的中點時，截面為等腰梯形；當(dāng)點在點處時，截面為菱形；當(dāng)時，截面為五邊形；當(dāng)時，截面為四邊形；綜上所述，AC正確，BD錯誤.  故選：AC.10．已知點為橢圓C：的左焦點，點P為C上的任意一點，點的坐標(biāo)為，則下列正確的是（    ）A．的最小值為B．的最大值為7C．的最小值為D．的最大值為1【答案】ABD【分析】根據(jù)三點共線、橢圓的定義等知識對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意，，所以，的最小值，即是的長，當(dāng)點在位置時取到，所以的最小值為，故A正確；設(shè)橢圓的右焦點為，所以，則當(dāng)點在位置時取到最大值， 所以的最大值為，故B正確；的最小值當(dāng)在位置時取到，即的最小值為，故C錯誤；由，則當(dāng)點在位置時取到最大值，所以的最大值為，故D正確.故選:ABD  11．若，且，則（    ）A．的最小值為9B．的最小值為C．的最小值為D．的最小值為36【答案】ACD【分析】利用基本不等式逐項判斷即可.【詳解】由且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，故正確；由，即，要使得不等式取等號需滿足，即，，即，不合題意，故不正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故正確；，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時取等號，故D正確；故選：ACD.12．已知，為定義在上的函數(shù)，且對任意的x，y滿足：，且，則下面說法正確的是（    ）A．B．C．為奇函數(shù)D．若，則3是的一個周期【答案】ACD【分析】利用賦值法逐項判斷即可.【詳解】因為對任意的x，y滿足：，所以對于，令，則，故正確；令，，則.又，則，故錯誤；令，則，所以為奇函數(shù)，故正確；令，，則，由于，所以，令，則，令，則，兩式相加得：，即：，所以，故，所以是的一個周期，所以正確；故選：ACD. 三、填空題13．已知向量，，，則      .【答案】【分析】根據(jù)向量模長可求得，再利用向量夾角的公式即可求得結(jié)果.【詳解】由可得，即，即，所以，又，所以.故答案為：14．正多面體又稱柏拉圖多面體，被喻為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，其所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成，正多面體共有五種，它們分別是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體，連接棱長為2的正方體的六個面的中心，即可得到一個正八面體，則該正八面體的內(nèi)切球的表面積為      .【答案】/【分析】結(jié)合題意將正八面體表示出來，根據(jù)等體積法求解內(nèi)切球的半徑，即可算出內(nèi)切球的表面積；【詳解】  由圖可知，由正八面體的頂點是正方體的六個面的中心，結(jié)合幾何體的對稱性，邊長為的正方體可以看成是八個邊長為1的正方體組成，所以正八面體的邊長為，則設(shè)內(nèi)切球的半徑為，則解得：故有：；故答案為：. 四、雙空題15．某班級為了了解本班學(xué)生的身高情況，根據(jù)男、女學(xué)生所在的比例，采用樣本量按比例分配的分層隨機(jī)抽樣分別抽取了男生5名和女生3名，測量它們的身高所得的數(shù)據(jù)（單位：cm）如下表所示，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，可計算出該校高中學(xué)生身高的總樣本平均數(shù)      ；總樣本方差為      .性別人數(shù)平均數(shù)方差男生517218女生316430【答案】     169     /【分析】利用樣本平均值和方差的公式計算即可.【詳解】由題意知；設(shè)男生的身高為，身高的平均數(shù)為，方差為，設(shè)女生的身高為，身高的平均數(shù)為，方差為，由，得 ，同理，則.故答案為：； 五、填空題16．已知點P在函數(shù)的圖象上，點Q在函數(shù)的圖象上，則的最小值為      .【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)在某點處的切線斜率，利用兩點間距離，兩直線位置關(guān)系，結(jié)合圖象，可得答案.【詳解】      由函數(shù)，求導(dǎo)可得：，則，在處的切線方程為，整理可得：；由函數(shù)，求導(dǎo)可得：，則，在處的切線方程為，整理可得；由直線的斜率，易知：直線分別與兩條切線垂直..故答案為：. 六、解答題17．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且.(1)求角A的大小；(2)D是邊BC上的一點，且，AD平分，且，求的面積.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，結(jié)合三角形中即可求解；（2）由兩三角形面積比關(guān)系可得兩邊之比，再用向量方法表示，兩邊平方建立方程解得邊長，再利用三角形面積公式即可求解.【詳解】（1）由及正弦定理知：所以由得，由，所以則，由，所以.（2）如圖，由，且，AD平分，得， 令，則，又，且，因為，所以，即：，化簡得，所以，即，，故的面積.  18．已知數(shù)列滿足：，.(1)證明：是等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)令，求的前n項和.【答案】(1)證明見解析，(2) 【分析】（1）通過構(gòu)造可證為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項公式可得，然后可得；（2）將數(shù)列通項公式變形為，直接求和可得.【詳解】（1）證明：由，所以，所以是以為首項，公比為的等比數(shù)列，所以，即（2）由（1）知：，所以.又， 19．某校高三舉辦“三環(huán)杯”排球比賽活動，現(xiàn)甲、乙兩班進(jìn)入最后的決賽，決賽采用三局兩勝的賽制，決出最后的冠軍，甲班在第一局獲勝的概率為，從第二局開始，甲班每局獲勝的概率受上局比賽結(jié)果的影響，若上局獲勝，則該局甲班獲勝的概率增加，若上局未獲勝，則該局甲班獲勝的概率減小，且甲班前兩局連勝兩場的概率為（每局比賽沒有平局）.(1)求甲班獲勝的概率；(2)若冠軍獎品為16個排球，且在甲班第一局獲勝的情況下，由于不可抗拒力的原因，比賽被迫取消，請問：你認(rèn)為甲、乙如何分配獎品比較合理.【答案】(1)(2)甲班級應(yīng)獲得13個排球，乙獲得3個排球比較合理 【分析】（1）先求出，再利用互斥事件得概率加法公式和相互獨立事件得概率乘法公式計算即可；（2）先求出再甲第一局獲勝的情況下，甲輸?shù)舯荣惖氖录怕?，即可求?/span>.【詳解】（1）令事件：甲在第局獲勝，.甲連勝兩局的概率為：，所以，則甲獲勝的概率為：（2）由題意知，在甲第一局獲勝的情況下，甲輸?shù)舯荣愂录椋杭捉酉聛淼谋荣愔羞B輸兩場，即，故而甲、乙應(yīng)按照的比例來分配比賽獎金，即甲班級應(yīng)獲得13個排球，乙獲得3個排球比較合理20．如圖，已知在三棱柱中，平面平面，且平面平面.(1)證明：平面；(2)若，，，分別為，的中點，，，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)及線面垂直的判斷定理即可；（2）利用（1）中的結(jié)論及已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)的點的坐標(biāo)，利用空間法向量解決即可.【詳解】（1）證明：如圖，在平面中，過點分別作的垂線，垂足分別為，由平面平面，平面平面，又平面，且，所以平面，又平面，所以.同理：，又，所以平面.（2）由（1）知：平面，又，，所以所以，所以兩兩垂直；建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系：則，， 設(shè)為平面的一個法向量，則令，則，，則設(shè)為平面的一個法向量，令，則，，則設(shè)是平面與平面所成銳二面角，則，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.21．已知，.(1)當(dāng)時，求的最小值；(2)若在上恒成立，求a的取值范圍.【答案】(1)1(2) 【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)后，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的最小值，（2）將問題轉(zhuǎn)化為，在恒成立，令，則轉(zhuǎn)化為，在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以的最小值為（2）在上恒成立等價于：恒成立，即，在恒成立，令，由（1）知：上面不等式等價于：，在上恒成立，所以，在上恒成立，令所以.又令，且，而，即在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，即，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，即，所以在上單調(diào)遞增；所以在上的最小值為，所以【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題，第（2）問解題的關(guān)鍵是結(jié)合（1）將問題轉(zhuǎn)化為，在上恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于較難題.22．已知，是雙曲線C：的左、右焦點，若點為C上的一點，且，的面積為，雙曲線的離心率為.(1)求曲線C的方程；(2)過曲線C左焦點的兩條相互垂直的直線分別交雙曲線C于和，分別是的中點，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo).【答案】(1)(2)證明見解析， 【分析】（1）利用的面積以及雙曲線的離心率求得，從而求得雙曲線的方程. （2）設(shè)出直線的方程并與雙曲線方程聯(lián)立，由根與系數(shù)關(guān)系求得兩點的坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線的方程，從而確定定點坐標(biāo).【詳解】（1）由點為雙曲線的一點，則，所以，又，所以，所以，所以，故而.又，且，即，所以曲線的方程為.（2）設(shè)直線的方程為：，，，中點直線的方程為：，，，中點由與垂直，所以，聯(lián)立方程，消去得：，由題意需滿足：，且，所以，.同理：，當(dāng)時，，故而直線為：，即：，所以直線過定點，當(dāng)時，經(jīng)檢驗，直線過定點，當(dāng)直線與直線，其中一條直線斜率不存在，另一條直線斜率為零時，直線是軸，過點.綜上所述，直線過定點.  【點睛】關(guān)鍵點睛：求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是求得 ，這是兩個未知數(shù)，所以需要兩個條件，如本題中的 的面積以及雙曲線的離心率，將已知條件轉(zhuǎn)化為方程的形式，再結(jié)合雙曲線的隱藏條件“ ”就可以求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程. 

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